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6.3 余角补角对顶角
【提升训练】
一、单选题
1．如图所示，直线，交于点，射线OM平分．若，则等于（ ）
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A． B． C． D．
2．阅读下列语句：（1）延长射线；（2）平角是一条射线；（3）线段、射线都是直线的一部分；（4）锐角一定小于它的余角；（5）大于直角且小于平角的角是钝角；（6）一个锐角的补角与这个锐角的余角的差是；（7）相等的两个角是对顶角；（8）若，则这三个角互补；（9）互为邻补角的两个角的平分线互相垂直．其中正确的说法有（ ）21·世纪*教育网
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．将一副直角三角尺按如图所示的不同方式摆放，则图中锐角∠α与∠β相等的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
4．已知一个角是30°，那么这个角的补角的度数是（ ）
A．120° B．150°
C．60° D．30°
5．如图，，为外的一个锐角，且，射线平分，平分，则的度数为（ ）．
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
6．将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中∠α 与∠β 互余的是（ ）
A． B．
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
7．如图，一副三角尺按不同的位置摆放，下列摆放方式中∠α与∠β互余的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B．
C． D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
8．若一个角的补角等于它的余角的3倍，则这个角为（ ）
A．75° B．60° C．45° D．30°
9．若将一副三角板按如图所示的不同方式摆放，则图中∠a与∠β相等的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D．
10．如图，O是直线AB上一点，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，则下列说法错误的是（ ）
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A．∠DOE为直角 B．∠DOC和∠AOE互余
C．∠AOD和∠DOC互补 D．∠AOE和∠BOC互补
11．如图，已知，以点O为圆心，以任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点E，F，再以点E为圆心，以EF长为半径画弧，交弧于点D，画射线若，则的补角的度数为 【来源：21·世纪·教育·网】
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A． B． C． D．
12．如图，一副三角尺按不同的位置摆放，摆放位置中∠α与∠β一定相等的图形个数共有（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
13．一个角的补角比这个角的余角3倍还多10°，则这个角的度数为（ ）
A．140° B．130° C．50° D．40°
14．如图，一副三角板（直角顶点重合）摆放在桌面上，若∠AOC＝130°，则∠BOD等于（ ）
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A．30° B．45° C．50° D．60°
15．已用点A、B、C、D、E的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
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A．∠AOB＝130° B．∠AOB＝∠DOE C．∠DOC与∠BOE互补 D．∠AOB与∠COD互余
16．如果与互补，与互余，则与的关系是（ ）
A． B．
C． D．以上都不对
17．有下列四种说法：①锐角的补角一定是 ( http: / / www.21cnjy.com )钝角；②一个角的补角一定大于这个角；③如果两个角是同一个角的补角，那么它们相等；④锐角和钝角互补．其中正确的是（ ）2·1·c·n·j·y
A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④21*cnjy*com
18．一副三角板按如图所示的方式摆放，且∠1比∠2大50°，则∠2的度数为（ ）
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A．20° B．50° C．70° D．30°
19．已知：如图，∠AOB＝∠COD＝90°，则∠1与∠2的关系是( )
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A．互余 B．互补 C．相等 D．无法确定
20．下列说法中，正确的是（ ）
①射线AB和射线BA是同一条射线；
②若AB=BC，则点B为线段AC的中点；
③同角的补角相等；
④点C在线段AB上，M，N分别是线段AC，CB的中点．若MN=5，则线段AB=10．
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
21．如图,将一副三角尺按不同的位置摆放，下列摆放方式中与互余的是（ ）
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A．图① B．图② C．图③ D．图④
22．如果和互补，且＞，则下列表示的余角的式子中：①；② ；③；④，正确的是（ ）21·cn·jy·com
A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．①②
23．下列说法正确的有( )．
①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角；④若两个角不是对顶角，则这两个角不相等．www.21-cn-jy.com
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
24．如图，将两块三角板的直角顶点重合后叠放在一起，若∠1=40°，则∠2的度数为（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
25．如果两个角互为补角，而其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角是（ ）．
A．42°，138°或40°，130°; B．42°，138°;
C．30°，150°; D．以上答案都不对
26．如图，按照上北下南，左西右东的规定画出方向十字线，∠AOE＝m°，∠EOF＝90°，OM、ON分别平分∠AOE和∠BOF，下面说法：【出处：21教育名师】
①点E位于点O的北偏西m°；②图中互余的角有4对；③若∠BOF＝4∠AOE，则∠DON＝54°；④若，则n的倒数是，其中正确有（ ）21教育网
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A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
27．如果∠l与∠2互补，∠2为锐角，则下列表示∠2余角的式子是（ ）
A．90°-∠1 B．∠1 - 90° C．∠1 + 90° D．180°-∠1
28．已知与互补，与互余，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
29．一个角的余角比这个角的一半大15°，则这个角的度数为（ ）
A．70° B．60° C．50° D．35°
30．一个角的余角是它的补角的，则这个角等于 （ ）
A．60° B．45° C．30° D．75°
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
31．如图，直线和直线相交于点，，平分，那么_______度．
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32．如图直线AB、CD相交于点O，∠DOB=∠DOE，OF平分∠AOE，若∠AOC=36°，则∠EOF=________．
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33．我们知道两直线交于一点，对顶角有2对，三条直线交于一点，对顶角有6对，四条直线交于一点，对顶角有12对，…21教育名师原创作品
（1）10条直线交于一点，对顶角有____对．
（2）n（n≥2）条直线交于一点，对顶角有_______对．
34．如图，和交于点，则的邻补角是___；的对顶角是___；若，则___，___，___．
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35．如图，某海域有三个小岛 ( http: / / www.21cnjy.com )A，B，O，在小岛O处观测到小岛A在它北偏东62°的方向上，观测到小岛B在它南偏东38°12＇的方向上，则∠AOB的补角的度数是_____．
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三、解答题
36．如图，已知直线AB，CD相交于点O，射线OE把∠AOC分成两部分．
（1）写出图中∠AOC的对顶角 ，∠COE的补角是 ；
（2）已知∠AOC＝60°，且∠COE：∠AOE＝1：2，求∠DOE的度数．
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37．如图1，将一副三角板的直角顶点叠放在一起．
（观察分析）
（1）若，则____________；若，则__________．
（猜想探究）
（2）请你猜想与有何关系，并说明理由；
（拓展应用）
（3）如图2，若将两个同样的三角尺锐角的顶点重合在一起，请你猜想与有何关系，并说明理由．
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38．如图，直线、相交于点，平分，．
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（1）若，求的度数；（请完成下列解答过程）
解：（1）因为平分，
所以．
所以，
又因为，
所以；
（2）若，求度数．（请仿照（1）写出解答过程）
39．如图1，点是直线上一点，，平分．
（1）求的度数；请你补全下列解题过程：
∵点为直线上一点，
∴___________；
∵，
∴___________；
∵平分，
∴（ ）
∴___________．
（2）在（1）条件下如图2，若是内部一条射线，满足，求的度数．
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40．已知，如图，O为直线AB上一点，∠DOE＝90°．若∠AOC＝130°，OD平分∠AOC．
（1）求∠BOD的度数；
（2）通过计算说明OE是否平分∠BOC．
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41．如图，直线AB、CD交于点O，∠AOM=90°
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（1）如图1，若OC平分∠AOM，求∠AOD的度数；
（2）如图2，若∠BOC=4∠NOB，且OM平分∠NOC，求∠MON的度数
42．如图1，直线AB上任取一 ( http: / / www.21cnjy.com )点O，过点O作射线OC（点C在直线AB上方），且∠BOC＝2∠AOC，以O为顶点作∠MON＝90°，点M在射线OB上，点N在直线AB下方，点D是射线ON反向延长线上的一点．
（1）求∠COD的度数；
（2）如图2，将∠MON绕点O逆时针旋转 ( http: / / www.21cnjy.com )α度（0°＜α＜180°），若三条射线OD、OC、OA，当其中一条射线与另外两条射线所夹角的度数之比为1：2时，求∠BON的度数．21世纪教育网版权所有
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43．如图，直线与相交于点，，分别是，的平分线．
（1）写出的补角；
（2）若，求和的度数；
（3）射线与之间的夹角等于多少度？请说明理由．
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44．如图，O为直线AB上一点，∠AOC与∠AOD互补，OM、ON分别是∠AOC、∠AOD的平分线．
（1）根据题意，补全下列说理过程：
因为∠AOC与∠AOD互补，
所以∠AOC+∠AOD＝180°．
又因为∠AOC+∠ ＝180°，
根据 ，所以∠ ＝∠ ．
（2）若∠MOC＝72°，求∠AON的度数．
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45．已知O是直线上的一点，是直角，平分．
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（1）如图a．①若，求的度数；
②若，直接写出的度数．（用含的式子表示）
（2）将图a中的绕点O顺时针旋转至图b的位置，试探究和之间的数量关系，写出你的结论，并说明理由．21cnjy.com
46．已知与互补，射线平分，设，．
（1）如图1，在的内部，
①当时，求的值．
②当时，求的度数．
（2）如图2，在的外部，，求与满足的等量关系．
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47．如图，直线，相交于点，，平分．
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（1）若，求的度数；
（2）若，求的度数．
48．如图，已知和都是直角，
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（1）填空：
①与互余的角有__________；
②和的关系是_____________．
（2）若，求的度数．
49．已知：如图，是直线上一点，，作射线．
（1）如图，若平分，，则______°（直接写出答案）；
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（2）如图，若平分，比大36°，求的度数；
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（3）如图，若平分，当时，能否求出的度数？若可以，求出度数；若不可以，请说明理由．
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50．如图，直线与交于点O，垂足为O，平分．
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（1）若，求和的度数；
（2）若，则___________．（用含的代数式表示）
51．如图，已知是直线上一点，平分，，，求的度数．
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52．已知和是互为邻补角，，将一个三角板的直角顶点放在点处（注：，）．
（1）如图，使三角板的短直角边与射线重合，则 ．
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（2）将三角板如图放置，长直角边恰好平分，请说明所在射线是的平分线．
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（3）将三角板如图放置，使时，求的度数．
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（4）拓展：将图中的三角板绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第秒时，恰好与直线重合，求的值．（注：“旋转一周”是指三角板在这个平面内绕着这个平面内的点转动一周．)www-2-1-cnjy-com
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53．己知点O是直线上的一点，，是的平分线，
（1）当点C、E、F在直线的同侧时（如图1所示）
①若，则_______；
②若，则_____．
（2）当点C与点E、F在直线的两旁（如图2所示）时，（1）中②是否仍然成立？请给出你的结论并说明理由．【版权所有：21教育】
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54．如图，已知、、三点在同一条直线上，平分，平分．
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（1）若，求的度数；
（2）若，求的度数；
（3）请写出图中与互余的角．
55．如图和都是直角．
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（1）如果，则 ；
（2）找出图中一组相等的锐角为： ．
（3）选择，若变小，将变（ ）；
A．大 B．小 C．不变
（4）在图中，利用能够画直角的工具在图上再画一个与相等的角，不写做法，保留作图痕迹．
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56．综合与实践
如图，为直线上一点，过点在的下方作射线，将一直角三角板按如图所示的方式摆放（）．
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（1）将图①中的三角板绕点顺时针旋转一定的角度得到图②，使边恰好平分，问是否平分？请说明理由．21*cnjy*com
（2）若，将图①中的三角板绕点顺时针旋转一定的角度得到图③
①使边在的内部，那么与之间存在怎样的数量关系？请说明理由．
②若继续旋转三角板，直到与重合，请直接写出与之间的数量关系．
57．小东遇到这样一个问题：如图，有两条线段，作线段，求作点，使点在线段的延长线上，且．
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小东是这样思考的：首先通过分析明确点在的延长线上，画出示意图，如图所示：然后截取，这时发现，进而分析要使，则需．
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因此，小东找到了解决问题的方法：延长到，并使，利用直尺找到的中点，这样就得到了．
根据小东的画法我们可知，线段，点在线段的延长线上，且，点为的中点
请你根据以上条件说出的理由
（2）类比迁移：
①类比小东的画法，由线段迁移到角，完成画图：如图，，请画一个，使与互补，要求：保留画图痕迹，并简单叙述画图步骤．【来源：21cnj*y.co*m】
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②如图，已知和互补，射线平分，射线平分．若，求的度数．
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58．从一个锐角顶点出发在角的内部引一条射线，把分成两个角，若其中一个角与互余，则这条射线叫做锐角的余分线，这个角叫做锐角的余分角．
例如：图①中，当时，与互余，那么是的余分线，是的余分角．
（1）若，是它的余分线，则_________；
（2）如图②，是平角，是的余分角，，试说明．
（3）如图③，在（2）的条件下，若是的平分线，，求度数．
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59．如图①，已知：射线OC⊥AB，垂足为O，∠DOE＝90°，OM平分∠BOD．
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（1）∠BOE与∠COD的关系是 ，理由是： ；
（2）探索∠AOD与∠COM的关系，并说明理由；
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（3）如图②，在上述条件下，将∠DOE旋转至直线AB的下方，请继续探索∠AOD与∠COM的关系，并说明理由．2-1-c-n-j-y
60．如图1，∠AOB＝∠COD＝90°．
（1）若∠BOC＝2∠AOC，求∠BOC的大小；
（2）试探究∠BOC与∠DOA之间的数量关系；
（3）若把图1中∠AOB绕点O转动到图2的位置，试说明（2）中∠BOC与∠DOA之间的数量关系还成立吗？
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61．已知、和都是直角．
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（1）如图1，将和的顶点重合如图放置在同一平面内，若，则______，______，______；
（2）如图2，将、和的顶点O重合如图放置在同一平面内，若，，求的度数；
（3）如图3，将、和的顶点重合如图放置在同一平面内，若平分，且，请用含的代数式表示（直接写出结果即可）
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6.3 余角补角对顶角
【提升训练】
一、单选题
1．如图所示，直线，交于点，射线OM平分．若，则等于（ ）
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A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据计算的度数，利用平角的定义计算即可．
【详解】
∵OM平分，，
，
( http: / / www.21cnjy.com / )
．
故选：．
【点睛】
本题考查了角的平分线，平角的定义，熟记角的定义，平角的定义是解题的关键．
2．阅读下列语句：（1）延长射线；（2）平角是一条射线；（3）线段、射线都是直线的一部分；（4）锐角一定小于它的余角；（5）大于直角且小于平角的角是钝角；（6）一个锐角的补角与这个锐角的余角的差是；（7）相等的两个角是对顶角；（8）若，则这三个角互补；（9）互为邻补角的两个角的平分线互相垂直．其中正确的说法有（ ）21cnjy.com
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】
利用对顶角，邻补角，直线，射线，线段，角的概念，余角和补角等知识点逐项进行分析即可作出判断．
【详解】
解：（1）射线有起点，终点在无穷远处，无法延长，故（1）错误；
（2）角的定义是具有公共点的两条射线组成的图形．故（2）错误；
（3）在直线上画两点，两点之间的部分就是一条 ( http: / / www.21cnjy.com )线段，在直线上画一点，这点把直线分成两部分，这两部分就是两个相反方向的射线．所以线段和射线都是直线的一部分．故（3）正确；2·1·c·n·j·y
（4）两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角．如45°+45°=90°，故（4）错误；
（5）根据钝角的定义可知，大于直角而小于平角的角叫做钝角，故（5）正确；
（6）因为补角=180°-这个角，而余角=90°-这个角，故（6）项正确；
（7）相等的两个角有很多情况如是两条直线平行时，同位角相等等，故（7）错误；
（8）两个角的和等于180°就说这两个角互为补角，故（8）错误；
（9）根据角平分线的性质，互为邻补角的两个角的平分线互相垂直，故（9）正确．
所以（3）（5）（6）（9）正确．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查学生对对顶角，邻补角，直 ( http: / / www.21cnjy.com )线，射线，线段，角的概念，余角和补角等知识点的理解和掌握，此题难度不大，但涉及到的知识点较多，过于琐碎，很容易混淆．21·世纪*教育网
3．将一副直角三角尺按如图所示的不同方式摆放，则图中锐角∠α与∠β相等的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】B
【分析】
根据余角和补角的概念解答．
【详解】
A、∠α与∠β互余，不一定相等；
B、∠α=∠β；
C、∠α=∠β，但∠α与∠β都是钝角；
D、∵∠α=90°-45°=45°，∠β=90°-30°=60°，
∴∠α≠∠β；
故选：B．
【点睛】
本题考查的是余角和补角，掌握余角和补角的概念是解题的关键．
4．已知一个角是30°，那么这个角的补角的度数是（ ）
A．120° B．150°
C．60° D．30°
【答案】B
【分析】
根据互补的两角之和为180°即可得出这个角的补角．
【详解】
解：这个角的补角．
故答案为：B．
【点睛】
本题考查了补角的知识，属于基础题，掌握互补的两角之和为180°是关键．
5．如图，，为外的一个锐角，且，射线平分，平分，则的度数为（ ）．
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据题意，先求得∠COB的值；O ( http: / / www.21cnjy.com )M平分∠BOC，ON平分∠AOC，则可求得∠AOM、∠AON的值；∠MON=∠AOM+∠AON，计算得出结果．21世纪教育网版权所有
【详解】
∵∠AOB=90°，且∠AOC=40°，
∴∠COB=∠AOB+∠AOC=90°+40°=130°，
∵OM平分∠BOC，
∴∠BOM=∠BOC=65°，
∴∠AOM=∠AOB-∠BOM=25°，
∵ON平分∠AOC，
∴∠AON=∠AOC=20°，
∴∠MON=∠AOM+∠AON=45°．
∴∠MON的度数是45°．
故选：A．
【点睛】
本题考查了余角的计算，角的计算，角平分线的定义．首先确立各角之间的关系，根据角平分线定义得出所求角与已知角的关系转化是解题的关键．
6．将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中∠α 与∠β 互余的是（ ）
A． B．
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】C
【分析】
根据图形，结合互余的定义判断即可．
【详解】
解：A、∠α与∠β不互余 ( http: / / www.21cnjy.com )，故本选项错误；
B、∠α与∠β不互余，故本选项错误；
C、∠α与∠β互余，故本选项正确；
D、∠α与∠β不互余，∠α和∠β互补，故本选项错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查了余角和补角的应用，掌握余角和补角的定义是解题的关键．
7．如图，一副三角尺按不同的位置摆放，下列摆放方式中∠α与∠β互余的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B．
C． D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】A
【分析】
根据同角的余角相等，等角的补角相等和邻补角的定义对各小题分析判断即可得解．
【详解】
A、图中∠α+∠β＝180°﹣90°＝90°，∠α与∠β互余，故本选项正确；
B、图中∠α＝∠β，不一定互余，故本选项错误；
C、图中∠α+∠β＝180°﹣45°+180°﹣45°＝270°，不是互余关系，故本选项错误；
D、图中∠α+∠β＝180°，互为补角，故本选项错误．
故选：A．
【点睛】
此题考查余角和补角，熟记概念与性质是解题的关键．
8．若一个角的补角等于它的余角的3倍，则这个角为（ ）
A．75° B．60° C．45° D．30°
【答案】C
【分析】
根据互补的两角之和为180°，互余的两角之和为90°，利用方程思想求解即可．
【详解】
解：设这个角为x，则余角为90°-x，补角为180°-x，
由题意得180°-x=3（90°-x），
解得：x=45．
故选：C．
【点睛】
本题考查了余角和补角的知识，属于基础题，掌握互补的两角之和为180°，互余的两角之和为90°是关键．
9．若将一副三角板按如图所示的不同方式摆放，则图中∠a与∠β相等的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D．
【答案】B
【分析】
A选项，由图形可得两角互余，不合题 ( http: / / www.21cnjy.com )意；B选项，由图形可分别求出∠α与∠β的度数，即可做出判断；C选项，由图形可分别求出∠α与∠β的度数，即可做出判断；D选项，由图形得出两角的关系，即可做出判断．
【详解】
解：A、由图形得：∠α+∠β＝90°，不合题意；
B、由图形得：∠β＝45°，∠α＝90°﹣45°＝45°，符合题意；
C、由图形得：∠α＝90°﹣45°＝45°，∠β＝90°﹣30°＝60°，不合题意；
D、由图形得：90°﹣∠β＝60°﹣∠α，即∠α+30°＝∠β，不合题意．
故选B．
【点睛】
本题主要考查余角的性质，解决本题的关键是要熟练掌握余角的性质.
10．如图，O是直线AB上一点，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，则下列说法错误的是（ ）
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A．∠DOE为直角 B．∠DOC和∠AOE互余
C．∠AOD和∠DOC互补 D．∠AOE和∠BOC互补
【答案】D
【分析】
根据角平分线的性质，可得∠BOD＝∠COD，∠COE＝∠AOE，再根据余角和补角的定义求解即可．
【详解】
解：∵OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，
∴∠BOD＝∠COD＝∠BOC，∠AOE＝∠COE＝∠AOC，
∵∠AOC+∠COB＝180°，∴∠COE+∠COD＝90°，
A、∠DOE为直角，说法正确；
B、∠DOC和∠AOE互余，说法正确；
C、∠AOD和∠DOC互补，说法正确；
D、∠AOE和∠BOC互补，说法错误；
故选D．
【点睛】
本题考查了余角和补角的知识，解答本题的关键是理解余角和补角的定义，掌握角平分线的性质．
11．如图，已知，以点O为圆心，以任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点E，F，再以点E为圆心，以EF长为半径画弧，交弧于点D，画射线若，则的补角的度数为 www-2-1-cnjy-com
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A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据作一个角等于一直角的作法即可得出结论．
【详解】
由题意可得：，
，
的补角的度数，
故选C．
【点睛】
本题考查的是余角与补角，熟知作一个角等于已知角的步骤是解答此题的关键．
12．如图，一副三角尺按不同的位置摆放，摆放位置中∠α与∠β一定相等的图形个数共有（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】
根据直角三角板可得第一个图形∠α+∠β=90°；根据余角和补角的性质可得第二个图形、第四个图形中∠α=∠β，第三个图形∠α和∠β互补．【来源：21cnj*y.co*m】
【详解】
根据角的和差关系可得第一个图形∠α+∠β=90°，
根据同角的余角相等可得第二个图形∠α=∠β，
第三个图形∠α和∠β互补，
根据等角的补角相等可得第四个图形∠α=∠β，
因此∠α=∠β的图形个数共有2个，
故选B．
【点睛】
此题主要考查了余角和补角，关键是掌握余角和补角的性质：等角的补角相等．等角的余角相等．
13．一个角的补角比这个角的余角3倍还多10°，则这个角的度数为（ ）
A．140° B．130° C．50° D．40°
【答案】C
【分析】
根据互为余角的两个角的和等于90°，互为补角的两个角的和等于180°，列出方程，然后解方程即可．
【详解】
设这个角为α，则它的余角为90°-α，补角为180°-α，
根据题意得，180°-α=3（90°-α）+10°，
180°-α=270°-3α+10°，
解得α=50°．
故选C．
【点睛】
本题考查了互为余角与补角的性质，表示出这个角的余角与补角然后列出方程是解题的关键．
14．如图，一副三角板（直角顶点重合）摆放在桌面上，若∠AOC＝130°，则∠BOD等于（ ）
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A．30° B．45° C．50° D．60°
【答案】C
【分析】
根据题意，将∠AOC分解为∠AOB＋∠BOC ( http: / / www.21cnjy.com )，而∠AOB＝90°，故可求出∠BOC的度数，而∠BOD＝∠COD－∠BOC，而∠COD＝90°，故可得到答案.
【详解】
∵∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝130° ( http: / / www.21cnjy.com )，∠AOB＝90°，∴∠BOC＝130°－90°＝40°，∵∠BOD＝∠COD－∠BOC，∠COD＝90°，∴∠BOD＝90°－40°＝50°，故答案选C.
【点睛】
本题主要考查角的运用，注意结合图形，发现角与角之间的关系，利用公共角的作用．
15．已用点A、B、C、D、E的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
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A．∠AOB＝130° B．∠AOB＝∠DOE C．∠DOC与∠BOE互补 D．∠AOB与∠COD互余
【答案】C
【分析】
由题意得出∠AOB=50°，∠DOE=40°，∠DOC=50°，∠BOE=130°，得出∠DOC+∠BOE=180°即可．
【详解】
解：∵∠AOB=50°，∠DOE=40°，∠DOC=50°，∠BOE=130°，
∴∠DOC+∠BOE=180°；
故选C．
【点睛】
本题考查了余角和补角；根据题意得出各个角的度数是关键．
16．如果与互补，与互余，则与的关系是（ ）
A． B．
C． D．以上都不对
【答案】C
【分析】
根据∠1与∠2互补，∠2与∠3互余，先把∠1、∠3都用∠2来表示，再进行运算．
【详解】
∵∠1+∠2=180°
∴∠1=180°-∠2
又∵∠2+∠3=90°
∴∠3=90°-∠2
∴∠1-∠3=90°，即∠1=90°+∠3．
故选C．
【点睛】
此题主要记住互为余角的两个角的和为90°，互为补角的两个角的和为180度．
17．有下列四种说法：①锐 ( http: / / www.21cnjy.com )角的补角一定是钝角；②一个角的补角一定大于这个角；③如果两个角是同一个角的补角，那么它们相等；④锐角和钝角互补．其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④
【答案】B
【分析】
要判断两角的关系，可根据：两角互余，和为90°，互补和为180°，对各个选项一一判断即可．
【详解】
设一个角为∠α，则与它互补的角为∠β=180°-∠α.
①当∠α为锐角时，∠α＜90°，
∴∠β＞90°，
∴∠β为钝角，①正确；
②同理，若∠α为钝角，则它的补角∠β为锐角，∠β＜∠α，②不正确；
③设∠α+∠β=180°，∠γ+∠β=180°，
∴∠α=∠γ，③正确；
④30°的角与120°的角满足一个是锐角一个是钝角，但是不互补，故④不正确.
故只有①③成立.
故选B.
【点睛】
本题主要考查补角的定义及性质.熟练掌握补角的定义和性质进行判断是解题的关键.
18．一副三角板按如图所示的方式摆放，且∠1比∠2大50°，则∠2的度数为（ ）
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A．20° B．50° C．70° D．30°
【答案】A
【解析】
【分析】根据余角、补角的定义进行计算即可得．
【详解】根据图示可知∠1+∠2=90°，
根据题意可知∠1=∠2+50°，
所以∠2=（90°-50°）÷2=20°，
故答案为20°.
【点睛】本题考查了余角的概念，互为余角的两角和为90度，解题的关键在于准确从图中找出两角之间的数量关系，做出判断.21*cnjy*com
19．已知：如图，∠AOB＝∠COD＝90°，则∠1与∠2的关系是( )
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．互余 B．互补 C．相等 D．无法确定
【答案】B
【分析】
根据周角等于360°列式计算即可得解．
【详解】
∵∠AOB=∠COD=90°，∠l+∠AOB+∠DOC+∠2=360°，
∴∠1+90°+90°+∠2=360°，
∴∠l+∠2=180°，
即∠1与∠2互补，
故选B．
【点睛】本题考查了余角和补角，根据周角等于360°求出∠1与∠2的和是解题的关键．
20．下列说法中，正确的是（ ）
①射线AB和射线BA是同一条射线；
②若AB=BC，则点B为线段AC的中点；
③同角的补角相等；
④点C在线段AB上，M，N分别是线段AC，CB的中点．若MN=5，则线段AB=10．
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
【答案】D
【解析】
①射线AB和射线BA不是 ( http: / / www.21cnjy.com )同一条射线，错误；②若AB=BC，点B在线段AC上时，则点B为线段AC的中点，错误；③同角 的补角相等，正确；④点C在线段AB上，M，N分别是线段AC，CB的中点．若MN=5，则线段AB=10，正确，21教育名师原创作品
故选D．
【点睛】本题考查了直线、射线、线段；两点间的距离；余角和补角等知识，注意基本概念的掌握是解题的关键．
21．如图,将一副三角尺按不同的位置摆放，下列摆放方式中与互余的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．图① B．图② C．图③ D．图④
【答案】A
【详解】
分析：根据平角的定义，同角的余角相等，等角的补角相等和邻补角的定义对各小题分析判断即可得解．
详解：图①，∠α+∠β=180°﹣90°，互余；
图②，根据同角的余角相等，∠α=∠β；
图③，根据等角的补角相等∠α=∠β；
图④，∠α+∠β=180°，互补．
故选A．
点睛：本题考查了余角和补角，是基础题，熟记概念与性质是解题的关键．
22．如果和互补，且＞，则下列表示的余角的式子中：①；② ；③；④，正确的是（ ）【出处：21教育名师】
A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．①②
【答案】B
【详解】
解：∵∠α与∠β互补，∴∠β=180°﹣∠α，∠α=180°﹣∠β，∴90°﹣∠β表示∠β的余角，∴①正确；
∠α﹣90°=180°﹣∠β﹣90°=90°﹣∠β，∴②正确；
180°﹣∠α=∠β，∴③错误；
（∠α﹣∠β）=（180°﹣∠β﹣∠β）=90°﹣∠β，∴④正确；
故选B．
【点睛】
本题考查了对余角和补角的 ( http: / / www.21cnjy.com )理解和运用，注意：∠α与∠β互补，得出∠β=180°﹣∠α，∠α=180°﹣∠β；∠β的余角是90°﹣∠β，题目较好，难度不大．
23．下列说法正确的有( )．
①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角；④若两个角不是对顶角，则这两个角不相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【详解】
解：②对顶角要符合两直线相交构成的没有公共边的两个相对的角是对顶角，但相等的角不一定是对顶角；
④例如30°与30°的角不一定是对顶角，但这两个角一定相等，故②④错误；
正确的有①③两个．
故选B．
24．如图，将两块三角板的直角顶点重合后叠放在一起，若∠1=40°，则∠2的度数为（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
【答案】C
【详解】
如图：
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵∠1+∠BOC=90°，
∠2+∠BOC=90°，
∴∠2=∠1=40°.
故选：C.
25．如果两个角互为补角，而其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角是（ ）．
A．42°，138°或40°，130°; B．42°，138°;
C．30°，150°; D．以上答案都不对
【答案】B
【解析】
解：设一个角为x，则另一个角为4x-30，得：x+(4x-30)=180，则x=42°，4x-30=138°．故选B．
26．如图，按照上北下南，左西右东的规定画出方向十字线，∠AOE＝m°，∠EOF＝90°，OM、ON分别平分∠AOE和∠BOF，下面说法：
①点E位于点O的北偏西m°；②图中互余的角有4对；③若∠BOF＝4∠AOE，则∠DON＝54°；④若，则n的倒数是，其中正确有（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【答案】B
【分析】
根据方位角的定义，以及角平分线的定义，分别求出所需角的度数，然后分别进行判断，即可得到答案．
【详解】
解：∵∠AOE＝m°，
∴∠EOD=90°m°，
∴点E位于点O的北偏西90°m°；故①错误；
∵∠EOF＝90°，
∴∠EOD+∠DOF＝90°，∠AOE+∠BOF=90°，
∵∠AOD=∠BOD=90°，
∴∠AOE+∠EOD=90°，∠DOF+∠FOB=90°，
∠AOM+∠MOD=90°，∠BON+∠DON=90°，
∵OM、ON分别平分∠AOE和∠BOF，
∴∠AOM=∠EOM，∠BON=∠FON，
∴∠EOM+∠MOD=90°，∠FON+∠DON=90°，
∴图中互余的角共有8对，故②错误；
∵∠BOF＝4∠AOE，∠AOE+∠BOF=90°，
∴∠BOF=72°，
∴∠BON=36°，
∴∠DON=90°36°=54°；故③正确；
∵∠AOE+∠BOF=90°，
∴∠MOE+∠NOF=，
∴，
∴，
∴n的倒数是，故④正确；
∴正确的选项有③④，共2个；
故选：B．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义，余角的定义，方位角的表示，以及角度的和差关系，解题的关键是熟练掌握题意，正确找出图中角的关系进行判断．
27．如果∠l与∠2互补，∠2为锐角，则下列表示∠2余角的式子是（ ）
A．90°-∠1 B．∠1 - 90° C．∠1 + 90° D．180°-∠1
【答案】B
【分析】
首先根据补角的定义可得∠2=180°-∠1，再根据余角定义可得∠2余角的式子是90°-∠2，再进行等量代换即可．
【详解】
解：∵∠1与∠2互补，
∴∠1+∠2=18 ( http: / / www.21cnjy.com )0°，
∴∠2=180°-∠1，
∴∠2余角的式子是，90°-∠2=90°-（180°-∠1）=∠1-90°，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了补角和余角，关键是掌握余角和补角的定义．
28．已知与互补，与互余，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先根据互补角的定义可得，再根据互余角的定义即可得．
【详解】
与互补，且，
，
又与互余，
，
故选：C．
【点睛】
本题考查了互补角、互余角，熟练掌握互补角与互余角的定义是解题关键．
29．一个角的余角比这个角的一半大15°，则这个角的度数为（ ）
A．70° B．60° C．50° D．35°
【答案】C
【分析】
设这个角的度数为，则它的余角为，根据题意列方程求解即可．
【详解】
解：设这个角的度数为，则它的余角为，
，
解得：，
故选：C．
【点睛】
本题考查余角的概念，掌握利用一元一次方程解决余角问题是解题的关键．
30．一个角的余角是它的补角的，则这个角等于 （ ）
A．60° B．45° C．30° D．75°
【答案】C
【分析】
设这个角的度数是x°，根据余角是这个角的补角的，即可列出方程，求得x的值．
【详解】
解：设这个角的度数是x°，
根据题意得：90-x=（180-x），
解得：x=30，
所以，这个角等于30°
故选：C．
【点睛】
本题考查了余角和补角的定义，正确列出方程，解方程是关键．
二、填空题
31．如图，直线和直线相交于点，，平分，那么_______度．
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【答案】25
【分析】
根据对顶角相等求得∠BOD=∠AOC=50°，再根据角平分线的定义即可求解．
【详解】
解：∵∠AOC=50°，
∴∠BOD=∠AOC=50°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE=∠BOD=25°，
故答案为：25．
【点睛】
本题考查对顶角相等、角平分线的定义，熟练掌握对顶角相等和角平分线的定义是解答的关键．
32．如图直线AB、CD相交于点O，∠DOB=∠DOE，OF平分∠AOE，若∠AOC=36°，则∠EOF=________．
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【答案】54°
【分析】
根据角平分线的定义可得∠EOF=∠AO ( http: / / www.21cnjy.com )F，根据平角的定义可得∠EOF+∠DOE=90°，根据对顶角相等可得∠BOD的度数，根据角的和差关系即可得答案．【版权所有：21教育】
【详解】
∵OF平分∠AOE，
∴∠EOF=∠AOF，
∵∠DOB=∠DOE，∠BOE+∠AOE=180°，
∴2∠EOF+2∠DOE=180°，
∴∠EOF+∠DOE=90°，
∵∠AOC=∠DOB=36°，
∴∠EOF=90°-∠DOE=90°-∠DOB=90°-36°=54°，
故答案为：54°
【点睛】
本题考查对顶角的定义、角平分线的定义及平角的定义，熟练掌握定义是解题关键．
33．我们知道两直线交于一点，对顶角有2对，三条直线交于一点，对顶角有6对，四条直线交于一点，对顶角有12对，…
（1）10条直线交于一点，对顶角有____对．
（2）n（n≥2）条直线交于一点，对顶角有_______对．
【答案】90 n（n﹣1）
【分析】
（1）仔细观察计算对顶角的式子，发现式子不变的部分及变的部分的规律，求出本题结论；
（2）利用（1）中规律，用字母表示数得出答案即可．
【详解】
解：（1）如图①
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两条直线交于一点，图中共有=2对对顶角；如图②三条直线交于一点，图中共有=6对对顶角；如图③四条直线交于一点，图中共有=12对对顶角；…；
按这样的规律，10条直线交于一点，那么对顶角共有：=90，
故答案为：90；
（2）由（1）得：n（n≥2）条直线交于一点，对顶角有：=n（n﹣1）．
故答案为：n（n﹣1）．
【点睛】
此题主要考查了对顶角以及图形变化规律，本题是一个探索规律型的题目，解决时注意观察每对数之间的关系．这是中考中经常出现的问题．
34．如图，和交于点，则的邻补角是___；的对顶角是___；若，则___，___，___．
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【答案】和 40° 140° 140°
【分析】
根据邻补角定义可得和，根据对顶角定义可得，利用对顶角性质可求，利用邻补角性质可求，利用对顶角性质可求即可．
【详解】
解：和交于点，则的邻补角是和；
的对顶角是，
，
，
，
．
故答案为：和；；；；．
【点睛】
本题考查邻补角的定义与性质，对顶角定义与性质，掌握邻补角的定义与性质，对顶角定义与性质是解题关键．
35．如图，某海域有三个小岛 ( http: / / www.21cnjy.com )A，B，O，在小岛O处观测到小岛A在它北偏东62°的方向上，观测到小岛B在它南偏东38°12＇的方向上，则∠AOB的补角的度数是_____．
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【答案】100°12′．
【分析】
根据已知条件可直接确定∠AOB的度数，再根据补角的定义即可求解．
【详解】
解：∵OA是表示北偏东62°方向的一条射线，OB是表示南偏东38°12′方向的一条射线，
∴∠AOB=180°-62°-38°12′=79°48′，
∴∠AOB的补角的度数是180°-79°48′=100°12′．
故答案是：100°12′．
【点睛】
本题考查了余角和补角、方向角及其计算，基础性较强．
三、解答题
36．如图，已知直线AB，CD相交于点O，射线OE把∠AOC分成两部分．
（1）写出图中∠AOC的对顶角 ，∠COE的补角是 ；
（2）已知∠AOC＝60°，且∠COE：∠AOE＝1：2，求∠DOE的度数．
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【答案】（1）∠BOD，∠DOE；（2）160°
【分析】
（1）分析图形，根据对顶角和补角的定义可以求出答案；
（2）先设∠COE＝x求得∠COE和∠AOE的度数，再根据邻补角的定义求得∠AOD的度数，然后将∠AOE与∠AOD的度数相加即可．
【详解】
解：（1）由图形可知，∠AOC的对顶角是∠BOD，∠COE的补角是∠DOE；
（2）设∠COE＝x，则∠AOE＝2x，
∵∠AOC＝60°，
∴x+2x＝60，
解得x＝20，
即∠COE＝20°，∠AOE＝40°，
∵∠AOC+∠AOD＝180°，
∴∠AOD＝120°，
∴∠DOE＝∠AOE+∠AOD＝40°+120°＝160°．
【点睛】
本题考查角的运算，解题的关键是正确找出图中的角的等量关系，本题属于基础题型．
37．如图1，将一副三角板的直角顶点叠放在一起．
（观察分析）
（1）若，则____________；若，则__________．
（猜想探究）
（2）请你猜想与有何关系，并说明理由；
（拓展应用）
（3）如图2，若将两个同样的三角尺锐角的顶点重合在一起，请你猜想与有何关系，并说明理由．
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【答案】（1），；（2），理由见解析；（3），理由见解析
【分析】
试题分析：（1）本题已知两 ( http: / / www.21cnjy.com )块直角三角尺实际就是已知三角板的各个角的度数，根据角的和差就可以求出∠ACB，∠DCE的度数；
（2）根据前个小问题的结论猜想∠ACB与∠DCE的大小关系，结合前问的解决思路得出证明．
（3）根据（1）（2）解决思路确定∠DAB与∠CAE的大小并证明．
【详解】
解：（1）∵，，
∴，
∵，
∴；
∵，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：，；
（2），理由：
∵，，
∴，
∵，
∴；
（3），理由：
∵，，
∴，
∵，
∴．
【点睛】
考查角的计算，角的和差，余角和补角，直角三角形的性质，数形结合是解题的关键．
38．如图，直线、相交于点，平分，．
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（1）若，求的度数；（请完成下列解答过程）
解：（1）因为平分，
所以．
所以，
又因为，
所以；
（2）若，求度数．（请仿照（1）写出解答过程）
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）由角平分线的含义求解 再利用平角的含义求解 再利用角的和差关系求解 即可得到答案；
（2）由平分，可得 结合，可得 再利用 可得 从而可得答案．
【详解】
解：（1）因为平分，
所以．
所以，
又因为，
所以；
故答案为：
（2）因为平分，
所以：
又因为：，
所以
因为
所以
因为
所以
【点睛】
本题考查的是角平分线的含义，角的和差关系，对顶角的性质，平角的含义，掌握以上知识是解题的关键．
39．如图1，点是直线上一点，，平分．
（1）求的度数；请你补全下列解题过程：
∵点为直线上一点，
∴___________；
∵，
∴___________；
∵平分，
∴（ ）
∴___________．
（2）在（1）条件下如图2，若是内部一条射线，满足，求的度数．
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【答案】(1) 180°、60°、角平分线的定义、30°；（2）120°．
【分析】
（1）根据平角和角平分线的定义求解，根据解题步骤填上适当的数．
（2）根据补角的定义解答即可．
【详解】
解：（1）∵O是直线AB上一点
∴∠AOB=180°．
∵∠BOC=120°
∴∠AOC=∠AOB-∠BOC=60°．
∵OD平分∠AOC
∴（角平分线的定义）
∴30°．
故答案为180°、60°、角平分线的定义、30°．
（2）∵ ，且
∴
∴
∴
∴ ．
【点睛】
本题考查了角平分线和邻补角，能熟练地运用邻补角互补进行计算是解答此题的关键．
40．已知，如图，O为直线AB上一点，∠DOE＝90°．若∠AOC＝130°，OD平分∠AOC．
（1）求∠BOD的度数；
（2）通过计算说明OE是否平分∠BOC．
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【答案】（1）115°；（2）平分
【分析】
（1）根据角平分线的定义 ( http: / / www.21cnjy.com )求出∠AOD的度数，再根据平角的定义求出∠BOD的度数；
（2）根据角的和差求出∠COE=∠DOE-∠DOC=90°-65°=25°，∠BOE=∠BOD-∠DOE=115°-90°=25°，根据角平分线的定义即可求解．www.21-cn-jy.com
【详解】
解：（1）∵OD平分∠AOC，∠AOC＝130°，
∴∠AOD＝∠DOC＝∠AOC＝×130°＝65°，
∴∠BOD＝180°－∠AOD＝180°－65°＝115°；
（2）∵∠DOE＝90°，
又∵∠DOC＝65°，
∴∠COE＝∠DOE－∠DOC＝90°－65°＝25°，
∵∠BOD＝115°，∠DOE＝90°，
∴∠BOE＝∠BOD－∠DOE＝115°－90°＝25°，
∴∠COE＝∠BOE，
即OE平分∠BOC．
【点睛】
本题考查了角平分线定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线，同时考查了余角和补角，角的和差．【来源：21·世纪·教育·网】
41．如图，直线AB、CD交于点O，∠AOM=90°
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（1）如图1，若OC平分∠AOM，求∠AOD的度数；
（2）如图2，若∠BOC=4∠NOB，且OM平分∠NOC，求∠MON的度数
【答案】（1）135°；（2）54°
【分析】
（1）根据角平分线的定义求出∠AOC=45°，然后根据邻补角的定义求解即可；
（2）设∠NOB=x°，∠BOC=4x°，根据角平分线的定义表示出∠COM=∠MON=∠CON，再根据∠BOM列出方程求解x，然后求解即可．
【详解】
解（1）∵∠AOM=90°，OC平分∠AOM，
∴∠AOC=∠AOM=×90°=45°，
∵∠AOC+∠AOD=180°，
∴∠AOD=180°-∠AOC=180°-45°=135°，
即∠AOD的度数为135°；
（2）∵∠BOC=4∠NOB
∴设∠NOB=x°，∠BOC=4x°，
∴∠CON=∠COB-∠BON=4x°-x°=3x°，
∵OM平分∠CON，
∴∠COM=∠MON=∠CON=°，
∵∠BOM=x+x=90°，
∴x=36°，
∴∠MON=x°=×36°=54°，
即∠MON的度数为54°．
【点睛】
本题考查了对顶角、邻补角，角平分线的定义，此类题目熟记概念并准确识图是解题的关键，（2）难点在于根据∠BOM列出方程．2-1-c-n-j-y
42．如图1，直线AB上任取一点O，过点O ( http: / / www.21cnjy.com )作射线OC（点C在直线AB上方），且∠BOC＝2∠AOC，以O为顶点作∠MON＝90°，点M在射线OB上，点N在直线AB下方，点D是射线ON反向延长线上的一点．
（1）求∠COD的度数；
（2）如图2，将∠MON绕点O逆时 ( http: / / www.21cnjy.com )针旋转α度（0°＜α＜180°），若三条射线OD、OC、OA，当其中一条射线与另外两条射线所夹角的度数之比为1：2时，求∠BON的度数．
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【答案】（1）∠COD=30°；（2）40°或20°或30°
【分析】
（1）由题意易得∠AOC+∠BOC=180°，则有∠BOC=120°，∠AOC=60°，进而问题可求解；
（2）由（1）得：∠COD=30°，∠AOC=60°，然后由题意分①当时，∠COD∶∠AOD=30°∶60°=1∶2，不符合题意，②若射线OD分另外两条射线所夹角度数之比为1∶2时，③若射线OA分另外两条射线所夹角度数之比为1∶2时，进而根据角的和差关系进行分类求解即可．
【详解】
解：（1）∵点O在直线AB上，
∴∠AOC+∠BOC=180°，
∵∠BOC＝2∠AOC，
∴∠BOC=120°，∠AOC=60°，
∵∠MON=90°，点D在射线ON的反向延长线上，
∴∠BOD=90°
∴∠COD=∠BOC-∠BOD=30°；
（2）由（1）得：∠COD=30°，∠AOC=60°，
∴当时，∠COD∶∠AOD=30°∶60°=1∶2，而，
∴OC不能分另外两条射线所夹角度数之比为1∶2，
∴若射线OD分另外两条射线所夹角度数之比为1∶2时，如图所示：
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当∠AOD=2∠COD时，则有，
∵∠AOD=∠BON，
∴∠BON=40°；
当∠COD=2∠AOD时，则有，
∴∠BON=∠AOD=20°；
若射线OA分另外两条射线所夹角度数之比为1∶2时，如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
当∠AOD=2∠AOC时，则有，
∴，（不符合题意，舍去），
当∠AOC=2∠AOD时，则有∠AOD=30°，
∴，
∴∠BON=∠AOD=30°；
综上所述：若三条射线OA、OC、OD，当其中一条射线分另外两条射线所夹角度数之比为1∶2时，∠BON的度数为40°或20°或30°．
【点睛】
本题主要考查角的和差关系及对顶角的定义，熟练掌握角的和差关系及对顶角的定义是解题的关键．
43．如图，直线与相交于点，，分别是，的平分线．
（1）写出的补角；
（2）若，求和的度数；
（3）射线与之间的夹角等于多少度？请说明理由．
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【答案】（1）∠COE，∠AOD，∠BOC；（2）∠AOD=148°，∠BOF=122°；（3）90°，见解析
【分析】
（1）根据互补的定义结合角平分线的定义确定∠DOE的补角；
（2）先根据角平分线的定义得出∠B ( http: / / www.21cnjy.com )OD的度数，再由邻补角定义可得∠AOD=180°-∠BOD；先根据邻补角定义可得∠AOE=180°-∠BOE，再由角平分线的定义得出∠AOF的度数，从而求解；
（3）运用平角的定义和角平分线的定义，证明∠DOF是90°，得直线OD、OF的位置关系．
【详解】
解：（1）由直线与相交于点
∴∠DOE+∠COE=180°；∠BOD+∠AOD=180°
又∵平分
∴∠DOE=∠BOD
∴∠DOE+∠AOD=180°
又∵∠AOD=∠BOC
∴∠DOE+∠BOC=180°
∴∠DOE的补角为∠COE，∠AOD，∠BOC；
（2）因为OD是∠BOE的平分线，∠BOD=∠BOE=32°，
所以∠AOD=180°-∠BOD=148°，
因为∠AOE=180°-∠BOE=116°，OF是∠AOE的平分线，
所以∠AOF=∠AOE=58°，
所以∠BOF=180°-∠AOF=122°
即∠AOD=148°，∠BOF=122°；
（3）因为OF，OD分别是∠AOE，∠BOE的平分线，
所以∠DOF=∠DOE+∠EOF
=∠BOE+∠EOA
=（∠BOE+∠EOA）
=×180°
=90°．
【点睛】
本题考查了角平分线、补角、垂线的定义以及角的计算，属于基础题型，比较简单．
44．如图，O为直线AB上一点，∠AOC与∠AOD互补，OM、ON分别是∠AOC、∠AOD的平分线．
（1）根据题意，补全下列说理过程：
因为∠AOC与∠AOD互补，
所以∠AOC+∠AOD＝180°．
又因为∠AOC+∠ ＝180°，
根据 ，所以∠ ＝∠ ．
（2）若∠MOC＝72°，求∠AON的度数．
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【答案】（1）BOC；同角的补角相等；AOD；BOC；（2）∠AON=18°
【分析】
（1）由题意可得∠AOC+∠AOD＝180°，∠AOC+∠COB＝180°，可以根据同角的补角相等得到∠AOD＝∠COB；
（2）首先根据角平分线的性质可得∠AOC＝2∠COM，∠AON＝∠AOD，然后计算出∠AOC＝144°，进而得到∠AON＝18°．
【详解】
解：（1）因为∠AOC与∠AOD互补，
所以∠AOC+∠AOD＝180°．
又因为∠AOC+∠BOC＝180°，
根据同角的补角相等，所以∠AOD＝∠BOC，
故答案为：BOC；同角的补角相等；AOD；BOC；
（2）∵OM是∠AOC的平分线．
∴∠AOC＝2∠MOC＝2×72°＝144°，
∵∠AOC与∠AOD互补，
∴∠AOD＝180°﹣144°＝36°，
∵ON是∠AOD的平分线．
∴∠AON＝∠AOD＝18°．
【点睛】
本题考查了补角的定义和角平分线的定义，解题关键是熟练运用相关知识建立角之间的联系．
45．已知O是直线上的一点，是直角，平分．
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（1）如图a．①若，求的度数；
②若，直接写出的度数．（用含的式子表示）
（2）将图a中的绕点O顺时针旋转至图b的位置，试探究和之间的数量关系，写出你的结论，并说明理由．
【答案】（1）①30°；②；（2），见解析
【分析】
（1）①首先求得∠COB的度数，然后根据角平分线的定义求得∠COE的度数，再根据∠DOE=∠COD-∠COE即可求解；
②解法与①相同，把①中的60°改成α即可；
（2）把∠AOC的度数作为已知量 ( http: / / www.21cnjy.com )，求得∠BOC的度数，然后根据角的平分线的定义求得∠COE的度数，再根据∠DOE=∠COD-∠COE求得∠DOE，即可解决．
【详解】
解：（1）①∵，
∴
，
∵平分，
∴，
又∵，
∴．
②同①∠DOE=90°-（180°-α）
=90°-90°+α
=α．
即：．
（2）．
理由如下：∵平分，
∴
∴
．
【点睛】
本题考查了角度的计算，正确理解角平分线的定义，理解角度之间的和差关系是关键．
46．已知与互补，射线平分，设，．
（1）如图1，在的内部，
①当时，求的值．
②当时，求的度数．
（2）如图2，在的外部，，求与满足的等量关系．
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【答案】（1）①90°；②45°；（2）．
【分析】
（1）①根据补角的定义可得，-即可得到结论；
②设，根据角平分线的定义和补角的定义即可得到结论；
（2）根据角平分线的定义和角的和差求出，则，根据角的和差求出，再由与互补即可得到结论．
【详解】
解：（1）①∵，，
∴，
∴；
②设，
∵平分，
∴，
∵，
∴
又∵，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
【点睛】
本题考查了角的计算，角平分线的定义，补角的定义，正确的识别图形是解题的关键．
47．如图，直线，相交于点，，平分．
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（1）若，求的度数；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）115°；（2）45°
【分析】
（1）根据角平分线的定义求出∠EOC的度数，根据邻补角的性质求出∠DOE的度数即可；
（2）根据题意设°，则°，然后根据计算即可得出，从而利用对顶角及余角的概念求解即可．
【详解】
（1）∵平分，，
∴，
∴．
（2）∵，
设°，则° ，
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查与角平分线相关的计算，以及列一元一次方程求解角度问题，理解角平分线的定义并根据题意运用方程思想求解是解题的关键．
48．如图，已知和都是直角，
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（1）填空：
①与互余的角有__________；
②和的关系是_____________．
（2）若，求的度数．
【答案】（1）∠AOB、∠COD；（2）互补；（3）63°．
【分析】
（1）根据∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC=90°，解答即可；
（2）求出∠AOD+∠BOC=∠AOC+∠BOD，代入求出即可；
（3）设∠AOB=3x，∠AOD=13x，根据∠AOD-∠AOB=90°得出方程13x-3x=90°，求出即可．
【详解】
解：（1）因为∠AOC和∠BOD都是直角，
所以∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC=90°，
所以∠BOC与∠AOB互余，∠BOC与∠COD互余，
故答案为：∠AOB、∠COD；
（2）∠AOD与∠BOC互补，理由如下：
因为∠AOC和∠BOD都是直角，
所以∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC=90°，
又因为∠AOD=∠AOB+∠BOC+∠COD，
所以∠AOD+∠BOC=∠AOB+∠BOC+∠COD+∠BOC=180°，
所以∠AOD与∠BOC互补；
故答案为：互补；
（3）设∠AOB=3x°、则∠AOD=13x°，
所以∠BOD=∠AOD-∠AOB=13x-3x=10x=90，
即x=9，
所以∠AOD=13x=117°，
由（2）可知∠AOD与∠BOC互补，
所以∠BOC=180°-117°=63°．
【点睛】
本题考查了角的有关计算．解题的关键是明确角的有关计算方法，以及能够根据图形进行计算．
49．已知：如图，是直线上一点，，作射线．
（1）如图，若平分，，则______°（直接写出答案）；
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（2）如图，若平分，比大36°，求的度数；
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（3）如图，若平分，当时，能否求出的度数？若可以，求出度数；若不可以，请说明理由．
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【答案】（1）30；（2）18°；（3）不能求出的度数，理由见解析
【分析】
（1）根据若平分，可得到∠CON=60°，然后计算∠COM即可；
（2）可设，然后得到，再利用角平分线性质得到，然后利用平角定义列方程即可；
（3）思路和（2）相同，设出∠COM，然后根据题意列出方程判断即可．
【详解】
解：（1）∵平分
∴=60°
∵∠MON=90°
∴∠COM=∠MON-∠CON=30°
故答案为：30；
（2）设，则，
∵平分，
∴，
∴ ，
∴，即；
（3）不能求出的度数，理由如下：
设，，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
方程恒成立，故不论等于多少度，只能得出始终的2倍，所以求不出的度数．
【点睛】
本题主要考查角的简单计算和角平分线的简单性质，解题的关键是能够梳理角关系，利用直角和平角是解题的关键．21·cn·jy·com
50．如图，直线与交于点O，垂足为O，平分．
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（1）若，求和的度数；
（2）若，则___________．（用含的代数式表示）
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）根据对顶角相等求得∠BOD的度数，利用垂直的定义求得，然后利用角的和差运算及角平分线的定义求解；
（2）根据角的和差运算及角平分线的定义列式求解．
【详解】
解：（1） ∵与是对顶角
∴（对顶角相等）
∵
∴
∴
∵平分
∴
∴
（2）由题意可得：
∵
∴
∴
∵平分
∴
∴
故答案为：．
【点睛】
本题考查对顶角相等，角平分线的定义及角的和差运算，准确识图，掌握相关概念正确推理计算是解题解题关键．
51．如图，已知是直线上一点，平分，，，求的度数．
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【答案】.
【分析】
根据平角的定义，求∠BOC，后利用角的平分线，垂直的定义计算即可.
【详解】
解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴.
【点睛】
本题考查了平角的定义，角的平分线，垂直的定义，熟练掌握互补的定义，角的平分线的性质是解题的关键.
52．已知和是互为邻补角，，将一个三角板的直角顶点放在点处（注：，）．
（1）如图，使三角板的短直角边与射线重合，则 ．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）将三角板如图放置，长直角边恰好平分，请说明所在射线是的平分线．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（3）将三角板如图放置，使时，求的度数．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（4）拓展：将图中的三角板绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第秒时，恰好与直线重合，求的值．（注：“旋转一周”是指三角板在这个平面内绕着这个平面内的点转动一周．)
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【答案】（1）；（2）见解析；（3）；（4）或
【分析】
（1）根据角的大小关系求解；
（2）根据 ( http: / / www.21cnjy.com )角平分线的意义和余角、补角求解；
（3）设∠COD=x°，则∠AOE=4x°，由已知条件可得关于x的方程，解方程后可得∠COD的度数，从而得到∠BOD的度数；
（4）由题意可分OE与射线OC的反射延长线重合与OE与射线OC重合两种情况讨论．
【详解】
解：（1）由图可知，∠COE=∠DOE-∠COB=90°-50°=40°,
故答案为40°；
（2）平分，
，
，
，，
，
所在射线是的平分线；
（3）设，则，
，，
，
，
即
（4）如图，分两种情况：
在一周之内，当与射线的反向延长线重合时，三角板绕点旋转了，
，
；
当与射线重合时，三角板绕点旋转了，
，
．
所以当秒或秒时，与直线重合．
综上所述，的值为或．
( http: / / www.21cnjy.com / )．
【点睛】
本题考查旋转的综合应用，熟练掌握角 ( http: / / www.21cnjy.com )度的大小关系及和差计算、余角和补角的定义及定理、角平分线的定义及有关证明、空间想象能力及方程思想方法在几何中的应用是解题关键 ．21*cnjy*com
53．己知点O是直线上的一点，，是的平分线，
（1）当点C、E、F在直线的同侧时（如图1所示）
①若，则_______；
②若，则_____．
（2）当点C与点E、F在直线的两旁（如图2所示）时，（1）中②是否仍然成立？请给出你的结论并说明理由．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1）①56；②；（2）成立，见解析
【分析】
（1）①由余角的定义先求得∠FOE ( http: / / www.21cnjy.com )=62°，由角平分线的定义可求得∠AOE=124°，最后根据补角的定义可求得∠BOE的度数；
②由余角的定义先求得∠FOE=（90-α）°，由角平分线的定义可求得∠AOE=2∠EOF=180°-2α，最后根据补角的定义可求得∠BOE=2α；
（2）由余角的定义先求得∠FOE=（90-α）°，由角平分线的定义可求得∠AOE=2∠EOF=180°-2α，最后根据补角的定义可求得∠BOE=2α．
【详解】
解：（1）①∵∠COE=90°，∠ ( http: / / www.21cnjy.com )COF=28°，
∴∠EOF=90°-28°=62°．
∵OF是∠AOE的平分线，
∴∠AOE=2∠EOF=124°．
∴∠BOE=180°-∠AOE=180°-124°=56°．
②∵∠COE=90°，∠COF=α°，
∴∠EOF=90°-α°=（90-α）°．
∵OF是∠AOE的平分线，
∴∠AOE=2∠EOF=2×（90-α）=180°-2α．
∴∠BOE=180°-∠AOE=180°-（180°-2α）=2α．
故答案为：①56°；②2α．
（2）成立．
理由：∵∠COE=90°，∠COF=α°，
∴∠EOF=90°-α°=（90-α）°．
∵OF是∠AOE的平分线，
∴∠AOE=2∠EOF=2×（90-α）=180°-2α．
∴∠BOE=180°-∠AOE=180°-（180°-2α）=2α．
【点睛】
本题考查了角的计算、补角和余角的定义，依据余角和邻补角的定义求得∠EOF和∠BOE的度数是解题的关键．
54．如图，已知、、三点在同一条直线上，平分，平分．
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（1）若，求的度数；
（2）若，求的度数；
（3）请写出图中与互余的角．
【答案】（1）；（2）；（3），
【分析】
（1）由OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，得出∠DOE=(∠BOC+∠COA)求解即可；
（2）利用（1）的结论求解即可；
（3）根据（1）（2）找出互余的角即可．
【详解】
解：（1）∵平分，
∴，
平分，
，
∴∠DOE=(∠BOC+∠COA)=×180°=90°；
（2）由（1）知；
（3）∵，
∴∠AOD+∠BOE=90°，
∵∠AOD=∠COD，
∴∠COD+∠BOE=90°，
∴与互余的角有，；
【点睛】
此题考查角平分线的意义，以及余角的意义，如果两个角的和等于90°那么这两个角互为余角，其中一个角叫做另一个角的余角．
55．如图和都是直角．
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（1）如果，则 ；
（2）找出图中一组相等的锐角为： ．
（3）选择，若变小，将变（ ）；
A．大 B．小 C．不变
（4）在图中，利用能够画直角的工具在图上再画一个与相等的角，不写做法，保留作图痕迹．
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【答案】（1）；（2）；（3）；（4）见解析
【分析】
（1）根据直角的定义列出题目中角的数量关系，从而计算求解；
（2）根据同角的余角相等求解；
（3）根据角的数量关系求得∠AOB=∠AOD+∠COD+∠BOC+∠COD-∠COD=180°-∠COD，从而进行判断；
（4）利用同角的余角相等作图
【详解】
解：（1）∵和都是直角
∴∠AOD+∠COD=90°，∠BOC+∠COD=90°
∵∠COD=35°
∴∠AOD=55°
∴∠AOB=∠AOD+∠BOC+∠COD=90°+55°=145°
故答案为：145°
（2）∵和都是直角
∴∠AOD+∠COD=90°，∠BOC+∠COD=90°
∴；
故答案为：
（3）∵和都是直角
∴∠AOD+∠COD=90°，∠BOC+∠COD=90°
∴∠AOB=∠AOD+∠COD+∠BOC+∠COD-∠COD=180°-∠COD
∴当变小，将变大
故选：；
（4）∵和都是直角
∴∠AOD+∠COD=90°，∠BOC+∠COD=90°
∴；
∴如图：即为所求．
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【点睛】
本题考查角的和差计算及同角的余角相等，掌握相关概念正确推理计算是解题关键．
56．综合与实践
如图，为直线上一点，过点在的下方作射线，将一直角三角板按如图所示的方式摆放（）．
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（1）将图①中的三角板绕点顺时针旋转一定的角度得到图②，使边恰好平分，问是否平分？请说明理由．
（2）若，将图①中的三角板绕点顺时针旋转一定的角度得到图③
①使边在的内部，那么与之间存在怎样的数量关系？请说明理由．
②若继续旋转三角板，直到与重合，请直接写出与之间的数量关系．
【答案】（1）平分，理由见解析；（2）①，理由见解析；②或．
【分析】
（1）由平分，可求出，再根据可得 从而可得进而得出结论；
（2）①由可得：，由 从而可得 移项合并后可得结论；②分三种情况讨论：当在的内部时，当在的内部，在的外部时，当都在的外部时，分别画出符合题意的图形，利用角的和差关系列出等式，从而可得结论．21教育网
【详解】
解：（1）平分． 理由如下：
∵平分，
∴
∵
∴平分；
（2）①，理由如下：
∵∠MON=90°，
∴，
∵∠BOC=60°，
∴
∴
即：，
②如图，当在的内部时，
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当在的内部，在的外部时，如图，
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当都在的外部时，如图，
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综上：与之间的数量关系为或
【点睛】
本题考查的是角平分线的定义，余角，补角的含义，角的和差运算，分类思想的运用，掌握以上知识是解题的关键．
57．小东遇到这样一个问题：如图，有两条线段，作线段，求作点，使点在线段的延长线上，且．
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小东是这样思考的：首先通过分析明确点在的延长线上，画出示意图，如图所示：然后截取，这时发现，进而分析要使，则需．
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因此，小东找到了解决问题的方法：延长到，并使，利用直尺找到的中点，这样就得到了．
根据小东的画法我们可知，线段，点在线段的延长线上，且，点为的中点
请你根据以上条件说出的理由
（2）类比迁移：
①类比小东的画法，由线段迁移到角，完成画图：如图，，请画一个，使与互补，要求：保留画图痕迹，并简单叙述画图步骤．
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②如图，已知和互补，射线平分，射线平分．若，求的度数．
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【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②
【分析】
（1）根据作图步骤可得，然后利用线段中点的定义可以分析求解；
（2）①反向延长射线得到射线，利用量角器画出的平分线，即为所求；
②根据补角的定义可得，然后结合题目条件可得，再利用角平分线的定义求得所以，，然后根据角的和差关系列式计算求解．
【详解】
解：（1）因为，
∴，
又∵点是的中点，
∴，
∴
（2）①如图，反向延长射线得到射线，利用量角器画出的平分线，即为所求．
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②∵和互补，
∴，
即
又∵，
∴，
∴，
∴
∵射线平分，
∴
同理
∴
∴
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【点睛】
本题考查线段及角的和差计算，正确理解题意，掌握补角和角平分线的定义准确分析图形列出数量关系正确计算是解题关键．
58．从一个锐角顶点出发在角的内部引一条射线，把分成两个角，若其中一个角与互余，则这条射线叫做锐角的余分线，这个角叫做锐角的余分角．
例如：图①中，当时，与互余，那么是的余分线，是的余分角．
（1）若，是它的余分线，则_________；
（2）如图②，是平角，是的余分角，，试说明．
（3）如图③，在（2）的条件下，若是的平分线，，求度数．
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【答案】（1）20°或50°；（2）见解析；（3）24°
【分析】
（1）根据余分线的定义分情况讨论，从而求解；
（2）根据余分角的定义可得，根据题意可得，从而利用同角的余角相等可以得到结论；
（3）根据上一问的结论可得，然后利用余分角和角平分线的定义求得角的数量关系，从而求解．
【详解】
解：（1）∵，是它的余分线，
∴或
∴或
解得：或
故答案为：20°或50°
（2）∵是的余分角，
∴，
∵是平角，，
∴，
∴
（3）∵，，
∴，
∵是的余分角，
∴，
∵平分，
∴，
∴
【点睛】
本题考查角平分线的定义及角的数量关系，正确理解题意准确计算并注意分类讨论思想的运用是解题关键．
59．如图①，已知：射线OC⊥AB，垂足为O，∠DOE＝90°，OM平分∠BOD．
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（1）∠BOE与∠COD的关系是 ，理由是： ；
（2）探索∠AOD与∠COM的关系，并说明理由；
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（3）如图②，在上述条件下，将∠DOE旋转至直线AB的下方，请继续探索∠AOD与∠COM的关系，并说明理由．
【答案】（1）相等，同角的余角相等；（2）∠AOD＝2∠COM，理由见解析；（3）∠AOD＋2∠COM＝360°，理由见解析
【分析】
（1）根据同角的余角相等，即可得到结论；
（2）由角平分线的定义得∠BOD＝2∠BOM，结合∠AOD＝2(90°－∠BOM)与∠COM＝90°－∠BOM，即可得到结论；
（3）先推出∠COE＝∠AOD，由角平分线的定义得∠BOM＝∠DOM，进而得∠COM＝∠EOM，进而即可得到结论．
【详解】
（1）∵OC⊥AB，∠DOE＝90°，
∴∠BOE+∠COE=90°，∠COE+∠COD=90°，
∴∠BOE=∠COD（同角的余角相等），
故答案是：相等，同角的余角相等；
（2） ∠AOD＝2∠COM，理由如下：
∵OM平分∠BOD
∴∠BOD＝2∠BOM
∴∠AOD＝180°－∠BOD＝180°－2∠BOM＝2(90°－∠BOM)
又∵OC⊥AB
∴∠COM＝90°－∠BOM
∴∠AOD＝2∠COM ；
（3）∠AOD＋2∠COM＝360°，理由如下：
∵∠DOE＝90°，OC⊥AB ，
∴∠COE＝∠AOD ，
∵OM平分∠BOD，
∴∠BOM＝∠DOM，
∴∠COM＝∠EOM ，
∵∠COE+∠EOM+∠COM＝360°，
∴∠AOD+2∠COM＝360°．
【点睛】
本题主要考查角平分线的定义，余角的性质，掌握角的和,差,倍,分关系，是解题的关键．
60．如图1，∠AOB＝∠COD＝90°．
（1）若∠BOC＝2∠AOC，求∠BOC的大小；
（2）试探究∠BOC与∠DOA之间的数量关系；
（3）若把图1中∠AOB绕点O转动到图2的位置，试说明（2）中∠BOC与∠DOA之间的数量关系还成立吗？
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【答案】（1）60°；（2）∠BOC与∠DOA互补；（3）仍然成立，理由见详解
【分析】
（1）根据条件可得：∠AOB=3∠AOC，求出∠AOC的度数，进而即可求解；
（2）推出∠DOA+∠BOC=180° ，即可得到结论；
（3）推出∠DOA+∠BOC=180°即可得到结论．
【详解】
（1）∵∠AOB＝90°，∠BOC＝2∠AOC，∠AOB=∠BOC+∠AOC，
∴∠AOB=3∠AOC，
∴∠AOC=30°，
∴∠BOC＝2∠AOC=60°；
（2）∵∠AOB＝∠COD＝90°，∠DOC=∠BOC+∠BOD，∠DOA=∠DOB+∠AOB，
∴∠DOA+∠BOC=∠DOB+∠AOB+∠BOC=∠COD+∠AOB=90°+90°=180°，
∴∠BOC与∠DOA互补；
（3）仍然成立，理由如下：
∵∠DOA+∠BOC=360°-∠AOB-∠DOC=360°-90°-90°=180°，
∴∠BOC与∠DOA互补．
【点睛】
本题主要考查角的和，差，倍，分以及补角的定义，掌握角的的和，差，倍，分关系，是解题的关键．
61．已知、和都是直角．
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（1）如图1，将和的顶点重合如图放置在同一平面内，若，则______，______，______；
（2）如图2，将、和的顶点O重合如图放置在同一平面内，若，，求的度数；
（3）如图3，将、和的顶点重合如图放置在同一平面内，若平分，且，请用含的代数式表示（直接写出结果即可）
【答案】（1）60°，60°，150°；（2）12°；（3）
【分析】
（1）根据已知，、都是直角．求出，，再利用角的和即可得到；
（2）根据已知、和都是直角，可得到，，进而利用得到答案；
（3）利用角平分线用α表示，得到，那么可得，再利用是直角，即可得到,即得到含的代数式表示．
【详解】
解：（1）如图1
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∵，、都是直角．
∴，，
∴
故答案为：60 ，60，150．
（2）如图2
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∵、和都是直角，
∴，
∴
，
∴，
∴．
（3）如图3
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∵和都是直角
∴,
∵平分，且，
∴
∴
∵是直角
∴．
【点睛】
本题考查了角的计算，角的和差，垂直的性质，准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
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