4.1.3　余弦与特殊角的余弦值 同步练习（含解析）

4.1　正弦和余弦
第3课时　余弦与特殊角的余弦值
一、选择题
1.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于点D，下列不能表示cos A的是(　　)
A. B. C. D.
第1题图 第2题图 第3题图 第5题图
2.如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值，错误的是(　　)
A. B. C. D.
3.如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AD＝CD，BC＝10，cos∠DCA＝，则AB的值是 (　　)
A．9 B．8 C．6 D．3
4.在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，则cosA的值等于(　　)
A. B. C.或 D.或
5.【中考·湖州】如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cosB的值是(　　)
A. B. C. D.
6.【2020·柳州】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，则cosB＝(　　)
A. B. C. D.
第6题图 第7题图 第12题图
7.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝2AC，则cosA的值是(　　)
A. B. C. D.
8.【中考·广东】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4，3)，那么cosα的值是(　　)
A. B. C. D.
9.在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则cosB的值等于(　　)
A. B. C. D.
10.已知α，β都是锐角，如果sinα＝cosβ，那么α与β之间满足的关系是(　　)
A．α＝β B．α＋β＝90° C．α－β＝90° D．β－α＝90°
11.已知锐角三角形ABC中，|2cosA－1|＋(1－2cos2B)2＝0，则∠C＝(　　)
A．30° B．45° C．60° D．75°
12.【2020·安徽】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠DBC＝∠A，若AC＝4，cosA＝，则BD的长度为(　　)
A. B. C. D．4
二、填空题
13.cos30°＝______________，cos45°＝____________，cos60°＝____________．
14.【中考·绵阳改编】在△ABC中，若∠B＝45°，AB＝10，AC＝5，则BC的长是________．
15.【中考·白色】计算：＋－(3－π)0－＝________．
16.【中考·贵港】计算：＋(＋π)0－－2cos60°＝________．
17.【中考·杭州】在直角三角形ABC中，若2AB＝AC，则cosC＝____________．
18.如图，已知每个小正方形的边长为1，点A，B，C是小正方形的顶点，则cos∠BAC的值为______．
三、解答题
19.计算．
(1)【2020·岳阳】＋2cos60°－(4－π)0＋|－|；
(2)2cos245°＋cos260°－3cos230°＋2sin30°.
(3)【2021·张家界】
(4)【2021·泸州】计算：.
(5)2sin30°＋cos60°－cos245°；
(6)－sin60°(1－sin30°)．
20.【2020·哈尔滨】先化简，再求值：÷，其中x＝4cos30°－1.
21.如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标是(6，y)，且OP与x轴的正半轴的夹角α的余弦值是，求角α的正弦值．
22.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5，CD⊥AB于D，AC＝12，试求：
(1)sinA的值；
(2)cos∠ACD的值；
(3)CD的长．
23.如图所示，在直角坐标平面内，O为原点，点A的坐标为(10，0)，点B在第一象限内，BO＝5，sin∠BOA＝.
求：(1)点B的坐标；(2)cos∠BAO的值．
24.(1)如图，锐角的正弦和余弦都随着锐角的确定而确定，也随着其变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的余弦值的变化规律；
(2)根据你探索到的规律，试比较19°，36°，52°，65°，85°这些锐角的余弦值的大小；
(3)比较大小．(填“>”“<”或“＝”)
若∠α＝45°，则sinα________cosα；
若∠α<45°，则sinα________cosα；
若∠α>45°，则sinα________cosα；
(4)利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小．
sin10°，cos30°，sin50°，cos70°.
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参考答案
一、选择题
1.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于点D，下列不能表示cos A的是(　C　)
A. B. C. D.
【点拨】∵∠A＋∠ABD＝90°，∠CBD＋∠ABD＝90°，∴∠A＝∠CBD，∴cos A＝cos∠CBD＝＝＝.
第1题图 第2题图 第3题图 第5题图
2.如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值，错误的是(　C　)
A. B. C. D.
3.如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AD＝CD，BC＝10，cos∠DCA＝，则AB的值是 (　C　)
A．9 B．8 C．6 D．3
4.在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，则cosA的值等于(　C　)
A. B. C.或 D.或
5.【中考·湖州】如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cos B的值是(　A　)
A. B. C. D.
6.【2020·柳州】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，则cosB＝(　C　)
A. B. C. D.
第6题图 第7题图 第12题图
7.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝2AC，则cosA的值是(　B　)
A. B. C. D.
8.【中考·广东】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4，3)，那么cos α的值是(　D　)
A. B. C. D.
9.在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则cosB的值等于(　A　)
A. B. C. D.
【点拨】在Rt△ABC中，若∠C＝90°，则cosB＝sinA.
10.已知α，β都是锐角，如果sinα＝cosβ，那么α与β之间满足的关系是(　B　)
A．α＝β B．α＋β＝90° C．α－β＝90° D．β－α＝90°
11.已知锐角三角形ABC中，|2cosA－1|＋(1－2cos2B)2＝0，则∠C＝(　D　)
A．30° B．45° C．60° D．75°
【点拨】∵在锐角三角形ABC中，|2cos A－1|＋(1－2cos2B)2＝0，∴cosA＝，cosB＝(负值已舍去)，∴∠A＝60°，∠B＝45°，∴∠C＝75°.
12.【2020·安徽】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠DBC＝∠A，若AC＝4，cosA＝，则BD的长度为(　C　)
A. B. C. D．4
【点拨】在Rt△ABC中，∵AC＝4，cosA＝，
∴AB＝5，根据勾股定理得BC＝＝3，
∵∠DBC＝∠A，∠C＝∠C，∴△CBD∽△CAB，∴＝，即＝，∴BD＝.
二、填空题
13.cos30°＝______________，cos45°＝____________，cos60°＝____________．
【答案】；；
14.【中考·绵阳改编】在△ABC中，若∠B＝45°，AB＝10，AC＝5，则BC的长是________．
【答案】15或5
15.【中考·白色】计算：＋－(3－π)0－＝________．
【答案】2
16.【中考·贵港】计算：＋(＋π)0－－2cos60°＝________．
【答案】－1
17.【中考·杭州】在直角三角形ABC中，若2AB＝AC，则cosC＝____________．
【点拨】若∠B＝90°，设AB＝x，则AC＝2x，所以BC＝＝x，所以cos C＝＝；若∠A＝90°，设AB＝x，则AC＝2x，所以BC＝＝x，所以cos C＝＝.综上所述，cos C的值为或.
【答案】或
18.如图，已知每个小正方形的边长为1，点A，B，C是小正方形的顶点，则cos∠BAC的值为______．
【点拨】如图，连接BC，由勾股定理得AB＝BC＝，AC＝，∴AB2＋BC2＝AC2，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC＝45°，∴cos∠BAC＝.本题易错点是没有先连接BC并判断△ABC是直角三角形，而直接运用cos∠BAC＝得出结论．
【答案】
三、解答题
19.计算．
(1)【2020·岳阳】＋2 cos 60°－(4－π)0＋|－|；
解：原式＝2＋2×－1＋＝2＋1－1＋＝2＋.
(2)2cos245°＋cos260°－3cos230°＋2sin30°.
原式＝2×＋－3×＋2×＝1＋－＋1＝－1＋1＝0.
(3)【2021·张家界】
【答案】
【解析】
解：
．
(4)【2021·泸州】计算：.
【答案】12．
【分析】根据零指数幂，负整指数幂，去括号法则，特殊角的三角函数值化简，然后再计算即可．
解：原式＝1+4+4+2×
＝1+4+4+3
＝12
(5)2sin 30°＋cos 60°－cos245°；
解：原式＝2sin 30°＋cos 60°－cos245°
＝2×＋－
＝1＋－
＝1.
(6)－sin 60°(1－sin 30°)．
解：原式＝－×＝－×＝.
20.【2020·哈尔滨】先化简，再求值：÷，其中x＝4cos 30°－1.
解：原式＝÷
＝·＝.
∵x＝4 cos 30°－1＝4×－1＝2 －1，
∴原式＝＝＝.
21.如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标是(6，y)，且OP与x轴的正半轴的夹角α的余弦值是，求角α的正弦值．
解：如图，过点P作PC⊥x轴于C.
∵角α的余弦值是，∴＝.
又∵OC＝6,
∴OP＝10，根据勾股定理得PC＝8.
∴sinα＝＝.
22.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5，CD⊥AB于D，AC＝12，试求：
(1)sin A的值；
解：在Rt△ABC中，由BC＝5，AC＝12，得AB＝13，
sin A＝.
(2)cos∠ACD的值；
解：∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，
∴∠A＋∠ACD＝90°，
∴cos∠ACD＝sinA＝.
(3)CD的长．
∵sin A＝，
∴CD＝AC·sin A＝12×＝.
23.如图所示，在直角坐标平面内，O为原点，点A的坐标为(10，0)，点B在第一象限内，BO＝5，sin∠BOA＝.
求：(1)点B的坐标；(2)cos∠BAO的值．
解：(1)作BH⊥OA，垂足为H，在Rt△OHB中，
∵BO＝5，sin∠BOA＝，
∴BH＝3，∴OH＝4，
∴点B的坐标为(4，3)．
(2)∵OA＝10，OH＝4，∴AH＝6.
在Rt△AHB中，∵BH＝3，
∴AB＝3，
∴cos∠BAO＝＝.
24.(1)如图，锐角的正弦和余弦都随着锐角的确定而确定，也随着其变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的余弦值的变化规律；
解：在图中，cos∠B1AC＝，cos∠B2AC＝，
cos∠B3AC＝.
∵AB3即cos∠B1AC＜cos∠B2AC＜cos∠B3AC.
∴余弦值随锐角度数的增大而减小．
(2)根据你探索到的规律，试比较19°，36°，52°，65°，85°这些锐角的余弦值的大小；
解：cos85°＜cos65°＜cos52°＜cos36°＜cos19°.
(3)比较大小．(填“>”“<”或“＝”)
若∠α＝45°，则sinα________cosα；
若∠α<45°，则sinα________cosα；
若∠α>45°，则sinα________cosα；
【答案】＝ ＜ ＞
(4)利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小．
sin10°，cos30°，sin50°，cos70°.
解：cos30°＞sin50°＞cos70°＞sin10°.
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