第4章 锐角三角形 习题课构造直角三角形解决实际问题（含答案）

第4章 锐角三角形
习题课 构造直角三角形解决实际问题
解答题
1.如图是一辆在平地上滑行的滑板车的示意图．已知车杆AB长92 cm，车杆与脚踏板所成的角∠ABC＝70°，前后轮子的半径均为6 cm，求把手A离地面的高度．(结果保留小数点后一位．参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75)
2.【2020·衡阳】小华同学将笔记本电脑水平放置在桌子上，当显示屏的边缘线OB与底板的边缘线OA所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适(如图①)，侧面示意图为图②；使用时为了散热，他在底板下面垫入散热架，如图③，点B，O，C在同一直线上，OA＝OB＝24 cm，BC⊥AC，∠OAC＝30°.
(1)求OC的长；
(2)如图④，垫入散热架后，要使显示屏的边缘线OB′与水平线的夹角仍保持120°，求点B′到AC的距离(结果保留根号)．
3.【中考·台州】如图是一辆小汽车与墙平行停放时的平面示意图，汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米．已知小汽车车门宽AO为1.2米，当车门打开角度∠AOB为40°时，车门是否会碰到墙？请说明理由．(参考数据：sin 40°≈0.64，cos 40°≈0.77，tan 40°≈0.84)
4.【中考·临沂】鲁南高铁临沂段修建过程中需要经过一座小山．如图，施工方计划沿AC方向开挖隧道，为加快施工进度，要在小山的另一侧D(A，C，D共线)处同时施工．测得∠CAB＝30°，AB＝4 km，∠ABD＝105°，求BD的长．
5.【2021·滁州定远县期末】如图，为测量某写字楼AB的高度，小明在D点测得A点的仰角为30°，朝写字楼AB方向前进20 m到达点C处，再次测得点A的仰角为60°，试求写字楼AB的高度．
6.【2020·安徽】如图，山顶上有一个信号塔AC，已知信号塔高AC＝15米，在山脚下点B处测得塔底C的仰角∠CBD＝36.9°，塔顶A的仰角∠ABD＝42.0°.求山高CD(点A，C，D在同一条竖直线上)．(参考数据：tan 36.9° ≈0.75，sin 36.9°≈0.60，tan 42.0°≈0.90)
7.某数学兴趣小组要测量实验大楼部分楼体CD的高度，在起点A处测得大楼部分楼体CD的顶端C的仰角为45°，底端D的仰角为30°，在同一剖面沿水平地面向前走20米到达B处，测得顶端C的仰角为63.4°(如图所示)，求大楼部分楼体CD的高度约为多少米．(精确到1米．参考数据：sin 63.4°≈0.89，cos 63.4°≈0.45，tan 63.4°≈2.00，≈1.41，≈1.73)
8.【中考·河南】数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像(塑像中高者)的高度．如图所示，炎帝塑像DE在高55 m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进21 m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求炎帝塑像DE的高度．(精确到1 m．参考数据：sin 34°≈0.56，cos 34°≈0.83， tan 34°≈0.67，≈1.73)
9.【2020·广元】如图，公路MN为东西走向，在点M北偏东36.5°方向上，距离5千米处是学校A；在点M北偏东45°方向上，距离6千米处是学校B.(参考数据：sin 36.5°≈0.6，cos 36.5°≈0.8，tan 36.5°≈0.74)
(1)求学校A，B两点之间的距离；
(2)要在公路MN旁修建一个体育馆C，使得A，B两所学校到体育馆C的距离之和最短，求这个最短距离．
10.【2020·淄博】如图，著名旅游景区B位于大山深处，原来到此旅游需要绕行C地，沿折线A→C→B方可到达．当地政府为了增强景区的吸引力，发展壮大旅游经济，修建了一条从A地到景区B的笔直公路．请结合∠A＝45°，∠B＝30°，BC＝100千米，≈1.4，≈1.7等数据信息，解答下列问题：
(1)公路修建后，从A地到景区B旅游可以少走多少千米？
(2)为迎接旅游旺季的到来，修建公路时，施工队使用了新的施工技术，实际工作时每天的工效比原计划增加25%，结果提前50天完成了施工任务．求施工队原计划每天修建多少千米？
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参考答案
解答题
1.如图是一辆在平地上滑行的滑板车的示意图．已知车杆AB长92 cm，车杆与脚踏板所成的角∠ABC＝70°，前后轮子的半径均为6 cm，求把手A离地面的高度．(结果保留小数点后一位．参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75)
解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，
延长AD交地面于点E，
∵sin∠ABD＝，
∴AD＝AB·sin 70°≈92×0.94＝86.48(cm)．
易知DE＝6 cm，∴AE＝AD＋DE≈86.48＋6≈92.5(cm)，
即把手A离地面的高度约为92.5 cm.
2.【2020·衡阳】小华同学将笔记本电脑水平放置在桌子上，当显示屏的边缘线OB与底板的边缘线OA所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适(如图①)，侧面示意图为图②；使用时为了散热，他在底板下面垫入散热架，如图③，点B，O，C在同一直线上，OA＝OB＝24 cm，BC⊥AC，∠OAC＝30°.
(1)求OC的长；
解：在Rt△AOC中，OA＝24 cm，∠OAC＝30°．∴OC＝OA＝×24＝12(cm)．
(2)如图④，垫入散热架后，要使显示屏的边缘线OB′与水平线的夹角仍保持120°，求点B′到AC的距离(结果保留根号)．
解：如图，过点B′作B′D⊥AC，垂足为D，过点O作OE⊥B′D，垂足为E．
由题意得，OA＝OB′＝24 cm，
当显示屏的边缘线OB′与水平线的夹角仍保持120°时，可得∠B′OE＝60°，
∴在Rt△B′OE中，B′E＝OB′·sin 60°＝12 cm．
∵OE⊥B′D，B′D⊥AD，OC⊥AD，
∴四边形OCDE是矩形，∴OC＝DE＝12 cm，
∴B′D＝B′E＋DE＝12＋12(cm)，
即点B′到AC的距离为(12＋12)cm．
3.【中考·台州】如图是一辆小汽车与墙平行停放时的平面示意图，汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米．已知小汽车车门宽AO为1.2米，当车门打开角度∠AOB为40°时，车门是否会碰到墙？请说明理由．(参考数据：sin 40°≈0.64，cos 40°≈0.77，tan 40°≈0.84)
解：车门不会碰到墙．
理由：过点A作AC⊥OB于点C.
在Rt△AOC中，∠AOC＝40°，∴sin 40°＝.
又∵AO＝1.2米，
∴AC＝1.2×sin 40°≈1.2×0.64＝0.768(米)．
∵0.768米<0.8米，∴车门不会碰到墙．
4.【中考·临沂】鲁南高铁临沂段修建过程中需要经过一座小山．如图，施工方计划沿AC方向开挖隧道，为加快施工进度，要在小山的另一侧D(A，C，D共线)处同时施工．测得∠CAB＝30°，AB＝4 km，∠ABD＝105°，求BD的长．
解：过点B作BE⊥AD于点E，
∵∠CAB＝30°，AB＝4 km，
∴∠ABE＝60°，BE＝2 km.
∵∠ABD＝105°，∴∠EBD＝45°，
∴cos 45°＝，∴BD＝＝2km，
即BD的长是2km.
5.【2021·滁州定远县期末】如图，为测量某写字楼AB的高度，小明在D点测得A点的仰角为30°，朝写字楼AB方向前进20 m到达点C处，再次测得点A的仰角为60°，试求写字楼AB的高度．
解：由题意，知∠ACB＝60°，∠D＝30°，
∴∠DAC＝∠ACB－∠D＝30°.
∴∠D＝∠DAC. ∴AC＝CD＝20 m.
在Rt△ABC中，∵sin∠ACB＝，
∴AB＝sin∠ACB·AC＝·20＝10(m)．
答：写字楼AB的高度为10m.
6.【2020·安徽】如图，山顶上有一个信号塔AC，已知信号塔高AC＝15米，在山脚下点B处测得塔底C的仰角∠CBD＝36.9°，塔顶A的仰角∠ABD＝42.0°.求山高CD(点A，C，D在同一条竖直线上)．(参考数据：tan 36.9° ≈0.75，sin 36.9°≈0.60，tan 42.0°≈0.90)
解：设山高CD＝x米，
在Rt△BCD中，tan ∠CBD＝，∴tan 36.9°＝，
∴BD＝≈＝x，
在Rt△ABD中，tan ∠ABD＝，∴tan 42.0°≈，
∴AD≈x·tan 42.0°≈x·0.90＝1.2x，
∵AC＝AD－CD＝15米，
∴1.2x－x≈15，解得x≈75.
∴山高CD约为75米．
7.某数学兴趣小组要测量实验大楼部分楼体CD的高度，在起点A处测得大楼部分楼体CD的顶端C的仰角为45°，底端D的仰角为30°，在同一剖面沿水平地面向前走20米到达B处，测得顶端C的仰角为63.4°(如图所示)，求大楼部分楼体CD的高度约为多少米．(精确到1米．参考数据：sin 63.4°≈0.89，cos 63.4°≈0.45，tan 63.4°≈2.00，≈1.41，≈1.73)
解：设CE＝x米，
在Rt△AEC中，∠CAE＝45°，∴AE＝CE＝x米，
∵AB＝20米，∴BE＝(x－20)米，
在Rt△CEB中，CE＝BE·tan 63.4°＝tan 63.4°(x－20)米，
∴tan 63.4°(x－20)＝x，解得x≈40，∴CE＝AE≈40米．
在Rt△DAE中，DE＝AE·tan 30°≈40×＝(米)，
∴CD＝CE－DE≈40－≈17(米)．
答：大楼部分楼体CD的高度约为17米．
8.【中考·河南】数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像(塑像中高者)的高度．如图所示，炎帝塑像DE在高55 m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进21 m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求炎帝塑像DE的高度．(精确到1 m．参考数据：sin 34°≈0.56，cos 34°≈0.83， tan 34°≈0.67，≈1.73)
解：∵∠ACE＝90°，∠CAE＝34°，
tan∠CAE＝，∴AC＝≈≈82.1(m)，
∵AB＝21 m，∴BC＝AC－AB≈82.1－21＝61.1(m)，
在Rt△BCD中，tan 60°＝＝，
∴CD＝BC≈1.73×61.1≈105.7(m)，
∴DE＝CD－EC≈105.7－55＝50.7≈51(m)．
答：炎帝塑像DE的高度约为51 m.
9.【2020·广元】如图，公路MN为东西走向，在点M北偏东36.5°方向上，距离5千米处是学校A；在点M北偏东45°方向上，距离6千米处是学校B.(参考数据：sin 36.5°≈0.6，cos 36.5°≈0.8，tan 36.5°≈0.74)
(1)求学校A，B两点之间的距离；
解：如图，过点A作FD∥MN，与过点M的方向线交于点F，过点B作BE⊥MN，垂足为E，BE与FD交于点D，连接AB，则四边形FDEM为矩形．∴FD＝ME，FM＝DE，AF⊥FM．
在Rt△AFM中，∠FMA＝36．5°，AM＝5千米，
∴sin 36．5°＝≈0．6，∴FA≈3千米，
∴FM≈4千米．
在Rt△MBE中，∠NMB＝45°，MB＝6千米，
∴sin 45°＝＝，∴BE＝6千米，
∴ME＝6千米，∴AD＝FD－FA＝ME－FA≈3千米，BD＝BE－DE＝BE－FM≈2千米．
在Rt△ABD中，AB＝≈3．6千米．
答：学校A，B两点之间的距离约为3．6千米．
(2)要在公路MN旁修建一个体育馆C，使得A，B两所学校到体育馆C的距离之和最短，求这个最短距离．
解：如图，作点B关于MN的对称点G，则点E在BG上，连接AG交MN于点C，连接CB，点C即为体育馆的位置，
此时CA＋CB＝CA＋CG＝AG，即A，B两所
学校到体育馆C的距离之和最短为AG的长．
∵DG＝DE＋EG＝FM＋BE≈4＋6＝10(千米)
∴AG＝≈≈10.4(千米)．
答：最短距离约为10.4千米．
10.【2020·淄博】如图，著名旅游景区B位于大山深处，原来到此旅游需要绕行C地，沿折线A→C→B方可到达．当地政府为了增强景区的吸引力，发展壮大旅游经济，修建了一条从A地到景区B的笔直公路．请结合∠A＝45°，∠B＝30°，BC＝100千米，≈1.4，≈1.7等数据信息，解答下列问题：
(1)公路修建后，从A地到景区B旅游可以少走多少千米？
解：如图，过点C作AB的垂线CD，垂足为D．
∵在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，BC＝100千米，
∴CD＝BC·sin 30°＝100×＝50(千米)，
BD＝BC·cos 30°＝100×＝50(千米)．
∵在Rt△ACD中，∠A＝45°，∴AD＝CD＝50千米，
AC＝＝50千米，∴AB＝50＋50(千米)，
∴AC＋BC－AB＝50＋100－(50＋50)＝50＋50－50≈35(千米)．
答：从A地到景区B旅游可以少走约35千米．
(2)为迎接旅游旺季的到来，修建公路时，施工队使用了新的施工技术，实际工作时每天的工效比原计划增加25%，结果提前50天完成了施工任务．求施工队原计划每天修建多少千米？
解：设施工队原计划每天修建x千米，依题意得
－＝50，
解得x≈0.54，
经检验x≈0.54是原分式方程的解．
答：施工队原计划每天修建约0.54千米．
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