4.3　解直角三角形 同步练习（含解析）

4.3　解直角三角形
一、选择题
1.下列条件中，可解的直角三角形是(　　)
A．已知b＝3，∠C＝90°
B．已知∠C＝90°，∠B＝46°
C．已知a＝3，b＝6，∠C＝90°
D．已知∠B＝15°，c＝6，
2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边．下列结论中错误的是(　　)
A．a＝ B．a＝c·sin A C．c＝ D．b＝a·tanB
3.【中考·兰州】如图，在△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB，则cosA的值是(　　)
A.　 　　 B.　 　　 C.　 　　 D.
第3题图 第4题图 第5题图
4.【中考·沈阳】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则BC的长是(　　)
A. B．4 C．8 D．4
5.【2019·凉山州】如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，cos C＝，则sin B的值为(　　)
A. B. C. D.
6.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，AC＝，则∠B的度数为(　　)
A．90° B．60° C．45° D．30°
7.【2020·福建改编】等腰三角形ABC的底边与底边上的中线的比是2∶，则△ABC的顶角为(　　)
A．60° B．90° C．120° D．150°
8．如图，在△ABC中，∠A＝30°，tanB＝，AC＝2，则AB的长是(　　)
A．4 B．3＋ C．5 D．2＋2
第8题图 第11题图 第12题图
9.【2020·铜仁】已知等边三角形一边上的高为2，则它的边长为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．4
10.在△ABC中，已知∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，a＝，c＝，则下列解该直角三角形所得的结果中完全正确的一组是(　　)
A．∠A＝30°，∠B＝60°，b＝ B．∠A＝30°，∠B＝60°，b＝
C．∠A＝45°，∠B＝45°，b＝ D．∠A＝30°，∠B＝60°，b＝
11.如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AC＝2 ，则AB的长为(　　)
A．4 B．3 C．5 D．4
12.如图，要在宽AB为22 m的道路两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2 m，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱BC的高度应该设计为(　　)
A．(11－2)m B．(11－2)m C．(11－2)m D．(11－4)m
二、填空题
13.【2020·南通】如图，测角仪CD竖直放在距建筑物AB底部5 m的位置，在D处测得建筑物顶端A的仰角为50°.若测角仪的高度是1.5m，则建筑物AB的高度约为________m．(结果保留小数点后一位，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19)．
第13题图 第14题图 第15题图
14.如图，在△ABC中，∠A＝45°，AC＝，AB＝＋1，则边BC的长为________．
15.【中考·乐山】如图，在△ABC中，∠B＝30°，AC＝2，cos C＝，则AB边的长为________．
16.在△ABC中，AB＝2，AC＝2，∠B＝30°，则BC的长为________．
17.【2020·枣庄】如图，人字梯AB，AC的长都为2 m，当α＝50°时，人字梯顶端离地面的高度AD约是________m(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 50°≈0.77，cos 50°≈0.64，tan 50°≈1.19)．
第17题图 第18题图
18.【2020·荆州】“健康荆州，你我同行”，市民小张积极响应“全民健身动起来”的号召，坚持在某环形步道上跑步．已知此步道外形近似于如图所示的Rt△ABC，其中∠C＝90°，AB与BC间另有步道DE相连，D地在AB正中位置，E地与C地相距1km.若tan∠ABC＝，∠DEB＝45°，小张某天沿A→C→E→B→D→A路线跑一圈，则他跑了________km.
三、解答题
19.如图，在△ABC中，∠B＝60°，AB＝2，BC＝3，AD⊥BC，垂足为D，求AC的长．
20.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，tan C＝，AC＝3 ，AB＝4，求△ABC的周长．
21.【中考·襄阳】如图，AD是△ABC的中线，tanB＝，cosC＝，AC＝.求：
(1)BC的长；
(2)sin∠ADC的值．
22.【2021·广东】如图，在中，，作的垂直平分线交于点，延长至点，使．
(1)若，求的周长；
(2)若，求的值．
23.【2021·上海】如图，已知在△ABD中，AC⊥BD，BC=8，CD=4，cos∠ABC＝，BF为AD边上的中线.
(1)求AC的长;
(2)求tan∠FBD的值.
24.如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限内，点B的坐标为(3，0)，OA＝2，∠AOB＝60°.
(1)求点A的坐标；
(2)若直线AB交y轴于点C，求△AOC的面积．
25.【中考·贵阳】如图①，在Rt△ABC中，以下是小亮探究与之间关系的方法：
∵sin A＝，sin B＝，∴c＝，c＝，∴＝.
根据你掌握的三角函数知识．在图②的锐角三角形ABC中，探究，，之间的关系，并写出探究过程．
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参考答案
一、选择题
1.下列条件中，可解的直角三角形是(　C　)
A．已知b＝3，∠C＝90°
B．已知∠C＝90°，∠B＝46°
C．已知a＝3，b＝6，∠C＝90°
D．已知∠B＝15°，c＝6，
2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边．下列结论中错误的是(　　)
A．a＝ B．a＝c·sinA C．c＝ D．b＝a·tanB
【点拨】在Rt△ABC中，tan A＝，∴a＝b·tan A，选项A错误；∵sin A＝，∴a＝c·sin A, 选项B正确；
∵cos A＝，∴c＝，选项C正确；∵tan B＝，∴b＝a·tan B, 选项D正确．
【答案】A
3.【中考·兰州】如图，在△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB，则cosA的值是(　D　)
A.　 　　 B.　 　　 C.　 　　 D.
第3题图 第4题图 第5题图
4.【中考·沈阳】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则BC的长是(　D　)
A. B．4 C．8 D．4
5.【2019·凉山州】如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，cos C＝，则sin B的值为(　D　)
A. B. C. D.
6.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，AC＝，则∠B的度数为(　B　)
A．90° B．60° C．45° D．30°
7.【2020·福建改编】等腰三角形ABC的底边与底边上的中线的比是2∶，则△ABC的顶角为(　A　)
A．60° B．90° C．120° D．150°
8．如图，在△ABC中，∠A＝30°，tanB＝，AC＝2，则AB的长是(　C　)
A．4 B．3＋ C．5 D．2＋2
第8题图 第11题图 第12题图
9.【2020·铜仁】已知等边三角形一边上的高为2，则它的边长为(　C　)
A．2 B．3 C．4 D．4
10.在△ABC中，已知∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，a＝，c＝，则下列解该直角三角形所得的结果中完全正确的一组是(　C　)
A．∠A＝30°，∠B＝60°，b＝ B．∠A＝30°，∠B＝60°，b＝
C．∠A＝45°，∠B＝45°，b＝ D．∠A＝30°，∠B＝60°，b＝
11.如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AC＝2 ，则AB的长为(　A　)
A．4 B．3 C．5 D．4
【点拨】如图，过点A作AD⊥BC于点D.在Rt△ACD中，
∠C＝45°，AC＝2 ，∴AD＝AC·sin 45°＝2.∵在Rt△ABD中，∠B＝30°，∴sin 30°＝，∴AB＝＝4.
12.如图，要在宽AB为22 m的道路两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2 m，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱BC的高度应该设计为(　D　)
A．(11－2)m B．(11－2)m C．(11－2)m D．(11－4)m
【点拨】如图，延长OD，BC交于点P.
易知∠ODC＝∠B＝90°，∠P＝30°，OB＝11 m，CD＝2 m，∴在Rt△CPD中，DP＝＝2 m, PC＝＝4 m.
∵∠P＝∠P，∠PDC＝∠B＝90°，
∴△PDC∽△PBO.∴＝.
∴PB＝＝＝11(m)，
∴BC＝PB－PC＝(11－4)m.
二、填空题
13.【2020·南通】如图，测角仪CD竖直放在距建筑物AB底部5 m的位置，在D处测得建筑物顶端A的仰角为50°.若测角仪的高度是1.5m，则建筑物AB的高度约为________m．(结果保留小数点后一位，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19)．
【点拨】如图，过点D作DE⊥AB，垂足为E，则DE＝BC＝5 m，DC＝BE＝1.5 m，
在Rt△ADE中，∵tan∠ADE＝，
∴AE＝tan∠ADE·DE＝tan 50°×5≈5.95 m，
∴AB＝AE＋BE≈5.95＋1.5≈7.5(m)．
【答案】7.5
第13题图 第14题图 第15题图
14.如图，在△ABC中，∠A＝45°，AC＝，AB＝＋1，则边BC的长为________．
【答案】2
15.【中考·乐山】如图，在△ABC中，∠B＝30°，AC＝2，cos C＝，则AB边的长为________．
【答案】
16.在△ABC中，AB＝2，AC＝2，∠B＝30°，则BC的长为________．
【答案】4或2
17.【2020·枣庄】如图，人字梯AB，AC的长都为2 m，当α＝50°时，人字梯顶端离地面的高度AD约是________m(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 50°≈0.77，cos 50°≈0.64，tan 50°≈1.19)．
【答案】1.5
第17题图 第18题图
18.【2020·荆州】“健康荆州，你我同行”，市民小张积极响应“全民健身动起来”的号召，坚持在某环形步道上跑步．已知此步道外形近似于如图所示的Rt△ABC，其中∠C＝90°，AB与BC间另有步道DE相连，D地在AB正中位置，E地与C地相距1km.若tan∠ABC＝，∠DEB＝45°，小张某天沿A→C→E→B→D→A路线跑一圈，则他跑了________km.
【点拨】过D点作DF⊥BC.
设EF＝x km，则DF＝x km，BF＝x km，
在Rt△BFD中，BD＝＝x km，
∵D地在AB正中位置，∴AB＝2BD＝x km.
∵tan∠ABC＝，∴cos∠ABC＝，
∴＝，解得x＝3.
即BC＝8 km，AC＝6 km，AB＝10 km，
∴小张某天沿A→C→E→B→D→A路线跑一圈，他跑了6＋8＋10＝24(km)．
【答案】24
三、解答题
19.如图，在△ABC中，∠B＝60°，AB＝2，BC＝3，AD⊥BC，垂足为D，求AC的长．
解：∵AD⊥BC，垂足为D，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，∠B＝60°，AB＝2，
∴sin B＝＝＝，cos B＝＝＝，
解得AD＝，BD＝1.
∵BC＝3，∴CD＝2.
在Rt△ADC中，AC＝＝.
20.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，tan C＝，AC＝3 ，AB＝4，求△ABC的周长．
解：在Rt△ADC中，tan C＝＝，
设AD＝k，则CD＝2k，AC＝＝k.
∵AC＝3，∴k＝3，解得k＝3，
∴AD＝3，CD＝6.
在Rt△ABD中，BD＝＝＝，
∴△ABC的周长＝AB＋AC＋BD＋CD＝4＋3＋＋6＝10＋3＋.
21.【中考·襄阳】如图，AD是△ABC的中线，tanB＝，cosC＝，AC＝.求：
(1)BC的长；
解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，∵cosC＝，∴∠C＝45°.
在Rt△ACE中，
CE＝AC·cos C＝1，∴AE＝CE＝1.
在Rt△ABE中，tan B＝，即＝，
∴BE＝3AE＝3，∴BC＝BE＋CE＝4.
(2)sin∠ADC的值．
解：∵AD是△ABC的中线，
∴CD＝BC＝2，
∴DE＝CD－CE＝1.
∵AE⊥BC，DE＝AE，
∴∠ADC＝45°，
∴sin∠ADC＝.
22.【2021·广东】如图，在中，，作的垂直平分线交于点，延长至点，使．
(1)若，求的周长；
(2)若，求的值．
解：(1)如图，连接BD，设BC垂直平分线交BC于点F，DF为BC垂直平分线，
∴BD＝CD，
C△ABD＝AB+AD+BD
=AB+AD+DC
=AB+AC，
∵CE＝AB，
∴C△ABD＝AC+CE＝AE＝1．
(2)设AD＝k，则BD＝3k，
又∵BD＝CD，∴AC＝AD+CD＝4k
在Rt△ABC中，由勾股定理可得AB＝2k
∴tan∠ABC＝＝
23.【2021·上海】如图，已知在△ABD中，AC⊥BD，BC=8，CD=4，cos∠ABC＝，BF为AD边上的中线.
(1)求AC的长;
(2)求tan∠FBD的值.
【考点】解直角三角形，中位线，勾股定理
【解答】解：(1)∵AC⊥BD cos∠ABC＝，BC=8
∴AB=8×=10，由勾股定理得：AC=6
(2)过F作FG⊥CD于G点，
AC=6,CD=4，由勾股定理得：AD=2
∵BF为AD边上的中线
∴F为AD中点
∵FG⊥BD，AC⊥BD
∴FG∥AC，FG为△ACD的中位线
∴G为CD中点
∴BG=BC+CG=8-2=10,FG=AC=3
∴tan∠FBD==
24.如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限内，点B的坐标为(3，0)，OA＝2，∠AOB＝60°.
(1)求点A的坐标；
解：如图，过点A作AD⊥x轴，垂足为D.
∵OA＝2，∠AOB＝60°，
∴在Rt△OAD中，sin60°＝，
cos60°＝.∴AD＝OA·sin60°＝2sin60°＝2×＝，
OD＝OA·cos60°＝2cos60°＝2×＝1.
∴点A的坐标是(1，)．
(2)若直线AB交y轴于点C，求△AOC的面积．
解：设直线AB的表达式为y＝kx＋b.∵直线AB过点A(1，)和B(3，0)，
∴解得
∴直线AB的表达式为y＝－x＋. 令x＝0，则y＝.
∴OC＝.∴S△AOC＝OC·OD＝××1＝.
【点拨】过平面直角坐标系中的一点向x轴或向y轴作垂线是求点的坐标及三角形的面积的主要方法．在直角三角形中运用三角函数的知识，求出相关线段的长是解题的关键．
25.【中考·贵阳】如图①，在Rt△ABC中，以下是小亮探究与之间关系的方法：∵sin A＝，sin B＝， ∴c＝，c＝，∴＝.
根据你掌握的三角函数知识．在图②的锐角三角形ABC中，探究，，之间的关系，并写出探究过程．
解：＝＝，探究过程：如图，过A作AD⊥BC，垂足为D.
在Rt△ABD中，sin B＝，即AD＝c·sin B，
在Rt△ADC中，sin C＝，即AD＝b·sin C，
∴c·sin B＝b·sin C，即＝.
同理可得＝，
则＝＝.
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