3.2.2 双曲线简单的几何性质 课件【新教材】2021-2022学年人教A版（2019）高二数学选择性必修第一册

(共36张PPT)
3.2.2 双曲线简单的几何性质
双曲线的定义
点p到两定点
F1 F2的距离之差
的绝对值为常数（小于F1 F2的距离）点p 的轨迹
X
Y
0
F1
F2
p
复习回顾：
定义
图象
方程
焦点
a.b.c 的关系
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
F ( ±c, 0) 　 F(0, ± c)
复习回顾
(a>0,b>0)
(a>0,b>0)
椭圆的几何性质我们讨论了哪些方面：
方程、图形、顶点(特殊点)、范围、对称性、离心率e、准线
双曲线图像(1)
双曲线的简单几何性质
标 准 方 程
范 围
对称性
顶 点
焦 点
对称轴
离心率
渐近线
双 曲 线 的 顶 点:
在双曲线的标准方程中，令y=0得x=±a,因此把A1（-a，0）, A2（a，0）叫做双曲线的顶点.
如图:线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长等于2a, a叫做双曲线的实半轴长.
线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长等于2b, b叫做双曲线的虚半轴长.
双 曲 线 的 范 围
根据双曲线的标准方程
可得： 即 ，所以x≥a或 x≤-a
这说明双曲线在不等式
x≥a或 x≤-a所表示的区
域内,即在直线x=-a,x=a两侧.
当x的绝对值无限增大时，
y的绝对值也无限增大,所以
曲线是无限伸展的,不像椭圆那样是封闭曲线.
3，双 曲 线 的 对 称 性:
双曲线关于每个坐标轴和原点都是对称的.坐标轴是双曲线的对称轴,原点是双曲线的对称中心.双曲线的对称中心叫做双曲线的中心.
4、离心率
离心率。
c>a>0
e >1
e是表示双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大
（1）定义：
（2）e的范围：
（3）e的含义：
（4）等轴双曲线的离心率e=
( 5 )
双曲线的渐近线
Y
y=
4
3
x
y= -
4
3
x
-4
4
-3
3
0
X
想一想：怎样较为准确的画出
的图象 ？
讨论第一象限，其他按对称性处理。
Y
X
F1
F2
A1
A2
B1
B2
0
M
N
第一象限的曲线方程 c ：
直线方程：
y=
a
b
x
y= √x
a
b
2
- a
2
( x＞ a)
C:
设M（x,y) 是c上一点,
y=
a
b
x
N (x,Y)是直线
.
.
上一点。
y =
a
b
x
±
.
Q
双曲线 的渐近线方程是
MN
= Y- y
=
a
b
( x -
√x – a
2
2
)
x +
√x – a
2
2
ab
=
Y
X
F1
F2
A1
A2
B1
B2
0
M
N
.
.
.
Q
( x -
√x – a
2
2
)
=
a
b
( x -
√x – a
2
2
)
.
( x +
√x – a
2
2
)
( x +
√x – a
2
2
)
>0
x +
√x – a
2
2
ab
Y
X
F1
F2
A1
A2
B1
B2
0
a
b
=√
e - 1
2
e越小（接近1）
双曲线开口越小
a
b
越接近0

e越大
a
b

双曲线开口越大
越大
渐近线方程的记忆
渐近线是双曲线特有的性质，两方程联系密切，把
双曲线的标准方程 或
右边的常数1换为0，就是渐近线方程．
练习：求下列双曲线的渐近线方程 (1)4x2－9y2=36,
(2)25x2－4y2=100.
2x±3y=0
5x±2y=0
双曲线图像与性质(1)
标 准 方 程
范 围
对称性
顶 点
焦 点
对称轴
离心率
渐近线
Y
X
F1
F2
A1
A2
B1
B2
0
1
2
2
2
2
=
-
b
y
a
x
x≥a 或x≤-a
关于x轴，y轴，原点对称。
A1（-a，0),A2（a，0）
实轴 A1A2 虚轴 B1B2
F1
(-c , 0 ),
F2
( c , 0 )
a
c
e=
y =
a
b
x
±
X
Y
F1
F2
O
B1
B2
A2
A1
双曲线图像(2)
标 准 方 程
范 围
对称性
顶 点
焦 点
对称轴
离心率
渐近线
双曲线图像与性质(2)
标 准 方 程
范 围
对称性
顶 点
焦 点
对称轴
离心率
渐近线
y≥a 或y≤-a
关于x轴，y轴，原点对称。
B1（0, -a ),B2（0，a）
实轴 B1B2 虚轴 A1A2
F1
(0 , -c ),
F2
( 0 , c )
a
c
e=
y =
b
a
x
±
1
2
2
2
2
=
-
a
x
b
y
X
Y
F1
F2
O
B1
B2
A2
A1
上述两种双曲线性质对比
标 准 方 程
范 围
对称性
顶 点
焦 点
对称轴
离心率
渐近线
1
2
2
2
2
=
-
b
y
a
x
x≥a 或x≤-a
关于x轴，y轴，原点对称。
A1（-a，0),A2（a，0）
实轴 A1A2 虚轴 B1B2
F1
(-c , 0 ),
F2
( c , 0 )
a
c
e=
y =
a
b
x
±
1
2
2
2
2
=
-
a
x
b
y
y≥a 或y≤-a
关于x轴，y轴，原点对称。
B1（0, -a ),B2（0，a）
F1
(0 , -c ),
F2
( 0 , c )
实轴 B1B2 虚轴 A1A2
a
c
e=
y =
b
a
x
±
例1:求双曲线
的实半轴长,虚半轴长,
焦点坐标,离心率.渐近线方程。
解：把方程化为标准方程
可得:实半轴长a=4
虚半轴长b=3
半焦距c=
焦点坐标是(0,-5),(0,5)
离心率:
渐近线方程:
144
16
9
2
2
=
-
x
y
1
3
4
2
2
2
2
=
-
x
y
5
3
4
2
2
=
+
4
5
=
=
a
c
e
例题讲解
例4:
例5 :求下列双曲线的标准方程：
法二：巧设方程 ,运用待定系数法.
⑴设双曲线方程为 ,
法二：设双曲线方程为
∴ 双曲线方程为
∴ ,
解之得k=4,
1、“共渐近线”的双曲线的应用
λ>0表示焦点在x轴上的双曲线；
λ<0表示焦点在y轴上的双曲线。
总结：
2、求与椭圆
有共同焦点，渐近线方程为
的双曲线方程。
解：
椭圆的焦点在x轴上，且坐标为
双曲线的渐近线方程为
解出
1.求下列双曲线的实半轴长和虚半轴长,
(1)
(2)
焦点坐标,顶点坐标,离心率,渐近线的方程.
课 堂 练 习
2. 求顶点在x轴上,两顶点间的距离为8,
离心率e=5/4的双曲线的标准方程.
解：由2a=8, e=5/4
可得a=4 b=3 c=5
因为双曲线的顶点在x轴上，所以它的焦点也在x轴
上，所以它的标准方程为：
顶点焦点共直线
练习：
已知双曲线的两条渐进线方程是
焦点坐标是
求此双曲线的方程
1
2
=
+
b
y
a
x
2
2
2
（ a＞ b ＞0）
1
2
2
2
2
=
-
b
y
a
x
( a＞ 0 b＞0)
2
2
2
=
+
b
a
(a＞ 0 b＞0)
c
2
2
2
=
-
b
a
(a＞ b＞0)
c
椭 圆 双曲线
方程
a b c关系
图象
y
X
F1
0
F2
M
X
Y
0
F1
F2
p
小 结
关于x轴、y轴、原点对称
图形
方程
范围
对称性
顶点
离心率
A1（- a，0），A2（a，0）
A1（0，-a），A2（0，a）
关于x轴、y轴、原点对称
渐近线
.
.
y
B2
A1
A2
B1
x
O
F2
F1
x
B1
y
O
.
F2
F1
B2
A1
A2
.
F1(-c,0)
F2(c,0)
F2(0,c)
F1(0,-c)