中小学教育资源及组卷应用平台
第二十三章《旋转》检测卷
提高卷（一）
第I卷（选择题）
选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据中心对称图形的概念求解．
【详解】
A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是中心对称图形，故此选项正确；
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C．
D．
【答案】C
【分析】
一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据定义进行判断求解．
【详解】
解：A．不是中心对称图形，不符合题意．
B．不是中心对称图形，不符合题意．
C．是中心对称图形，符合题意．
D．不是中心对称图形，不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查中心对称图形概念，中心对称图形找到对称中心，旋转180度后与原图重合．
3．将如图所示的图案通过平移后可以得到的图案是：（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据平移的性质“平移前后，两图形的大小不变、形状不变”即可得．
【详解】
解：A、通过平移得到，符合题意，
B、通过旋转得到，不符合题意，
C、通过旋转得到，不符合题意，
D、通过旋转得到，不符合题意，
故选A．
【点睛】
本题考查了利用平移设计图形，解题的关键是熟记平移的性质．
4．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据轴对称图形及中心对称图形的概念可直接进行排除选项．
【详解】
解：A、既是轴对称图形也是中心对称图形，故符合题意；
B、是轴对称图形但不是中心对称图形，故不符合题意；
C、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合题意；
D、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意；
故选A．
【点睛】
本题主要考查轴对称图形及中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形及中心对称图形的概念是解题的关键．
5．观察下列图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
【详解】
A．不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项不合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项不合题意；
D．既是轴对称图形又是中心对称图形．故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查轴对称图形与中心对称图形的概念，理解轴对称图形与中心对称图形的概念是解题的关键．
6．在下列平面图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据中心对称图形的定义:把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心判断即可．
【详解】
解：A、不是中心对称图形；
B、是中心对称图形；
C、不是中心对称图形；
D、不是中心对称图形；
故选：B．
【点睛】
本题考查的是中心对称图形的定义，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
7．如图，已知是绕点逆时针旋转所得，其中点在射线上，设旋转角为，直线与直线交于点，那么下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由△ADE是△ABC绕点A逆时针旋转α所得，找出正确的旋转角即可判断A、B，再结合三角形的内角和定理可判断D，根据内错角∠D不一定等于∠BAC，即可判断C．
【详解】
解：由△ADE是△ABC绕点A逆时针旋转α所得知∠BAC=∠DAE=α，故A、B选项正确；
∵∠B=∠D，∠BCA=∠DCF，
则根据三角形内角和定理有∠DFC=∠BAC=α，故D选项正确；
∵∠D不一定等于∠BAC，故AB不一定平行于DE，故C选项错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，平行线的判定，三角形的内角和定理，要牢记旋转不改变图形的形状和大小，旋转前后图形的各部分的对应关系．
8．已知点关于原点对称的点在第二象限，则x的取值范图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
设点M关于原点的对称点为M′，利用关于原点对称求出M′，根据第二象限的符号特征列不等式组，解不等式组即可．
【详解】
解：设点M关于原点的对称点为M′，
∴点，
∵点在第二象限，
∴列不等式组得，
解不等式①得，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为：．
故选择B．
【点睛】
本题考查关于原点对称的特征，点在象限的特征，列不等式组以及解不等式组，掌握关于原点对称的特征，点在象限的特征，列不等式组以及解不等式组是解题关键．
9．如图，在△ABC中，∠B＝55°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转n度（0＜n＜180）得到△EDC，若CE∥AB，则n的值为（ ）
A．65 B．90 C．95 D．125
【答案】C
【分析】
先根据三角形内角和求出∠A，根据平行线性质与旋转的性质及题意易得∠ACE的度数即可．
【详解】
解：∵在△ABC中，∠B＝55°，∠ACB＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB═180°﹣55°﹣30°＝95°，
∵将△ABC绕点C逆时针旋转n角度（0＜n＜180°）得到△CDE，
∴∠BCD＝∠ACE＝n°，
∵CE∥AB，
∴∠BAC=∠ACE=95°，
∴n=95
故选：C．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质及旋转的性质，三角形内角和，关键是根据旋转得到角的关系，然后由平行线的性质即可求解．
10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB'C'（点B对应点是点B'，点C'的对应点是点C'），连接CC'．若∠CC'B'＝22°，则∠B的大小是（ ）
A．63° B．67° C．68° D．77°
【答案】B
【分析】
由旋转的性质可得AC＝AC'，∠CAC'＝90°，∠AB'C'＝∠B，可得∠ACC'＝45°，根据三角形的外角等于不相邻的两个内角和，可求∠AB'C'＝∠B＝∠ACC'+∠CC'B'＝78°．
【详解】
∵将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB′C′
∴AC＝AC'，∠CAC'＝90°，∠AB'C'＝∠B
∴∠ACC'＝45°
∵∠AB'C'＝∠ACC'+∠CC'B'
∴∠AB'C'＝45°+22°＝67°
∴∠B＝67°
故选B．
【点睛】
本题考查了旋转的性质．等腰三角形的性质，熟练运用旋转的性质是解决本题的关键．
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11．如图，已知四边形ABCD和点O，试画出四边形ABCD关于点O成中心对称的图形A′B′C′D′．
作法：
①连接AO并延长到A′，使OA′＝_____，得到点A的对应点____；
②同理，可作出点B，C，D的对应点___，C′，D′；
③顺次连接A′，B′，C′，D′，则四边形_______即为所作．
【答案】OA A′ B′ A′B′C′D′
【详解】
略
12．如图，将等边△AOB放在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），点B在第一象限．将等边△AOB绕点O顺时针旋转90°得到△A'OB'，则点B'的坐标是______．
【答案】（2，﹣2）
【分析】
作B′H⊥x轴于H，根据勾股定理求出HB′可得结论．
【详解】
解： ∵等边△AOB绕点O顺时针旋转90°得到△A'OB'，
∴A'落在x轴正半轴，作B′H⊥x轴于H，
∵△OA′B′为等边三角形，OA′＝OB′＝OA＝4，
∴OH＝A′H＝2，
∴B′H＝，
∴B′点坐标为（2，﹣2），
故答案为：（2，﹣2）．
【点睛】
本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，等边三角形的性质，勾股定理，解题关键是结合旋转的角度和构建直角三角形求出旋转后的点的坐标．
13．在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，完成下列问题：
（1）△B4A5B5的顶点A5的坐标是 ___；
（2）△B2nA2n+1B2n+1（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是 ___．
【答案】
【分析】
（1）先根据是边长为的等边三角形，可得、的坐标，然后根据中心对称的性质，分别求出、、的坐标，即可求出的坐标；
（2）根据（1）的求解结果，总结出的坐标的规律，再有规律求出的坐标即可．
【详解】
解：（1）如图过点A1 ，作A1⊥x轴于C，
∴，
∴，
∵是边长为的等边三角形
∴点的坐标为，点的坐标为
∵与关于点成中心对称
∴点与点关于点成中心对称
∵，
∴点的坐标为
∵与关于点成中心对称
∴点与点关于点成中心对称
∵，
∴点的坐标为
∵与关于点成中心对称
∴点与点关于点成中心对称
∵，
∴点的坐标为
∵与关于点成中心对称
∴点与点关于点成中心对称
∵，
∴点的坐标为
（2）∵
∴的横坐标是
∴的横坐标是
∵当为奇数时，的纵坐标是；当为偶数时，的纵坐标是
∴的纵坐标是
∴(是正整数)的顶点的坐标是．
故答案是：，．
【点睛】
本题主要考查了坐标与图形变化的旋转问题，要熟练掌握，解答此题的关键是总结出的坐标．
14．如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(0，6)，ΔABO为等边三角形，P是x轴上的一个动点，将线段AP绕A点按逆时针方向旋转60°，P点的对应点为点Q．连接OQ，则OQ最小值是________．
【答案】3
【分析】
根据旋转的性质以及等边三角形的性质得到AP=AQ，AO=AB，∠PAQ=∠OAB=60°，利用SAS定理证明△APO≌△AQB，根据全等三角形的性质求得∠ABQ=90°，得到点Q在直线BQ上，当OQ⊥BQ时，OQ取得最小值，再利用含30度直角三角形的性质求解即可．
【详解】
解：根据旋转的性质得AP=AQ，∠PAQ=60°，
∵△AOB为等边三角形，
∴AO=AB，∠OAB=60°，
∴∠PAQ-∠OAQ=∠OAB-∠OAQ，即∠PAO=∠QAB，
在△APO和△AQB中，
，
∴△APO≌△AQB（SAS），
∴∠ABQ=∠AOP=90°；
∴点Q在直线BQ上，
当OQ⊥BQ时，OQ取得最小值，如图：
∵△AOB为等边三角形，点A的坐标为(0，6)，∠ABQ=90°，
∴OB=6，∠OBQ=30°，
∴OQ=OB=3，即OQ最小值是3．
故答案为：3．
【点睛】
本题考查的是旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、等边三角形的性质是解题的关键．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝1，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，此时点A'恰好在AB边上，则点B'与点B之间的距离为_____．
【答案】
【分析】
先利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求出BC，然后证明三角形是等边三角形，得到∠=60°，即可证明三角形是等边三角形，从而得到，由此求解即可.
【详解】
解：连接，
在中，90°，∠A=60°，
∴∠ABC=30°，
∴AB=2AC=2，
由勾股定理得：，
∵将绕点C按逆时针方向旋转得到△，
∴，，，
∵∠A=60°，
∴三角形是等边三角形，
∴∠=60°，
∴三角形是等边三角形，
∴.
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查了旋转的性质、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
16．如图，等边△ABC中，BC＝12，D为BC的中点，E为△ABC内一动点，DE＝2，连接AE，将线段AE绕点A逆时针旋转60°得AF，连接DF，则线段DF的最小值为__．
【答案】
【分析】
以ED为边作等边△DEG，连接AD，EF，AG，由等边三角形的性质和勾股定理可求AD＝6，由等边三角形的性质可证△AEG≌△FED，可得DF＝AG，根据三角形的三边关系，可得当点A，点G，点D三点共线时，AG值最小，即DF值最小，则可求线段DF的最小值．
【详解】
解：如图，以ED为边作等边△DEG，连接AD，EF，AG，
∵△ABC是等边三角形，点D是BC中点，
∴BD＝CD＝6，AD⊥BC
∴AD＝＝6，
∵将线段AE绕点A逆时针旋转60°得AF，
∴AE＝AF，∠EAF＝60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴AE＝EF，∠AEF＝60°，
∵△DEG是等边三角形
∴DE＝EG＝2，∠GED＝60°＝∠AEF
∴∠AEG＝∠FED，
在△AEG和△FED中，
，
∴△AEG≌△FED（SAS），
∴DF＝AG，
∵AG≥AD﹣DG，
∴当点A，点G，点D三点共线时，AG值最小，即DF值最小，
∴DF最小值＝AD﹣DG＝6﹣2，
故答案为：6﹣2．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．
17．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1，且AC在直线l上，将△ABC绕点A 顺时针旋转到①，可得到点 P1，此时AP1＝2；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2＝2＋；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3＝3＋；…按此规律继续旋转，直到点P2020为止，则 AP2021等于__
【答案】
【分析】
仔细审题，发现每旋转3次为一个循环，按此规律即可求解．
【详解】
解：∵∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，
∴AB=2，BC=3，
∴将△ABC绕点A顺时针旋转到①,可得到点，此时A=2；
将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得到点 ，此时A=2+；
将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置，可得到点，此时A=3+；
由此可得：A =3++2=5+；
A =5++=5+2；
A =5+2+1=6+2
=2(3+)；
∵2021÷3=673…2，
A =673(3+)+2+=2021+674
故答案为：2021+674．
【点睛】
本题考查了旋转的性质及直角三角形的性质，得到AP的长度依次增加2，，1，且三次一循环是解题的关键．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
18．如图，已知在平面内有三角形ABC和点D，请根据下列要求画出对应的图形，并回答问题．
（1）将△ABC平移，使得点A平移到图中点D的位置，点B、点C的对应点分别为点E、点F，请画出△DEF．
（2）画出△ABC关于点D成中心对称的△A1B1C1．
（3）△DEF与△A1B1C1是否关于某个点成中心对称？如果是，请在图中画出这个对称中心，并记作点O．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）是，图见解析
【分析】
（1）利用点A和点D的位置确定平移方向与距离，然后利用此平移规律画出B、C的对应点E、F即可；
（2）延长AD到A1，使A1D＝DA，延长BD到B1，使B1D＝DB，延长CD到C1，使C1D＝DC；
（3）连接EC1、FB1，EC1、FB1和DA1相交于O点，则可判断△DEF与△A1B1C1关于O点成中心对称．
【详解】
解：（1）如图，△DEF为所作；
（2）如图，△A1B1C1为所作；
（3）△DEF与△A1B1C1关于点O成中心对称，如图，点O为所作．
【点睛】
本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．
19．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．
（1）画出向下平移个单位所得到的；
（2）画出将绕原点逆时针方向旋转后的，并写出点的对应点的坐标．
【答案】（1）见解析；（2）见解析，点的坐标为
【分析】
（1）利用平移的坐标特征写出 A1 、 B1 、 C1 的坐标，然后描点即可；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出 A 、 B 、 C 的对应点 A2 、 B2 、 C2 并写出坐标即可；
【详解】
解（1）如图，为所作．
（2）如图，为所作．
点的对应点的坐标为，
【点睛】
本题考查了作图 旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
20．如图，将矩形ABCD绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形FECG，使点B落在AD边上的点E处，连接BG交CE于点H，连接BE．
（1）求证：EB平分∠AEC；
（2）求证：点H为BG中点．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【分析】
（1）根据旋转的性质知BC＝CE，再由等腰三角形的性质得到∠CBE＝∠CEB，根据矩形的性质得∠AEB＝∠CBE，再等量转化可得结论；
（2）过点B作BP⊥CE于点P，根据角平分线的性质得出∠AEB＝∠CEB，由全等三角形的判定得△BPH≌△GCH（AAS）即可得到结论．
【详解】
解：（1）根据旋转的性质得BC＝CE，
∴∠CBE＝∠CEB，
又∵ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∴∠AEB＝∠CEB，
∴BE平分∠AEC；
（2）过点B作BP⊥CE于点P，
如图，
由（1）可知∠AEB＝∠CEB，
又∵∠A＝∠BPE，且BE＝BE，
∴△AEB≌△PEB（AAS），
∴BP＝AB，
∴BP＝CG，
又∵∠BHP＝∠GHC，
∠BPH＝∠GCH，
∴△BPH≌△GCH（AAS），
∴BH＝HG，
∴点H为BG中点．
【点睛】
本题主要考查了矩形的性质、旋转以及全等，合理的画出辅助线是解决本题的关键．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度α得到△ADE，点B，C的对应点分别是D，E
（1）如图1，当点E恰好在AB上时，求∠CBD的大小；
（2）如图2，若α=60°，点F是AB的中点，判断四边形CEDF的形状，并证明你的结论
【答案】（1）135°；（2）平行四边形，证明见解析
【分析】
（1）如图1，利用旋转的性质和等腰三角形的性质以及三角形的内角和即可得到结论；
（2）如图2，利用直角三角形斜边上的中线性质和含30度的直角三角形三边的关系以及旋转的性质即可得到结论．
【详解】
解：（1）如图1，△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度α得到△ADE，点E恰好在AB上，
∴AB=AD，∠EAD=∠CAB=30°，∠ABC=60°，∠DEA=∠BCA=90°，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=（180°-30°）=75°，
∴∠CBD=60°+75°=135°；
（2）平行四边形，理由是：
证明：∵点F是边AB中点，
∴CF=BA，
∵∠BAC=30°，
∴BC=BA，
∴CF=BC，
∵△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△ADE，
∴∠CAE=∠BAD=60°，AC=AE，DE=BC，
∴DE=CF，△BAD和△CAE为等边三角形，
∴CE=CA，
∵点F为△BA的边AB的中点，
∴DF⊥AB，
∴△AFD≌△BCA（AAS），
∴DF=CA，
∴DF=CE，
而CF=DE，
∴四边形CEDF是平行四边形．
【点睛】
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了平行四边形的判定．
22．在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）作关于点成中心对称的．
（2）将向右平移个单位，作出平移后的．
（3）在轴上求作一点，使的值最小，并求出点的坐标．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）分别作出，，的对应点，，即可；
（2）分别作出，，的对应点，，即可；
（3）如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，点即为所求．再求出直线的解析式即可解决问题．
【详解】
解：（1）如图所示，即为所求；
（2）如图所示，即为所求；
（3）如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，点即为所求作．
∵，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入，得，
解得，
直线的解析式为，
令，则，
解得：，
，．
【点睛】
本题考查作图旋转变换，平移变换，轴对称最短问题以及用待定系数法求函数解析式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
23．在△ABM中，AM⊥BM，垂足为M，AM＝BM，点D是线段AM上一动点．
（1）如图1，点C是BM延长线上一点，MD＝MC，连接AC，若BD＝17，求AC的长；
（2）如图2，在（1）的条件下，点E是△ABM外一点，EC＝AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF＝∠CEF．
（3）如图3，当E在BD的延长上，且AE⊥BE，AE＝EG时，请你直接写出∠1、∠2、∠3之间的数量关系．（不用证明）
【答案】（1）17；（2）见解析；（3）∠3＝2∠1+∠2
【分析】
（1）根据SAS证明△AMC≌△BMD，由AC＝BD求出AC的长；
（2）延长EF到点G，使FG＝FE，连接BG，证明△BFG≌△CFE，可得EC＝GB，∠G＝∠CEF，再由BD＝BG可得∠G＝∠BDF，从而证得结论；
（3）延长AE、BM交于点C，作MH⊥AC于点H，作MF⊥BG于点F，证明∠FEM＝∠HEM＝45°及△AEM≌△GEM，再证明∠AME＝∠1，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和即可推导出∠3＝2∠1+∠2．
【详解】
解：（1）如图1，∵AM⊥BM，
∴∠AMC＝∠BMD＝90°，
∵AM＝BM，MD＝MC，
∴△AMC≌△BMD（SAS），
∴AC＝BD＝17．
（2）证明：如图2，延长EF到点G，使FG＝FE，连接BG，
∵F为BC中点，
∴BF＝CF，
∵∠BFG＝∠CFE，
∴△BFG≌△CFE（SAS），
∴BG＝EC，∠G＝∠CEF，
又∵BD＝AC，EC＝AC，
∴BD＝EC，
∴BG＝BD，
∴∠G＝∠BDF，
∴∠BDF＝∠CEF．
（3）如图3，延长AE、BM交于点C，作MH⊥AC于点H，作MF⊥BG于点F，
∵AM⊥BM，AE⊥BE，
∴∠BEC＝∠AMC＝90°，
∴∠MBF＝90°﹣∠C＝∠MAH，
∵∠BFM＝∠AHM＝90°，BM＝AM，
∴△BFM≌△AHM（AAS），
∴FM＝HM，
∵∠EFM＝∠EHM＝90°，EM＝EM，
∴Rt△EMF≌Rt△EMH（HL），
∵∠FEH＝90°，
∴∠FEM＝∠HEM＝∠FEH＝45°，
∵∠AEB＝∠GEC＝90°，
∴∠AEM＝∠GEM＝90°+45°＝135°，
∵AE＝EG，EM＝EM，
∴△AEM≌△GEM（SAS），
∴∠AME＝∠GME，
∵∠BEM＝∠BAM＝45°，
∴∠AME＝∠3﹣∠BEM＝∠3﹣∠BAM＝∠1，
∴∠AMG＝2∠AME＝2∠1，
∵∠3＝∠AMG+∠2，
∴∠3＝2∠1+∠2．
【点睛】
此题主要考查全等三角形的判定与性质综合，解题的关键是根据题意作出辅助线，证明三角形全等．
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
24．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），将x轴绕点A顺时针旋转60°交y轴于点B，再将点B绕点A顺时针旋转90°得到点C．
（1）求直线BC的解析式；
（2）若点Q为平面直角坐标系中一点，且满足四边形ABCQ为平行四边形，求点Q的坐标；
（3）在直线BC和y轴上，是否分别存在点M和点N，使得以点M，N，A，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）；（2），；（3），或，或，
【分析】
（1）由旋转可知，，，，过点作轴于点，求出，，再由待定系数法求直线的解析式；
（2）设，已知可知、为平行四边形的对角线，根据中点坐标公式可求，；
（3）设，，，分三种情况讨论：①当、为平行四边形的对角线时，，；②当、为平行四边形的对角线时，，；③当、为平行四边形的对角线时，，．
【详解】
解：（1）轴绕点顺时针旋转交轴于点，
，
点，
，
，，
，
点绕点顺时针旋转得到点，
，，
过点作轴于点，
，
，，
，，
设直线的解析式为，
则有，
解得，
；
（2）设，
四边形为平行四边形，
、为平行四边形的对角线，
的中点，，的中点，，
，，
，，
，；
（3）在直线上，在轴上，
设，，，
①当、为平行四边形的对角线时，
中点的横坐标为，中点的横坐标为，
，
，
，；
②当、为平行四边形的对角线时，
中点的横坐标为，中点的横坐标为，
，
，
，；
③当、为平行四边形的对角线时，
中点的横坐标为，中点的横坐标为，
，
，
，；
综上所述：点的坐标为，或，或，．
【点睛】
本题考查一次函数的综合，熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法、灵活应用平行四边形的性质、并能根据对角线的情况分类讨论是解题的关键．
25．已知：△ABC，△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC＝6，CD＝CE＝4，△CDE可以绕点C旋转，作直线AD、直线BE，当它们有交点时．设相交点为H．
（1）当△CDE转到图1位置时，求证：①AD＝BE；②AD⊥BE；
（2）△CDE可以绕点C旋转的过程中，连接AE，BD．猜想AE2+BD2的值是否发生变化（直接写出结论，不用证明）？直接写出当BD＝8时，AE的长；
（3）△CDE可以绕点C旋转的过程中，直接写出当∠CBD＝30°时，AE2的值．
【答案】（1）见解析；（2）不发生变化，；（3）70+或70-
【分析】
（1）证明△ACD≌△ECB，得到AD=BE，∠2=∠3，推出∠3+∠5=90°即可；
（2）利用勾股定理得到AE2+BD2=AH2+EH2+BH2+DH2，AB2+DE2=AH2+BH2+EH2+DH2，从而推出AE2+BD2=AB2+DE2=104，从而计算即可；
（3）①过C作CF⊥BD，交BD延长线于点F，根据直角三角形的性质及勾股定理可得答案；②过C作CF⊥BD，根据直角三角形的性质及勾股定理可得答案．
【详解】
解：（1）证明：如图，标记如下：
，
，即，
，，
，
，，
，
，
，
，
．
（2）解：，，
，即AE2+BD2的值不发生变化；
，
当时，．
（3）①如图，过作，交延长线于点，
，
，
，
，
，
，
，
；
②如图，过作，
，
，
，
，
，
，
，
．
故的值为或．
【点睛】
此题是三角形综合题目，掌握全等三角形的判定与性质、直角三角形性质及勾股定理是解决此题关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第二十三章《旋转》检测卷
提高卷（一）
第I卷（选择题）
选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C．D．
2．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C．D．
3．将如图所示的图案通过平移后可以得到的图案是：（ ）
A． B． C． D．
4．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B． C． D．
5．观察下列图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
6．在下列平面图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，已知是绕点逆时针旋转所得，其中点在射线上，设旋转角为，直线与直线交于点，那么下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．已知点关于原点对称的点在第二象限，则x的取值范图是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在△ABC中，∠B＝55°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转n度（0＜n＜180）得到△EDC，若CE∥AB，则n的值为（ ）
A．65 B．90 C．95 D．125
10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB'C'（点B对应点是点B'，点C'的对应点是点C'），连接CC'．若∠CC'B'＝22°，则∠B的大小是（ ）
A．63° B．67° C．68° D．77°
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11．如图，已知四边形ABCD和点O，试画出四边形ABCD关于点O成中心对称的图形A′B′C′D′．
作法：
①连接AO并延长到A′，使OA′＝_____，得到点A的对应点____；
②同理，可作出点B，C，D的对应点___，C′，D′；
③顺次连接A′，B′，C′，D′，则四边形_______即为所作．
12．如图，将等边△AOB放在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），点B在第一象限．将等边△AOB绕点O顺时针旋转90°得到△A'OB'，则点B'的坐标是______．
13．在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，完成下列问题：
（1）△B4A5B5的顶点A5的坐标是 ___；
（2）△B2nA2n+1B2n+1（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是 ___．
14．如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(0，6)，ΔABO为等边三角形，P是x轴上的一个动点，将线段AP绕A点按逆时针方向旋转60°，P点的对应点为点Q．连接OQ，则OQ最小值是________．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝1，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，此时点A'恰好在AB边上，则点B'与点B之间的距离为_____．
16．如图，等边△ABC中，BC＝12，D为BC的中点，E为△ABC内一动点，DE＝2，连接AE，将线段AE绕点A逆时针旋转60°得AF，连接DF，则线段DF的最小值为__．
17．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1，且AC在直线l上，将△ABC绕点A 顺时针旋转到①，可得到点 P1，此时AP1＝2；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2＝2＋；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3＝3＋；…按此规律继续旋转，直到点P2020为止，则 AP2021等于__
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
18．如图，已知在平面内有三角形ABC和点D，请根据下列要求画出对应的图形，并回答问题．
（1）将△ABC平移，使得点A平移到图中点D的位置，点B、点C的对应点分别为点E、点F，请画出△DEF．
（2）画出△ABC关于点D成中心对称的△A1B1C1．
（3）△DEF与△A1B1C1是否关于某个点成中心对称？如果是，请在图中画出这个对称中心，并记作点O．
19．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．
（1）画出向下平移个单位所得到的；
（2）画出将绕原点逆时针方向旋转后的，并写出点的对应点的坐标．
20．如图，将矩形ABCD绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形FECG，使点B落在AD边上的点E处，连接BG交CE于点H，连接BE．
（1）求证：EB平分∠AEC；
（2）求证：点H为BG中点．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度α得到△ADE，点B，C的对应点分别是D，E
（1）如图1，当点E恰好在AB上时，求∠CBD的大小；
（2）如图2，若α=60°，点F是AB的中点，判断四边形CEDF的形状，并证明你的结论
22．在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）作关于点成中心对称的．
（2）将向右平移个单位，作出平移后的．
（3）在轴上求作一点，使的值最小，并求出点的坐标．
23．在△ABM中，AM⊥BM，垂足为M，AM＝BM，点D是线段AM上一动点．
（1）如图1，点C是BM延长线上一点，MD＝MC，连接AC，若BD＝17，求AC的长；
（2）如图2，在（1）的条件下，点E是△ABM外一点，EC＝AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF＝∠CEF．
（3）如图3，当E在BD的延长上，且AE⊥BE，AE＝EG时，请你直接写出∠1、∠2、∠3之间的数量关系．（不用证明）
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
24．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），将x轴绕点A顺时针旋转60°交y轴于点B，再将点B绕点A顺时针旋转90°得到点C．
（1）求直线BC的解析式；
（2）若点Q为平面直角坐标系中一点，且满足四边形ABCQ为平行四边形，求点Q的坐标；
（3）在直线BC和y轴上，是否分别存在点M和点N，使得以点M，N，A，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．
25．已知：△ABC，△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC＝6，CD＝CE＝4，△CDE可以绕点C旋转，作直线AD、直线BE，当它们有交点时．设相交点为H．
（1）当△CDE转到图1位置时，求证：①AD＝BE；②AD⊥BE；
（2）△CDE可以绕点C旋转的过程中，连接AE，BD．猜想AE2+BD2的值是否发生变化（直接写出结论，不用证明）？直接写出当BD＝8时，AE的长；
（3）△CDE可以绕点C旋转的过程中，直接写出当∠CBD＝30°时，AE2的值．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
