6.5 垂直(提升训练)(原卷版+解析版)

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6.5 垂直
【提升训练】
一、单选题
1．如图所示，∠BAC=90°，A ( http: / / www.21cnjy.com )D⊥BC，垂足为D，则下列结论中，正确的个数为（　　）
①AB⊥AC；②AD与AC互相垂直；③点C到AB的垂线段是线段AB；④点A到BC的距离是线段AD；⑤线段AB的长度是点B到AC的距离；⑥线段AB是点B到AC的距离．21·cn·jy·com
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．点P为直线外一点：点A、B、C为直线上三点，PA＝4 cm，PB＝5 cm，PC＝2 cm，则点P到直线的距离是 ( )【来源：21·世纪·教育·网】
A．2 cm B．4 cm C．5 cm D．不超过2 cm
3．下列说法不正确的是（ ）
A．对顶角相等 B．两点确定一条直线
C．一个角的补角一定大于这个角 D．垂线段最短
4．如图，，，表示点到直线距离的是线段（ ）的长度
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A． B． C． D．
5．点P是直线l外一点，A为垂足，，且，则点P到直线l的距离（ ）
A．小于 B．等于 C．大于 D．不确定
6．如图，直线AB与CD相交于点O，∠BOD=40°，OE⊥AB，则∠COE的度数为（ ）
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A． B． C． D．
7．下面是黑板上出示的的尺规作图题
已知点和直线，求作：过点作直线的垂线．作法如下：①以点为圆心，长为半径作弧，交于点和；②作直线；③分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点；④任意取一点，使点和在的两旁．
已知以上作法步骤是排乱的，则正确的排序是（ ）
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A．④③①② B．④①③② C．①③④② D．①④③②
8．如图所示，直线AB，CD相交于点O，于点O，OF平分，，则下列结论中不正确的是（ ）21世纪教育网版权所有
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A． B．
C．与互为补角 D．的余角等于
9．如图，是直线外一点，过点作于点，在直线上取一点，连接，使，P在线段上，连接．若，则线段的长不可能是（ ）www.21-cn-jy.com
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A． B． C． D．
10．如图，∠1＝20 ，⊥，点、、 在同一条直线上，则∠2的度数为（ ）
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A．70 B．20 C．110 D．160
11．下列说法中错误的是（ ）
A．一个锐角的补角一定是钝角； B．同角或等角的余角相等；
C．两点间的距离是连结这两点的线段的长度； D．过直线l上的一点有且只有一条直线垂直于l
12．如图，在三角形中，，，点是线段上任意一点，连接，则线段的长不可能是（ ）
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A．3 B．4 C．5 D．6
13．已知点P为直线m外一点，点A，B，C ( http: / / www.21cnjy.com )为直线m上三点，PA＝4 cm，PB＝5 cm，PC＝2 cm，则点P到直线m的距离为( )2·1·c·n·j·y
A．4 cm B．5 cm C．小于2 cm D．不大于2 cm
14．如图，是直线外一点，，，三点在直线上，且于点，，则下列结论：①线段是点到直线的距离；②线段的长是点到直线的距离；③，，三条线段中，最短；④线段的长是点到直线的距离．其中正确的是（ ）21*cnjy*com
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A．②③ B．①②③ C．③④ D．①②③④
15．如图，若直线与相交于点，平分，且，则的度数为（ ）
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A． B． C． D．
16．如图，若AB，CD相交于点O，过点O作OE⊥AB，则下列结论不正确的是（　　）
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A．∠1与∠2互为余角 B．∠3与∠2互为余角
C．∠2与∠AOE互为补角 D．∠AOC与∠BOD是对顶角
17．如图，计划把河水引到水池中，可以先引，垂足为，然后沿开渠，则能使所开的渠最短，这样设计的依据是（ ）21·世纪*教育网
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A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短
C．两点确定一条直线 D．以上说法都不对
18．如图，∠PQR等于138°，SQ⊥QR，QT⊥PQ．则∠SQT等于（ ）
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A．42° B．64° C．48° D．24°
19．如图，直线AB，CD相交于点 ( http: / / www.21cnjy.com )O，下列条件中：①∠AOD＝90° ；②∠AOD＝∠AOC；③∠AOC+∠BOC＝180°；④∠AOC+∠BOD＝180°，能说明AB⊥CD的有( )21cnjy.com
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
20．为直线上一点，，若，则（ ）
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A．30° B．40° C．50° D．60°
21．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，若∠AOC=24°，则∠DOE的度数是（ ）
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A．24° B．54° C．66° D．76°
22．如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠CON=55°，则∠AOM的度数为（ ）2-1-c-n-j-y
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A．35° B．45° C．55° D．25°
23．如图，AC⊥BC，AC=4.5，若点P在直线BC上，则AP的长可能是( )．
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A．5 B．4 C．3 D．2
24．如图所示，∠BAC=90°，AD ( http: / / www.21cnjy.com )⊥BC于D，则下列结论中：①AB⊥AC；②AD与AC互相垂直；③点C到AB的垂线段是线段AB；④点A到BC的距离是线段AD的长度；⑤线段AB的长度是点B到AC的距离；⑥线段AB是点B到AC的距离．其中正确的有(　　)21教育名师原创作品
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A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
25．已知A、B为平面上的2个定点，且AB=5．若点A、B到直线l的距离分别等于2、3，则满足条件的直线共有(　　)条．21*cnjy*com
A．2 B．3 C．4 D．5
26．点A、B、C为直线l上三点，点P为直线l外一点，且PA=3cm，PB=4cm，PC=5cm，则点P到直线l的距离为( )
A．2cm B．3cm C．小于3cm D．不大于3cm
27．如图，直线，，如果，，，那么点到直线的距离为（ ）
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A． B． C． D．无法确定
28．如图所示，下列说法不正确的是（ ）
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A．点B到AC的垂线段是线段AB B．点C到AB的垂线段是线段AC
C．线段AD是点D到AB的垂线段 D．线段BD是点B到AD的垂线段
29．如图，，则的长度可能是(　　)
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A．3 B．5 C．3或5 D．4.5
30．下列说法：①相等的角是对顶 ( http: / / www.21cnjy.com )角；②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③ 平行于同一条直线的两条直线互相平行； ④同角或等角的余角相等，其中正确的说法有（ ）
A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
31．如图，直线AB、CD相交于O，OE⊥OD，且∠AOC＝40°，则∠BOE＝____________．
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32．如图，直线AB和CD相交于O点，OM⊥AB，∠BOD：∠COM＝1：3，则∠AOD的度数为_____°．
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33．如图，射线OC的端点O在直线AB上，于点O，且OE平分，OF平分，若，则__________．
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34．如图，，，垂足为，___，理由是___．
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35．如图，已知于，，则的余角是__．
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三、解答题
36．如图，若OM平分∠AOB，且OM ⊥ON，求证：ON平分∠BOC．
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37．如图：已知直线AB、CD交于点O，EO⊥CD，∠DOB＝35°，则∠EOA＝__°．
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38．已知：如图，直线相交于点O，于O．
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（1）若，求的度数；
（2）在（1）的条件下，请你过点O画直线，并在直线上取一点F（点F与O不重合），然后直接写出的度数．【来源：21cnj*y.co*m】
39．如图，P是∠AOB的OB边上的一点，点A、O、P都在格点上，在方格纸上按要求画图，并标注相应的字母．【出处：21教育名师】
（1）过点P画OB的垂线，交OA于点C；过点P画OA的垂线，垂足为D；并完成填空：
①线段　 　的长度表示点P到直线OA的距离；
②PC　 　OC（填“＞”、“＜”或“＝”）
（2）过点A画OB的平行线AE．
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40．如图，直线AB、CD相交于点O，过点O作OE⊥AB，射线OF平分∠AOC，∠AOF＝25°．
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求：（1）∠BOD的度数；
（2）∠COE的度数．
41．已知：点是直线外一点，点、、是直线上三点，分别连接、、．
（1）通过测量的方法，比较、、的大小，直接用“”连接；
（2）在直线上能否找到一点，使的长度最短？如果有，请在图中作出线段，并说明它的理论依据；如果没有，请说明理由．21教育网
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42．如图，已知直线相交于点O，．
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（1）若，求的度数．
（2）若，求的度数．
43．如图，直线AB、CD相交于点O，OC是∠AOE的平分线，OF⊥CD，∠BOD与∠EOF互余吗？为什么？
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44．读句画图并填空：如图，点是的边上的一点．
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（1）过点画的垂线，交于点；
（2）过点画的垂线，垂足为，线段的长度是点到______的距离，______是点到直线的距离．【版权所有：21教育】
（3）因为直线外一点到直线上各点连接的所有线中，垂线段最短，所以线段、、这三条线段大小关系是（用“”号连接）：__________________．
45．如图，直线，相交于点，，．
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（1）若，求的度数；
（2）若，求和的度数．
46．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB于O，∠2=2∠1，求∠AOC的度数．
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解：∵OE⊥AB（已知）
∴∠BOE（ ）
即∠1+∠2
又∵∠2=2∠1（已知）
∴∠1=______度
∴∠2=______度（等式性质）
∵∠2与∠AOC是对顶角（已知）
∴∠2=∠AOC（ ）
∵∠2=_______度（已证）
∴∠AOC=_________度（ ）
47．如图，直线、相交于O，平分，求：的度数．
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48．在平面内有三点A，B，C．
（1）如图，作出A，C两点之间的最短路线；在射线BC上找一点D，使线段AD长最短；
（2）若A，B，C三点共线，若，，点E，F分别是线段AB，BC的中点，求线段EF的长．
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49．如图，直线AB与CD相交于点O，，射线OE从OC开始绕点O按顺时针方向旋转到OB．
（1）当时，求的度数．
（2）当OE平分时，求的度数．
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50．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD， OF⊥CD，若∠BOC比∠DOE大75o．求∠AOD和∠EOF的度数．
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51．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF⊥CD，垂足为O，若∠BOF=38°．
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（1）求∠AOC的度数；
（2）过点O作射线OG，使∠GOE=∠BOF，求∠FOG的度数．
52．作图题：如图，为射线外一点．
（1）连接；
（2）过点画出射线的垂线，垂足为点（可以使用各种数学工具）
（3）在线段的延长线上取点，使得；
（4）画出射线；
（5）请直接写出上述所得图形中直角有 个．
53．已知点直线BC及直线外一点A(如图），按要求完成下列问题：
（1）画出射线CA、线段AB．过C点画CD⊥AB，垂足为点D；
（2）比较线段CD和线段CA的大小，并说明理由；
（3）在以上的图中，互余的角为____________，互补的角为____________．（各写出一对即可）
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54．如图，点P是的边上的一点．
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（1）过点P画的垂线，交于点E；
（2）过点P画的垂线，垂足为H；
（3）过点P画的平行线；
（4）若每个小正方形的边长是1，则点P到的距离是___________；
（5）线段的大小关系是_____________________（用“<”连接）．
55．利用网格画图，每个小正方形边长均为1
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（1）过点C画AB的平行线CD；
（2）仅用直尺,过点C画AB的垂线，垂足为E；
（3）连接CA、CB，在线段CA、CB、CE中，线段______最短，理由___________．
（4）直接写出△ABC的面积为 _________．
56．如图，DO平分∠AOC，OE平分∠BOC，若OA⊥OB，
（1）当∠BOC＝50°，∠DOE＝________；当∠BOC＝70°，∠DOE＝_________；
（2）通过上面的计算，猜想∠DOE的度数与∠AOB有什么关系，并说明理由．
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57．在如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，点都在格点上．
找一格点，使得直线，画出直线；
找一格点，使得直线于点，画出直线，并注明垂足；
找一格点，使得直线，画出直线；
连接，则线段的大小关系是 (用“”连接)．
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58．已知如图，直线AB、CD相交于点O，∠COE=90°．
（1）若∠AOC=36°，求∠BOE的度数；
（2）若∠BOD：∠BOC=1：5，求∠AOE的度数；
（3）在（2）的条件下，过点O作OF⊥AB，请直接写出∠EOF的度数．
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59．如图，直线、相交于点O，平分，，．
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（1）与互余的角是______；
（2）求的度数．
60．如图，与相交于，平分，于，于，若＝，求和的度数．
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61．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOC，OF⊥OE于O，且∠DOF＝74°．
求∠BOD的度数．
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62．已知：直线AB与直线CD交于点O，过点O作．
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（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图2，过点O画直线FG满足射线OF在内部，且使，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出与互余的角．www-2-1-cnjy-com
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6.5 垂直
【提升训练】
一、单选题
1．如图所示，∠BAC=9 ( http: / / www.21cnjy.com )0°，AD⊥BC，垂足为D，则下列结论中，正确的个数为（　　）
①AB⊥AC；②AD与AC互相垂直；③点C到AB的垂线段是线段AB；④点A到BC的距离是线段AD；⑤线段AB的长度是点B到AC的距离；⑥线段AB是点B到AC的距离．21世纪教育网版权所有
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】
根据垂直的定义，垂线段的概念，点到直线的距离的概念分别判断即可．
【详解】
①， AB⊥AC， ①正确；
②∠DAC≠90°， AD与AC不互相垂直，②错误；
③点C到AB的垂线段是线段AC，③错误；
④点A到BC的距离是线段AD的长度，④错误；
⑤线段AB的长度是点B到AC的距离，⑤正确；
⑥线段AB的长度是点B到AC的距离，⑥错误．
综上所述：①⑤正确，共计2个．
故选B．
【点睛】
本题考查了垂直的定义，垂线段的概念，点到直线的距离的概念，理解这些概念是解题的关键．
2．点P为直线外一点：点A、B、C为直线上三点，PA＝4 cm，PB＝5 cm，PC＝2 cm，则点P到直线的距离是 ( )
A．2 cm B．4 cm C．5 cm D．不超过2 cm
【答案】D
【分析】
根据直线外一点P与直线上任意点，所得线段中垂 ( http: / / www.21cnjy.com )线段最短，因为PA＝4 cm，PB＝5 cm，PC＝2 cm，可得三条线段的最短的线段，点P到直线l的距离应该不超过这条线段的长，据此判断即可．
【详解】
解：连接直线外一点P与直线上任意点，所得线段中垂线段最短；
因为PA＝4 cm，PB＝5 cm，PC＝2 cm，
所以三条线段的最短的是2 cm，
所以点P到直线l的距离不超过2 cm．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了点到直线的距离的含义以及特征 ( http: / / www.21cnjy.com )，考查了分析推理能力的应用，解答此题的关键是要明确：连接直线外一点P与直线上任意点，所得线段中垂线段最短．
3．下列说法不正确的是（ ）
A．对顶角相等 B．两点确定一条直线
C．一个角的补角一定大于这个角 D．垂线段最短
【答案】C
【分析】
根据对顶角的性质，直线的性质，补角的定义，垂线段的性质依次判断即可得到答案．
【详解】
解：A、对顶角相等，故该项不符合题意；
B、两点确定一条直线，故该项不符合题意；
C、一个角的补角一定不大于这个角，故该项符合题意；
D、垂线段最短，故该项不符合题意；
故选：C．
【点睛】
此题考查对顶角的性质，直线的性质，补角的定义，垂线段的性质，正确理解各性质及定义是解题的关键．
4．如图，，，表示点到直线距离的是线段（ ）的长度
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A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据从直线外一点到这直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离解答．
【详解】
解：∵ED⊥AB，
∴点D到直线AB距离的是线段DE的长度．
故选：B．
【点睛】
本题考查了点到直线的距离的定义，是基础题，熟记概念并准确识图是解题的关键．
5．点P是直线l外一点，A为垂足，，且，则点P到直线l的距离（ ）
A．小于 B．等于 C．大于 D．不确定
【答案】B
【分析】
根据点到直线的距离的定义得出即可．
【详解】
解：根据点到直线的距离的定义得出P到直线l的距离是等于，
故选：B．
【点睛】
本题考查了点到直线的距离的定义，能熟记点到 ( http: / / www.21cnjy.com )直线的距离的定义的内容是解此题的关键，注意：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫点到直线的距离．2-1-c-n-j-y
6．如图，直线AB与CD相交于点O，∠BOD=40°，OE⊥AB，则∠COE的度数为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据垂直定义可得，根据对顶角相等可得，然后可得答案．
【详解】
∵OE⊥AB，
∴∠AOE=90°，
∵∠BOD=40°，
∴∠AOC=∠BOD=40°，
∴∠EOC=∠AOE +∠AOC =130°．
故选：B．
【点评】
本题主要考查了垂线的定义、对顶角和角的和差，掌握相关定义及性质是解题的关键．
7．下面是黑板上出示的的尺规作图题
已知点和直线，求作：过点作直线的垂线．作法如下：①以点为圆心，长为半径作弧，交于点和；②作直线；③分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点；④任意取一点，使点和在的两旁．
已知以上作法步骤是排乱的，则正确的排序是（ ）
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A．④③①② B．④①③② C．①③④② D．①④③②
【答案】B
【分析】
根据过直线外一点，作已知直线的垂线即可．
【详解】
由尺规作图画垂线的步骤可得，正确的排序是：
④先任意取一点，使点和点在的两旁；
①以点为圆心，长为半径作弧，交于点和；
③以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点；
②作直线，故为④①③②．
故选：．
【点睛】
本题考查了尺规作图-垂线的相关知识，按照垂线的作图步骤判断即可，难度不大．
8．如图所示，直线AB，CD相交于点O，于点O，OF平分，，则下列结论中不正确的是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
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A． B．
C．与互为补角 D．的余角等于
【答案】D
【分析】
根据垂直的定义及角平分线的性质判断A，利用对顶角的性质判断B，利用邻补角的性质判断C，根据余角的定义判断D．
【详解】
∵于点O，
∴∠AOE=,
∵OF平分，
∴∠2=，故A正确；
∵直线AB，CD相交于点O，
∴∠1与∠3是对顶角，
∴∠1=∠3，故B正确，
∵,
∴与互为补角，故C正确；
∵，
∴的余角=，故D错误，
故选：D．
【点睛】
此题考查垂直的定义，角平分线的性质，对顶角的性质，余角的定理，邻补角的性质，几何图形中角度的计算，熟记各定义及性质是解题的关键．
9．如图，是直线外一点，过点作于点，在直线上取一点，连接，使，P在线段上，连接．若，则线段的长不可能是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据题意计算出AC的长度，由垂线段最短得出AP的范围，选出AP的长度不可能的选项即可．
【详解】
，
，
结合垂线段最短，得：．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，熟记概念并求出对应线段的范围是解题关键．
10．如图，∠1＝20 ，⊥，点、、 在同一条直线上，则∠2的度数为（ ）
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A．70 B．20 C．110 D．160
【答案】C
【分析】
由⊥和∠1＝20 求得∠BOC＝70 ，再由邻补角的定义求得∠2的度数．
【详解】
∵⊥和∠1＝20 ，
∴∠BOC＝90 -20 ＝70 ，
又∵∠2+∠BOC＝180 （邻补角互补），
∴∠2＝110 ．
故选：C．
【点睛】
考查了邻补角和垂直的定义，解题关键是利用角的度数之间的和差的关系求未知的角的度数．
11．下列说法中错误的是（ ）
A．一个锐角的补角一定是钝角； B．同角或等角的余角相等；
C．两点间的距离是连结这两点的线段的长度； D．过直线l上的一点有且只有一条直线垂直于l
【答案】D
【详解】
解：D选项中缺少先要条件，就是在同一平面内
故选：D
12．如图，在三角形中，，，点是线段上任意一点，连接，则线段的长不可能是（ ）
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A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】
根据垂线段最短即可判断．
【详解】
∵
∴点A到线段CB最短的最短距离为AC=4
∴AD的长最短为4
故选A．
【点睛】
本题考查了垂线段最短，直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．
13．已知点P为直线m外一点，点A，B，C ( http: / / www.21cnjy.com )为直线m上三点，PA＝4 cm，PB＝5 cm，PC＝2 cm，则点P到直线m的距离为( )21教育网
A．4 cm B．5 cm C．小于2 cm D．不大于2 cm
【答案】D
【分析】
根据点到直线的距离是直线外的点与直线上垂足间的线段的长，再根据垂线段最短，可得答案．
【详解】
当PC⊥m时，PC是点P到直线m的距 ( http: / / www.21cnjy.com )离，即点P到直线m的距离2cm，
当PC不垂直直线m时，点P到直线m的距离小于PC的长，即点P到直线m的距离小于2cm，
综上所述：点P到直线m的距离不大于2cm，
故选D．
【点睛】
此题考查了点到直线的距离，利用了垂线段最短的性质．
14．如图，是直线外一点，，，三点在直线上，且于点，，则下列结论：①线段是点到直线的距离；②线段的长是点到直线的距离；③，，三条线段中，最短；④线段的长是点到直线的距离．其中正确的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．②③ B．①②③ C．③④ D．①②③④
【答案】A
【分析】
根据“从直线外一点到这条直线上各点所 ( http: / / www.21cnjy.com )连的线段中，垂线段最短”；“从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”进行判断，即可解答．
【详解】
解：①线段AP是点A到直线 ( http: / / www.21cnjy.com )PC的距离，错误；
②线段BP的长是点P到直线l的距离，正确；
③PA，PB，PC三条线段中，PB最短，正确；
④线段PC的长是点P到直线l的距离，错误，
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了垂线的两条性质：①从直线 ( http: / / www.21cnjy.com )外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．②从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短．
15．如图，若直线与相交于点，平分，且，则的度数为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据角平分线的定义得到，根据垂线的定义得到，利用邻补角的定义即可求解．
【详解】
解：∵，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：C．
【点睛】
本题考查邻补角的定义、角平分线的定义、垂直的定义等内容，运用几何知识进行角的和差运算是解题的关键．
16．如图，若AB，CD相交于点O，过点O作OE⊥AB，则下列结论不正确的是（　　）
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A．∠1与∠2互为余角 B．∠3与∠2互为余角
C．∠2与∠AOE互为补角 D．∠AOC与∠BOD是对顶角
【答案】C
【分析】
根据OE⊥AB可得∠EOB＝90°，再根据对顶角相等可得∠1＝∠3，然后根据余角定义和补角定义进行分析即可．
【详解】
解：A、∠1与∠2互余，说法正确；
B、∠2与∠3互余，说法正确；
C、∠DOE与∠1互补，说法错误，∠DOE与∠2互补；
D、∠AOC与∠BOD是对顶角，说法正确；
故选：C．
【点睛】
本题考查余角、补角、对顶角的定义，熟练掌握基础知识，应用等量代换是关键．
17．如图，计划把河水引到水池中，可以先引，垂足为，然后沿开渠，则能使所开的渠最短，这样设计的依据是（ ）【出处：21教育名师】
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A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短
C．两点确定一条直线 D．以上说法都不对
【答案】A
【分析】
过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．
【详解】
解：根据垂线段定理，连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短，
∴沿AB开渠，能使所开的渠道最短．
故选：A．
【点睛】
本题考查了垂线段最短，掌握垂线段最短的内容是解此题的关键．
18．如图，∠PQR等于138°，SQ⊥QR，QT⊥PQ．则∠SQT等于（ ）
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A．42° B．64° C．48° D．24°
【答案】A
【分析】
利用垂直的概念和互余的性质计算．
【详解】
解：∵∠PQR=138°，QT⊥PQ，
∴∠PQS=138°﹣90°=48°，
又∵SQ⊥QR，
∴∠PQT=90°，
∴∠SQT=42°．
故选A．
【点睛】
本题是对有公共部分的两个直角的求角度的考查，注意直角的定义和度数．
19．如图，直线AB，CD相交于点O，下列 ( http: / / www.21cnjy.com )条件中：①∠AOD＝90° ；②∠AOD＝∠AOC；③∠AOC+∠BOC＝180°；④∠AOC+∠BOD＝180°，能说明AB⊥CD的有( )
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】
根据垂直定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直进行判定即可．
【详解】
解：①∠AOD=90°，可以得出AB⊥CD；
②∵∠AOD＝∠AOC，∠AOC+∠AOD=180°，【版权所有：21教育】
∴∠AOD=90°，
∴AB⊥CD：
③∠AOC+∠BOC＝180°，不能得到AB⊥CD；
④∵∠AOC+∠BOD=180°，∠AOC=∠BOD，
∴∠AOC=90°，
∴AB⊥CD；
故能说明AB⊥CD的有①②④共3个．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了垂直定义，关键是通过条件计算出其中一个角为90°．
20．为直线上一点，，若，则（ ）
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A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】C
【分析】
首先根据垂线的定义可知：∠COD=90°，从而可得到∠1+∠2=90°，由∠1=40°，即可得出结果．
【详解】
解：∵OC⊥OD，
∴∠COD=90°，
( http: / / www.21cnjy.com )∵∠1=40°，
∴∠2=180°-∠COD-∠1=180°-90°-40°=50°．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查的是垂线的定义、角的互余关系；熟练掌握垂线的定义是解决问题的关键．
21．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，若∠AOC=24°，则∠DOE的度数是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．24° B．54° C．66° D．76°
【答案】C
【分析】
根据对顶角相等求∠BOD，由垂直的性质求∠BOE，根据∠DOE＝∠BOE ∠BOD求解．
【详解】
∵直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝24°，
∴∠BOD＝∠AOC＝24°，
∵EO⊥AB，
∴∠BOE＝90°，
∴∠DOE＝∠BOE ∠BOD＝90° 24°＝66°．
故选：C．
【点睛】
本题考查了对顶角，垂直的定义．解题的关键是采用形数结合的方法得到∠DOE＝∠BOE ∠BOD．
22．如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠CON=55°，则∠AOM的度数为（ ）
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A．35° B．45° C．55° D．25°
【答案】A
【分析】
根据垂直得出∠NOM=90°，求出∠COM=35°，根据角平分线定义得出∠AOM=∠COM，即可得出答案．
【详解】
解：∵ON⊥OM，
∴∠NOM=90°，
∵∠CON=55°，
∴∠COM=90°-55°=35°，
∵射线OM平分∠AOC，
∴∠AOM=∠COM=35°，
故选：A．
【点睛】
本题考查了垂直定义，角平分线定义等知识点，能求出∠COM的度数和求出∠AOM=∠COM是解此题的关键．www-2-1-cnjy-com
23．如图，AC⊥BC，AC=4.5，若点P在直线BC上，则AP的长可能是( )．
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【分析】
利用垂线段最短分析．
【详解】
解：已知，在△ABC中，AC⊥BC，AC=4.5，
根据垂线段最短，可知AP的长不可小于4.5，当P和C重合时，AP=4.5，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了垂线段最短的性质，正确理 ( http: / / www.21cnjy.com )解此性质是解题的关键，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．
24．如图所示，∠BAC=90°， ( http: / / www.21cnjy.com )AD⊥BC于D，则下列结论中：①AB⊥AC；②AD与AC互相垂直；③点C到AB的垂线段是线段AB；④点A到BC的距离是线段AD的长度；⑤线段AB的长度是点B到AC的距离；⑥线段AB是点B到AC的距离．其中正确的有(　　)
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】A
【分析】
根据垂直的定义，点到直线的距离逐一判断即可．
【详解】
解：由∠BAC=90°得到AB⊥AC故① ( http: / / www.21cnjy.com )正确； AD与AC不互相垂直，故②错误；点C到AB的垂线段是线段AC的长，故③错误；点A到BC的距离是线段AD的长度，故④正确；线段AB的长度是点B到AC的距离，故⑤正确；线段AB的长度是点B到AC的距离，故⑥错误．
故选：A
【点睛】
本题考查了垂直的定义，点到直线的距离等知识．注意点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度，而不是垂线段，这是易错点．
25．已知A、B为平面上的2个定点，且AB=5．若点A、B到直线l的距离分别等于2、3，则满足条件的直线共有(　　)条．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】
根据点到直线的距离的概念画出图形进行判断即可.
【详解】
解：①如图1，在线段AB的两旁可分别画一条满足条件的直线；
②作线段AB的垂线l，将线段AB分成2、3两部分．
故选：B．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查了点到直线的距离的 ( http: / / www.21cnjy.com )定义，即直线外一点到这条直线的垂线段的长度，注意距离都是非负数．此题还可分别以A、B为圆心、以2和3为半径作圆，利用直线和两圆的位置关系来进行解答．
26．点A、B、C为直线l上三点，点P为直线l外一点，且PA=3cm，PB=4cm，PC=5cm，则点P到直线l的距离为( )
A．2cm B．3cm C．小于3cm D．不大于3cm
【答案】D
【分析】
根据直线外一点到直线的垂线段的 ( http: / / www.21cnjy.com )长度，叫做点到直线的距离，可得连接直线外一点P与直线上任意点，所得线段中垂线段最短；然后根据PA=3cm，PB=4cm，PC=5cm，可得三条线段的最短的是3cm，所以点P到直线l的距离不大于3cm，据此判断即可．
【详解】
连接直线外一点P与直线上 ( http: / / www.21cnjy.com )任意点，所得线段中垂线段最短；
因为PA=3cm，PB=4cm，PC=5cm，
所以三条线段的最短的是3cm，
所以点P到直线l的距离不大于3cm．
故选：D．
【点睛】
此题考查点到直线的距离，解题的关键是要明确：连接直线外一点P与直线上任意点，所得线段中垂线段最短．
27．如图，直线，，如果，，，那么点到直线的距离为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【分析】
根据点到直线的距离是指垂线段的长度，根据AB⊥AC，得出点C到直线AB的距离为AC．
【详解】
解：∵AB⊥AC，
∴点C到直线AB的距离是指AC的长度，即等于3cm．
故选：A．
【点睛】
此题考查点到直线的距离，解题关键在于掌握点到直线的距离是指垂线段的长度，难度适中．
28．如图所示，下列说法不正确的是（ ）
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A．点B到AC的垂线段是线段AB B．点C到AB的垂线段是线段AC
C．线段AD是点D到AB的垂线段 D．线段BD是点B到AD的垂线段
【答案】C
【分析】
根据点到直线的距离的定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，结合图示对各个选项逐一分析即可作出判断．
【详解】
A、点B到AC的垂线段是线段AB，正确；
( http: / / www.21cnjy.com )B、点C到AB的垂线段是线段AC，正确；
C、线段AD是点A到BC的垂线段，故错误；
D、线段BD是点B到AD的垂线段，正确；
故选：C．
【点睛】
此题考查点到直线距离，解题的关键是明确点到直线的距离的定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离．
29．如图，，则的长度可能是(　　)
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A．3 B．5 C．3或5 D．4.5
【答案】D
【分析】
根据垂线段最短可得3＜BD＜5．
【详解】
解：∵AD⊥BD，BC⊥CD，AB=5，BC=3，
∴BC＜BD＜AB，
即3＜BD＜5．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了垂线段的性质，关键是掌握垂线段最短．
30．下列说法：①相等的角是对顶 ( http: / / www.21cnjy.com )角；②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③ 平行于同一条直线的两条直线互相平行； ④同角或等角的余角相等，其中正确的说法有（ ）
A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个
【答案】B
【分析】
根据对顶角相等但相等的角不一定是对顶角 ( http: / / www.21cnjy.com )可得①错误；根据垂线的性质可判断②正确； 根据平行公理，可判断③正确；根据余角的性质，分析即可判断④．
【详解】
①相等的角是对顶角；错误；
②平面内过一点有且只有一条直线和已知直线垂直；故②正确；
③平行于同一条直线的两条直线也互相平行；故③正确；
④同角或等角的余角相等，故④正确；
故选B.
【点睛】
此题考查对顶角的定义、垂线的性质、平行线和余角的性质，熟练掌握相关的知识是解题关键．
二、填空题
31．如图，直线AB、CD相交于O，OE⊥OD，且∠AOC＝40°，则∠BOE＝____________．
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【答案】130°
【分析】
根据垂直的定义求出∠DOE＝90°，然后根据对顶角相等的性质可得∠BOD＝∠AOC＝40°，由此可得∠BOE的度数．21*cnjy*com
【详解】
解：∵OE⊥CD，
∴∠DOE＝90°，
∵∠AOC＝40°，
∴∠BOD＝∠AOC＝40°，
∴∠BOE＝∠BOD+∠DOE＝40°+90°＝130°，
故答案为：130°．
【点睛】
本题考查了垂直的定义，对顶角的性质等知识，熟记相关定义和性质是解题的关键．
32．如图，直线AB和CD相交于O点，OM⊥AB，∠BOD：∠COM＝1：3，则∠AOD的度数为_____°．
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【答案】157.5
【分析】
先根据∠BOD：∠COM＝1：3，结合垂直的定义，可求出∠DOB，再根据平角关系，即可得出∠AOD的度数．
【详解】
解：∵∠BOD：∠COM＝1：3，OM⊥AB，
∴∠BOM=90°，
∴∠BOD=，
∵∠AOB=180°，
∴∠AOD=∠AOB-∠BOD=157.5°
故答案为：157.5．
【点睛】
本题考查了角的计算，垂线，邻补角，解决本题的关键是利用角之间的和与差进行解答．
33．如图，射线OC的端点O在直线AB上，于点O，且OE平分，OF平分，若，则__________．
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【答案】60°
【分析】
直接利用垂线的定义得出∠COE=90°，再利用角平分线的定义得出∠DOF的度数．
【详解】
解：∵OE⊥OC于点O，
∴∠COE=90°，
∵∠BOC=70°，
∴∠BOE=∠COE-∠BOC=90°-70°=20°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠DOE=∠BOE=20°，
∵∠AOB=180°，
∴∠AOE=180°-∠BOE=180°-20°=160°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠EOF=∠AOE=80°，
∴∠DOF=∠EOF-∠DOE=80°-20°=60°，
故答案为：60°．
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【点睛】
此题主要考查了垂线以及角平分线的定义，正确得出∠BOE的度数是解题关键．
34．如图，，，垂足为，___，理由是___．
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【答案】= 等式的性质
【分析】
利用所有直角都相等，建立等式，∠BOC是公共角，利用等式的性质解答即可．
【详解】
，，垂足为，
．
，
．
故答案为：，等式的性质．
【点睛】
本题考查了垂直的定义，等式的性质，熟练掌握所有的直角都相等建立等式是解题的关键．
35．如图，已知于，，则的余角是__．
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【答案】，
【分析】
根据垂直的定义和余角的定义，找和相加得90°的角即可．
【详解】
解：于，，
，
，
的余角是：，．
答案：，．
【点睛】
本题考查了垂直的定义和余角的定义，解题关键是准确识图，找出图中90°角，准确进行推理判断．
三、解答题
36．如图，若OM平分∠AOB，且OM ⊥ON，求证：ON平分∠BOC．
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【答案】证明过程见解析
【分析】
根据平分线的性质可得∠1=∠2，根据OM ⊥ON，得，再根据平角的定义可得：，则∠3=∠4，即可得到答案．
【详解】
解：如图，
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∵OM平分∠AOB，
∴∠1=∠2，
又∵OM ⊥ON，
∴，
∵，
∴
∴∠3=∠4，
∴ ON平分∠BOC；
【点睛】
本题考查了角平分线的定义，垂直的定义，平角定义，弄清各个角之间的数量关系是解决问题的关键．
37．如图：已知直线AB、CD交于点O，EO⊥CD，∠DOB＝35°，则∠EOA＝__°．
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【答案】55°
【分析】
根据对顶角相等求出∠BOD＝∠AOC＝35°，根据垂直定义求出∠EOC＝90°，代入∠AOE＝∠EOC﹣∠AOC求出即可．21教育名师原创作品
【详解】
解：∵∠DOB＝35°，
∴∠BOD＝∠AOC＝35°，
∵EO⊥CD，
∴∠EOC＝90°，
∴∠AOE＝∠EOC﹣∠AOC＝90°﹣35°＝55°，
故答案为：55°．
【点睛】
此题考查角的和差倍分，掌握余角的性质是解题的关键．
38．已知：如图，直线相交于点O，于O．
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（1）若，求的度数；
（2）在（1）的条件下，请你过点O画直线，并在直线上取一点F（点F与O不重合），然后直接写出的度数．
【答案】（1）130°；（2）40°或140°
【分析】
（1）依据平角的定义以及垂线的定义，即可得到∠AOE的度数；
（2）分两种情况：若F在射线OM ( http: / / www.21cnjy.com )上，则∠EOF=∠BOD=40°；若F'在射线ON上，则∠EOF'=∠DOE+∠BON-∠BOD=140°．
【详解】
解：（1）∵∠BOD：∠BOC=2：7，
∴∠BOD=∠COD=40°，
∴∠AOC=40°，
又∵EO⊥CD，
∴∠COE=90°，
∴∠AOE=90°+40°=130°；
（2）分两种情况：
若F在射线OM上，
∵∠EOD=∠BOF=90°，
∴∠EOF=∠BOD=40°；
若F'在射线ON上，
则∠EOF'=∠DOE+∠BON-∠BOD=140°；
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综上所述，∠EOF的度数为40°或140°．
【点睛】
本题考查了角的计算，对顶角，垂线等知识点的应用，关键是分类讨论思想的运用．
39．如图，P是∠AOB的OB边上的一点，点A、O、P都在格点上，在方格纸上按要求画图，并标注相应的字母．21·世纪*教育网
（1）过点P画OB的垂线，交OA于点C；过点P画OA的垂线，垂足为D；并完成填空：
①线段　 　的长度表示点P到直线OA的距离；
②PC　 　OC（填“＞”、“＜”或“＝”）
（2）过点A画OB的平行线AE．
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【答案】（1）图见解析，①PD，②＜；（2）见解析
【分析】
（1）①根据要求画出图形，再根据点到直线的距离的定义判断即可．
②根据垂线段最短，可得结论．
（2）取格点E，作直线AE即可．
【详解】
解：（1）①如图，直线PC，直线PD即为所求作．线段PD的长度表示点P到直线OA的距离．
故答案为：PD．
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②根据垂线段最短可知，PC＜OC．
故答案为：＜．
（2）如图，直线AE即为所求作．
【点睛】
本题考查作图-应用与设计，点到直线的距离，平行线的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
40．如图，直线AB、CD相交于点O，过点O作OE⊥AB，射线OF平分∠AOC，∠AOF＝25°．
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求：（1）∠BOD的度数；
（2）∠COE的度数．
【答案】（1）∠BOD＝50°；（2）∠COE＝40°．
【分析】
(1)根据角平分线的性质求出∠AOC，再根据对顶角相等求出∠BOD即可；
(2)根据垂直得出∠AOE＝90°，再用角的和差求∠COE即可．
【详解】
解：(1)∵射线OF平分∠AOC，∠AOF＝25°，
∴∠AOC＝2∠AOF＝50°，
∴∠BOD＝∠AOC＝50°；
(2)∵OE⊥AB，
∴∠AOE＝90°，
∵∠AOC＝50°，
∴∠COE＝90°﹣∠AOC＝90°﹣50°＝40°．
【点睛】
本题考查了角平分线定义和垂直的定义、对顶角相等以及角的和差，解题关键是准确识图，找到图中相等的角和角之间的关系．
41．已知：点是直线外一点，点、、是直线上三点，分别连接、、．
（1）通过测量的方法，比较、、的大小，直接用“”连接；
（2）在直线上能否找到一点，使的长度最短？如果有，请在图中作出线段，并说明它的理论依据；如果没有，请说明理由．
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【答案】（1）；（2）见解析，垂线段最短
【分析】
(1)直接测量，比较大小即可；
(2)作MN的垂线，垂足为D，PD即所求．
【详解】
解：（1）通过测量可知，cm，cm，cm，
故；
（2）过点作，则最短．理由：垂线段最短
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【点睛】
本题考查了垂线段最短的性质，解题关键是能熟练的测量线段的长度，知道垂线段最短．
42．如图，已知直线相交于点O，．
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（1）若，求的度数．
（2）若，求的度数．
【答案】（1）53°；（2）150°
【分析】
（1）根据∠BOE＝180° ∠AOC ∠COE直接解答即可；
（2）根据平角的定义可求∠BOD，根据对顶角的定义可求∠AOC，根据角的和差关系可求∠AOE的度数．
【详解】
解：（1）∵∠COE＝90°，∠AOC＝37°，
∴∠BOE＝180° ∠AOC ∠COE
＝180° 37° 90°
＝53°；
（2）∵，∠BOD＋∠BOC＝180°，
∴∠BOD＝60°，
∵∠BOD＝∠AOC，
∴∠AOC＝60°，
∵∠COE＝90°，
∴∠AOE＝∠COE＋∠AOC＝90°＋60°＝150°．
【点睛】
此题考查了对顶角、邻补角以及角的和差倍分，熟练掌握平角等于180度，直角等于90度，对顶角相等是解答本题的关键．
43．如图，直线AB、CD相交于点O，OC是∠AOE的平分线，OF⊥CD，∠BOD与∠EOF互余吗？为什么？
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【答案】∠BOD与∠EOF互余；理由见解析．
【分析】
根据OC平分∠AOE ，∠AOC与 ( http: / / www.21cnjy.com )∠BOD为对顶角，得到∠COE =∠BOD，根据OF⊥CD得到∠COE+∠EOF=90°，即可得到∠BOD与∠EOF互余．
【详解】
解：答：∠BOD与∠EOF互余；
证明：∵OC平分∠AOE ，
∴∠AOC=∠COE，
∵∠AOC与∠BOD为对顶角，
∴∠AOC=∠BOD，
∴∠COE =∠BOD，
∵OF⊥CD，
∴∠COF=90°，
∴∠COE+∠EOF=90°，
∵∠COE =∠BOD，
∴∠BOD +∠EOF=90°，
即∠BOD与∠EOF互余．
【点睛】
本题考查了对顶角相等、角平分线的定义、互余的定义、垂直的定义等知识，熟练掌握相关知识并根据题意进行推理是解题关键．
44．读句画图并填空：如图，点是的边上的一点．
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（1）过点画的垂线，交于点；
（2）过点画的垂线，垂足为，线段的长度是点到______的距离，______是点到直线的距离．
（3）因为直线外一点到直线上各点连接的所有线中，垂线段最短，所以线段、、这三条线段大小关系是（用“”号连接）：__________________．
【答案】（1）见解析；（2）画图见解析，AO，PC；（3）PH＜PC＜OC
【分析】
（1）根据网格画图即可；
（2）根据网格画图，再根据点到直线的距离可得答案；
（3）根据垂线段最短进行比较即可．
【详解】
解：（1）如图所示；
（2）如图所示；
线段PH的长度是点P到直线AO的距离，
线段PC的长度是点C到直线OB的距离；
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（3）根据垂线段最短可得PH＜PC＜OC．
【点睛】
此题主要考查了基本作图，关键是掌握点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度．
45．如图，直线，相交于点，，．
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（1）若，求的度数；
（2）若，求和的度数．
【答案】（1）135°；（2）∠2 =60°，150°
【分析】
（1）由已知垂直直线可以得到∠BOM=∠AOM=∠NOD=∠CON=90°，再根据∠1=∠2，得到∠2的度数，从而可得∠AOD；
（2）根据∠1和OM⊥AB得出∠BOC，再根据邻补角的定义求出∠2，得到∠BOD，最后根据NO⊥CD，得到∠BON．
【详解】
解：（1）∵OM⊥AB，NO⊥CD，
∴∠BOM=∠AOM=∠NOD=∠CON=90°，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠2=45°，
∴∠AOD=180°-∠2=135°；
（2）∵∠1+∠BOM=∠BOC，∠1=∠BOC，
∴∠BOC+90°=∠BOC，
∴∠BOC=120°，
∴∠2=180°-∠BOC=60°，
∴∠BOD=∠2=60°，
∵NO⊥CD，
∴∠DON=90°，
∴∠BON=∠BOD+∠DON=150°．
【点睛】
本题考查了垂线，对顶角、邻补角．本题利用垂直的定义，对顶角和互补的性质计算，要注意领会由垂直得直角这一要点．
46．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB于O，∠2=2∠1，求∠AOC的度数．
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解：∵OE⊥AB（已知）
∴∠BOE（ ）
即∠1+∠2
又∵∠2=2∠1（已知）
∴∠1=______度
∴∠2=______度（等式性质）
∵∠2与∠AOC是对顶角（已知）
∴∠2=∠AOC（ ）
∵∠2=_______度（已证）
∴∠AOC=_________度（ ）
【答案】见解析
【分析】
根据垂直的定义以及∠1和∠2的关系得到各自的度数，再根据对顶角相等得到结果．
【详解】
解：∵OE⊥AB（已知）
∴∠BOE（垂直的定义）
即∠1+∠2
又∵∠2=2∠1（已知）
∴∠1=30度
∴∠2=60度（等式性质）
∵∠2与∠AOC是对顶角（已知）
∴∠2=∠AOC（对顶角相等）
∵∠2=60度（已证）
∴∠AOC=60度（等式性质）
【点睛】
本题考查了垂直的定义，对顶角相等，解题的关键是得到∠2的度数．
47．如图，直线、相交于O，平分，求：的度数．
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【答案】105°
【分析】
先根据OE⊥OF，∠BOF＝2∠BOE ( http: / / www.21cnjy.com )求出∠BOF与∠BOE的度数，从而可以得到∠AOE的度数，再根据角平分线的定义求出∠AOC，然后根据对顶角相等求出∠BOD，与∠BOE相加即可求解．
【详解】
解：∵OE⊥OF，∠BOF＝2∠BOE，
∴∠BOF＋∠BOE＝3∠BOE＝90°，解得∠BOE＝30°，
∴∠BOF＝2×30°＝60°，
∴∠AOE＝180° ∠BOE＝150°，
∵OC平分∠AOE，
∴∠AOC＝∠AOE＝×150°＝75°，
∴∠BOD＝∠AOC＝75°，
∠DOE＝∠BOD＋∠BOE＝75°＋30°＝105°．
故答案为：105°．
【点睛】
本题考查了垂线，对顶角相等的性质，以及角的计算，准确识图，结合图形先求出∠BOE与∠BOF的度数是解题的关键，也是突破口．
48．在平面内有三点A，B，C．
（1）如图，作出A，C两点之间的最短路线；在射线BC上找一点D，使线段AD长最短；
（2）若A，B，C三点共线，若，，点E，F分别是线段AB，BC的中点，求线段EF的长．
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【答案】（1）图见解析；（2）线段EF的长为或．
【分析】
（1）依据两点之间线段最短，点到直线之间垂线段最短即可作图；
（2）分两种情况画出图形，利用线段的和差即可计算．
【详解】
解：（1）连接AC，线段AC即为A，C之间最短路线，
过A作AD⊥BC，AD即为最短；
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（2）①如下图，若A、B、C按顺序排列，
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∵E、F分别是线段AB，BC的中点，，，
∴，
∴，
②若C在AB中间，如下图，
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∵E、F分别是线段AB，BC的中点，，，
∴，
．
综上所述，线段EF的长为或．
【点睛】
本题考查线段中点的有关计算，点到直线 ( http: / / www.21cnjy.com )的距离，两点之间的距离等．（1）中理解点到点和点到直线的距离是解题关键；（2）中能分情况讨论是解题关键．
49．如图，直线AB与CD相交于点O，，射线OE从OC开始绕点O按顺时针方向旋转到OB．
（1）当时，求的度数．
（2）当OE平分时，求的度数．
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【答案】（1）120°；（2）105°
【分析】
（1）根据垂直，得出，再根据对顶角的性质得出，相加即可；
（2）根据角平分线，求出即可．
【详解】
解：（1）∵，∴．
∵，∴，
∴．
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（2）∵，∴．
∵OE平分，∴．
∵，
∴．
【点睛】
本题考查了垂线的性质，角平分线的性质，对顶角的性质，解题关键是熟练运用这些性质进行推理和计算．
50．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD， OF⊥CD，若∠BOC比∠DOE大75o．求∠AOD和∠EOF的度数．21cnjy.com
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【答案】∠AOD=110°，∠EOF=55°
【分析】
设∠BOD=2x，利用角平分线 ( http: / / www.21cnjy.com )的∠BOE=x；由∠BOC比∠DOE大75°可求∠BOC=∠DOE+75°=x+75°．根据题意列出方程x+75°+2x =180°，得出x=35°，求出∠BOD=70°，即可求出∠AOD=180°-70°=110°，由FO⊥CD，可求∠BOF=90°-∠BOD=20°，可求∠EOF=∠FOB+∠BOE=55°．21·cn·jy·com
【详解】
解：设∠BOD=2x，
∵OE平分∠BOD，
∴∠DOE=∠EOB==x，
∵∠BOC=∠DOE+75°=x+75°．
∴x+75°+2x =180°，
解得：x=35°，
∴∠BOD=2×35°=70°，
∴∠AOD=180°-∠BOD=180°-70°=110°，
∵FO⊥CD，
∴∠BOF=90°-∠BOD=90°-70°=20°，
∴∠EOF=∠FOB+∠BOE=20°+35°=55°．
【点睛】
本题考查了角平分线、垂线、邻补角，一元一次方程等知识；弄清各个角之间的数量关系是解题的关键．
51．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF⊥CD，垂足为O，若∠BOF=38°．
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（1）求∠AOC的度数；
（2）过点O作射线OG，使∠GOE=∠BOF，求∠FOG的度数．
【答案】（1）52°；（2）图见解析，26°或102°
【分析】
（1）依据OF⊥CD，∠BOF＝38°，可得∠BOD＝90° 38°＝52°，依据对顶角相等得到∠AOC＝52°；
（2）分两种情况求解即可.
【详解】
（1）∵OF⊥CD，∠BOF＝38°，
∴∠BOD＝90° 38°＝52°，
∴∠AOC＝52°；
（2）由（1）知：∠BOD＝52°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE=26°，
此时∠GOE=∠BOF=38°，
分两种情况：
如图：
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此时∠FOG=∠BOF+∠BOE-∠GOE=38°+26°-38°=26°；
如图：
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此时∠FOG=∠BOF+∠BOE+∠GOE=38°+26°+38°=102°；
综上：∠FOG的度数为26°或102°.
【点睛】
本题考查了对顶角，角平分线定义，角的有关定义的应用，主要考查学生的计算能力，并注意数形结合．
52．作图题：如图，为射线外一点．
（1）连接；
（2）过点画出射线的垂线，垂足为点（可以使用各种数学工具）
（3）在线段的延长线上取点，使得；
（4）画出射线；
（5）请直接写出上述所得图形中直角有 个．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）见解析；（5）4
【分析】
（1）用线段连接即可；
（2）用三角板的两条直角边画图即可；
（3）用圆规截取即可；
（4）根据射线的定义画图即可；
（5）根据直角的定义结合图形解答即可．
【详解】
解：（1）如图所示；
（2）如图所示；
（3）如图所示；
（4）如图所示；
（5）直角有：∠ACO，∠ACB，∠DCO，∠DCB共4个，
故答案为：4．
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【点睛】
本题考查了线段、射线、垂线、直角的定义，以及作一条线段等于已知线段，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．2·1·c·n·j·y
53．已知点直线BC及直线外一点A(如图），按要求完成下列问题：
（1）画出射线CA、线段AB．过C点画CD⊥AB，垂足为点D；
（2）比较线段CD和线段CA的大小，并说明理由；
（3）在以上的图中，互余的角为____________，互补的角为____________．（各写出一对即可）
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【答案】（1）见解析；（2）CDCA，垂线段最短；（3）∠DBC和∠BCD（或∠DAC和∠ACD）；∠BDC与∠ADC
【分析】
（1）根据几何语言画出对应的几何图形；
（2）根据垂线段最短比较线段大小；
（3）根据余角和补角的定义求解．
【详解】
解：（1）如图，射线CA、线段AB、线段CD即为所求；
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（2）∵CD⊥AB，
∴根据垂线段最短，可得：CD＜CA
（3）∵CD⊥AB，
∴∠DBC+∠BCD=90°，∠DAC+∠ACD=90°，∠BDC+∠ADC=180°．
故答案为：∠DBC和∠BCD（或∠DAC和∠ACD）；∠BDC与∠ADC．
【点睛】
本题考查垂线段最短以及余角补角的定义，掌握相关定义正确作图是解题关键．
54．如图，点P是的边上的一点．
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（1）过点P画的垂线，交于点E；
（2）过点P画的垂线，垂足为H；
（3）过点P画的平行线；
（4）若每个小正方形的边长是1，则点P到的距离是___________；
（5）线段的大小关系是_____________________（用“<”连接）．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）1；（5）
【分析】
（1）（2）根据题意画垂线；
（3）根据题意画平行线；
（4）根据点到直线距离的定义计算；
（5）根据直角三角形的直角边小于斜边可以证得 ．
【详解】
如图，点P是的边上的一点．
（1）过点P画的垂线，交于点E；
（2）过点P画的垂线，垂足为H；
（3）过点P画的平行线；
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（4）由题意PH即点P到的距离，且PH=1，
∴答案为1；
（5）∵在RT△PHE中，PH是直角边，PE是斜边，
∴PH同理在RT△POE中，PE是直角边，OE是斜边，
∴PE∴线段，，的大小关系是．
故答案为PH【点睛】
本题考查垂线和平行线的画法、垂线的应用及直角三角形的性质，熟练掌握“垂线段最短”的定理是解题关键．
55．利用网格画图，每个小正方形边长均为1
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（1）过点C画AB的平行线CD；
（2）仅用直尺,过点C画AB的垂线，垂足为E；
（3）连接CA、CB，在线段CA、CB、CE中，线段______最短，理由___________．
（4）直接写出△ABC的面积为 _________．
【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）CE，垂线段最短；（4）8．
【分析】
(1)取点D作直线CD即可;
(2)取点F作直线CF交AB与E即可;
(3)根据垂线段最短即可解决问题;
(4)用割补法，大长方形的面积减去三个小三角形的面积即可;
【详解】
解： ( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）直线CD即为所求；
（2）直线CE即为所求；
（3）在线段CA、CB、CE中，线段CE最短，理由：垂线段最短；
故答案为CE，垂线段最短；
（4） S△ABC=18﹣×1×5﹣×1×3﹣×2×6=8，
∴△ABC的面积为8.
【点睛】
本题主要考查垂线、平行线及其做图，注意作图的准确性.
56．如图，DO平分∠AOC，OE平分∠BOC，若OA⊥OB，
（1）当∠BOC＝50°，∠DOE＝________；当∠BOC＝70°，∠DOE＝_________；21*cnjy*com
（2）通过上面的计算，猜想∠DOE的度数与∠AOB有什么关系，并说明理由．
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【答案】（1）45°；45°；（2）∠DOE＝∠AOB，见解析
【分析】
（1）先求出∠AOC，然后根据角平分线的定义求出∠COD和∠COE，最后根据∠DOE＝∠COD－∠COE进行计算即可；
（2）设∠AOB＝α，∠BOC＝β，仿照（1）中的方法进行计算即可．
【详解】
解：（1）①∵OA⊥OB，∠BOC＝50°，
∴∠AOC＝90°＋50°＝140°，
∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，
∴∠COD＝70°，∠COE＝25°，
∴∠DOE＝∠COD－∠COE＝70°－25°＝45°．
②∵OA⊥OB，∠BOC＝70°，
∴∠AOC＝90°＋70°＝160°，
∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，
∴∠COD＝80°，∠COE＝35°，
∴∠DOE＝∠COD－∠COE＝80°－35°＝45°．
（2）∠DOE＝∠AOB．理由如下：
设∠AOB＝α，∠BOC＝β，
∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，
∴∠COD＝（α＋β），∠COE＝β，
∴∠DOE＝∠COD－∠COE＝（α＋β－β）＝α＝∠AOB．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的相关计算，能够结合图形根据角平分线的概念表示出角之间的和与差的关系是解本题的关键．【来源：21cnj*y.co*m】
57．在如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，点都在格点上．
找一格点，使得直线，画出直线；
找一格点，使得直线于点，画出直线，并注明垂足；
找一格点，使得直线，画出直线；
连接，则线段的大小关系是 (用“”连接)．
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【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）
【分析】
（1）将AB沿着BC方向平移，使其过点C，此时经过的格点即为所求；
（2）延长CB，作AE与CB交于F点，此时E点即为所求；
（3）过B点作AB的垂线，经过的格点即为所求；
（4）在两个直角三角形中比较即可得出结论．
【详解】
（1）如图所示，符合题意的格点有D1，D2两个，画出其中一个即可；
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（2）如图所示：E点即为所求，垂足为F点；
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（3）如图所示，点G即为所求；
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（4）如图所示，显然，在中，；在中，，
故答案为：．
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【点睛】
本题考查应用与设计作图，平行线的判定与性质以及垂线的定义，熟练掌握基本性质定理是解题关键．
58．已知如图，直线AB、CD相交于点O，∠COE=90°．
（1）若∠AOC=36°，求∠BOE的度数；
（2）若∠BOD：∠BOC=1：5，求∠AOE的度数；
（3）在（2）的条件下，过点O作OF⊥AB，请直接写出∠EOF的度数．
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【答案】（1）∠BOE=54°；（2）∠AOE=120°；（3）∠EOF=30°或150°
【分析】
（1）根据平角的定义求解即可；
（2）根据平角的定义可求∠BOD，根据对顶角的定义可求∠AOC，根据角的和差关系可求∠AOE的度数；
（3）先过点O作OF⊥AB，再分两种情况根据角的和差关系可求∠EOF的度数．
【详解】
解：（1）∵∠AOC=36°，∠COE=90°，
∴∠BOE=180°-∠AOC-∠COE=54°；
（2）∵∠BOD：∠BOC=1：5，
∴∠BOD=180°×=30°，
∴∠AOC=30°，
又∵∠COE=90°，
∴∠AOE=∠COE+∠AOC=90°+30°=120°；
（3）由（2）∠AOE=120°
如图1，OF⊥AB
∴∠AOF=90°
∴∠EOF=∠AOE-∠AOF=120°-90°=30°，
如图2，OF⊥AB
∴∠AOF=90°
∴∠EOF=360°-∠AOE-∠AOF=360°-120°-90°=150°．
故∠EOF的度数是30°或150°．
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【点睛】
本题主要考查了角的计算，涉及到的角有平角、直角；熟练掌握平角等于180度，直角等于90度，是解答本题的关键．
59．如图，直线、相交于点O，平分，，．
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（1）与互余的角是______；
（2）求的度数．
【答案】（1）∠BOD、∠AOC；（2）54°
【分析】
（1）根据垂直的定义得到∠F ( http: / / www.21cnjy.com )OD＝90°，于是得到∠BOF+∠BOD＝90°，根据对顶角的性质得到∠BOD＝∠AOC，等量代换得到∠BOF+∠AOC＝90°，即可得到结论．
（2）根据已知条件得到∠BOF＝90°﹣72°＝18°，再由OE平分∠BOD，得出∠BOE＝∠BOD＝36°，因此∠EOF＝36°+18°＝54°．
【详解】
解：（1）∵OF⊥CD，
∴∠FOD＝90°，
∴∠BOF+∠BOD＝90°，
∵∠BOD＝∠AOC，
∴∠BOF+∠AOC＝90°，
∴图中互余的角有∠BOF与∠BOD，∠BOF与∠AOC．
故答案为：∠BOD、∠AOC；
（2）∵直线AB和CD相交于点O，
∴∠BOD＝∠AOC＝72°，
∵OF⊥CD，
∴∠BOF＝90°﹣72°＝18°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE＝∠BOD＝36°，
∴∠EOF＝36°+18°＝54°．
【点睛】
本题考查了对顶角、垂线以及角平分线的定义；弄清各个角之间的关系是解题的关键．
60．如图，与相交于，平分，于，于，若＝，求和的度数．
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【答案】∠AOE=20 ，∠FOG=20
【分析】
根据垂直的定义以及对顶角定义直接得出和的度数即可.
【详解】
如图：∵＝，
∴＝＝，
又平分，
∴＝，即＝，
∵于，，
∴＝＝，
∴＝＝（等角的余角相等）.
【点评】
此题主要考查了垂线的定义以及角平分线的定义、对顶角等知识，得出∠AOE的度数是解题关键.
61．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOC，OF⊥OE于O，且∠DOF＝74°．
求∠BOD的度数．
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【答案】∠BOD的度数为32°．
【分析】
根据角平分线的意义、平角、垂直的意义、对顶角的性质进行计算即可．
【详解】
解：∵OF⊥OE，
∴∠EOF＝90°，
又∵∠COE+∠EOF+∠DOF＝180°，∠DOF＝74°，
∴∠COE＝180°﹣90°﹣74°＝16°，
∵OE平分∠AOC，
∴∠AOC＝2∠COE＝32°＝∠BOD，
答：∠BOD的度数为32°．
【点睛】
本题考查了角平分线的意义、平角、垂直的意义、对顶角的性质等知识，掌握角平分线、垂直的意义、平角、对顶角的性质是解题的关键．www.21-cn-jy.com
62．已知：直线AB与直线CD交于点O，过点O作．
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（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图2，过点O画直线FG满足射线OF在内部，且使，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出与互余的角．
【答案】（1）120°；（2），，，
【分析】
（1）根据垂直的定义可得，根据角的和差倍数关系可得：，根据对顶角和角的和差即可求解；
（2）根据（1）可知∠EOF＝15°，分别计算各角的度数，根据余角的定义即可求解．
【详解】
（1）解：∵
∴
∴
∵
∴
解得：
∵∠BOD＝∠AOC＝30°
∴∠BOE＝∠BOD＋∠DOE＝90°＋30°＝120°
（2）由（1）知，
∴∠AOE＝60°
又
∴∠EOF＝15°，
∵∠EOF＋∠DOF＝90°＝∠DOE
∵∠DOF＝∠COG＝75°
∴∠EOF＋∠COG＝90°
∵∠AOE＋∠EOF＝60°＋15°＝∠AOF＝75°
∴∠AOF＋∠EOF＝90°
∵∠AOF＝∠BOG
∴∠BOG＋∠EOF＝90°
故：∠DOF、∠COG、∠AOF、∠BOG都是与互余的角．
【点睛】
本题考查垂直的定义及性质，对顶角的性质，余角的定义，等角代换，解题的关键是熟练掌握上述所学知识点．
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