4.1.2　45°与60°角的正弦值及计算 同步练习（含答案）

4.1　正弦和余弦
第2课时　45°与60°角的正弦值及计算
一、选择题
1.【2020·湘潭改编】2sin45°的值等于(　　)
A．1 B. C. D．2
2.已知∠A为锐角，且sin(A－10°)＝，那么∠A等于(　　)
A．50° B．60° C．70° D．80°
3.计算1－2sin245°的结果是(　　)
A．－1 B．0 C. D．1
4.如果在△ABC中，sinA＝sinB＝，则下列最确切的结论是(　　)
A．△ABC是直角三角形
B．△ABC是等腰三角形
C．△ABC是等腰直角三角形
D．△ABC是锐角三角形
5.把一块直尺与一块三角板如图放置，若sin∠1＝，则∠2的度数为(　　)
A．120° B．135° C．145° D．150°
6.点M(－sin 60°，sin 30°)关于x轴对称的点的坐标是(　　)
A. B. C. D.
7.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝1，c＝，则∠A的度数为 (　　)
A．30° B．45° C．50° D．60°
8.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，则sinB＝(　　)
A. B. C. D．1
8.在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，sin A＝，sin B＝，则∠C等于(　　)
A．75° B．90° C．105° D．45°
9.在锐角三角形ABC中，2sin A－＝0, 2sin2B＝1.则sin(∠C－45°)等于(　　)
A. B. C. D.
10.在△ABC中，已知∠A、∠B都是锐角，＋＝0，那么∠C的度数为(　　)
A．75° B．90° C．105° D．120°
12.若∠A为锐角，且sinA＝0.7，则(　　)
A．0°<∠A<30° B．30°<∠A<45° C．45°<∠A<60° D．60°<∠A<90°
二、填空题
13.sin30°＝________，sin45°＝________，sin60°＝________．
14.计算：(sin30°－1)0－4sin45°sin60°＝________.
15.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝2∠A，则sinA＝________.
16.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2,BC=,则sin= 　.
17.如图正方形网格中，sin∠BAC的值为________.
18.已知2sin2α－3sinα＋3＝0中，∠α为锐角，则∠α＝________.
三、解答题
19.计算下列各题．
(1)【2020·北京】＋＋|－2|－6sin45°；
(2)【中考·北京】|－|－(4－π)0＋2sin60°＋.
(3)【中考·贵港】－(－3)0＋－4sin30°.
(4)(2021－π)0＋|－1|－2sin45°＋.
(5)【桂林中考】(－2017)0－sin30°＋－2－1；
(6)【河池中考】－2sin45°＋－20.
20.如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，已知∠BDC＝45°，BD＝10，AB＝20.求∠A的度数．
21.已知△ABC的两个锐角∠A，∠B的正弦值是方程2x2－2x＋1＝0的两个根，求证：△ABC是直角三角形
22.如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝5，点E在AB上，∠AED＝45°，DE＝6，CE＝7.求AE的长及sin∠BCE的值．
23.如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题：
① ② ③ ④
sin2A1＋sin2B1＝______；sin2A2＋sin2B2＝______；sin2A3＋sin2B3＝______.
(1)观察上述等式，猜想：在Rt△ABC中，∠C＝90°,都有sin2A＋sin2B＝______；
(2)如图④，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想．
(3)已知：∠A＋∠B＝90°，且sin A＝，求sin B的值．
24.(1)填空：观察sin30°＝，sin45°＝，sin60°＝.
发现锐角α从30°→45°→60°变化时，它们的正弦值也在发生相应的变化，为了进一步探究变化规律，可以通过计算器计算一些锐角的正弦值：sin 10°≈0.173 6，sin 20°≈0.342 0，sin 40°≈0.642 8，sin 50°≈0.766 0，sin 70°≈0.939 7……通过比较锐角度数与相应的正弦值，我们猜想锐角α逐渐增大，对应的正弦值将__________．
(2)如图，在圆A中，点B1，B2，B3，C在圆上，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值变化的规律．
(3)根据你探索到的规律试比较18°，34°，50°，62°，88°这些锐角的正弦值的大小．
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参考答案
一、选择题
1.【2020·湘潭改编】2sin 45°的值等于(　B　)
A．1 B. C. D．2
2.已知∠A为锐角，且sin(A－10°)＝，那么∠A等于(　C　)
A．50° B．60° C．70° D．80°
3.计算1－2sin245°的结果是(　B　)
A．－1 B．0 C. D．1
4.如果在△ABC中，sinA＝sinB＝，则下列最确切的结论是(　C　)
A．△ABC是直角三角形
B．△ABC是等腰三角形
C．△ABC是等腰直角三角形
D．△ABC是锐角三角形
5.把一块直尺与一块三角板如图放置，若sin∠1＝，则∠2的度数为(　B　)
A．120° B．135° C．145° D．150°
6.点M(－sin 60°，sin 30°)关于x轴对称的点的坐标是(　B　)
A. B. C. D.
【点拨】∵－sin 60°＝－，
sin 30°＝，∴M，
∴点M关于x轴对称的点的坐标是.
7.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝1，c＝，则∠A的度数为 (　B　)
A．30° B．45° C．50° D．60°
8.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，则sinB＝(　B　)
A. B. C. D．1
【点拨】∵∠C＝90°，AC＝BC，∴∠A＝∠B＝45°，
∴sinB＝sin45°＝.
8.在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，sin A＝，sin B＝，则∠C等于(　A　)
A．75° B．90° C．105° D．45°
【点拨】∵sin A＝，sin B＝，∴∠A＝45°，∠B＝60°，
∴∠C＝180°－45°－60°＝75°.
9.在锐角三角形ABC中，2sin A－＝0, 2sin2B＝1.则sin(∠C－45°)等于(　A　)
A. B. C. D.
【点拨】∵2sin A－＝0，2sin2B＝1，∴sin A＝，sin B＝(负值已舍去)．∴∠A＝60°，∠B＝45°，则∠C＝75°.
∴sin (∠C－45°)＝sin 30°＝.
10.在△ABC中，已知∠A、∠B都是锐角，＋＝0，那么∠C的度数为(　C　)
A．75° B．90° C．105° D．120°
【点拨】依题意得sin A－＝0，－sinB＝0，∴∠A＝30°，∠B＝45°，∴∠C＝105°.
12.若∠A为锐角，且sinA＝0.7，则(　B　)
A．0°<∠A<30° B．30°<∠A<45° C．45°<∠A<60° D．60°<∠A<90°
二、填空题
13.sin30°＝________，sin45°＝________，sin60°＝________．
【答案】；；
14.计算：(sin30°－1)0－4sin45°sin60°＝________.
【答案】－5
15.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝2∠A，则sinA＝________.
【答案】
16.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2,BC=,则sin= 　.
【答案】
17.如图正方形网格中，sin∠BAC的值为________.
【答案】
18.已知2sin2α－3sinα＋3＝0中，∠α为锐角，则∠α＝________.
【点拨】∵2sin2α－3sinα＋3＝0，∴a＝2，b＝－3，c＝3.∴Δ＝b2－4ac＝(－3)2－4×2×3＝3＞0.∴sin α＝(不符合题意，舍去)或sin α＝.∵∠α为锐角，∴∠α＝60°.
【答案】60°
三、解答题
19.计算下列各题．
(1)【2020·北京】＋＋|－2|－6sin45°；
解：原式＝3＋3＋2－6×＝3＋3＋2－3＝5.
(2)【中考·北京】|－|－(4－π)0＋2sin60°＋.
解：原式＝－1＋2×＋4＝2＋3.
(3)【中考·贵港】－(－3)0＋－4sin30°.
解：原式＝2－1＋4－4×＝2－1＋4－2＝3.
(4)(2021－π)0＋|－1|－2sin45°＋.
解：原式＝1＋－1－2×＋3＝3.
(5)【桂林中考】(－2017)0－sin30°＋－2－1；
解：原式＝1－＋2－＝2.
(6)【河池中考】－2sin45°＋－20.
解：原式＝1－2×＋2－1＝.
20.如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，已知∠BDC＝45°，BD＝10，AB＝20.求∠A的度数．
解：∵在直角三角形BDC中，∠BDC＝45°，BD＝10，
∴BC＝BD·sin∠BDC＝10×＝10.
∵∠C＝90°，AB＝20，
∴sin A＝＝＝，
∴∠A＝30°.
21.已知△ABC的两个锐角∠A，∠B的正弦值是方程2x2－2x＋1＝0的两个根，求证：△ABC是直角三角形
证明：∵2x2－2x＋1＝0，∴x1＝x2＝，
即sinA＝sinB＝，∴∠A＝∠B＝45°
∴∠A＋∠B＝90°
∴△ABC是直角三角形
22.如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝5，点E在AB上，∠AED＝45°，DE＝6，CE＝7.求AE的长及sin∠BCE的值．
解：在Rt△ADE中，∠A＝90°，
∠AED＝45°，∴∠ADE＝45°.
∵sin ∠ADE＝，
∴AE＝DE·sin ∠ADE＝6×sin 45°＝3 .
∵BE＝AB－AE，
∴BE＝5－3 ＝2 .
在Rt△BCE中，sin∠BCE＝＝.
23.如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题：
① ② ③ ④
sin2A1＋sin2B1＝______；sin2A2＋sin2B2＝______；sin2A3＋sin2B3＝______.
【答案】1；1；1
(1)观察上述等式，猜想：在Rt△ABC中，∠C＝90°,都有sin2A＋sin2B＝______；
(2)如图④，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想．
(3)已知：∠A＋∠B＝90°，且sin A＝，求sin B的值．
(1)解：由图可知：sin2A1＋sin2B1＝＋＝1；
sin2A2＋sin2B2＝＋＝1；
sin2A3＋sin2B3＝＋＝1.
观察上述等式，可猜想：sin2A＋sin2B＝1.
(2)证明：在Rt△ABC中，∠C＝90°.
∵sin A＝，sin B＝，
∴sin2A＋sin2B＝.
∵∠C＝90°，
∴a2＋b2＝c2，∴sin2A＋sin2B＝1.
(3)解：∵sin A＝，sin2A＋sin2B＝1，
∴sinB＝＝.
24.(1)填空：观察sin30°＝，sin45°＝，sin60°＝.
发现锐角α从30°→45°→60°变化时，它们的正弦值也在发生相应的变化，为了进一步探究变化规律，可以通过计算器计算一些锐角的正弦值：sin 10°≈0.173 6，sin 20°≈0.342 0，sin 40°≈0.642 8，sin 50°≈0.766 0，sin 70°≈0.939 7……通过比较锐角度数与相应的正弦值，我们猜想锐角α逐渐增大，对应的正弦值将__________．
【答案】逐渐增大
(2)如图，在圆A中，点B1，B2，B3，C在圆上，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值变化的规律．
解：如图，过点B1作B1C1⊥AC于点C1，
过点B2作B2C2⊥AC于点C2，过点B3作B3C3⊥AC于点C3，
显然有B1C1＞B2C2＞B3C3，∠B1AC1＞∠B2AC2＞∠B3AC3.
∵sin∠B1AC1＝，sin∠B2AC2＝，sin∠B3AC3＝，
且AB1＝AB2＝AB3，
∴＞＞，
即sin∠B1AC1＞sin∠B2AC2＞sin∠B3AC3，
∴正弦值随锐角度数的增大而增大．
(3)根据你探索到的规律试比较18°，34°，50°，62°，88°这些锐角的正弦值的大小．
解：sin88°＞sin62°＞sin50°＞sin34°＞sin18°.