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6.3 余角补角对顶角
【基础训练】
一、单选题
1．如图，与是对顶角的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． C． D．
2．如图，∠1、∠2是对顶角的图形是（ ）
A． B．
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
3．下列各图中，和是对顶角的是（ ）
A． B． C． D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
4．下列各图中，∠1和∠2是对顶角的是（ ）
A． B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． D．
5．下列图形中与是对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图所示，∠1和∠2是对顶角的图形是（ ）
A． B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
7．下列图中，∠1和∠2属于对顶角的是（ ）
A． B． C． D．
8．下列四个图形中，与是对顶角的是（ ）
A． B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
9．下列各图中，与是对顶角的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
10．如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列摆放方式中∠α与∠β均为锐角且相等的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
11．设两个互余的锐角分别为和，（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
12．若，则的余角为（ ）
A．36° B．46° C．126° D．146°
13．如图是一副三角板摆放在一起的示意图，若比大，则等于（ ）度．
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A． B． C． D．
14．下列说法错误的是（ ）
A．两个互余的角都是锐角 B．锐角的补角大于这个角本身
C．互为补角的两个角不可能都是锐角 D．锐角大于它的余角
15．如图，直线m和n相交于点O，若∠1=40°，则∠2的度数是（ ）
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A．40° B．50° C．140° D．150°
16．已知，则的余角等于（ ）
A． B． C． D．
17．如图，直线，交于点，射线平分，如果，那么等于（ ）
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A．38° B．37° C．36° D．52°
18．如图，直线AB、CD相交于点O，下列描述：①∠1和∠2互为对顶角；②∠1和∠2互为邻补角；③∠1＝∠2，④，其中正确的是（ ）21·cn·jy·com
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A．①③ B．②④ C．②③ D．①④
19．下面四个图形中，一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
20．如图，直线AB，CD相交于点O，分别作 ( http: / / www.21cnjy.com )∠AOD，∠BOD的平分线OE，OF． 将直线CD绕点O旋转，下列数据与∠BOD大小变化无关的是（ ）www.21-cn-jy.com
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A．∠AOD的度数 B．∠AOC的度数
C．∠EOF的度数 D．∠DOF的度数
21．下面与不是对顶角的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
22．如图，射线交于点，射线平分，若，则的度数为（ ）
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A．80° B．60° C．50° D．40°
23．如图，直线，相交于点，射线平分，若，则等于（ ）
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A． B． C． D．
24．如图，直线、相交于点，平分，若，则的度数是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
25．如图，直线、被直线所截，则下列说法错误的是（ ）
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A．与是邻补角 B．与是对顶角
C．与是同位角 D．与是内错角
26．下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是 （ ）
A． B．
C．
D．
27．下列说法正确的是（ ）
A．如果∠1+∠2+∠3=90 ，那么∠1、∠2、∠3三个互余
B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．不相等的两个角一定不是对顶角
D．若两条直线被第三条所截，则同位角相等
28．下列四个图形中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
29．如图，，，点B、O、D在同一直线上，则的度数为（ ）
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A．115° B．105° C．65° D．25°
30．若，，则与的关系是（ ）
A．互补 B．互余 C．和为钝角 D．和为周角
31．将一副三角尺按不同位置摆放，下列摆放中∠1与∠2互为余角的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / )
B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / )
D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
32．下列说法不正确的是（ ）
①的系数是3，次数是3；
②平角是一条直线；
③多项式是二次三项式；
④射线与射线是同一条射线；
⑤一个角的补角不是锐角就是钝角．
A．①②④⑤ B．③④⑤ C．②③④ D．①③⑤
33．已知A、B两地的位置如图所示，且∠BAC＝60°，那么下列语句正确的是（ ）
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A．A地在B地的北偏东60°方向 B．A地在B地的北偏东30°方向
C．B地在A地的北偏东60°方向 D．B地在A地的北偏东30°方向
34．如图，三条直线相交于点O，则∠1＋∠2＋∠3的度数等于（ ）
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A．210° B．180° C．150° D．120°
35．下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A． B．
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D．
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
36．如图，点O是直线AB上一点，∠1=∠2，写出图中一对互补的角______，图中共有______对互补的角．
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37．如图，如果∠1＋∠2=280°，则∠3的度数是________；
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38．如图所示：直线与相交于O，已知，是的平分线，则的度数为________．
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39．如图，AB、CD相交于点O，OB平分．若，则的度数是________．
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40．如图是某城市一座古塔底部平面图，在不能进入塔内测量的情况下，学习兴趣小组设计了如图所示的一种测量方案，学习兴趣小组认为测得的度数就是的度数．其中的数学原理是__________．
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三、解答题
41．如图所示，AB和CD相交于点O，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，试说明OM和ON成一条直线．
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42．（1）如图（1），已知直线a、b相交于点 O，则（1）图中共有几对对顶角 几对邻补角？
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（2）如图（2），已知直线a、b、c、d是经过点O的四条直线，则图（2）中共有几对对顶角（不含平角） 几对邻补角？21世纪教育网版权所有
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43．如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝120°，OE平分∠BOC．
（1）求∠BOE的度数；
（2）若OF把∠AOE分成两个角，且∠AOF：∠EOF＝2：3，判断OA是否平分∠DOF？并说明理由．
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44．如图，点O在直线AB上，∠AOC=∠DOE=90°
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（1）图中除∠AOC，∠DOE外还有哪个角是直角？请写出计算过程．
（2）若OE是∠BOC的角平分线，求∠BOE，∠AOD的度数
45．一个角的补角比它的余角的2倍大40 ，求这个角的度数．
46．如图，点，，顺次在同一条直线上，射线平分，射线 平分．
（1）填空： °；
（2）在内部引一条射线，使得°，若°，求的度数．
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47．如图，点O是直线AB上一点，，平分．求的度数．
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48．如图，直线相交于点平分，求：
（1）的度数．
（2）的度数．
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49．如图，与互余，平分，已知．
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（1）若，则___________，____________．
（2）设，，请探究与之间的数量关系．
50．如图，直线相交于点平分，求 和的度数．
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51．如图，直线AB、CD相交于点O，∠BOD＝40°，按下列要求画图并解答问题：
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（1）利用三角尺，在直线AB上方画射线OE，使∠BOE＝90°；
（2）利用量角器，画∠AOD的平分线OF；
（3）在你所画的图形中，求∠AOD与∠EOF的度数．
52．如图，直线AB与CD相交于点O，．
（1）如果，求和的度数．
（2）如果，求的度数．
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53．如图，直线、相交于点，．
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（1）的余角是______（填写所有符合要求的角）；
（2）若，求的度数．
54．已知，如图直线与相交于点O，，过点O作射线，，．
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（1）求度数；
（2）求的度数；
（3）直接写出图中所有与互补的角．
55．如图，已知直线和相交于点O，平分，，试求的度数．
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56．如图1，点A、O、B在同一条直线上 ( http: / / www.21cnjy.com )，∠BOC=40°，OD平分∠AOC．从点O出发画一条射线OE，使得∠COE=90°．请画出满足条件的射线OE，并求出∠DOE的度数．21教育网
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（1）如图2，已画出射线OE的第一种位置，请将解题过程补充完整：
（解析）解：因为∠AOB=180°，∠BOC=40°，
所以∠AOC=∠________ ∠________=________°．
因为OD平分∠AOC，
所以∠COD=∠________=________°．
因为∠COE=90°，
所以∠DOE=∠________ ∠________=________°．
（2）请在图3中画出射线OE的第二种位置，并直接写出此种情况下∠DOE的度数．
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57．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，OF⊥OC，
（1）图中∠AOF的余角是________ (把符合条件的角都填出来)；
（2）如果∠AOC=140°，那么根据________，可得∠BOD=________；
（3）如果∠1=31°，求∠2和∠3的度数．
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58．如图，是直线上一点，以为顶点作，且，位于直线两侧，平分．
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（1）当时，求的度数；
（2）通过（1）的计算，请你猜想和的数量关系，并说明理由．
59．如图1，已知平分．
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（1）若的余角比小．
①求的度数﹔
②过点作射线，使得∠AOC=4∠AOD，求的度数．
（2）如图2，与互为补角，在的内部作射线，使得∠COE=4∠COD，请探究与之间的数量关系，写出你的结论并说明理由．21cnjy.com
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60．已知：如图，O是直线AB上的一点，∠COD＝90°，OC平分∠AOE，∠BOD＝30°，求∠DOE的度数．
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61．如图，已知直线，相交于点，平分，平分．若，
求：（1）的度数；
（2）的度数．
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62．如图，点O是直线AB上一点，OD，OE分别平分∠AOC和∠BOC．
（1）若∠AOC=40°，求∠DOE的度数．
（2）若∠AOC=α，求∠DOE的度数．
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6.3 余角补角对顶角
【基础训练】
一、单选题
1．如图，与是对顶角的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据对顶角的定义判断即可．
【详解】
解：根据两条直线相交，才能构成对顶角进行判断，
A、C、D都不是由两条直线相交构成的图形，错误，
B是由两条直线相交构成的图形，正确，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了对顶角的定义，有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．
2．如图，∠1、∠2是对顶角的图形是（ ）
A． B．
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】C
【分析】
根据对顶角的意义结合具体图形进行判断即可．
【详解】
解：根据对顶角的意义，一个角的两条边分别是另一个角两边的反向延长线，这两个角是对顶角，
观察图形，只有图C中的∠1和∠2是对顶角，
故选：C．
【点睛】
本题考查对顶角，理解对顶角的意义是正确判断的前提．
3．下列各图中，和是对顶角的是（ ）
A． B． C． D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】A
【分析】
直接根据对顶角的概念判断即可得到答案．
【详解】
解：A、符合对顶角概念，符合题意；
B、不符合对顶角概念，不符合题意；
C、不符合对顶角概念，不符合题意；
D、不符合对顶角概念，不符合题意．
故选：A．
【点睛】
此题考查的是对顶角的概念，掌握其概念是解决此题关键．
4．下列各图中，∠1和∠2是对顶角的是（ ）
A． B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． D．
【答案】C
【分析】
直接根据对顶角的概念判断即可得到答案．
【详解】
解：A、不符合对顶角概念，不符合题意；
B、不符合对顶角概念，不符合题意；
C、符合对顶角概念，符合题意；
D、不符合对顶角概念，不符合题意．
故选：C．
【点睛】
此题考查的是对顶角的概念，掌握其概念是解决此题关键．
5．下列图形中与是对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据对顶角的定义：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．
【详解】
解：根据对顶角的定义可知，
选项B的∠1与∠2是对顶角，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了对顶角的定义，熟记有 ( http: / / www.21cnjy.com )一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角是解答此题的关键．
6．如图所示，∠1和∠2是对顶角的图形是（ ）
A． B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】B
【分析】
根据对顶角的定义，对顶角：有 ( http: / / www.21cnjy.com )一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角，据此即可求解．
【详解】
解：对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，满足条件的只有B．
故选：B．
【点睛】
本题考查了对顶角的定义，理解定义是关键．
7．下列图中，∠1和∠2属于对顶角的是（ ）
A．B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据对顶角的定义：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角，可得结论．【来源：21·世纪·教育·网】
【详解】
解：在选项A、C、D中，∠1与∠2的两边都不互为反向延长线，所以不是对顶角，
是对顶角的只有选项B．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了对顶角的定义，熟记有一个公共 ( http: / / www.21cnjy.com )顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角是解答此题的关键．
8．下列四个图形中，与是对顶角的是（ ）
A． B． ( http: / / www.21cnjy.com / )C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】D
【分析】
根据对顶角的意义求解．
【详解】
解：对顶角指的是有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角两边的反向延长线的两个角，
所以A两角只有一条边互为反向延长线，另一条边没有互为反向长线，不符合题意；
B两角也是只有一条边互为反向延长线，另一条边没有互为反向长线，不符合题意；
C两角没有公共顶点，不符合题意；
D两角有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角两边的反向延长线的两个角，符合题意；
故选D ．
【点睛】
本题考查对顶角的应用，熟练掌握对顶角的意义是解题关键．
9．下列各图中，与是对顶角的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】C
【分析】
根据对顶角的定义可逐项判断求解．
【详解】
解：A选项中，∠1和∠2没有公共顶点，不符合对顶角定义，故不是对顶角；
B选项中，∠1和∠2，不符合对顶角定义，故不是对顶角；
C选项中，∠1和∠2符合对顶角定义，故是对顶角；
D选项中，∠1和∠2没有公共顶点，不符合对顶角定义，故不是对顶角．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查对顶角的定义，掌握对顶角的定义是解题的关键．
10．如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列摆放方式中∠α与∠β均为锐角且相等的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】B
【分析】
根据平角的定义，同角的余角相等，等角的补角相等和邻补角的定义对各小题分析判断即可得解．
【详解】
解：A、∠α+∠β＝180°﹣90°＝90°，互余，不符合题意；
B、根据同角的余角相等，∠α＝∠β，且∠α与∠β均为锐角，符合题意；
C、根据等角的补角相等∠α＝∠β，但∠α与∠β均为钝角，不符合题意；
D、∠α+∠β＝180°，互补，不符合题意．
故选：B．
【点睛】
本题考查了余角和补角,是基础题,熟记概念与性质是解题的关键．
11．设两个互余的锐角分别为和，（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【分析】
根据余角的性质及各选项的已知条件求出，即可得出答案．
【详解】
解：A．若，∵，∴，则，故此选项错误，不符合题意；
B．若，∵，∴，则，故此选项错误，不符合题意；
C．若，∵，∴，则，故此选项错误，不符合题意；
D．若，∵，∴，则，故此选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了余角的性质，熟练掌握余角的性质是解题的关键．
12．若，则的余角为（ ）
A．36° B．46° C．126° D．146°
【答案】A
【分析】
根据余角的定义，即可求解．
【详解】
∵，
∴的余角=90°-54°=36°，
故选A．
【点睛】
本主要考查余角的定义，掌握“两个角的和等于90°，则称两个角互为余角”是解题的关键．
13．如图是一副三角板摆放在一起的示意图，若比大，则等于（ ）度．
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A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用平角定义得出∠1+∠2=90°，设∠2=x，则∠1=x+20°，根据∠1和∠2的互余关系列出方程，求出解即可．
【详解】
解： ∵∠1+∠2+90°=180°，
∴∠1+∠2=90°，
设∠2=x，则∠1=x+20°，
∴x+x+20°=90°，
解得：x=35°，
则∠1=35°+20°=55°，
故选：B．
【点睛】
本题考查了平角的定义，余角的定义，熟练掌握各自的定义是解题的关键．
14．下列说法错误的是（ ）
A．两个互余的角都是锐角 B．锐角的补角大于这个角本身
C．互为补角的两个角不可能都是锐角 D．锐角大于它的余角
【答案】D
【分析】
根据补角、余角的定义逐个判断即可得出结论．
【详解】
解：A、两角互余，和为90°，两角均为锐角，故A不符合题意
B、两角互补，和为180°，从而锐角的补角必为钝角，故B不符合题意
C、两角互补，和为180°，两锐角的和必小于180°，故C不符合题意
D、两角互余，和为90°，从而锐角不一定大于它的余角，也可以小于或者等于它的余角，故D不符合题意
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了互为补角、互为余角的定义，解题的关键是熟练掌握互为补角、互为余角的定义．
15．如图，直线m和n相交于点O，若∠1=40°，则∠2的度数是（ ）
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A．40° B．50° C．140° D．150°
【答案】C
【分析】
根据邻补角的性质，邻补角互补进行计算，可得答案．
【详解】
解：直线m和n相交于点O，若∠1=40°，则∠2的度数为180°-∠1= 140°，
故选：C．
【点睛】
本题考查了邻补角，理解概念正确计算是解题关键．
16．已知，则的余角等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据互余的两个角的和等于90°列式计算即可得解，注意1°=60′．
【详解】
解：∵
∴的余角=
故选：A
【点睛】
本题考查了余角的定义，熟记互余的两个角的和等于90°是解题的关键．
17．如图，直线，交于点，射线平分，如果，那么等于（ ）
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A．38° B．37° C．36° D．52°
【答案】A
【分析】
先根据已知条件求出∠AOC的度数，再根据OM平分∠AOC，即可得到∠MOC的值
【详解】
解：∵
∴∠AOC =180° 104°=76°
∵OM 平分∠AOC
∴∠MOC=
=38°
故选：A
【点睛】
本题主要考查了领补角及角平分线的定义，熟练掌握定义是解题的关键
18．如图，直线AB、CD相交于点O，下列描述：①∠1和∠2互为对顶角；②∠1和∠2互为邻补角；③∠1＝∠2，④，其中正确的是（ ）21cnjy.com
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A．①③ B．②④ C．②③ D．①④
【答案】B
【分析】
根据对顶角和邻补角的定义逐个判断即可得．
【详解】
解：和不是对顶角，互为邻补角，则①错误，②正确；
，但和不一定相等，则③错误；
由对顶角相等得：，则④正确；
综上，正确的是②④，
故选：B．
【点睛】
本题考查了对顶角和邻补角，熟记定义是解题关键．
19．下面四个图形中，一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据邻补角、对顶角的性质判断即可．
【详解】
解：A、，但与不一定相等，本选项不符合题意；
B、与不一定相等，本选项不符合题意；
C、与是对顶角，一定相等，本选项符合题意；
D、与不一定相等，本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查的是对顶角、邻补角的概念和性质，掌握对顶角相等是解题的关键．
20．如图，直线AB，CD相交于点 ( http: / / www.21cnjy.com )O，分别作∠AOD，∠BOD的平分线OE，OF． 将直线CD绕点O旋转，下列数据与∠BOD大小变化无关的是（ ）2-1-c-n-j-y
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A．∠AOD的度数 B．∠AOC的度数
C．∠EOF的度数 D．∠DOF的度数
【答案】C
【分析】
由角平分线性质解得，根据对角线性质、平角性质解得，，据此解题．
【详解】
解： OE，OF平分∠AOD，∠BOD
都与∠BOD大小变化有关，
只有∠EOF的度数与∠BOD大小变化无关，
故选：C．
【点睛】
本题考查角平分线的性质、涉及对顶角、平角等知识，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
21．下面与不是对顶角的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】C
【分析】
根据对顶角的定义对各图形进行分析时抓住两点①两直线相交得到的，有公共顶点，②一个角的两边是另一个角的两边反向延长线判断即可．21*cnjy*com
【详解】
A．是两直线相交得到的，有公共顶点，一个角的两边是另一个角的两边反向延长线，故选项A是对顶角，不符合题意；【来源：21cnj*y.co*m】
B．是两直线相交得到的，有公共顶点，一个角的两边是另一个角的两边反向延长线，故选项B是对顶角，不符合题意；
C．不是两直线相交得到的，有公共顶点，一个角的两边不是另一个角的两边反向延长线，故选项C不是对顶角，符合题意；
D．是两直线相交得到的，有公共顶点，一个角的两边是另一个角的两边反向延长线，故选项D是对顶角，不符合题意．
故选C．
【点睛】
本题考查对顶角的定义，两条直线相交后所得 ( http: / / www.21cnjy.com )的只有一个公共顶点且两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．是基础题，熟记概念并准确识图是解题的关键．
22．如图，射线交于点，射线平分，若，则的度数为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．80° B．60° C．50° D．40°
【答案】D
【分析】
利用对顶角的定义得出∠AOC=80°，进而利用角平分线的性质得出∠COM的度数．
【详解】
解：∵∠BOD=∠AOC（对顶角相等），∠BOD=80°，
∴∠AOC=80°，
∵射线OM平分∠AOC，
∴∠COM=×∠AOC=×80°=40°．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的定义以及对顶角的性质，得出∠AOC度数是解题关键．
23．如图，直线，相交于点，射线平分，若，则等于（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据角平分线定义，可求，再根据补角性质可求即可．
【详解】
解：平分，，
，
，
答案：．
【点睛】
本题考查角平分线定义，互为补角性质，掌握角平分线定义，互为补角性质是解题关键．
24．如图，直线、相交于点，平分，若，则的度数是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由，利用对顶角，由平分，可得即可．
【详解】
解：，
，
平分，
，
答案：．
【点睛】
本题考查对顶角性质与角平分线定义，掌握对顶角性质与角平分线定义是解题关键．
25．如图，直线、被直线所截，则下列说法错误的是（ ）
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A．与是邻补角 B．与是对顶角
C．与是同位角 D．与是内错角
【答案】D
【分析】
利用邻补角、对顶角、同位角、同旁内角定义解答即可．
【详解】
解：、与是邻补角，故原题说法正确；
、与是对顶角，故原题说法正确；
、与是同位角，故原题说法正确；
、与是同旁内角，故原题说法错误；
答案：．
【点睛】
此题主要考查了邻补角、对顶角、同位角、同旁内角，关键是掌握各种角的定义．
26．下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据对顶角的概念判断即可．
【详解】
解：A、∠1与∠2不是对顶角；
B、∠1与∠2不是对顶角；
C、∠1与∠2不是对顶角；
D、∠1与∠2是对顶角；
故选：D．
【点睛】
本题考查的是对顶角的判断，有一个 ( http: / / www.21cnjy.com )公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角,解题关键是准确理解定义，正确判断．21·cn·jy·com
27．下列说法正确的是（ ）
A．如果∠1+∠2+∠3=90 ，那么∠1、∠2、∠3三个互余
B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．不相等的两个角一定不是对顶角
D．若两条直线被第三条所截，则同位角相等
【答案】C
【分析】
根据定义和性质逐一判断即可．
【详解】
如果两个角的和是90°，称这两个角互为余角，
所以选项A说法错误；
过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，
所以选项B说法错误；
对顶角永远相等，
所以不相等的两个角一定不是对顶角，
所以选项C正确；
若两条平行直线被第三条所截，则同位角相等，
所以选项D说法错误；
故选C．
【点睛】
本题考查了互余的定义，平行线的性质，对顶角的性质，熟记定义和性质是解题的关键．
28．下列四个图形中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / )B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / )D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】C
【分析】
根据对顶角的定义去判断即可．
【详解】
图A中的两个角，满足有公共顶点，一个角的一边是另一个角的一边的反向延长线，但是另一边不满足这样的条件，不符合定义，
所以选项A不符合题意；
图B中的两个角，满足有公共顶点，一个角的一边是另一个角的一边的反向延长线，但是另一边不满足这样的条件，不符合定义，
所以选项B不符合题意；
图C中的两个角，满足有公共顶点，满足一个角的一边是另一个角的一边的反向延长线，符合定义，
所以选项C符合题意；
图D中的两个角，没有公共顶点，不符合定义，
所以选项D不符合题意；
故选C．
【点睛】
本题考查了对顶角的定义，利用数形结合思想，准确理解定义是解题的关键．
29．如图，，，点B、O、D在同一直线上，则的度数为（ ）
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A．115° B．105° C．65° D．25°
【答案】C
【分析】
由图示可得，∠1与∠BOC互余，结合已知可求∠BOC，又因为∠2与∠COB互补，即可求出∠2的度数．
【详解】
解：∵∠1=25°，∠AOC=90°，
∴∠BOC=65°，
∵∠2+∠BOC=180°，
∴∠2=115°．
故选：C．
【点睛】
此题考查了余角和补角的知识，属于基础题，关键是掌握互余的两角之和为90°，互补的两角之和为180°．
30．若，，则与的关系是（ ）
A．互补 B．互余 C．和为钝角 D．和为周角
【答案】B
【分析】
把两个角相加，然后根据余角的定义解答．
【详解】
解：∵∠α+∠β=45°-n°+45°+n°=90°，
∴∠α与∠β互余．
故选：B．
【点睛】
本题考查了余角的定义，求出两个角的和等于90°是解题的关键．
31．将一副三角尺按不同位置摆放，下列摆放中∠1与∠2互为余角的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / )
B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / )
D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】D
【分析】
根据余角的定义可直接进行排除选项．
【详解】
解：A、∠1与∠2不互余，故本选项错误；
B、∠1与∠2不互余，故本选项错误；
C、∠1与∠2不互余，故本选项错误；
D、∠1与∠2互余，故本选项正确．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查余角的定义，熟练掌握余角的定义是解题的关键．
32．下列说法不正确的是（ ）
①的系数是3，次数是3；
②平角是一条直线；
③多项式是二次三项式；
④射线与射线是同一条射线；
⑤一个角的补角不是锐角就是钝角．
A．①②④⑤ B．③④⑤ C．②③④ D．①③⑤
【答案】A
【分析】
根据单项式的概念判断①；根据平角的定义判断②；根据多项式的概念判断③；根据射线的表示法判断④；根据补角的定义判断⑤．www.21-cn-jy.com
【详解】
①的系数是1，次数是4，原说法错误，符合题意；
②平角是一条直线，原说法错误，符合题意；
③多项式是二次三项式，原说法正确，不符合题意；
④射线MN与射线NM端点不同，延伸方向也不同，所以不是同一条射线，原说法错误，符合题意；
⑤一个角的补角不是锐角就是纯角，也可能是直角，原说法错误，符合题意．
故符合题意的有①②④⑤．
故选：A．
【点睛】
本题考查了多项式、射线、补角的概念，是简单题．掌握相关的定义是解题的关键．
33．已知A、B两地的位置如图所示，且∠BAC＝60°，那么下列语句正确的是（ ）
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A．A地在B地的北偏东60°方向 B．A地在B地的北偏东30°方向
C．B地在A地的北偏东60°方向 D．B地在A地的北偏东30°方向
【答案】D
【分析】
直接利用方向角的定义得出正确的语句．
【详解】
解：由图可知，B地在A地的北偏东30°方向，
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了方向角，正确把握方向角的定义是解题关键．
34．如图，三条直线相交于点O，则∠1＋∠2＋∠3的度数等于（ ）
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A．210° B．180° C．150° D．120°
【答案】B
【分析】
如图，根据对顶角相等求出∠3＝∠4，再根据平角的定义解答．
【详解】
解：如图，
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∵∠4＝∠3，
∴∠1＋∠2＋∠3＝∠1＋∠2＋∠4＝180°．
故选：B．
【点睛】
本题考查了对顶角相等的性质，根据对顶角相等，把三个角转化为一个平角是解题的关键．
35．下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A． B．
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D．
【答案】A
【分析】
根据对顶角的定义对各选项分析判断，即可求解．
【详解】
解：A、∠1与∠2是对顶角，故A选项符合题意；
B、∠1与∠2不是对顶角，故B选项不符合题意；
C、∠1与∠2不是对顶角，故C选项不符合题意；
D、∠1与∠2不是对顶角，故D选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】
本题考查了对顶角的定义，解题关键是准确识图，正确判断．
二、填空题
36．如图，点O是直线AB上一点，∠1=∠2，写出图中一对互补的角______，图中共有______对互补的角．
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【答案】∠1与∠BOC互补 4
【分析】
根据互补的角的定义进行解答即可．
【详解】
解：∵∠AOB是平角，
∴∠1+∠BOC=180°，
∴∠1与∠BOC互补；
又∠2+∠AOD=180°
∴∠2与∠AOD互补；
∵∠1=∠2
∴∠2+∠BOC=180°，
∴∠2与∠BOC互补；
∴∠1+∠AOD=180°
∴∠1与∠AOD互补；
所以，共有4对互补的角．
故答案为：∠1与∠BOC互补（答案不唯一），4．
【点睛】
此题主要考查了角的互补关系，掌握“两角和等于180°，这两角互补”是解答本题的关键．
37．如图，如果∠1＋∠2=280°，则∠3的度数是________；
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【答案】
【分析】
因为是对顶角，根据题意求得的度数，再根据邻补角求得
【详解】
,
又
故答案为：
【点睛】
本题考查了对顶角的性质，邻补角的定义，解二元一次方程组，求得的度数是解题的关键．
38．如图所示：直线与相交于O，已知，是的平分线，则的度数为________．
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【答案】75°．
【分析】
由邻补角的定义可求得∠COB＝150°，然后根据角平分线的定义可求得∠2．
【详解】
解：∵∠1+∠COB＝180°，∠1＝30°，
∴∠COB＝180°﹣30°＝150°．
∵OE是∠BOC的平分线，
∴∠2＝ ∠COB＝75°．
故答案为：75°．
【点睛】
本题考查的是邻补角的定义、角平分线的定义，求得∠COB的度数是解题的关键．
39．如图，AB、CD相交于点O，OB平分．若，则的度数是________．
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【答案】
【分析】
根据对顶角相等可得出∠BOD的度数，根据角平分线的性质可得出∠DOE．
【详解】
解：∵∠AOC和∠BOD是对顶角，
∴∠BOD=∠AOC=30°，
∵OB平分∠DOE，
∴∠DOE=2∠BOD=60°．
故答案为：60°．
【点睛】
此题考查了对顶角及角平分线的性质，属于基础题，比较简单．
40．如图是某城市一座古塔底部平面图，在不能进入塔内测量的情况下，学习兴趣小组设计了如图所示的一种测量方案，学习兴趣小组认为测得的度数就是的度数．其中的数学原理是__________．
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【答案】对顶角相等
【分析】
由对顶角的定义和性质
【详解】
解：∵∠COD与∠AOB互为对顶角
∴∠COD=∠AOB
故答案为：对顶角相等
【点睛】
本题考查对顶角的性质，理解对顶角的性质和定义是关键
三、解答题
41．如图所示，AB和CD相交于点O，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，试说明OM和ON成一条直线．
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【答案】证明过程见解析
【分析】
根据角平分线的性质及对顶角的特点求出∠MON=∠AON+∠AOM=180°，故可得到OM和ON共线．
【详解】
∵ OM平分∠AOC，ON平分∠BOD（已知），
∴ ∠AOC=2∠AOM，∠BOD=2∠BON（角平分线定义），
∵∠AOC=∠BOD（对顶角相等），
∴∠AOM=∠BON（等量代换），
∵∠AON+∠BON=180°（邻补角定义），
∴∠MON=∠AON+∠AOM=180°（等量代换），
∴ OM和ON共线．
【点睛】
此题主要考查邻补角的应用，解题的关键是熟知角平分线与对顶角的性质．
42．（1）如图（1），已知直线a、b相交于点 O，则（1）图中共有几对对顶角 几对邻补角？
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（2）如图（2），已知直线a、b、c、d是经过点O的四条直线，则图（2）中共有几对对顶角（不含平角） 几对邻补角？21教育网
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【答案】（1）2对对顶角，4对邻补角；（2）图中共有12对对顶角，24对邻补角
【分析】
（1）根据对顶角、邻补角的定义判断即可；
（2）先将图（2）拆分成如图的形式，再根据（1）的结论判断即可．
【详解】
解：（1）根据题图可知，图中共有2对对顶角，4对邻补角；
（2）将图（2）拆分为下图：
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通过观察图形．不难发现a、b、c、d四条直线两两相交，最多有6个交点，而由（1）知：每个交点处有两对对顶角，有四对邻补角，2·1·c·n·j·y
对顶角的对数：（对）；邻补角的对数:(对)；
答：图中共有12对对顶角，24对邻补角；
【点睛】
本题考查了对顶角、邻补角的定义；仔细观察图形弄清各个角之间的对顶角关系和邻补角关系是解题的关键．
43．如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝120°，OE平分∠BOC．
（1）求∠BOE的度数；
（2）若OF把∠AOE分成两个角，且∠AOF：∠EOF＝2：3，判断OA是否平分∠DOF？并说明理由．
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【答案】（1）30°；（2）平分，理由见解析．
【分析】
（1）根据邻补角的概念求出，根据角平分线的定义计算，得到答案；
（2）求出，根据题意分别求出，根据角平分线的定义证明即可．
【详解】
解：（1）∵∠AOC＝120°，
∴∠BOC＝180°﹣120°＝60°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE＝∠BOC＝×60°＝30°；
（2）OA平分∠DOF，
理由如下：∵∠BOE＝30°，
∴∠AOE＝180°﹣30°＝150°，
∵∠AOF：∠EOF＝2：3，
∴∠AOF＝60°，∠EOF＝90°，
∵∠AOD＝∠BOC＝60°，
∴∠AOD＝∠AOF，
∴OA平分∠DOF．
【点睛】
本题考查的是对顶角、角平分线的定义、邻补角的概念，掌握对顶角相等、角平分线的定义是解题的关键．
44．如图，点O在直线AB上，∠AOC=∠DOE=90°
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（1）图中除∠AOC，∠DOE外还有哪个角是直角？请写出计算过程．
（2）若OE是∠BOC的角平分线，求∠BOE，∠AOD的度数
【答案】（1）∠BOC是直角，过程见解析；（2）∠BOE=45°，∠AOD=135°
【分析】
（1）根据邻补角的定义即可求解；
（2）根据角平分线的性质及余角补角的定义即可求解．
【详解】
解：（1）∵AB是直线，∠AOC=90°
∴∠BOC=180°-∠AOC=180°-90°=90°
∴∠BOC是直角
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（2）由（1）得∠BOC=90°
∵OE是∠BOC的平分线，
∴∠BOE=∠BOC=×90°=45°．
∵∠DOE=90°
∴∠BOD=∠DOE-∠BOE=90°-45°=45°
∴∠AOD=180°-∠BOD=180°-45°=135°
【点睛】
本题考查了角平分线的有关计算、角的余角、补角的计算，仔细看图找到角之间的关系是解题的关键．
45．一个角的补角比它的余角的2倍大40 ，求这个角的度数．
【答案】40
【分析】
设这个角的度数为x，根据补角和余角的定义列出方程即可．
【详解】
解：设这个角的度数为x，则它的补角为180 -，它的余角为90 -x，
由题意可得：180 -x=2(90 -x)+40 ，
解得x=40 ．
答：这个角的度数为40 ．
【点睛】
本题考查了补角和余角的定义，解题关键是理解补角和余角的定义，根据题目中的等量关系列方程．
46．如图，点，，顺次在同一条直线上，射线平分，射线 平分．
（1）填空： °；
（2）在内部引一条射线，使得°，若°，求的度数．
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【答案】（1）90；（2）
【分析】
（1）根据角平分线的性质即可；
（2）先求的度数，得的度数，最后利用角的差可得结论．
【详解】
解：（1）点，，顺次在同一条直线上，
，
；
（2）
．
【点睛】
本题考查了角的和与差及角平分线的定义，熟知从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线是解题的关键．21·世纪*教育网
47．如图，点O是直线AB上一点，，平分．求的度数．
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【答案】30°
【分析】
根据邻补角的性质可得∠AOC=180°-120°=60°，再根据角平分线的性质可得答案．
【详解】
解：∵点O为直线AB上一点，
∴∠AOB=180°．
∵∠BOC=120°，
∴∠AOC=60°．
∵OD平分∠AOC，
∴∠COD=∠AOC．
∴∠COD=30°．
【点睛】
本题考查角平分线和邻补角以及角平分线的定义，能熟练地运用邻补角互补进行计算是解此题的关键．
48．如图，直线相交于点平分，求：
（1）的度数．
（2）的度数．
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【答案】（1）140°；（2）40°
【分析】
（1）根据平角的定义可得，利用角平分线的定义可得，再根据平角的定义即可求解；
（2）直接利用对顶角相等即可求解．
【详解】
解：（1）∵∠，
∴，
∵OB平分，
∴，
∴；
（2）∵，
∴．
【点睛】
本题考查角的和差，掌握平角的定义、对顶角的性质是解题的关键．
49．如图，与互余，平分，已知．
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（1）若，则___________，____________．
（2）设，，请探究与之间的数量关系．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）由与互余，可得 从而可求解 再结合角平分线可得 再利用角的和差关系可得答案；
（2）由 可得 再结合角平分线的含义可得： 由 可得 整理即可得到答案．
【详解】
解：（1） 与互余，
平分，
故答案为：
（2）
平分，
【点睛】
本题考查的是角的和差关系，角平分线的定义，余角的含义，掌握以上知识是解题的关键．
50．如图，直线相交于点平分，求 和的度数．
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【答案】，．
【分析】
根据平分，，可得，再根据与互补，可以求出，再根据，为直线，可求出的度数．
【详解】
解：平分，
．
与互补，
．
为直线，
．
，
．
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【点睛】
此题主要考查了邻补角性质， 熟悉相关性质是解题的关键．
51．如图，直线AB、CD相交于点O，∠BOD＝40°，按下列要求画图并解答问题：
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（1）利用三角尺，在直线AB上方画射线OE，使∠BOE＝90°；
（2）利用量角器，画∠AOD的平分线OF；
（3）在你所画的图形中，求∠AOD与∠EOF的度数．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）140°，20°
【分析】
（1）（2）根据要求画出图形即可．
（3）利用邻补角的定义，角平分线的性质求出∠AOD，∠AOF即可解决问题．
【详解】
解：（1）如图，射线OE即为所求作．
（2）如图，射线OF即为所求作．
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（3）∵∠AOB是平角，∠BOD＝40°，
∴∠AOD＝180°﹣∠BOD＝140°，
∵OF平分∠AOD，
∴∠AOF＝∠AOD＝70°，
∵∠BOE＝∠AOE＝90°，
∴∠EOF＝∠AOE﹣∠AOF＝90°﹣70°＝20°．
【点睛】
本题考查作图-复杂作图，邻补角的定义，角平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．21*cnjy*com
52．如图，直线AB与CD相交于点O，．
（1）如果，求和的度数．
（2）如果，求的度数．
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【答案】（1）70°，20°；（2）150°
【分析】
（1）根据题意及余角、对顶角的意义可直接进行求解；
（2）设，则，则有，进而根据角的和差关系可求解．
【详解】
解：（1），，
，；
（2）设，则，
，
即，
解得，，
，
．
【点睛】
本题主要考查余补角、对顶角的意义及一元一次方程的应用，熟练掌握余补角、对顶角的意义及一元一次方程的应用是解题的关键．21教育名师原创作品
53．如图，直线、相交于点，．
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（1）的余角是______（填写所有符合要求的角）；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）∠BOD、∠EOF、∠AOC；（2）109°
【分析】
（1）先求得∠BOE和∠FOD为直角，然后依据余角的性质、对顶角的性质进行解答即可；
（2）先依据余角的性质得到∠ODB的度数，然后再由∠FOB=∠FOE+∠EOB求解即可．
【详解】
解：（1）∵∠AOE=90°，
∴∠EOB=90°，
∴∠DOE与∠DOB互余．
∵∠AOC=∠DOB，
∴∠AOC与∠EOD互余．
∵∠COF=90°，
∴∠DOF=90°，
∴∠DOE与∠EOF余角．
故答案为：∠BOD、∠EOF、∠AOC；
（2）∵∠DOE=71°，∠DOE与∠DOB互余，
∴∠DOB=19°．
∴∠BOF=∠BOD+∠FOD=19°+90°=109°．
【点睛】
本题主要考查的是余角的定义，对顶角的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
54．已知，如图直线与相交于点O，，过点O作射线，，．
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（1）求度数；
（2）求的度数；
（3）直接写出图中所有与互补的角．
【答案】（1）60°（2）90°（3）、、
【分析】
（1）根据垂直的定义得到，由对顶角的性质得到，即可得出结论；
（2）根据平角的定义即可得出结论；
（3）根据补角的定义即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵，
∴，
∵，
∴=60°；
（2）∵=60°，
∴；
（3）∵，
，
，
∴与互补的角为：、、．
【点睛】
本题主要考查的是对顶角、邻补角以及角平分线的性质，熟练掌握对顶角、邻补角以及角平分线的性质是解答本题的关键．www-2-1-cnjy-com
55．如图，已知直线和相交于点O，平分，，试求的度数．
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【答案】37.5°
【分析】
先求出∠BOD=75°，根据对顶角相等求出∠AOC=75°，根据角平分线的定义即可求解．
【详解】
解：因为，
所以，
因为和是邻补角，
所以，
即，
解得
因为和是对顶角，
所以，
因为平分，
所以．
【点睛】
本题考查了邻补角，对顶角、角平分线的定义及性质，熟练掌握相关概念和性质是解题关键．
56．如图1，点A、O、B在同一条直线 ( http: / / www.21cnjy.com )上，∠BOC=40°，OD平分∠AOC．从点O出发画一条射线OE，使得∠COE=90°．请画出满足条件的射线OE，并求出∠DOE的度数．【出处：21教育名师】
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（1）如图2，已画出射线OE的第一种位置，请将解题过程补充完整：
（解析）解：因为∠AOB=180°，∠BOC=40°，
所以∠AOC=∠________ ∠________=________°．
因为OD平分∠AOC，
所以∠COD=∠________=________°．
因为∠COE=90°，
所以∠DOE=∠________ ∠________=________°．
（2）请在图3中画出射线OE的第二种位置，并直接写出此种情况下∠DOE的度数．
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【答案】（1） AOB ，BOC ，140°； AOC，70°；COE ， COD ，20°；（2）见解析，∠DOE=160°
【分析】
（1）根据邻补角的定义求出∠AOC，再由角平分线的性质得出∠COD，最后根据∠DOE=∠ COE ∠ COD即可得出答案；【版权所有：21教育】
（2）根据邻补角的定义求出∠AOC，再由角平分线的性质得出∠COD，最后根据∠DOE=∠ COE+∠ COD即可得出答案．
【详解】
解：（1）因为∠AOB=180°，∠BOC=40°，
所以∠AOC=∠ AOB ∠ BOC = 140 °．
因为OD平分∠AOC，
所以∠COD=∠ AOC = 70 °．
因为∠COE=90°，
所以∠DOE=∠ COE ∠ COD = 20 °．
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（2）射线OE的位置如下图所示，此时∠DOE=160°．
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因为∠AOB=180°，∠BOC=40°，
所以∠AOC=∠ AOB ∠ BOC =140°．
因为OD平分∠AOC，
所以∠COD=∠ AOC=70°．
因为∠COE=90°，
所以∠DOE=∠ COE +∠ COD =90°+70°=160°．
【点睛】
本题考查了邻补角定义，角平分线的定义以及角的计算，准确识图是解题的关键．
57．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，OF⊥OC，
（1）图中∠AOF的余角是________ (把符合条件的角都填出来)；
（2）如果∠AOC=140°，那么根据________，可得∠BOD=________；
（3）如果∠1=31°，求∠2和∠3的度数．
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【答案】（1）∠BOC（或∠2）、∠AOD；（2）对顶角相等，140°；（3）∠2=62 ，∠3= 28°．
【分析】
（1）由垂线的定义和角的互余关系即可得出结果；
（2）由对顶角相等即可得出结果；
（3）由角平分线的定义求出∠AOD，由对顶角相等得出∠2的度数，再由角的互余关系即可求出∠3的度数．
【详解】
解：（1）∵OF⊥OC，
∴∠COF=∠DOF=90°，
∴∠AOF+∠BOC=90°，∠AOF+∠AOD=90°，
∴∠AOF的余角是∠BOC、∠AOD；
故答案为：∠BOC（或∠2）、∠AOD；
（2）∵∠AOC=140°，
∴∠BOD=∠AOC=140°；
故答案为：对顶角相等； 140°；
（3）由已知可得，
由OE平分∠AOD可得，
∠DOE=∠AOE=∠1=31
所以∠AOD=∠2=62
又OF⊥OC，
所以∠3=90 －∠AOD=90°－62 =28°．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义、对顶角相等的性质、互为余角关系；熟练掌握对顶角相等的性质和角平分线的定义是解决问题的关键．
58．如图，是直线上一点，以为顶点作，且，位于直线两侧，平分．
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（1）当时，求的度数；
（2）通过（1）的计算，请你猜想和的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）100°；（2），理由见解析．
【分析】
（1）由余角的定义解得，再由角平分线的性质解得，最后由补角定义解得的度数；
（2）由余角的定义解得，再由角平分线的性质解得，最后由补角定义解得的度数．
【详解】
解：（1）∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
（2），理由如下：
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
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【点睛】
本题考查余角与补角、角平分线的性质、角的计算等知识，是常见考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
59．如图1，已知平分．
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（1）若的余角比小．
①求的度数﹔
②过点作射线，使得∠AOC=4∠AOD，求的度数．
（2）如图2，与互为补角，在的内部作射线，使得∠COE=4∠COD，请探究与之间的数量关系，写出你的结论并说明理由．21世纪教育网版权所有
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【答案】（1）①；②或；（2）．
【分析】
（1）①由角平分线的性质解得，根据题意的余角比小及余角的定义解得，整理即可解题；
②分两种情况讨论，当射线在内部时，或当射线在外部时，由角平分线的性质结合角的和差即可解题；
（2）由补角定义，解得，再根据角的和差得到，结合角平分线的性质，解得，最后结合题意整理即可解题．
【详解】
（1）①平分
若的余角比小
则
②当射线在内部时，如图，
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平分
；
当射线在外部时，如图，
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又
综上所述，或；
（2）与互为补角，
，
，
．
【点睛】
本题考查角平分线的性质、补角、余角、角度和差等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
60．已知：如图，O是直线AB上的一点，∠COD＝90°，OC平分∠AOE，∠BOD＝30°，求∠DOE的度数．
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【答案】∠DOE=30°．
【分析】
先根据补角的定义求出∠AOC的度数，再由角平分线的性质得出∠COE的度数，根据∠DOE＝∠COD﹣∠COE即可得出结论．
【详解】
解：∵∠BOD＝30°，∠COD＝90°，
∴∠AOC＝180°﹣∠BOD﹣∠COD＝60°．
∵OC平分∠AOE，
∴∠COE＝∠AOC＝60°．
∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝30°．
【点睛】
本题考查的是角的计算，熟知角平分线的定义、补角及垂直的定义是解答此题的关键．
61．如图，已知直线，相交于点，平分，平分．若，
求：（1）的度数；
（2）的度数．
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【答案】（1）40°；（2）150°
【分析】
（1）根据邻补角的性质，可求出的度数，再根据角平分线的性质即可求出的度数，
（2）根据邻补角的性质，可求出的度数，再根据角平分线的性质，求出，在根据对顶角的性质求出，即可求出的度数．
【详解】
（1）∵直线，相交于点，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴．
（2）∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
【点睛】
本题考查了对顶角，邻补角，角平分线的性质，熟练掌握这些性质是解题关键．
62．如图，点O是直线AB上一点，OD，OE分别平分∠AOC和∠BOC．
（1）若∠AOC=40°，求∠DOE的度数．
（2）若∠AOC=α，求∠DOE的度数．
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【答案】（1）90°；（2）90°．
【分析】
（1）根据∠AOC＝40°，则可计算出∠BOC＝140°，再根据角平分线的定义得到∠COD＝∠AOC＝20°，∠COE＝∠BOC＝70°，然后利用∠DOE＝∠COD＋∠COE进行计算，即可求∠DOE的度数；
（2）根据∠AOC＝α，则可计算出∠BOC＝180° α，再根据角平分线的定义得到∠COD＝∠AOC＝α，∠COE＝∠BOC＝90° α，然后利用∠DOE＝∠COD＋∠COE进行计算即可．
【详解】
解：（1）∵∠AOC＝40°，
∴∠BOC＝180° ∠AOC＝140°．
∵OD，OE分别平分∠AOC和∠BOC，
∴∠COD＝∠AOC＝×40°＝20°，
∠COE＝∠BOC＝×140°＝70°．
∴∠DOE＝∠COD+∠COE＝20°+70°＝90°．
（2）∵∠AOC＝α，
∴∠BOC＝180° ∠AOC＝180° α．
∵OD，OE分别平分∠AOC和∠BOC，
∴∠COD＝∠AOC＝α，
∠COE＝∠BOC＝（180 α）＝90° α．
∴∠DOE＝∠COD＋∠COE＝α＋（90° α）＝90°．
【点睛】
本题考查了角的计算问题，解决本题的关键是掌握角平分线与邻补角的定义．
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