1.1 集合的概念(共45张PPT)

(共45张PPT)
第一章
集合与常用逻辑用语
1．1　集合的概念
明学习目标 课标 要求 1．通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系．
2．针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合．
重点 难点 重点：元素与集合的关系、集合的表示方法．
难点：用描述法表示集合.
知结构体系
(一)集合的含义
含义 一般地，我们把研究 统称为 ，把一些 叫做集合(简称为集)
表示 通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素
对象
元素
元素组成的总体
(1)“对象”：集合中的“对象”所指的范围非常广泛，现实生活中我们看到的、听到的、想到的、触摸到的事物和抽象的符号等等，都可以看作对象．比如数、点、图形、多项式、方程、函数、人等等．
(2)“总体”：集合是一个整体，已暗含“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成集合，那么这个集合就是全体，而非个别对象了．
答案：①④
2．你能列举出几个用集合表达的与数学有关的例子吗？并指出例子中集合的元素是什么．
提示：(1)5以内的自然数组成的集合，元素为0,1,2,3,4,5.(2)方程x2＝4的解组成的集合，元素为－2,2.
答案不唯一
(二)元素与集合
1．元素与集合的关系
给定一个集合A，如果a是集合A的元素，就说a 集合A，记作 ；如果a不是集合A中的元素，就说a 集合A，记作 .
属于
a∈A
不属于
a A
元素与集合的区别
元素和集合是两个完全不同的概念，元素是集合中的某一对象，而集合是由所有的元素组成的．
元素与集合是相对的，如a与{a}的区别，{a}表示的是一个集合，a是集合{a}中的一个元素．例如，0与{0}是不同的，0表示数字0，{0}表示由数字0组成的集合．集合有时也可以作为元素，如集合{{a}，{b}}中，{a}只表示其中的一个元素．
2．集合中元素的三个特性
确定性 集合里的元素必须是 的．也就是说，给定一个集合，按照该集合的构成标准能够明确判断一个对象是否属于这个集合．例如，“身材胖的同学”这一组对象就不能构成一个集合，因为“身材胖”这个标准不够明确，而“体重超过80 kg的同学”这一组对象可以构成一个集合
互异性 集合中的元素一定是 的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．例如，若实数a，b是集合A中的两个元素，则a≠b
无序性 集合中元素的排列次序无先后之分．任意调换集合中元素位置，集合不变．例如，集合{1,2}与{2,1}表示同一个集合
确定
互不相同
3．集合相等
只要构成两个集合的元素是 ，我们就称这两个集合是相等的，例如集合{a，b，c}与集合{c，a，b}是相等集合．
一样的
(1)两个集合相等需满足：元素必须完全相同．由此可以用来求解集合．例如，若集合{－1，|x|}与{x，x2}相等，由两集合含有相同的元素，可得{x，x2}一定含有－1这个元素，因为x2≥0，所以x＝－1，进而求得这个集合．
(2)集合相等与集合的形式无关．形式上不同的两个集合，也可能相等，只要满足元素完全相同就是同一集合．如{x∈R|4x－5<3}＝{x∈R|x<2}．
[即时小练]
1．若a2－3与1是同一个集合中的两个元素，则a的取值范围是________．
解析：由题意可得a2－3≠1，即a2≠4，即a≠±2.
答案：a≠±2
2．若集合A中的两个元素分别是－2，a＋1，若3∈A，则a＝________.
解析：由题意知3＝a＋1，解得a＝2.
答案：2
3．若集合A中含有3个元素1,2，a2，B中含有3个元素2,1,9，且A，B相等，则a＝____.
解析：由集合相等的定义知a2＝9，故a＝±3.
答案：±3
(三)集合的表示方法与分类
1．常用数集及其记法
自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
___ 或____ ___ ___ ___
N
N*
N＋
Z
Q
R
2．集合的表示方法
(1)自然语言法：用文字叙述的形式表述集合的方法．如小于10的所有的自然数组成的集合．
(2)列举法：把集合的所有元素 出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法．
一一列举
使用列举法表示集合时的注意事项
(1)元素间用逗号隔开；
(2)元素不能重复(互异性)；
(3)元素之间不用考虑先后顺序(无序性)；
(4)有些集合的元素较多，元素又呈现一定的规律，在不发生误解的情况下，也可以列出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示，如不大于100的正整数所构成的集合可表示成{1,2,3，…，100}；
(5)“{　}”含有“所有”“整体”的含义，如所有实数构成的集合可以写为{实数}，但如果写成{实数集}或{全体实数}就是错误的；
(6)对于含有有限个元素且元素个数较少的集合，宜采用列举法．
(3)描述法：一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有 的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}．例如：不等式3x－5<7的解集用描述法表示为{x∈R|x<4}．
共同特征P(x)
使用描述法表示集合时的注意事项
(1)写清楚集合中元素的代表符号，如{x∈R|x>1}不能写成{x>1}；
(2)用简明、准确的语言进行描述，如方程、不等式、几何图形等；
(3)不能出现未被说明的字母，如{x∈Z|x＝2m}中m未被说明，故此集合中的元素是不明确的；
(4)所有描述的内容都要写在花括号内，如“{x∈Z|x＝2m}，m∈N*”不符合书写要求，应将“m∈N*”写在“{　}”中，即{x∈Z|x＝2m，m∈N*}；
(5)元素的取值(或变化)范围，从上下文来看，若能明确x∈R，则x∈R可省略不写，如集合D＝{x∈R|x<10}也可表示为D＝{x|x<10}；
(6)多层描述时，应当准确使用“且”“或”等表示元素之间关系的词语，如{x|x<－1或x>－1}．
3．集合的分类
按集合中元素个数的多少，可将集合分为有限集和无限集.
有限集 含有有限个元素的集合．例如，集合A＝{a，b，c}是有限集
无限集 含有无限个元素的集合，例如，所有自然数组成的集合是无限集
[即时小练]
1．用描述法表示不等式2x－1<3的解集为________．
解析：由2x－1<3得x<2，故不等式2x－1<3的解集为{x|x<2}．
答案：{x|x<2}
2．集合{x|－1解析：满足－1故用列举法可表示为{0,1,2,3}．
答案：{0,1,2,3}
答案：∈　 　∈　∈
[答案]　D
[答案]　D
[方法技巧]
一般地，确认一组对象a1，a2，a3，…，an(a1，a2，…，an均不相同)能否构成集合的过程为：
[对点训练]
(多选)下列每组对象能组成一个集合的是 (　　)
A．未来世界的高科技产品
B．不超过20的非负数
C．方程x2－16＝0在实数范围内的解
D．钟南山院士实验室的所有人员
解析：由于“高科技”无明确的标准，无法进行客观地判断，因此A不能组成一个集合．B中任给一个实数x，可以明确地判断它是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x<0或x>20”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能组成一个集合．C中任给一个实数x，可以明确地判断它是不是方程x2－16＝0在实数范围内的解，即“x2－16＝0”与“x2－16≠0”，两者必居其一，且仅居其一，故“方程x2－16＝0在实数范围内的解”能组成一个集合．D中人员是确定的，故能组成一个集合．
答案：BCD　
[方法技巧]
判断元素与集合关系的两种方法
(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可，此时应先明确集合是由哪些元素构成的．
(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应先明确已知集合的元素具有什么特征，即该集合中元素要满足哪些条件．　　
答案：B　
答案：D　
[方法技巧]
集合的表示方法的选取原则
要根据集合元素所具有的属性选择适当的表示方法．列举法的特点是能清楚地展现集合的元素，通常用于表示元素个数较少的集合，当集合中元素较多或无限时，就不宜采用列举法；描述法的特点是形式简单、应用方便，通常用于表示元素具有明显共同特征的集合，当元素共同特征不易寻找或元素的限制条件较多时，就不宜采用描述法．　　
[对点训练]
选择适当的方法表示下列集合，并指出哪些是有限集，哪些是无限集．　
(1)大于1且小于70的正整数构成的集合A；
(2)方程x2－x＋2＝0的实数解构成的集合B；
(3)小于8的质数组成的集合C；
(4)方程2x2－x－3＝0的实数根组成的集合D；
(5)函数y＝－2x2＋x图象上的所有点组成的集合E；
(6)不等式2x－3<5的解组成的集合F.
一、在典题训练中内化学科素养
本节的重点是对数学语言(特别是符号语言)的阅读理解及对逻辑推理、数学运算和数学抽象等核心素养的考查．
1．(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为 (　　)
A．9　　　　　　　　　 B．8
C．5 D．4
解析：A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}＝{(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)}，共9个元素．故选A.
答案：A
[内化素养/数学运算]
考查集合的含义与表示及列举法求集合中元素的个数．　　
2．若集合{a，b，c，d}＝{1,2,3,4}，且下列四个关系：
①a＝1；②b≠1；③c＝2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是________．
解析：若①正确，即a＝1，则②，③，④都错误，即b＝1，c≠2，d＝4.其中a＝1与b＝1矛盾，显然此种情况不存在；
若②正确，即b≠1，则①，③，④都错误，即a≠1，c≠2，d＝4，则当b＝2时，有a＝3，c＝1；当b＝3时，有a＝2，c＝1，此时有2种有序数组．
若③正确，即c＝2，则①，②，④都错误，即a≠1，b＝1，d＝4，则a＝3，即此种情况有1种有序数组．
若④正确，即d≠4，则①，②，③都错误，即a≠1，b＝1，c≠2，则当d＝2时，有a＝3，c＝4或a＝4，c＝3，有2种有序数组；当d＝3时，有c＝4，a＝2，仅1种有序数组．
综上可得共有2＋1＋2＋1＝6(种)有序数组．
答案：6
[内化素养/逻辑推理]
考查集合相等及集合中元素的无序性、互异性及分类讨论思想，注意检验是否满足元素的互异性．　　
二、在导向训练中品悟核心价值
?发展理性思维
1．已知集合A＝{12，a2＋4a，a－2}，且－3∈A，则a＝ (　　)
A．－1 B．－3或－1
C．3 D．－3
解析：∵集合A＝ {12，a2＋4a，a－2}，且－3∈A，
∴a2＋4a＝－3或a－2＝－3，
解得a＝－1或a＝－3.
当a＝－1时，a2＋4a＝a－2＝－3，不满足集合中元素的互异性，舍去；
当a＝－3时，A＝{12，－3，－5}，符合题意．
综上可知，a＝－3.
答案：D　
答案：－2
?强化拓广探索
3．设A，B为两个实数集，定义集合A＋B＝{a＋b|a∈A，b∈B}．若A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，则集合A＋B中元素的个数为 (　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：当a＝1，b＝2或3时，a＋b＝1＋2＝3或a＋b＝1＋3＝4；当a＝2，b＝2或3时，a＋b＝2＋2＝4或a＋b＝2＋3＝5；当a＝3，b＝2或3时，a＋b＝3＋2＝5或a＋b＝3＋3＝6.所以A＋B＝{3,4,5,6}，共4个元素．
答案：B　
4．已知有限集A＝{a1，a2，…，an}(n≥2，n∈N*)，如果A中元素ai(i＝1,2,3，…，n)，满足a1·a2·…·an＝a1＋a2＋…＋an，就称A为n元“创新集”．
(1)若ai∈R，试写出一个二元“创新集”A；
(2)若a1，a2∈R，且{a1，a2}是二元“创新集”，求a1·a2的取值范围．