1.4.2 充要条件(共30张PPT)

(共30张PPT)
1．4.2　充要条件
明学习目标 知结构体系
课标 要求 1．理解充要条件的意义． 2．会判断一些简单的充要条件问题． 3．能对充要条件进行证明．
重点 难点 重点：充要条件的概念及判断． 难点：充要条件的证明. 充要条件
(1)如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有 ，又有 ，就记作 ，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为 条件．
(2)如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p q，那么p与q互为 条件．
p q
q p
p q
充要
充要
对充分不必要条件、必要不充分条件和充要条件的理解
充分条件、必要条件与充要条件是数学中的重要概念，主要适用于区分命题的条件p和结论q之间的关系．为加深对充分条件、必要条件、充要条件的理解，以下从逻辑推理关系和集合的角度进行说明．
[即时小练]
1．“x2－4x－5＝0”是“x＝5”的 (　　)
A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：由x2－4x－5＝0得x＝5或x＝－1，
则当x＝5时，x2－4x－5＝0成立，
但当x2－4x－5＝0时，x＝5不一定成立．
答案：B　
2．“x>1”是“x＋2>3”的________条件．
解析：当x>1时，x＋2>3；当x＋2>3时，x>1，所以“x>1”是“x＋2>3”的充要条件．
答案：充要
3．△ABC是锐角三角形是∠ABC为锐角的________条件．
解析：若△ABC是锐角三角形，则其三个角都是锐角；若∠ABC为锐角，则△ABC可能是锐角三角形，也可能是直角或钝角三角形，所以是充分不必要条件．
答案：充分不必要
[题点一]
充分、必要、充要条件的判断
[典例]　 指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条
件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”)．
(1)p：x2>0，q：x>0；
(2)p：a能被6整除，q：a能被3整除；
(3)p：两个角不都是直角，q：两个角不相等；
(4)p：A∩B＝A，q： UB UA.
[解]　(1)p：x2>0，则x>0或x<0，q：x>0，故p是q的必要不充分条件．
(2)p：a能被6整除，故也能被3和2整除，q：a能被3整除，故p是q的充分不必要条件．
(3)p：两个角不都是直角，这两个角可以相等，q：两个角不相等，则这两个角一定不都是直角，故p是q的必要不充分条件．
(4)∵A∩B＝A A B UB UA，∴p是q的充要条件．
[方法技巧]
判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法
(1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假．
(2)集合法：即利用集合的包含关系判断．
(3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1 p2 … pn，可得p1 pn；充要条件也有传递性．　　
[对点训练]
1．设A，B，C是三个集合，则“A∩B＝A∩C”是“B＝C”的 (　　 )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：由A∩B＝A∩C，不一定有B＝C，
反之，由B＝C，一定可得A∩B＝A∩C.
∴“A∩B＝A∩C”是“B＝C”的必要不充分条件．
答案：B　
2．(多选)在下列四个结论中，正确的有 (　　)
A．x2>4是x3<－8的必要不充分条件
B．在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件
C．若a，b∈R，则“a2＋b2＝0”是“a，b不全为0”的充要条件
D．若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件
解析：对于结论A，由x3<－8 x<－2 x2>4，但x2>4 x<－2或x>2 x3<－8或x3>8，不一定有x3<－8，故A正确；对于结论B，由AB2＋AC2＝BC2 △ABC为直角三角形，但在直角△ABC中，不一定角A是直角，故B不正确；对于结论C，a2＋b2＝0 a＝b＝0，故C不正确；对于结论D，由a2＋b2≠0 a，b不全为0，反之，由a，b不全为0 a2＋b2≠0，故D正确．
答案：AD　
[题点二]
充要条件的证明
[典例]　 已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.
注：a3＋b3＝(a＋b)(a2＋b2－ab)．
[证明]　先证必要性：
∵a＋b＝1，∴b＝1－a，
∴a3＋b3＋ab－a2－b2
＝a3＋(1－a)3＋a(1－a)－a2－(1－a)2
＝a3＋1－3a＋3a2－a3＋a－a2－a2－1＋2a－a2＝0.
[对点训练]
证明关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为－1的充要条件是a－b＋c＝0.
证明：①充分性：∵a－b＋c＝0，
∴a·(－1)2＋b·(－1)＋c＝0，
∴x＝－1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，
∴a－b＋c＝0是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为－1的充分条件．
②必要性：∵x＝－1是方程ax2＋bx＋c＝0的根，
∴a·(－1)2＋b·(－1)＋c＝0，
即a－b＋c＝0，
∴a－b＋c＝0是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为－1的必要条件．
综合①②，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为－1的充要条件是a－b＋c＝0.
[题点三]
利用充分条件、必要条件求参数
[典例]　已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，
若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
[拓展]
1．若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围．
2．本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
[方法技巧]
1．应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤
(1)化简：化简集合，明确题干中的充分条件和必要条件．
(2)转化：根据集合间的包含关系与充分条件和必要条件的关系，将问题转化为集合间的关系问题．
(3)列式：利用集合间的关系，建立关于参数的不等式或不等式组．注意等号成立的条件．
(4)获解：解不等式，得参数范围．
2．应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数取值范围的关键点
应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数取值范围的关键就是找出集合间的包含关系，同时注意范围的临界值的取舍．　　
答案：C　
一、在典题训练中内化学科素养
本节重点考查充分、必要条件的概念及判断，一般要与其他数学知识综合，着重考查逻辑推理、数学运算等核心素养．
1．已知a，b∈R，则“a2>b2”是“|a|>|b|”的 (　　)
A．充分非必要条件　　　 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
解析：∵a2>b2 |a2|>|b2| |a|>|b|，
∴“a2>b2”是“|a|>|b|”的充要条件，故选C.
答案：C　
2．(2019·天津高考)设x∈R，则“0A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：由|x－1|<1可得0所以“|x－1|<1的解集”是“0故选B.
答案：B　
3．(2018·天津高考)设x∈R，则“x3＞8”是“|x|＞2”的 (　　)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：由x3＞8 x＞2 |x|＞2，反之不成立，
故“x3＞8”是“|x|＞2”的充分而不必要条件．
答案：A　
内化素养
逻辑 推理 把题目中的两个命题进行正确的推理与转化，并依据推理结果进行判断，注意分清条件与结论，以确定充分性和必要性
数学 运算 在判定命题的充分性和必要性时，往往要进行运算，要保证运算的等价性与正确性
二、在导向训练中品悟核心价值
?发展理性思维
1．(多选)有限集合S中元素的个数记作card(S)．设A，B都为有限集合，则下列命题中是真命题的有 (　　)
A．A∩B＝ 的充要条件是card(A∪B)＝card(A)＋card(B)
B．A B的必要条件是card(A)≤card(B)
C．A B的必要条件是card(A)≤card(B)
D．A＝B的充要条件是card(A)＝card(B)
答案：AB　
2．若a，b∈R，则“a＋b＝0”是“a3＋a2b－a2－ab＋a＋b＝0”的 (　　)
A．充分不必要条件　 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
答案：C　
?注重实践应用
3．已知p：{x|x＋2≥0且x－10≤0}，q：{x|4－m≤x≤4＋m，m>0}，若p是q的充要条件，则实数m的值是 (　　)
A．4　　　　　　　　　 B．5
C．6 D．7
答案：C　
4．已知“xa＋1”是“x>2或x<－1”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是 (　　)
A．{a|0C．{a|0答案：B