第4章 锐角三角形 习题课求锐角的三角函数值（含解析）

第4章 锐角三角形
习题课 求锐角的三角函数值
一、选择题
1.若∠A为锐角，且sinA＝，则cosA等于(　　)
A．1 B. C. D.
2.【中考·贵阳】如图，A，B，C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为(　　)
A． B．1 C． D．
第2题图 第3题图 第4题图 第5题图
3.如图，已知△ABC的三个顶点均在以正方形组成的网格的格点上，则sinA的值是(　　)
A. B. C. D．1
4.【2020·聊城】如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB的值为(　　)
A. B. C. D.
5.【2020·南充】如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC＝(　　)
A. 　　　B. 　　　C. 　　　D.
二、填空题
6.如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则cosB＝________，tanB＝________．
第6题图 第7题图
7.【2020·包头】如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD，垂足为E，连接CE.若∠ADB＝30°，则tan∠DEC的值为________．
8.(1)如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝17，AC＝8，则sinA＝________；
(2)如图②，已知点A的坐标为(1，)，则tan∠1＝____， sin∠1＝_______．
三、解答题
9.在Rt△ABC中，∠C＝90°，且cosA＝.求sinA，tanA的值．
10.已知∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角，且sin＝.求sin的值．
12.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若AC＝，AB＝3，求sin∠ACD的值．
13.如图，AD，BE分别是△ABC中BC，AC边上的高，BE＝4，BC＝6，求sin∠DAC的值．
14.求sin15°，cos15°的值．
【思考】如何求tan15°？
15.如图，在△ABC中，∠C＝150°，AC＝4，tan B＝.
(1)求BC的长；
(2)利用此图形求tan15°的值(结果保留根号)．
16.将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，利用此图形求出67.5°角的正切值．
17.如图，在正方形ABCD中，E为BC的中点，点F在CD边上，且CF＝CD，求∠EAF的正弦、余弦值．
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参考答案
一、选择题
1.若∠A为锐角，且sinA＝，则cosA等于(　D　)
A．1 B. C. D.
2.【中考·贵阳】如图，A，B，C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为(　B　)
A． B．1 C． D．
【点拨】连接BC，由网格可得AB＝BC＝，AC＝，∴AB2＋BC2＝AC2，∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAC＝45°，∴tan∠BAC＝1.
第2题图 第3题图 第4题图 第5题图
3.如图，已知△ABC的三个顶点均在以正方形组成的网格的格点上，则sinA的值是(　B　)
A. B. C. D．1
4.【2020·聊城】如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB的值为(　D　)
A. B. C. D.
5.【2020·南充】如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC＝(　B　)
A. 　　　B. 　　　C. 　　　D.
【点拨】如图，作BD⊥AC于D，设正方形网格的边长为1，由勾股定理得，AB＝＝，
AC＝＝3，
∵S△ABC＝AC·BD＝×3·BD＝×1×3，
∴BD＝，∴sin∠BAC＝＝＝.
二、填空题
6.如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则cosB＝________，tanB＝________．
【点拨】∵∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，
∴cos B＝sin A，sin B＝cos A.
∵sin A＝，∠A是锐角，∴cos A＝＝，
∴cos B＝，sin B＝，∴tan B＝＝.
【答案】；
第6题图 第7题图
7.【2020·包头】如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD，垂足为E，连接CE.若∠ADB＝30°，则tan∠DEC的值为________．
【答案】
8.(1)如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝17，AC＝8，则sin A＝________；
【点拨】由勾股定理，得BC＝＝15，
∴sin A＝＝.
(2)如图②，已知点A的坐标为(1，)，则tan∠1＝____， sin∠1＝_______．
【点拨】如图，过A作x轴的垂线，垂足为B.
由题意可得，AB＝，OB＝1，则tan∠1＝＝＝，
由勾股定理，得OA＝＝2.
∴sin∠1＝＝.
三、解答题
9.在Rt△ABC中，∠C＝90°，且cosA＝.求sinA，tanA的值．
解：∵sin2A＋cos2A＝1，∠A是锐角，且cos A＝，
∴sin A＝＝，
∴tanA＝＝＝.
10.已知∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角，且sin＝.求sin的值．
解：∵∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角，
∴∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴∠A＋∠B＝180°－∠C，
∴＝＝90°－，
∴sin ＝sin ＝cos .
又sin2＋cos2＝1，sin＝，且为锐角，
∴cos＝，∴sin＝.
12.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若AC＝，AB＝3，求sin∠ACD的值．
解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠ACD＋∠BCD＝90°，∠BCD＋∠B＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∴sin∠ACD＝sinB＝
13.如图，AD，BE分别是△ABC中BC，AC边上的高，BE＝4，BC＝6，求sin∠DAC的值．
解：∵AD，BE分别是△ABC中BC，AC边上的高，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∴∠C＋∠DAC＝∠C＋∠EBC＝90°.
∴∠EBC＝∠DAC，
∵∠BEC＝90°，BE＝4，BC＝6，
∴CE＝＝2 ，
∴sin∠EBC＝＝＝，
∴sin∠DAC＝sin∠EBC＝.
14.求sin15°，cos15°的值．
解：如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，∠C＝90°，延长CA到D，使AD＝AB，连接BD，则∠D＝15°，
设BC＝a，则AB＝2a，AC＝a，
∴AD＝2a，∴CD＝(2＋)a.
在Rt△BCD中，
BD＝＝＝(＋)a.
∴sin15°＝sinD＝＝＝，
cos15°＝cosD＝＝＝.
【思考】如何求tan15°？
15.如图，在△ABC中，∠C＝150°，AC＝4，tan B＝.
(1)求BC的长；
解：过A作AD⊥BC交BC的延长线于点D，如图所示．
在Rt△ADC中，AC＝4，
∵∠ACB＝150°，∴∠ACD＝30°，
∴AD＝AC＝2，CD＝AC·cos30°＝2 ，
∴在Rt△ABD中，tan B＝＝＝，∴BD＝16，
∴BC＝BD－CD＝16－2.
(2)利用此图形求tan15°的值(结果保留根号)．
解：在BC边上取一点M，使得CM＝AC，
连接AM，如图所示．
∵∠ACB＝150°，
∴∠AMC＝∠MAC＝15°.
∴tan15°＝tan∠AMD＝＝＝2－.
16.将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，利用此图形求出67.5°角的正切值．
解：∵将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，
使点A落在BC边上的点E处，∴AB＝BE，
又∠ABE＝90°，∴∠AEB＝∠EAB＝45°.
∵还原后，再沿过点E的直线折叠，
使点A落在BC边上的点 F处，
∴AE＝EF，
∴∠EAF＝∠EFA＝45°÷2＝22.5°，∴∠FAB＝67.5°.
设AB＝BE＝x，则EF＝AE＝x，
∴tan67.5°＝tan∠FAB＝＝＝＋1.
17.如图，在正方形ABCD中，E为BC的中点，点F在CD边上，且CF＝CD，求∠EAF的正弦、余弦值．
解：如图，连接EF，设CF＝k，由题意可得CD＝AD＝AB＝BC＝4k，BE＝EC＝2k，DF＝3k.
根据勾股定理得AF＝＝＝5k，EF＝＝
＝k，AE＝＝＝2k.
∴EF2＋AE2＝AF2.
∴△AEF是直角三角形，
且∠AEF＝90°.
∴sin∠EAF＝＝＝，
cos∠EAF＝＝＝.
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