4.5.1 函数的零点与方程的解（教案）-高中数学人教A版（2019）必修第一册

第四章 指数函数与对数函数
4.5.1 函数的零点与方程的解
教学设计
一、教学目标
1.了解函数零点的概念：能够结合具体方程（如一元二次方程），说明方程的根、函数的零点、函数图象与x轴的交点三者之间的关系.
2.理解函数零点存在定理：了解函数图象连续不断的意义及作用，知道函数零点存在定理只是函数存在零点的一个充分条件.
3.能利用函数图象和性质判断某些函数的零点个数及所在区间.
二、教学重难点
1.教学重点
理解函数零点的概念，掌握函数零点与相应方程根的求法.
掌握函数零点存在定理并能应用.
2.教学难点
数形结合思想，转化与化归思想的培养与应用.
函数零点存在定理的理解.
三、教学过程
（一）探究一：零点的概念
零点的概念：对于一般函数y=f（x），我们把使f（x）=0的实数x叫做函数y=f（x）的零点.
考察函数（1）；（2）；（3）；（4）的零点.
答案：（1）零点是x=1；（2）零点是x=0；（3）没有零点；（4）零点是x=1.
归纳函数的零点与方程的根的关系：
方程f（x）=0有实数根函数y=f（x）的图像与x轴有交点函数y=f（x）有零点.
探究二：二次函数零点的判定
我们已经知道了函数的零点与方程的根的关系，那于二次函数来说，方程有一个根，说明函数有一个零点，方程有两个根，说明函数有两个零点；那么二次函数的零点与一元二次方程的根的判别式之间有何关系
归纳总结：二次函数零点的判定.
对于二次函数与一元二次方程，其判别式.
判别式 方程的根 函数的零点
两个不相等的实根 两个零点
两个相等的实根 一个零点
没有实根 0个零点
思考：（1）如何求函数的零点 （2）函数零点与函数图像的关系怎样
答案：（1）零点即函数值为零时对应的自变量的值，求零点可转化为求对应方程的根.
（2）零点即函数图像与x轴交点的横坐标.
探究三：函数零点存在定理
探究函数的零点所在区间及零点所在区间的端点对应函数值的正负情况.
解析：利用图像观察零点所在区间，区间端点一般取整数.
零点，零点，且.
观察下列函数的零点及零点所在区间：
（1）
（2）.
解析：（1）函数的零点为且，所以零点所在区间为（0,1）；
（2）函数的零点为2，且，所以零点所在区间为（1,3）.
归纳：
零点存在定理：
如果函数在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f（a）f（b）<0，那么，函数在区间（a，b）内至少有一个零点，即存在，使得f（c）=0，这个c也就是方程f（x）=0的解.
对定义的进一步理解：（1）函数在区间[a，b]上的图象连续不断，且它在区间[a，b]端点的函数值异号，则函数在[a，b]上一定存在零点；
（2）函数值在区间[a，b]上连续且存在零点，则它在区间[a，b]端点的函数值可能异号也可能同号；
（3）定理只能判定零点的存在性，不能判断零点的个数.
（二）课堂练习
1.已知 ，且 ，则 所在的区间为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：已知，
可得,上，函数是连续增函数，
，
，
∴，
由函数的零点判定定理可知,则所在的区间为.
故选：A.
2.函数的零点所在的区间为( )
A.（2,3） B.（3,4） C.（1,2） D.（0,1）
答案：A
解析：易知函数在上单调递增，，，由函数零点存在定理可得函数的零点所在的区间是（2,3）.故选A.
3.若，则函数的两个零点分别位于区间( )
A.和内 B.和内
C.和内 D.和内
答案：A
解析：因为，所以，，，由函数零点存在定理可知，在区间，内分别存在零点，又函数是二次函数，最多有两个零点，所以函数的两个零点分别位于区间，内，故选A.
4.函数的一个零点在区间内，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：已知函数在上单调递增，又函数的一个零点在区间内，所以即解得.故选C.
（三）小结作业
小结：
本节课我们主要学习了哪些内容
1.数学知识：零点的概念、求法以及判定.
2.数学思想：函数与方程的相互转化，即转化思想；借助图象探寻规律，即数形结合思想.
四、板书设计
1. 零点的概念、求法以及判定.
2. 函数与方程的相互转化，借助图象探寻规律.