1.5.1 全称量词与存在量词(共26张PPT)

(共26张PPT)
1．5.1　全称量词与存在量词
明学习目标 知结构体系
课标 要求 1．理解全称量词、全称量词命题的意义． 2．理解存在量词、存在量词命题的意义． 3．会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假．
重点 难点 重点：全称量词和存在量词的意义． 难点：判定全称量词命题和存在量词命题的真假. 1．全称量词与全称量词命题
全称 量词 定义 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词
符号表示 ____
全称量 词命题 定义 含有 的命题，叫做全称量词命题
一般形式 对M中任意一个x，p(x)成立(说明：M表示变量x的取值范围)
符号表示 ____________

全称量词
x∈M，p(x)
对全称量词命题的理解
(1)从集合的观点看，全称量词命题是陈述某集合中的所有元素都具有某种性质的命题．注意：全称量词表示的数量可能是有限的，也可能是无限的，由具体的条件而定．
(2)常见的全称量词还有“一切”“任给”等．
(3)一个全称量词命题可以包含多个变量，如“ x∈R，y∈R，x2＋y2≥0”．
(4)全称量词命题含有全称量词，有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补充出来．例如命题“平行四边形的对角线相互平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线相互平分”．
2．存在量词与存在量词命题
存在 量词 定义 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词
符号表示 ____
存在量词命题 定义 含有 的命题，叫做存在量词命题
一般形式 存在M中的元素x，p(x)成立(说明：M表示变量x的取值范围)
符号表示 ______________

存在量词
x∈M，p(x)
对存在量词命题的理解
(1)从集合的观点看，存在量词命题是陈述某集合中有(存在)一些元素具有某种性质的命题．
(2)常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某些”“有的”等．
(3)含有存在量词的命题，不管包括的程度多大，都是存在量词命题．
(4)一个存在量词命题可以包括多个变量，如“ a，b∈R，使(a＋b)2＝(a－b)2”．
(5)含有存在量词“存在”“有一个”等命题，或虽然没有写出存在量词，但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题．
[即时小练]
1．(多选)下列命题是全称量词命题的是 (　　)
A．任意一个自然数都是正整数
B．有的菱形是正方形
C．梯形有两边平行
D． x∈R，x2＋1＝0
答案：AC
2．下列语句中，是全称量词命题的是________，是存在量词命题的是________．(填序号)
①菱形的四条边相等；
②所有含两个60°角的三角形是等边三角形；
③负数的立方根不等于0；
④至少有一个负整数是奇数；
⑤所有有理数都是实数吗？
答案：①②③　④
3．命题p： x∈R，x2＋2x＋5＝0是________(填“全称量词命题”或“存在量词命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)．
答案：存在量词命题　假
[题点一]
全称量词命题与存在量词命题的识别
[典例]　 判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题：
(1)凸多边形的外角和等于360°；
(2)有的速度方向不定；
(3)对任意直角三角形的两锐角∠A，∠B，都有sin∠A＝cos∠B.
[解]　(1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360°”，故为全称量词命题．
(2)含有存在量词“有的”，故是存在量词命题．
(3)含有全称量词“任意”，故是全称量词命题．
[方法技巧]
判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的方法
判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的关键是看量词．由于某些全称量词命题的量词可能省略，所以要根据命题表达的意义判断，同时要会用相应的量词符号正确表达命题．　　
[对点训练]
判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“ ”或“ ”表示下列命题：
(1)自然数的平方大于或等于零；
(2)有的一次函数图象经过原点；
(3)所有的二次函数的图象的开口都向上．
解：(1)全称量词命题．表示为 n∈N，n2≥0.
(2)存在量词命题． 一次函数，它的图象过原点．
(3)全称量词命题． 二次函数，它的图象的开口都向上．
[题点二]
全称量词命题与存在量词命题的真假判断
[典例]　试判断下列命题的真假：
(1) x∈R，x2＋1≥2;
(2)直角坐标系内任何一条直线都与x轴有交点；
(3)存在一对整数x，y，使得2x＋4y＝6.
[解]　(1)取x＝0，则x2＋1＝1<2，
所以“ x∈R，x2＋1≥2”是假命题．
(2)与x轴平行的直线与x轴无交点，
所以该命题为假命题．
(3)取x＝3，y＝0，则2x＋4y＝6，
所以该命题为真命题．
[方法技巧]
判断全称量词命题、存在量词命题真假的思路
[对点训练]
判断下列命题的真假．
(1) x∈Z，x3<1；
(2)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；
(3) x∈N，x2>0.　
解：(1)因为－1∈Z，且(－1)3＝－1<1，
所以“ x∈Z，x3<1”是真命题．
(2)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题．
(3)因为0∈N,02＝0，所以命题“ x∈N，x2>0”是假命题．
[题点三]
根据含量词命题的真假求参数问题
[典例]　 已知命题p： x∈R，
不等式x2＋&4x－1>m恒成立．
求实数m的取值范围．
[解]　令y＝x2＋4x－1，x∈R，则y＝(x＋2)2－5≥－5，
因为 x∈R，不等式x2＋4x－1>m恒成立，所以只要m<－5即可．所以所求m的取值范围是{m|m<－5}．
[拓展]
1． 把本例中的条件变为：“存在实数x，使不等式－x2＋4x－1>m有
解”，求实数m的取值范围．
解：令y＝－x2＋4x－1，因为y＝－x2＋4x－1＝－(x－2)2＋3≤3，又因为 x∈R，－x2＋4x－1>m有解，所以只要m小于y的最大值即可，所以所求m的取值范围是{m|m<3}．
2．把本例中的条件“ x∈R”改为“ x≥1”，求实数m的取值范围．
解：令y＝x2＋4x－1，x≥1，则y＝(x＋2)2－5≥(1＋2)2－5＝4，因为 x≥1，不等式x2＋4x－1>m恒成立，所以只要m<4即可．所以所求m的取值范围是{m|m<4}．
[方法技巧]
求解含有量词的命题中参数范围的策略
(1)对于全称量词命题“ x∈M，a>y(或aymax(或a(2)对于存在量词命题“ x∈M，a>y(或aymin(或a[对点训练]
命题p：任意x∈R，一次函数y＝2x＋b的图象
不经过第四象限，若命题p为真命题，求实数b的取值范围．
解： 因为一次函数y＝2x＋b的图象不经过第四象限，
如图所示，故b≥0.
所以实数b的取值范围是{b|b≥0}．
一、在典题训练中内化学科素养
本节的重点是数学语言的阅读理解及对逻辑推理、数学运算等核心素养的考查．
1．下列存在量词命题中真命题的个数是 (　　)
① x∈R，x≤0；
②至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数；
③ x∈{x|x是无理数}，x2是无理数．
A．0　　　　　　　　 B．1
C．2 D．3
答案：D　
2．已知命题p： x∈R，x2－x＋1≥0；命题q：若a2A．p真q假 B．p真q真
C．p假q假 D．p假q真
解析：对于p，由于是存在量词命题，
当x＝1时，x2－x＋1＝1≥0成立，故p是真命题；
对于q，(－2)2<(－3)2，但－2<－3不成立，
故q是假命题．
答案：A　
[内化素养/逻辑推理]
要证明存在量词命题、全称量词命题的真假性，需证明命题的正确性，注意等价转换及特殊值法的应用．　　
二、在导向训练中品悟核心价值
?发展理性思维
1．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是 (　　)
A．每个二次函数的图象都开口向上
B．存在一条直线与已知直线不平行
C．对任意实数a，b，若a－b≤0，则a≤b
D．存在一个实数x，使等式x2－2x＋1＝0成立
解析：B、D是存在量词命题，故应排除；对于A，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a<0)的图象开口向下，也应排除，故选C.
答案：C
2．下列存在量词命题是假命题的是 (　　)
A．存在x∈Q，使4－x2＝0 B．存在x∈R，使x2＋x＋1＝0
C．有的素数是偶数 D．有的有理数没有倒数
答案：B　
?注重实践应用
3．已知命题p： x∈R，x2＋4x＋a＝0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是 (　　)
A．{a|a>4} B．{a|a<4}　 C．{a|a≥4}　 D．{a|a≤4}
解析：∵p是假命题，∴方程x2＋4x＋a＝0没有实数根，即Δ＝16－4a＜0，∴a＞4.
答案：A　
4．若对任意x>3，x>a恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析：对于任意x>3，x>a恒成立，即大于3的数恒大于a，所以a≤3.
答案：{a|a≤3}