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6.5 垂直
【基础训练】
一、单选题
1．如图，把小河里的水引到田地A处，若使水沟最短，则过点A向河岸l作垂线，垂足为点B，沿AB挖水沟即可，理由是（ ）
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A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短
C．两点确定一条直线 D．过一点可以作无数条直线
【答案】B
【分析】
根据题意抽象为过直线外一点到直线的距离最短分析即可
【详解】
根据题意，小河可以抽象为一条直线，点到直线的所有连线中，垂线段最短
理由是: 垂线段最短
故选B
【点睛】
本题考查了垂线段最短的应用，理解题意是解题的关键．
2．如图，从人行横道线上的点P处过马路，沿线路PB行走距离最短，其依据的几何学原理是（ ）
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A．垂线段最短
B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】A
【分析】
利用垂线段最短的原理即可判断．
【详解】
解：从人行横道线上的点P处过马路，沿线路PB行走且，所以由垂线段最短的原理可以知，沿线路PB行走距离最短，
故选：A．
【点睛】
本题考查了垂线段最短的原理，解题的关键是：掌握垂线段最短的原理．
3．如图所示，三角形中，，过点画，则下列说法不正确的是（ ）
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A．线段是点与直线上各点连接的所有线段中最短的
B．线段是点到直线的垂线段
C．点到直线的距离是线段的长
D．点到直线的距离是线段的长
【答案】B
【分析】
根据垂线段最短、点到直线的距离的定义逐项判断即可得．
【详解】
A、线段是点与直线上各点连接的所有线段中最短的，则此项说法正确，不符题意；
B、线段是点到直线的垂线段，则此项说法不正确，符合题意；
C、点到直线的距离是线段的长，则此项说法正确，不符题意；
D、点到直线的距离是线段的长，则此项说法正确，不符题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查了垂线段最短、点到直线的距离，掌握理解定义是解题关键．
4．在铁路旁有一城镇，现打算从城镇修一条和铁路垂直的道路，这种方案是唯一的，是因为( )
A．经过两点有且只有一条直线
B．两点之问的所有连线中，线段最短
C．在同一平面内，两直线同时垂直同一条直线，则这两直线也互相垂直．
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】D
【分析】
根据在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，即可判断出来．
【详解】
解∶由题意可得∶是点与直线的最短距离问题，根据在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，即可判断出来D选项正确．
故选D．
【点睛】
本题考查了垂线段最短，属于基础题型．
5．下列图形中，线段AD的长表示点A到直线BC距离的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / )B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】D
【分析】
根据点到直线的距离定义逐项判断即可．
【详解】
解：A中的AD不垂直BC，所以线段AD的长不是点A到直线BC距离，故此选项错误；
B中的AD不垂直BC，所以线段AD的长不是点A到直线BC距离，故此选项错误；
C中的AD不垂直BC，所以线段AD的长不是点A到直线BC距离，故此选项错误；
D中的AD⊥BC，所以线段AD的长是点A到直线BC距离，故此选项正确，
故选：D．
【点睛】
本题考查点到直线的距离定义，熟知点到直线的距离定义是解答的关键．
6．已知P是直线m外一点，A、B、C是直线m上一点，且，那么点P到直线m的距离为（ ）
A．等于2 B．大于2 C．小于或等于2 D．小于2
【答案】C
【分析】
根据“直线外一点到直线上各点的所有线中，垂线段最短”进行解答．
【详解】
解：∵直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，
∴点P到直线m的距离≤PC，
即点P到直线m的距离小于或等于2．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是点到直线的距离，熟知直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离是解答此题的关键．
7．如图，三角形中，，，则图中能表示点到直线的距离的线段有（ ）条．
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A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【分析】
根据点到直线的距离的定义，得结论．
【详解】
解：线段CD的长度是点C到的距离，
线段BD的长度是点B到的距离，
线段AD的长度是到的距离，
线段的长度是到的距离，
线段的长度是到的距离，
故选：B．
【点睛】
本题考查了点到直线的距离，理解点到直线的距离是解决本题的关键．
8．如图，已知直角中，，于点，则表示点到直线距离的是（ ）
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A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度
【答案】C
【分析】
根据点到直线的距离的概念即可选择．
【详解】
由在中，CD⊥AB于点D，可得：能表示点A到直线CD的距离的是线段AD的长度．
故选C．
【点睛】
本题主要考查点到直线的距离，正确理解点到直线的距离是解题的关键．
9．如图，在立定跳远中，体育老师 ( http: / / www.21cnjy.com )是这样测量运动员的成绩的，用一块三角尺的一边紧贴在起跳线上，另一边与拉直的皮尺重合，这样做的理由是（ ）
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A．两点之间，线段最短 B．过两点有且只有一条直线
C．过一点可以作无数条直线 D．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
【答案】D
【分析】
根据垂线段的性质：垂线段最短进行解答即可．
【详解】
解：这样做的理由是：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了垂线段的性 ( http: / / www.21cnjy.com )质，解题的关键是掌握垂线段的定义和性质．垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段，垂线段的性质：垂线段最短．21*cnjy*com
10．如图，某单位要在河岸l上 ( http: / / www.21cnjy.com )建一个水泵房引水到C处，他们的做法是：过点C作CD⊥l于点D，将水泵房建在了D处．这样做最节省水管长度，其数学道理是（ ）
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A．两点之间，线段最短 B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．两点确定一条直线 D．直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短
【答案】D
【分析】
根据垂线段最短矩形判断．
【详解】
解：因为CD⊥l于点D，根据垂线段最短，所以CD为C点到河岸l的最短路径．
故选：D．
【点睛】
本题考查了垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．
11．如图，河道l的同侧有A，B两个村庄，计划铺设一条管道将河水引至A，B两地，下面的四个方案中，管道长度最短的是（ ）
A． B．
C． D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】B
【分析】
根据两点之间线段最短可判断方案B要比方案C、D中的管道长度短，根据垂线段最短可判断方案B比方案A中的管道长度要短，即可作答．
【详解】
解：四个方案中，管道长度最短的是B．
故选：B．
【点睛】
本题考查垂线段最短等知识，解题的关键是熟知相关的基本知识．
12．点A为直线a外一点，点B是直线a上点，点A到直线a的距离为5，则AB的长度一定不是（ ）
A．10 B．8 C．5 D．3
【答案】D
【分析】
垂线段最短指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．
【详解】
解：∵A为直线a外一点，B是直线a上一点，点A到直线a的距离为5，
∴AB最短为5．
∴AB≥5，
∴AB的长度一定不是3．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了垂线段最短，解答此题的关键是注意：从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短．
13．如图，，，则下列的结论中：①点到的垂线段是线段；②线段是点到的垂线段；③线段是点到的垂线段；④线段是点到的垂线段．正确的个数是（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】
根据点到直线的距离的定义判断即可．
【详解】
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①点到的垂线段是线段，说法正确；
②线段是点到的垂线段，说法正确；
③线段是点到的垂线段，说法错误，应该是线段是点到的垂线段；
④线段是点到的垂线段，说法正确；
故选：．
【点睛】
本题考查了点到直线的距离，熟记定义是解题的关键．
14．如图，点P在直线l外，点A、B在直线l上，PA=4，PB＝7，则点P到直线l的距离可能是（ ）
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A．3 B．4 C．5 D．7
【答案】A
【分析】
根据垂线段最短判断即可．
【详解】
解：因为垂线段最短，
∴点P到直线l的距离小于4，
故选：A．
【点睛】
本题考查点到直线的距离，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
15．如图，在中，，是边上一点，且，那么下列说法中错误的是（ ）
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A．直线与直线的夹角为 B．直线与直线的夹角为
C．线段的长是点到直线的距离 D．线段的长是点到直线的距离
【答案】D
【分析】
根据已知角即可判断A、B；根据点到直线的距离的定义即可判断C、D．
【详解】
解：A、∵∠CDA=60°，
∴直线AD与直线BC的夹角是60°，正确，故本选项错误；
B、∵∠ACD=90°，
∴直线AC与直线BC的夹角是90°，正确，故本选项错误；
C、∵∠ACD=90°，
∴DC⊥AC，
∴线段CD的长是点D到直线AC的距离，正确，故本选项错误；
D、∵BD和AD不垂直，
∴线段AB的长不是点B到直线AD的距离，错误，故本选项正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了点到直线的距离，注意：点到直线的距离是指该点到直线的垂线段的长．
16．如图，直线AB，CD相交于点O，OF⊥OC于O，OE平分∠AOF，如果∠COE=15°，那么∠BOD的度数是（ ）【版权所有：21教育】
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A．75° B．50° C．60° D．70°
【答案】C
【分析】
根据OF⊥OC，可得∠COF= ( http: / / www.21cnjy.com )90°，由∠COE=15°，可求∠EOF=75°，由OE平分∠AOF，可求∠AOF＝150°，根据角的和差计算，得到答案．
【详解】
解：∵OF⊥OC，
∴∠COF=90°，
∵∠COE=15°
∴∠EOF=90°-∠COE=90°-15°=75°，
∵OE平分∠AOF，，
∴∠AOF＝2∠EOF＝150°，
∴∠AOC＝∠AOF°﹣∠FOC＝150°-90°=60°，
∴∠BOD=∠AOC=60°
故选：C．
【点睛】
本题主要考查几何图形中的角度问题，掌握角平分线的定义及两直线垂直，对顶角的概念是解题关键．
17．下列说法中，错误的是（ ）
A．过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
B．在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线最短
C．经过直线外一点，有且只有一条直线平行于这条直线
D．同位角相等，两直线平行
【答案】B
【分析】
根据平行线的判定定理、垂线段最短、平行公理、垂线的性质等求解判断即可．
【详解】
解：A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，该选项说法正确，故该选项不符合题意；
B．在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短，该选项说法错误，故该选项符合题意；
C．经过直线外一点，有且只有一条直线平行于这条直线，该选项说法正确，故该选项不符合题意；
D．同位角相等，两直线平行，该选项说法正确，故该选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】
此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理、平行公理及垂线的性质是解题的关键．
18．点A为直线a外一点，点B是直线a上一点，点A到直线a的距离为5cm，则AB的长度可能为（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．18cm
【答案】D
【分析】
垂线段最短指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．
【详解】
解：∵A为直线a外一点，B是直线a上一点，点A到直线a的距离为5cm，
∴AB最短为5cm．
∴AB≥5cm，
∴AB的长度可能为18cm．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了垂线段最短的应用，准确计算是解题的关键．
19．如图，从人行横道线上的点处过马路，下列线路中最短的是（ ）
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A．线路 B．线路
C．线路 D．线路
【答案】C
【分析】
根据垂线段最短进行判断．
【详解】
解：从人行横道线上的点处过马路，下列线路中最短的是线路．
故选：C．
【点睛】
本题考查了垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．
20．点P是直线1外一点，且，则点P到直线的距离（ ）
A．小于等于 B．等于 C．大于 D．不确定
【答案】D
【分析】
根据点到直线的距离是直线外的点到这条直线的垂线段的长度，可得答案．
【详解】
解：∵点A的位置不确定，
∴点P到直线的距离不确定，
故选：D．
【点睛】
本题考查了点到直线的距离，点到直线的距离是直线外的点到这条直线的垂线段的长度．
21．如图：P为直线外一点，点A，B，C在直线上，且PB⊥，垂足为B，∠APC＝90°，则下列语句错误（ ） 2-1-c-n-j-y
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A．线段PB的长叫做点P到直线l的距离 B．线段AC的长叫做点C到直线AP的距离
C．PA、PB、PC三条线段中， PB是最短的 D．线段PA的长叫做点A到直线PC的距离
【答案】B
【分析】
根据点到直线的距离的定义以及垂线段最短，可得答案．
【详解】
解：A、线段PB的长度叫做点P到直线l的距离，故A选项正确；
B、线段PC的长度叫做点C到直线AP的距离，故B选项错误；
C、PA、PB、PC三条线段中，PB最短，故C选项正确；
D、线段PA的长叫做点A到直线PC的距离，故D选项正确；
故选：B．
【点睛】
本题考查了点到直线的距离以及垂线段最短，利用点到直线的距离是解题关键．
22．如图所知，已知OA⊥BC，垂 ( http: / / www.21cnjy.com )足为点A，联结OB，下列说法：①线段OB是O、B两点的距离；②线段AB的长度表示点B到OA的距离；③因为OA⊥BC，所以∠CAO=90°；④线段OA的长度是点O到直线BC上点的最短距离．其中错误的有（ ）．【来源：21cnj*y.co*m】
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】
根据点到直线的距离，两点之间的距离，垂线段最短逐个判断即可．
【详解】
线段OB的长度是O、B两点的距离，故①错误，符合题意；
线段AB的长度表示点B到OA的距离，故②正确，不符合题意；
∵ ，
∴ ，故③正确，不符合题意；
线段OA的长度是点O到直线BC上点的最短距离，故④正确，不符合题意；
错误的有1个，
故选：A．
【点睛】
本题考查了点到直线的距离的定义，两点之间的距离，垂线段最短等知识点，根据知识点逐一判断是解题的关键．
23．如图，直线AB、CD相交于点O，若，，则等于（ ）
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A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
求出∠BOD，根据对顶角相等求出∠AOC即可．
【详解】
解：∵OE⊥AB，
∴∠BOE＝90°，
∵∠DOE＝58°，
∴∠BOD＝90°-∠DOE＝32°，
∴∠AOC＝∠BOD＝32°，
故选：A．
【点睛】
本题考查了对顶角和垂线的性质，解此题的关键是明确对顶角相等，求出∠BOD的度数．
24．下列说法正确的是（ ）
A．有且只有一条直线垂直于已知直线
B．从直线外一点到已知直线的垂线段，叫做到这条直线的距离
C．直线外一点与直线上各点连接而成的所有线段中最短线段的长度是，则点到直线的距离是
D．互相垂直的两条线段相交
【答案】C
【分析】
根据垂线的性质：在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；点到直线的距离定义；垂线段最短；同一平面内的直线的位置关系进行分析即可．
【详解】
解：A、在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原题说法错误；
B、从直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离，说法错误，应为从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离；
C、直线L外一点P与直线L上各点连接而成的线段中最短线段的长度是2cm，则点P到直线L的距离是2cm．说法正确；
D、互相垂直的直线一定相交，说法错误，应为同一平面内，互相垂直的直线一定相交；
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了点到直线的距离，同一平面内 ( http: / / www.21cnjy.com )的直线的位置关系，垂线的性质，垂线段的性质，关键是掌握点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．
25．如图所示，下列说法不正确的是（ ）
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A．线段是点到的垂线段 B．线段是点到的垂线段
C．点到的垂线段是线段 D．点到的垂线段是线段
【答案】C
【分析】
根据点到直线的垂线段的定义对各个选项一一判断即可得出答案．
【详解】
解：A、线段BD是点B到AD的垂线段，故A正确；
B、线段AD是点A到BC的垂线段，故B正确；
C、点C到AB的垂线段是线段AC，而不是线段AD，故选项C不正确；
D、点B到AC的垂线段是线段AB，故D正确；
故选C．
【点睛】
本题考查了点到直线的垂线段，理解和掌握点到直线的垂线段的定义是解题关键．
26．下列结论错误的是（ ）
A．等角的补角相等
B．线段AB和线段BA表示同一条线段
C．相等的角是对顶角
D．平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】C
【分析】
根据补角的性质、线段的表示方法、对顶角的性质、垂直公理进行判断即可得到答案．
【详解】
解：A、和为180°的两个角互为补角，等角的补角相等说法正确，不符合题意；
B、线段的表示方法是用端点的两个大写字母表示，线段AB和线段BA表示同一条线段正确说法正确，不符合题意；
C、对顶角是从位置关系和数量关系两方面定义，而相等的角是对顶角仅从数量关系说明，说法错误，符合题意；
D、平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，说法正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了对顶角、线段表示方法、补角的性质及垂直公理等知识，此类问题涉及面广，难度不大，只要能理解并记忆基本知识即可准确解答．
27．点P为直线l外一点，点A、B、C为直线l上三点，PA=1，PB=2，PC=3，则点P到直线l的距离为（ ）
A．等于1 B．小于1 C．不大于1 D．不小于1
【答案】C
【分析】
根据“直线外一点到直线上各点的所有线段中，垂线段最短”进行解答．
【详解】
解：∵直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，
∴点P到直线l的距离h≤PA，即h≤1．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了点到直线的距离，熟知直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离是解答此题的关键．
28．如图所示，，垂足分别为A、D，已知，则点A到线段的距离是（ ）
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A．10 B．8 C．6 D．4.8
【答案】D
【分析】
根据三角形高的定义可知，AD长度就是点A到线段BC的距离，根据此解答即可．
【详解】
解：∵AD⊥BC，AD=4.8，
∴点A到线段BC的距离是4.8．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了三角形的高的概念，结合图形找出△ABC边BC上的高是解题的关键．
29．下列四种说法：①从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离；②连结两点的连线的长度，叫做两点间的距离；③已知线段AB＝5cm，AC＝3cm，线段BC长不可能为3cm；④若锐角的补角和锐角的余角互补，则和互余（ ）21·世纪*教育网
A．①④ B．②③ C．①③ D．①②④
【答案】A
【分析】
根据点到直线的距离的定义判断①；两点间的距离的定义判断②；分别讨论C点的位置，来判断③；根据余角定义和补角定义推出∠α与∠β的关系判断④．
【详解】
①对，从直线外一点到这条直线的垂线段长度，叫做点到直线的距离；
②错，连接两点的线段的长度，叫做两点间的距离；
③错，若A、B、C三点不在同一条直线上，此时线段BC长可能为3cm；
④对，锐角的补角为，锐角的余角为，
∵的补角与的余角互补，
，
∴，即与∠β互余．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了直线和线段的性质，两点间的线段叫做两点的距离，补角和余角的定义，解答此类题目时，要耐心的对每一项进行判断，最后选出正确选项．2·1·c·n·j·y
30．下列说法正确的个数是（ ）
①射线与射线是同一条射线；
②点到点的距离是线段；
③画一条长为的直线；
④在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【分析】
根据射线、直线、线段及垂线的概念可直接进行排除选项．
【详解】
解：①射线MN与射线不是同一条射线，因为端点不一样，故错误；
②点到点的距离是线段的长度，故错误；
③因为直线是无法度量的，所以不能说画一条长为3cm的直线，故错误；
④在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，正确；
∴正确的个数只有④一个；
故选B．
【点睛】
本题主要考查射线、直线、线段及垂线的概念，正确理解射线、直线、线段及垂线的概念是解题的关键．
二、填空题
31．如图，在三角形ABC中，∠ ( http: / / www.21cnjy.com )ACB=90°，AC=15，BC=20，AB=25，点P为直线AB上的一动点，连接PC，则线段PC的最小值是______________
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【答案】12
【分析】
作CP⊥AB于P，根据垂线段最短可知此线段PC就是最小值，根据三角形的面积公式求出PC即可．
【详解】
解：作CP⊥AB于P，如图：
由垂线段最短可知，此时PC最小，
S△ABC＝×AC×BC＝×AB×PC，即×15×20＝×25×PC，
解得，PC＝12，
故答案为：12．
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【点睛】
本题考查的是三角形的面积公式、垂线段最短．解题的关键是熟知垂线段最短的性质．
32．如图，直线，相交于点，，．则_____；
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】60
【分析】
先利用已知结合平角的定义得出∠BOD的度数，再利用垂线的定义结合互余的定义分析得出答案．
【详解】
解：∵∠BOD：∠BOC=1：5，∠BOD+∠BOC=180°，
∴∠BOD=×180°=30°，
∵OE⊥CD，
∴∠DOE=90°，
∴∠BOE=90°-∠BOD=90°-30°=60°．
故答案为：60．
【点睛】
此题主要考查了垂线以及邻补角．能够正确得出∠BOD的度数是解题关键．
33．如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥CD．若∠EOB＝2∠AOC，则∠AOD的度数为 _______．
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【答案】150°
【分析】
应用垂直定义和对顶角相等，设未知数列方程求解．
【详解】
解：设∠AOC=x，则∠EOB=2x．
∵OE⊥CD，
∴∠EOC=∠EOD=90°，
∵∠AOC=∠BOD，且∠BOD+∠EOB=∠EOD=90°，
∴x+2x=90°，
∴x=30°，2x=60°，
即∠EOB=60°，
∴∠AOD=∠BOC=∠EOB+∠EOC=60°+90°=150°．
故答案为：150°
【点睛】
本题考查了对顶角的性质，垂直定义，通过设未知数列方程解题，熟练掌握这些方法是解题的关键．
34．如图，直线EF，CD相交于点O，OA⊥OB，OD平分∠AOF，若∠FOD＝4∠COB，则∠AOE___．
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【答案】36°
【分析】
根据OA⊥OB，∠FOD＝4∠COB求得∠BOC，∠AOD,再根据OD平分∠AOF，平角的定义求得∠AOE
【详解】
解：∵OA⊥OB，
∴∠AOB＝90°，
∵∠FOD＝4∠COB，
∴设∠BOC＝x°，则∠FOD＝4x°，
∵OD平分∠AOF，
∴∠AOD＝∠FOD＝4x°，
∴x+4x+90°＝180°，
解得：x＝18，
∴∠BOC＝18°，
∴∠FOD＝∠AOD＝18°×4＝72°，
∴∠AOE＝180°-∠FOD -∠AOD =180°﹣72°﹣72°＝36°，
故答案为：36°．
【点睛】
本题考查了垂直的定义，角平分线的定义，平角的定义，通过设未知数求得∠BOC是解题的关键．
35．下列语句：
①两条直线相交，若其中一个交角是直角，那么这两条直线垂直；
②一条直线的垂线有无数条；
③空间内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
④两条直线相交成四个角，如果有两个角相等，那么这两条直线垂直；
其中正确的是__________．
【答案】①②
【分析】
解此题必须严格按照垂线的定义“两条直线 ( http: / / www.21cnjy.com )相交成直角”及垂线的性质“过平面内任意一点，即过直线上或直线外任意一点，有且仅有一条直线与已知直线垂直”来作判断．【出处：21教育名师】
【详解】
解：①两条直线相交，若其中一个交角是直角，那么这两条直线垂直，正确；
②一条直线的垂线有无数条，正确，过任意一点都可以作；
对于③只有在“同一平面内”才成立，因为空 ( http: / / www.21cnjy.com )间内，当这点在直线上时，过这点无数条直线与已知直线垂直，当这点在直线外时，过这点也有无数条直线与已知直线垂直，故③错误；
④错误，必须是两个邻角相等，如下图：
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故答案为：①②．
【点睛】
此题主要考查垂线的定义，解题的关键是熟知相交直线之间的特点与垂直的定义．
36．如图，直线AB、CD相交于点O，EO⊥OF，且OC平分∠AOE，若∠BOF＝38°，则∠DOF＝___度．
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【答案】26
【分析】
首先根据OE⊥OF，∠BOF ( http: / / www.21cnjy.com )＝38°，求出∠BOE＝52°；然后求出∠AOE＝128°，再根据OC平分∠AOE，求出∠AOC的度数；最后根据∠BOD和∠AOC互为对顶角，求出∠BOD的度数，即可求出∠DOF的度数．
【详解】
解：∵OE⊥OF，
∴∠EOF＝90°，
∵∠BOF＝38°，
∴∠BOE＝90°﹣38°＝52°，
∴∠AOE＝180°﹣∠BOE＝180°﹣52°＝128°，
又∵OC平分∠AOE，
∴∠AOC＝∠AOE＝×128°＝64°，
∵∠BOD和∠AOC互为对顶角，
∴∠BOD＝∠AOC＝64°，
∴∠DOF＝∠BOD﹣∠BOF＝64°﹣38°＝26°．
故答案为：26．
【点睛】
本题考查了角的加减，掌握垂直的定义，角平分线的性质以及平角的定义是解题的关键.
三、解答题
37．如图，平面内有两条直线l1，l2点A在直线l1上，按要求画图并填空：
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（1）过点A画l2的垂线段AB，垂足为点B；
（2）过点A画直线AC⊥l1，交直线l2于点C；
（3）过点A画直线AD∥l2；
（4）若AB＝12，AC＝13，则点A到直线l2的距离等于 ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）12．
【分析】
（1）根据垂线段的定义画出即可；
（2）根据垂线的定义画出即可；
（3）根据平行线的定义画出即可；
（4）根据点到直线间的距离求解即可得到答案．
【详解】
解：（1）如图所示；
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（2）如图所示；
（3）如图所示；
（4）点到直线间的距离，即垂线段的长度，
所以，点A到直线l2的距离等于12，
故答案为：12．
【点睛】
本题考查作图-复杂作图，垂线，平行线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
38．如图所示，一辆汽车在直线形公路AB上由A向B行驶，M、N分别是位于公路两侧的村庄．
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（1）设汽车行驶到公路 ( http: / / www.21cnjy.com )AB上点P位置时，距离村庄M最近；行驶到点Q位置时，距离村庄N最近，请在图中的公路AB上分别画出点P和点Q的位置(保留作图痕迹)．21教育网
（2）当汽车从A出发向B行驶时，在公路 ( http: / / www.21cnjy.com )AB的哪一段路上距离M、N两村庄都越来越近 在哪一段路上距离村庄N越来越近，而离村庄M越来越远 (分别用文字表述你的结论，不必说明)
【答案】（1）作图见解析；（2）当汽车 ( http: / / www.21cnjy.com )从A向B行驶时，在AP这段路上，离两个村庄越来越近；在PQ这段路上，离村庄M越来越远，离村庄N越来越近．
【分析】
（1）点与直线的连线中，垂线段最短，所以，．
（2）观察图形可以得到在AP这段路上，离两个村庄越来越近；在PQ这段路上，离村庄M越来越远，离村庄N越来越近．
【详解】
解：(1)过点M作，垂足为P，过点N作，垂足为Q，点P、Q就是要画的两点，如图所示．
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(2)当汽车从A向B行驶时，在AP这段路上，离两个村庄越来越近；在PQ这段路上，离村庄M越来越远，离村庄N越来越近．
【点睛】
本题主要考查了点与直线距离以及尺规作图相关知识，熟练掌握点与直线的距离和尺规作图是解决本题的关键．
39．如图，内有一点P，请完成下列各题：
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（1）过点P画交于点C；
（2）过点P画的垂线段，垂足为点D；
（3）比较线段与的长短，用“<”连接，并说明依据．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）PC＞PD
【分析】
（1）根据平行线的画法画图即可；
（2）根据垂线段的画法画图即可；
（3）根据垂线段最短可得结果．
【详解】
解：（1）如图，PC即为所画；
（2）如图，PD即为所画；
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（3）由垂线段最短可知：PC＞PD．
【点睛】
本题考查了平行线和垂线的画法，垂线段最短，属于基础知识．
40．如图，是内一点，按要求完成下列问题：
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（1）过点作的垂线，垂足为点；
（2）过点作的平行线，交于点；
（3）比较线段和的大小，并说明理由
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3），理由见解析
【分析】
（1）利用过一点作已知直线的垂线作法得出答案；
（2）利用过一点作已知直线的平行线的作法得出答案；
（3）根据垂线段最短可得答案．
【详解】
（1）如图所示：PD即为所求；
（1）如图所示：PE即为所求；
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（3），
理由：直线外一点和直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．
【点睛】
本题主要考查了基本作图，正确掌握作图方法是解题关键．
41．已知：如图，四边形．
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（1）过点画直线交于；
（2）过点画线段于；比较线段与的大小： （“”“”或“”填空），你的依据是 ．
（3）测量点到直线的距离为 ．（精确到）
【答案】（1）见解析；（2）见解析；＞；垂线段最短；（3）2.5
【分析】
（1）根据平行线的定义作图即可；
（2）根据垂线段的定义作图，再利用垂线段的性质即可得；
（3）根据点到直线的距离，利用直尺测量即可得．
【详解】
解：（1）如图，AE即为所求；
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（2）如图所示，DF即为所求，
根据垂线段的性质知DE＞DF，
故答案为：＞；
（3）利用直尺测量即可得，点B到直线AF的距离BF的长为2.5cm，
故答案为：2.5cm．
【点睛】
本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是熟练掌握平行线的定义和垂线的定义及垂线段性质．
42．如图，平面上四个点A，B，C，D，按要求完成下列问题：
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（1）画射线与直线相交于E点；
（2）在直线上找一点M，使线段最短，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）画射线AB与直线CD，交点记为E点；
（2）根据垂线段最短作出垂线段即可求解．
【详解】
解：（1）如图所示：
（2）如图所示：理由是垂线段最短．
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【点睛】
此题主要考查了直线、射线、线段，以及垂线段，关键是掌握直线、射线、线段的性质．
43．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝58°，∠1＝20°．
（1）求∠2的度数；
（2）若OF⊥OE，求∠DOF的度数．
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【答案】（1）38°；（2）52°
【分析】
（1）根据对顶角相等可得∠BOD＝58°，然后利用角的和差计算求解；
（2）根据垂直定义及角的和差关系列式计算即可求解．
【详解】
解：（1）∵∠AOC＝∠BOD，∠AOC＝58°．
∴∠BOD＝58°．
∵∠1＝20°．
∴∠2＝∠BOD﹣∠1＝38°．
（2）∵OF⊥OE．
∴∠EOF＝90°．
∴∠DOF＝90°﹣∠2＝52°．
【点睛】
本题考查垂直定义，以及对顶角相等，属于基础题，掌握相关概念正确推理计算是解题关键．
44．如图，A、B、C是网格图中的三点．
（1）画线段AB、射线AC、直线BC；
（2）过点C画AB的垂线段BE；
（3）ABC的面积为 ．
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【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）4.5
【分析】
（1）直接利用射线、直线、线段的定义分析得出答案；
（2）直接利用网格作出垂线段即可；
（3）利用△ABC所在矩形减去周围三角形面积得出答案．
【详解】
解：（1）如图所示：线段AB、射线AC、直线BC，即为所求；
（2）如图所示：BE即为所求；
（3）△ABC的面积为：2×5﹣×1×2﹣×1×4﹣×1×5＝4.5．
故答案为：4.5．
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【点睛】
此题主要考查了应用设计与作图，正确掌握三角形面积求法是解题关键．
45．按照要求完成下列问题：
如图，直线和相交于点，点为上一点．
（1）过点作的垂线，交于点；
（2）过点作的垂线，交于点；
（3）比较线段和的大小：______．
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【答案】（1）作图见详解；（2）作图见详解；（3）．
【分析】
（1）、（2）利用题中几何语言画出对应的几何图形即可；
（3）根据垂线段最短求解即可．
【详解】
解：（1）如图，为所作；
（2）如图，为所作；
（3）利用垂线段最短可判断．
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【点睛】
本题考查了作图-基本作图，垂线段最短的性质，熟悉相关性质是解题的关键．
46．如图，所有小正方形的边长都为1个单位，点A、B、C均在格点上．
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（1）过点C画线段AB的平行线CD；
（2）过点A画线段AB的垂线，交线段CB的延长线于点E；
（3）线段AE的长度是点 到直线 的距离；
（4）△ABE的面积等于 ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）E，AB；（4）4．
【分析】
（1）根据要求画出图形即可；
（2）根据垂线的定义画出图形即可；
（3）根据点到直线的距离的定义判断即可；
（4）利用三角形的面积公式计算即可．
【详解】
解：（1）如图，直线CD即为所求作．
（2）如图，直线AE即为所求作．
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（3）线段AE的长度是点E到直线AB的距离．
故答案为：E，AB．
（4）△ABE的面积，
故答案为：4．
【点睛】
本题考查作图-应用与设计，平行线的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．21世纪教育网版权所有
47．如图，已知直线AB和CD相交于O点，∠DOE是直角，OF平分∠AOE，∠BOD＝22°，求∠COF的度数．21·cn·jy·com
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【答案】34°
【分析】
利用图中角与角的关系即可求得．
【详解】
解：是直角，
，
又，
，
又平分，
，
．
【点睛】
此题考查的知识点是垂线、角的计算及对顶角知识，关键是根据垂线、角平分线定义得出所求角与已知角的关系转化求解．21教育名师原创作品
48．为了落实“村村通管道煤气”工程，煤气公司准备向村庄C铺设煤气管线，三个村庄的位置如图所示（假设煤气管线铺设线路上无任何障碍）．
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（1）若准备自村庄A向村庄C修建煤气管线，怎样铺设最节省？请你画出示意图；
（2）若线段表示的是村庄之间铺设的煤气管线，准备从线段上取一个点D，向村庄C修建一条煤气管线，怎样铺设最节省？请你画出示意图．
【答案】（1）见详解；（2）见详解
【分析】
（1）根据两点之间线段最短可直接进行作图；
（2）根据点到直线垂线段最短可直接进行作图．
【详解】
解：（1）由题意可得如图所示：
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（2）根据题意需作CD⊥AB即可，如图所示：
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∴线段CD即为所求．
【点睛】
本题主要考查线段与垂线段，熟练掌握线段与垂线段的意义是解题的关键．
49．在如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，点都在格点上．
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（1）找一格点，使得直线，画出直线；
（2）找一格点，使得直线于点，画出直线，并注明垂足．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）根据直线的定义，平行线的定义画出图形即可．
（2）根据直线的定义，垂线的定义画出图形即可．
【详解】
解：（1）直线CD如图所示；
（2）直线AE，点F如图所示．
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【点睛】
本题考查作图-应用与设计作图，平行线的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
50．如图所示，一辆汽车在直线公路上由向行驶，分别为位于公路两侧的村庄．
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（1）设汽车行驶到公路上点的位置时，距离村庄最近，行驶到点位置时，距离村庄最近，请在图中公路上分别画出点和点的位置；【来源：21·世纪·教育·网】
（2）当汽车从出发向行驶时，在公路的哪一段上距离两村庄都越来越近？在哪一段公路上距离村庄越来越近，而离村庄越来越远？（分别用文字表述你的结论）www-2-1-cnjy-com
【答案】（1）见解析；（2）在段距离，两村庄越来越近；在线段段距离村庄越来越近，距离村庄越来越远
【分析】
（1）直接利用垂线段最短进而得出答案；
（2）结合（1）中的图形，利用线段AP、PQ、BQ即可解决问题．
【详解】
解：（1）如图所示：点P，Q即为所求；
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（2）在AP段距离M，M两村庄越来越近，
在线段PQ段距离村庄N越来越近，距离村庄M越来越远．
【点睛】
本题主要考查了应用设计与作图，正确把握相关性质是解题关键．本题需仔细分析题意，利用图形，结合垂线段的性质即可解决问题．
51．如图，已知、、、是正方形网格纸上的四个格点，根据要求在网格中画图并标注相关字母．
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（1）画线段；
（2）画直线；
（3）过点画的垂线，垂足为；
（4）在直线上找一点，使得最小．
【答案】见解析
【分析】
（1）连接AB即可；
（2）过点A、C作直线即可；
（3）根据垂直平分线的性质并结合网格的特点确定点E再作直线DE即可；
（4）连接BD与AC的交点即为所求．
【详解】
解：如图
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【点睛】
本题考查的是作图-复杂作图，熟知直线、线段的定义及网格的特点是解答此题的关键．
52．如图，直线、相交于点，，．若是的平分线，求的度数．
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【答案】45°
【分析】
结合垂直和角平分线的定义求得∠1和∠2的度数，然后再利用垂直的定义求解∠3．
【详解】
解：∵
∴
∵平分
∴∠1＝∠2＝
又∵
∴
∴∠2＋∠3＝
∴．
【点睛】
本题考查垂直和角平分线的定义，正确理解题意进行角度的和差计算是解题关键．
53．（1）如图，过点A画直线BC的垂线，并注明垂足为G；过点A画直线AB的垂线，交BC于点H．
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（2）线段 的长度是点A到直线BC的距离．
（3）线段AG、AH的大小关系为AG AH．（用符号>，<，=，表示）．理由是 ．
【答案】（1）见解析；（2）AG；（3）<，垂线段最短
【分析】
（1）利用三角板的两条直角边画图即可；
（2）根据点到直线的距离的定义解答即可；
（3）根据垂线段最短解答即可．
【详解】
解：（1）如图，
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（2）∵AG是BC的垂线，
∴线段AG的长度是点A到直线BC的距离，
故答案为：AG；
（3）线段AG、AH的大小关系为AG
故答案为：<，垂线段最短．
【点睛】
本题考查了作垂线，点到直线的距离，以及垂线段最短的性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
54．如图，已知一条笔直的公路l的附近有A，B，C三个村庄．
（1）画出村庄A，C间距离最短的路线；
（2）加油站D在村庄B，C所在直线与公路l的交点处，画出加油站D的位置；
（3）画出村庄C到公路l的最短路线，作图依据是____________，测量______（精确到）；如果示意图与实际距离的比例尺是1∶200000，通过你的测量和计算，在实际中村庄C到公路l的最短路线为________．
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【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）垂线段最短；1.6；3.2；见解析
【分析】
(1)根据两点之间线段最短，连接即可， ( http: / / www.21cnjy.com )
(2)两条直线的交点就是加油站的位置，
(3)依据点到直线的所有线段中，垂线段最短，和比例尺的意义可得．
【详解】
解：（1）如图所示．根据两点之间线段最短，连接AC，
（2）如图所示．连接直线BC,直线BC与公路l的交点，即为加油站D，
（3）如图所示．
作图依据：垂线段最短．
过点C作CE⊥l,交点为E,
测量CE，．
∵示意图与实际距离的比例尺是1∶200000
∴CE：实际距离=1：200000
实际距离=200000×1.6=320000cm=3.2km
在实际中村庄C到公路l的最短线路为．
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【点睛】
本题考查了两条直线的交点，垂线段最短，以及过直线外一点作已知直线的垂线，以及比例尺，解题的关键是掌握两点之间线段最短，以及垂线段最短．www.21-cn-jy.com
55．已知，是直线上一点，，平分．
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（1）如图1，若，则的度数为______；若，则的度数为______（用含有的式子表示）．
（2）将图1中的绕顶点按顺时针方向旋转至图2的位置，试探究与的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由．
（3）将图1中的绕顶点按逆时针方向旋转至图3的位置，其他条件不变，若，则的度数为______（用含有的式子表示），并说明理由．
【答案】（1）20°，；（2），理由见解析；（3），理由见解析
【分析】
（1）根据邻补角定义先求出的度数，再由OE平分求出，最后由求得结果；
【详解】
解：（1）当时，
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∵，
∴．
∵平分，
∴．
∵，
∴，
∴．
当时，
∵，，
∴．
∴平分，
∴．
∵，
∴，
∴．
故答案为：20°，．
（2）结论：．
理由：∵，
∴．
∵平分，
∴．
∵，
∴，
∴．
（3）
理由：∵，，平分，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了角的和差运算，邻补角定义，角平分线定义，两角的互余关系，正确理解两角互余互补以及角的和差运算是解本题的关键．21cnjy.com
56．在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点都叫做格点．已知点A、B、C都在格点上． 按下列要求画图：
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（1）过点C和一格点D画直线CD，使AB∥CD；过点C和一格点E画AB的垂线CE，垂足为F，并在图中标出格点D和E；
（2）线段 的长度是点C到AB的距离；
（3）求三角形ABC的面积．
【答案】（1）见解析；（2）CF；（3）3
【分析】
（1）根据网格的特点即可作图，画出直线CD，CE，标出F点的位置；
（2）根据点到直线的距离的定义即可判断；
（3）根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】
(1) 如图，直线CD，CE为所求，F点为所求；
(2)由图可知，线段CF的长度是点C到AB的距离；
故答案为：CF；
(3)△ABC的面积为3．
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【点睛】
此题主要考查直线、线段、垂线的作图，解题的关键是熟知垂线的定义．
57．画图并度量，已知点A是直线l上一点，点M、N是直线l外两点，画图：
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（1）画线段，并用刻度尺找出它的中点B；
（2）画直线，交直线l于点C，并用量角器画出的平分线；
（3）画出点M到直线l的垂线段，并度量点M到直线l的距离为__．（精确到）
【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）4.0．
【分析】
（1）用刻度尺画出线段MA，量得线段AM=4.5cm，在线段MA上画以A为端点，长为cm的线段，这个线段的另一个端点就是线段MA的中点；21*cnjy*com
（2）如图，用直尺过点M、N画直线MN，测出，再画出以点C为顶点，AC为一边的角 ，则CD即为所求的的平分线CD；
（3）如图，用三角板画点M到直线l的垂线段，测得线段MH=4.0cm
【详解】
解：（1）如图，连结AM，测得AM=4.5cm，在线段AM上画以A为端点，长为cm的线段AB，点B即是所求线段AM的中点，
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（2）如图，①用直尺过点M、N画直线MN，
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②测出，再画出以点C为顶点，AC为一边的角 ，则CD即为所求的的平分线CD；
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（3）如图，用三角板画点M到直线l的垂线段，测得线段MH=4.0cm，
故答案为：4.0cm．
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【点睛】
本题考查作图-复杂作图，直线，射线，线段，垂线段，测量线段和角的大小等知识，解题的关键是熟练掌握作图的基本知识，属于常考题型．
58．已知，如图，点、分别代表两个村庄，直线代表两个村庄之间的一条燃气管道，根据村民燃气需求，计划在管道上某处修建一座燃气管理站，向两村庄接入管道．
（1）若计划建一个离村庄最近的燃气管理站，请画出燃气管理站的位置（用点表示），这样做的依据是________________________________________．
（2）若考虑到管道铺设费用问题，希望燃气管理站的位置到村庄、村庄距离之和最小，画出燃气管理站的位置（用点表示），这样做的依据是___________________________．
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【答案】（1）画图见详解，垂线段最短；（2）画图见详解，两点之间，线段最短．
【分析】
（1）根据连结直线外一点M，与直线上个点的所有线中，垂线段最短，过点M作MP⊥直线l，则P点为所求；
（2）利用所有连结两点的线中，线段最短，连结MN与直线l交于Q，则Q点为所求．
【详解】
（1）∵计划建一个离村庄最近的燃气管理站，
过点M作MP⊥直线l，
则MP为垂线段，
∴点P为所求，
根据连结直线外一点M，与直线上个点的所有线中，垂线段最短，
故答案为：垂线段最短；
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（2）∵燃气管理站的位置到村庄、村庄距离之和最小，
∴连结MN，
∵根据所有连结两点的线中，线段最短，
∴MQ+NQ=MN，
∴点Q为所求．
故答案为：两点之间，线段最短．
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【点睛】
本题考查垂线段最短，与两点之间， ( http: / / www.21cnjy.com )线段最短问题，掌握垂线段，与线段的定义，会利用垂线段最短，与两点之间，线段最短问题解释生活中实际问题是解题关键．
59．如图，所有小正方形的边长都是1个单位，A B C均在格点上仅用无刻度直尺画图：
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（1）过点A画线段的平行线；
（2）过点B画线段的垂线，垂足为B；
（3）过点C画线段的垂线，垂足为E；
（4）线段的长度是点C到直线________的距离；
（5）线段 的大小关系是_________（用“<”连接），理由是__________________．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）；（5）；垂线段最短．
【分析】
（1）（2）（3）利用网格 ( http: / / www.21cnjy.com )的特点直接作出平行线及垂线即可； （4）利用垂线段的性质直接回答即可； （5）利用垂线段最短比较两条线段的大小即可．
【详解】
（1）如图，直线即为所求；
（2）如图，直线即为所求
（3）如图，直线即为所求；
（4）
（5）；垂线段最短．
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【点睛】
本题考查了垂线段最短和点到直线的距离的知识，解题的关键是理解有关垂线段的性质及能进行简单的基本作图．
60．如图，汽车站、码头分别位于两点，直线b和波浪线分别表示公路与河流．
（1）从汽车站A到码头B怎样走最近？画出最近路线，并说明理由；
（2）从码头B到公路b怎样走最近？画出最近路线，并说明理由．（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）
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【答案】（1）汽车站到码头走最近，见解析；（2）码头到公路走垂线段最近，见解析
【分析】
（1）连接AB，即得到最近路线；
（2）过点B作于点C，即得到最近路线．
【详解】
解：（1）如图，汽车站到码头走最近，
理由：两点之间线段最短；
（2）如图，码头到公路走垂线段最近，
理由：垂线段最短．
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【点睛】
本题考查线段的性质，解题的关键是掌握线段的性质和作图方法．
61．如图，直线与相交于点，．
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（1）如果，那么根据____________，可得_____________．
（2）如果，求的度数．
【答案】（1）对顶角相等，130；（2）150°
【分析】
（1）利用对顶角相等的性质解答即可；
（2）根据对顶角相等，可知∠AOC=∠BOD，结合，即可求解．
【详解】
解：（1）∵，
∴130°（对顶角相等），
故答案是：对顶角相等，130；
（2）∵，
∴∠EOD=90°，
∵∠AOC=∠BOD，，
∴，
又∵，即：3∠BOD=90°，
∴∠BOD=30°，
∴∠AOD=180°-30°=150°．
【点睛】
本题考查了对顶角的性质，平角的定义，垂直的定义，熟练掌握上述性质和定义是解题的关键．
62．如图，直线、、相交于点O，，平分，．
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（1）求的度数；
（2）平分吗？请说明理由．
【答案】（1）30°；（2）平分，理由见解析
【分析】
（1）由对顶角的性质求解 再利用角平分线的定义可得：，从而可得答案；
（2）利用垂直的定义证明： 再利用，求解 结合 从而可得结论．
【详解】
解：（1）∵，
∴．
∵平分，
∴，
∴的度数为．
（2）平分．理由如下：
∵，
∴
∵，
∴
∴．
∵，
∴平分．
【点睛】
本题考查的是角平分线的定义，垂直的性质，角的和差，掌握以上知识是解题的关键．
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6.5 垂直
【基础训练】
一、单选题
1．如图，把小河里的水引到田地A处，若使水沟最短，则过点A向河岸l作垂线，垂足为点B，沿AB挖水沟即可，理由是（ ）21世纪教育网版权所有
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A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短
C．两点确定一条直线 D．过一点可以作无数条直线
2．如图，从人行横道线上的点P处过马路，沿线路PB行走距离最短，其依据的几何学原理是（ ）
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A．垂线段最短
B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
3．如图所示，三角形中，，过点画，则下列说法不正确的是（ ）
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A．线段是点与直线上各点连接的所有线段中最短的
B．线段是点到直线的垂线段
C．点到直线的距离是线段的长
D．点到直线的距离是线段的长
4．在铁路旁有一城镇，现打算从城镇修一条和铁路垂直的道路，这种方案是唯一的，是因为( )
A．经过两点有且只有一条直线
B．两点之问的所有连线中，线段最短
C．在同一平面内，两直线同时垂直同一条直线，则这两直线也互相垂直．
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
5．下列图形中，线段AD的长表示点A到直线BC距离的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
6．已知P是直线m外一点，A、B、C是直线m上一点，且，那么点P到直线m的距离为（ ）
A．等于2 B．大于2 C．小于或等于2 D．小于2
7．如图，三角形中，，，则图中能表示点到直线的距离的线段有（ ）条．
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A．6 B．5 C．4 D．3
8．如图，已知直角中，，于点，则表示点到直线距离的是（ ）
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A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度
9．如图，在立定跳远中，体育老师是这 ( http: / / www.21cnjy.com )样测量运动员的成绩的，用一块三角尺的一边紧贴在起跳线上，另一边与拉直的皮尺重合，这样做的理由是（ ）www.21-cn-jy.com
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A．两点之间，线段最短 B．过两点有且只有一条直线
C．过一点可以作无数条直线 D．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
10．如图，某单位要在河岸l上建一个水泵 ( http: / / www.21cnjy.com )房引水到C处，他们的做法是：过点C作CD⊥l于点D，将水泵房建在了D处．这样做最节省水管长度，其数学道理是（ ）21·世纪*教育网
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A．两点之间，线段最短 B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．两点确定一条直线 D．直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短
11．如图，河道l的同侧有A，B两个村庄，计划铺设一条管道将河水引至A，B两地，下面的四个方案中，管道长度最短的是（ ）21*cnjy*com
A． B．
C． D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
12．点A为直线a外一点，点B是直线a上点，点A到直线a的距离为5，则AB的长度一定不是（ ）
A．10 B．8 C．5 D．3
13．如图，，，则下列的结论中：①点到的垂线段是线段；②线段是点到的垂线段；③线段是点到的垂线段；④线段是点到的垂线段．正确的个数是（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
14．如图，点P在直线l外，点A、B在直线l上，PA=4，PB＝7，则点P到直线l的距离可能是（ ）
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A．3 B．4 C．5 D．7
15．如图，在中，，是边上一点，且，那么下列说法中错误的是（ ）
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A．直线与直线的夹角为 B．直线与直线的夹角为
C．线段的长是点到直线的距离 D．线段的长是点到直线的距离
16．如图，直线AB，CD相交于点O，OF⊥OC于O，OE平分∠AOF，如果∠COE=15°，那么∠BOD的度数是（ ）2-1-c-n-j-y
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A．75° B．50° C．60° D．70°
17．下列说法中，错误的是（ ）
A．过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
B．在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线最短
C．经过直线外一点，有且只有一条直线平行于这条直线
D．同位角相等，两直线平行
18．点A为直线a外一点，点B是直线a上一点，点A到直线a的距离为5cm，则AB的长度可能为（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．18cm
19．如图，从人行横道线上的点处过马路，下列线路中最短的是（ ）
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A．线路 B．线路
C．线路 D．线路
20．点P是直线1外一点，且，则点P到直线的距离（ ）
A．小于等于 B．等于 C．大于 D．不确定
21．如图：P为直线外一点，点A，B，C在直线上，且PB⊥，垂足为B，∠APC＝90°，则下列语句错误（ ）
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A．线段PB的长叫做点P到直线l的距离 B．线段AC的长叫做点C到直线AP的距离
C．PA、PB、PC三条线段中， PB是最短的 D．线段PA的长叫做点A到直线PC的距离
22．如图所知，已知OA⊥BC，垂 ( http: / / www.21cnjy.com )足为点A，联结OB，下列说法：①线段OB是O、B两点的距离；②线段AB的长度表示点B到OA的距离；③因为OA⊥BC，所以∠CAO=90°；④线段OA的长度是点O到直线BC上点的最短距离．其中错误的有（ ）．【来源：21cnj*y.co*m】
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
23．如图，直线AB、CD相交于点O，若，，则等于（ ）
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A． B． C． D．
24．下列说法正确的是（ ）
A．有且只有一条直线垂直于已知直线
B．从直线外一点到已知直线的垂线段，叫做到这条直线的距离
C．直线外一点与直线上各点连接而成的所有线段中最短线段的长度是，则点到直线的距离是
D．互相垂直的两条线段相交
25．如图所示，下列说法不正确的是（ ）
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A．线段是点到的垂线段 B．线段是点到的垂线段
C．点到的垂线段是线段 D．点到的垂线段是线段
26．下列结论错误的是（ ）
A．等角的补角相等
B．线段AB和线段BA表示同一条线段
C．相等的角是对顶角
D．平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
27．点P为直线l外一点，点A、B、C为直线l上三点，PA=1，PB=2，PC=3，则点P到直线l的距离为（ ）
A．等于1 B．小于1 C．不大于1 D．不小于1
28．如图所示，，垂足分别为A、D，已知，则点A到线段的距离是（ ）
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A．10 B．8 C．6 D．4.8
29．下列四种说法：①从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离；②连结两点的连线的长度，叫做两点间的距离；③已知线段AB＝5cm，AC＝3cm，线段BC长不可能为3cm；④若锐角的补角和锐角的余角互补，则和互余（ ）www-2-1-cnjy-com
A．①④ B．②③ C．①③ D．①②④
30．下列说法正确的个数是（ ）
①射线与射线是同一条射线；
②点到点的距离是线段；
③画一条长为的直线；
④在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
31．如图，在三角形ABC中，∠A ( http: / / www.21cnjy.com )CB=90°，AC=15，BC=20，AB=25，点P为直线AB上的一动点，连接PC，则线段PC的最小值是______________21cnjy.com
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32．如图，直线，相交于点，，．则_____；
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33．如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥CD．若∠EOB＝2∠AOC，则∠AOD的度数为 _______．
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34．如图，直线EF，CD相交于点O，OA⊥OB，OD平分∠AOF，若∠FOD＝4∠COB，则∠AOE___．
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35．下列语句：
①两条直线相交，若其中一个交角是直角，那么这两条直线垂直；
②一条直线的垂线有无数条；
③空间内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
④两条直线相交成四个角，如果有两个角相等，那么这两条直线垂直；
其中正确的是__________．
36．如图，直线AB、CD相交于点O，EO⊥OF，且OC平分∠AOE，若∠BOF＝38°，则∠DOF＝___度．
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三、解答题
37．如图，平面内有两条直线l1，l2点A在直线l1上，按要求画图并填空：
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（1）过点A画l2的垂线段AB，垂足为点B；
（2）过点A画直线AC⊥l1，交直线l2于点C；
（3）过点A画直线AD∥l2；
（4）若AB＝12，AC＝13，则点A到直线l2的距离等于 ．
38．如图所示，一辆汽车在直线形公路AB上由A向B行驶，M、N分别是位于公路两侧的村庄．
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（1）设汽车行驶到公路AB ( http: / / www.21cnjy.com )上点P位置时，距离村庄M最近；行驶到点Q位置时，距离村庄N最近，请在图中的公路AB上分别画出点P和点Q的位置(保留作图痕迹)．21·cn·jy·com
（2）当汽车从A出发向B行驶时 ( http: / / www.21cnjy.com )，在公路AB的哪一段路上距离M、N两村庄都越来越近 在哪一段路上距离村庄N越来越近，而离村庄M越来越远 (分别用文字表述你的结论，不必说明)
39．如图，内有一点P，请完成下列各题：
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（1）过点P画交于点C；
（2）过点P画的垂线段，垂足为点D；
（3）比较线段与的长短，用“<”连接，并说明依据．
40．如图，是内一点，按要求完成下列问题：
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（1）过点作的垂线，垂足为点；
（2）过点作的平行线，交于点；
（3）比较线段和的大小，并说明理由
41．已知：如图，四边形．
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（1）过点画直线交于；
（2）过点画线段于；比较线段与的大小： （“”“”或“”填空），你的依据是 ．2·1·c·n·j·y
（3）测量点到直线的距离为 ．（精确到）
42．如图，平面上四个点A，B，C，D，按要求完成下列问题：
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（1）画射线与直线相交于E点；
（2）在直线上找一点M，使线段最短，并说明理由．
43．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝58°，∠1＝20°．
（1）求∠2的度数；
（2）若OF⊥OE，求∠DOF的度数．
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44．如图，A、B、C是网格图中的三点．
（1）画线段AB、射线AC、直线BC；
（2）过点C画AB的垂线段BE；
（3）ABC的面积为 ．
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45．按照要求完成下列问题：
如图，直线和相交于点，点为上一点．
（1）过点作的垂线，交于点；
（2）过点作的垂线，交于点；
（3）比较线段和的大小：______．
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46．如图，所有小正方形的边长都为1个单位，点A、B、C均在格点上．
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（1）过点C画线段AB的平行线CD；
（2）过点A画线段AB的垂线，交线段CB的延长线于点E；
（3）线段AE的长度是点 到直线 的距离；
（4）△ABE的面积等于 ．
47．如图，已知直线AB和CD相交于O点，∠DOE是直角，OF平分∠AOE，∠BOD＝22°，求∠COF的度数．【来源：21·世纪·教育·网】
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48．为了落实“村村通管道煤气”工程，煤气公司准备向村庄C铺设煤气管线，三个村庄的位置如图所示（假设煤气管线铺设线路上无任何障碍）．【出处：21教育名师】
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（1）若准备自村庄A向村庄C修建煤气管线，怎样铺设最节省？请你画出示意图；
（2）若线段表示的是村庄之间铺设的煤气管线，准备从线段上取一个点D，向村庄C修建一条煤气管线，怎样铺设最节省？请你画出示意图．【版权所有：21教育】
49．在如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，点都在格点上．
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（1）找一格点，使得直线，画出直线；
（2）找一格点，使得直线于点，画出直线，并注明垂足．
50．如图所示，一辆汽车在直线公路上由向行驶，分别为位于公路两侧的村庄．
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（1）设汽车行驶到公路上点的位置时，距离村庄最近，行驶到点位置时，距离村庄最近，请在图中公路上分别画出点和点的位置；21教育网
（2）当汽车从出发向行驶时，在公路的哪一段上距离两村庄都越来越近？在哪一段公路上距离村庄越来越近，而离村庄越来越远？（分别用文字表述你的结论）
51．如图，已知、、、是正方形网格纸上的四个格点，根据要求在网格中画图并标注相关字母．
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（1）画线段；
（2）画直线；
（3）过点画的垂线，垂足为；
（4）在直线上找一点，使得最小．
52．如图，直线、相交于点，，．若是的平分线，求的度数．
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53．（1）如图，过点A画直线BC的垂线，并注明垂足为G；过点A画直线AB的垂线，交BC于点H．
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（2）线段 的长度是点A到直线BC的距离．
（3）线段AG、AH的大小关系为AG AH．（用符号>，<，=，表示）．理由是 ．
54．如图，已知一条笔直的公路l的附近有A，B，C三个村庄．
（1）画出村庄A，C间距离最短的路线；
（2）加油站D在村庄B，C所在直线与公路l的交点处，画出加油站D的位置；
（3）画出村庄C到公路l的最短路线，作图依据是____________，测量______（精确到）；如果示意图与实际距离的比例尺是1∶200000，通过你的测量和计算，在实际中村庄C到公路l的最短路线为________．21*cnjy*com
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55．已知，是直线上一点，，平分．
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（1）如图1，若，则的度数为______；若，则的度数为______（用含有的式子表示）．
（2）将图1中的绕顶点按顺时针方向旋转至图2的位置，试探究与的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由．
（3）将图1中的绕顶点按逆时针方向旋转至图3的位置，其他条件不变，若，则的度数为______（用含有的式子表示），并说明理由．
56．在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点都叫做格点．已知点A、B、C都在格点上． 按下列要求画图：
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（1）过点C和一格点D画直线CD，使AB∥CD；过点C和一格点E画AB的垂线CE，垂足为F，并在图中标出格点D和E；
（2）线段 的长度是点C到AB的距离；
（3）求三角形ABC的面积．
57．画图并度量，已知点A是直线l上一点，点M、N是直线l外两点，画图：
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（1）画线段，并用刻度尺找出它的中点B；
（2）画直线，交直线l于点C，并用量角器画出的平分线；
（3）画出点M到直线l的垂线段，并度量点M到直线l的距离为__．（精确到）
58．已知，如图，点、分别代表两个村庄，直线代表两个村庄之间的一条燃气管道，根据村民燃气需求，计划在管道上某处修建一座燃气管理站，向两村庄接入管道．21教育名师原创作品
（1）若计划建一个离村庄最近的燃气管理站，请画出燃气管理站的位置（用点表示），这样做的依据是________________________________________．
（2）若考虑到管道铺设费用问题，希望燃气管理站的位置到村庄、村庄距离之和最小，画出燃气管理站的位置（用点表示），这样做的依据是___________________________．
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59．如图，所有小正方形的边长都是1个单位，A B C均在格点上仅用无刻度直尺画图：
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（1）过点A画线段的平行线；
（2）过点B画线段的垂线，垂足为B；
（3）过点C画线段的垂线，垂足为E；
（4）线段的长度是点C到直线________的距离；
（5）线段 的大小关系是_________（用“<”连接），理由是__________________．
60．如图，汽车站、码头分别位于两点，直线b和波浪线分别表示公路与河流．
（1）从汽车站A到码头B怎样走最近？画出最近路线，并说明理由；
（2）从码头B到公路b怎样走最近？画出最近路线，并说明理由．（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）
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61．如图，直线与相交于点，．
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（1）如果，那么根据____________，可得_____________．
（2）如果，求的度数．
62．如图，直线、、相交于点O，，平分，．
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（1）求的度数；
（2）平分吗？请说明理由．
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