4.1.1　正弦的概念与30°角的正弦值 同步练习（含答案）

4.1　正弦和余弦
第1课时　正弦的概念与30°角的正弦值
一、选择题
1.【中考·怀化】已知∠α为锐角，且sinα＝，则∠α＝(　　)
A．30° B．45° C．60° D．90°
2.【2021·滁州定远县期末】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，则sinA等于(　　)
A. B. C. D.
3.【中考·乐山】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，则下列结论不正确的是(　　)
A．sinB＝ B．sinB＝ C．sinB＝ D．sinB＝
第3题图 第9题图 第11题图 第12题图
4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且a＝3，b＝4，则sinA＋sinB的值为(　　)
A. B. C. D.
5.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3BC.则sinA的值是(　　)
A. 3 B. C. D.
6.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝2BC，则sinA的值是(　　)
A. B．2 C. D.
7.【2020·河池】在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，则sinB的值是(　　)
A. B. C. D.
8.Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝10，sinA＝，则斜边上的高等于(　　)
A．5 B．4.8 C．4.6 D．4
9.【2020·雅安】如图，在△ACB中，∠C＝90°，sinB＝，若AC＝6，则BC的长为(　　)
A．8 B．12 C．6 D．12
10.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若将各边长度都扩大到原来的2倍，则锐角A的正弦值(　　)
A．扩大到原来的2倍 B．缩小到原来的
C．不变 D．无法确定
11.【2020·聊城】如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB的值为(　　)
A. B. C. D.
12.【2020·南充】如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC＝(　　)
A. 　　　B. 　　　C. 　　　D.
二、填空题
13.【中考·济南】计算：＋(π＋1)0－2sin30°＋＝____________．
14.在Rt△ABC中，∠A＝90°，sinC＝，则∠B＝________．
15.如图，直线y＝x－3与x轴，y轴分别交于A，B两点，则sin∠OAB的值为________．
第15题图 第16题图 第17题图 第18题图
16.【贵港中考】如图，点P在等边△ABC的内部，且PC＝6，PA＝8，PB＝10，将线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P′C，连接AP′，则sin∠PAP'的值为________．
17.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(－3,4)，则sinα的值是________．
18.如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=5,点E在DC上,将矩形ABCD沿AE折叠,点D恰好落在BC边上的点F处,那么sin∠EFC的值为 　.
三、解答题
19.分别求出图中∠A，∠B的正弦值．
20.在Rt△ABC中，有两条边长分别为6和8，求该三角形中两个锐角的正弦值．
21.如图，△ABC中，D为AC边上一点，DE⊥BC于E，若AD＝2DC，AB＝4DE，求sin B的值．
22.如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠C＝45°，CD＝，BD＝3.
(1)求sin∠CBD的值．
(2)若AB＝3，求AD的长．
23.如图，一座钢结构桥梁的框架是△ABC，水平横梁BC长18米，中柱AD高6米，其中D是BC的中点，且AD⊥BC.
(1)求sinB的值；
(2)现需要加装支架DE，EF，其中点E在AB上，BE＝2AE，且EF⊥BC，垂足为F，求支架EF的长．
24.把含30°角的三角板ABC，绕点B逆时针旋转90°到三角板DBE的位置(如图所示)，求sin∠ADE的值．
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参考答案
一、选择题
1.【中考·怀化】已知∠α为锐角，且sinα＝，则∠α＝(　A　)
A．30° B．45° C．60° D．90°
2.【2021·滁州定远县期末】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，则sin A等于(　A　)
A. B. C. D.
3.【中考·乐山】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，则下列结论不正确的是(　C　)
A．sinB＝ B．sinB＝ C．sinB＝ D．sinB＝
第3题图 第9题图 第11题图 第12题图
4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且a＝3，b＝4，则sinA＋sinB的值为(　B　)
A. B. C. D.
【点拨】由勾股定理得c＝＝5，sin A＝，sin B＝.
∴sin A＋sin B＝＋＝.
5.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3BC.则sin A的值是(　B　)
A. 3 B. C. D.
6.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝2BC，则sinA的值是(　C　)
A. B．2 C. D.
7.【2020·河池】在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，则sinB的值是(　D　)
A. B. C. D.
8.Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝10，sinA＝，则斜边上的高等于(　B　)
A．5 B．4.8 C．4.6 D．4
9.【2020·雅安】如图，在△ACB中，∠C＝90°，sinB＝，若AC＝6，则BC的长为(　C　)
A．8 B．12 C．6 D．12
10.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若将各边长度都扩大到原来的2倍，则锐角A的正弦值(　C　)
A．扩大到原来的2倍 B．缩小到原来的
C．不变 D．无法确定
11.【2020·聊城】如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB的值为(　D　)
A. B. C. D.
12.【2020·南充】如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC＝(　B　)
A. 　　　B. 　　　C. 　　　D.
【点拨】如图，作BD⊥AC于D，设正方形网格的边长为1，由勾股定理得，AB＝＝，
AC＝＝3，
∵S△ABC＝AC·BD＝×3·BD＝×1×3，
∴BD＝，∴sin∠BAC＝＝＝.
二、填空题
13.【中考·济南】计算：＋(π＋1)0－2sin30°＋＝____________．
【点拨】原式＝2＋1－2×＋3＝3－1＋3＝5.
14.在Rt△ABC中，∠A＝90°，sinC＝，则∠B＝________．
【答案】60°
15.如图，直线y＝x－3与x轴，y轴分别交于A，B两点，则sin∠OAB的值为________．
【答案】
第15题图 第16题图 第17题图 第18题图
16.【贵港中考】如图，点P在等边△ABC的内部，且PC＝6，PA＝8，PB＝10，将线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P′C，连接AP′，则sin∠PAP'的值为________．
【答案】
17.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(－3,4)，则sinα的值是________．
【答案】
18.如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=5,点E在DC上,将矩形ABCD沿AE折叠,点D恰好落在BC边上的点F处,那么sin∠EFC的值为 　.
【答案】
三、解答题
19.分别求出图中∠A，∠B的正弦值．
解：图①：AC＝＝＝4 ，
∴sinA＝＝，sin B＝＝.
图②：AB＝＝＝2 ，
∴sinA＝＝＝，sinB＝＝＝.
20.在Rt△ABC中，有两条边长分别为6和8，求该三角形中两个锐角的正弦值．
【点拨】因为6，8，10为一组勾股数，易因默认斜边长为10而出错，题中并未说明6，8均为直角边长．
解：当6，8都是直角边长时，两个锐角的正弦值分别为，；当斜边长是8时，由勾股定理得另一条直角边长是2，两个锐角的正弦值分别为，.
21.如图，△ABC中，D为AC边上一点，DE⊥BC于E，若AD＝2DC，AB＝4DE，求sin B的值．
解：过点A作AF⊥BC于F，AD＝2DC，AC＝AD＋CD＝2DC＋CD＝3CD.
∵AF⊥BC，DE⊥BC，
∴DE∥AF，∴＝＝＝.
设DE＝a，则AF＝3a，AB＝4a，
∴sin B＝＝＝.
22.如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠C＝45°，CD＝，BD＝3.
(1)求sin∠CBD的值．
解：如图，过点D作DE⊥BC于点E，
在Rt△CED中，
∵∠C＝45°，CD＝，∴CE＝DE＝1.
在Rt△BDE中，sin∠CBD＝＝.
(2)若AB＝3，求AD的长．
解：如图，过点D作DF⊥AB于点F，则∠BFD＝∠BED＝∠ABC＝90°.
∴四边形BEDF为矩形．∴DE＝BF＝1.
∵BD＝3，∴DF＝2.
∴AF＝AB－BF＝2.∴AD＝2.
23.如图，一座钢结构桥梁的框架是△ABC，水平横梁BC长18米，中柱AD高6米，其中D是BC的中点，且AD⊥BC.
(1)求sinB的值；
解：在Rt△ABD中，∵BD＝BC＝9米，AD＝6米，
∴AB＝＝＝3(米)，
∴sin B＝＝＝.
(2)现需要加装支架DE，EF，其中点E在AB上，BE＝2AE，且EF⊥BC，垂足为F，求支架EF的长．
解：在△BEF中，∵sin B＝，
∴EF＝BE·sin B.
又∵BE＝2AE，∴BE＝AB.
∴EF＝·AB·sin B＝4(米)
即支架EF的长为4米．
24.把含30°角的三角板ABC，绕点B逆时针旋转90°到三角板DBE的位置(如图所示)，求sin∠ADE的值．
解：如图，过点E作EF⊥AD，交AD于点F.
设BD＝x，则AB＝x，BE＝x，DE＝x.
由勾股定理，得AD＝x，易证△ABD∽△AFE，
∴＝＝，即＝，
∴EF＝x.
在Rt△DEF中，根据三角函数的定义可得
sin∠ADE＝＝.
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