2021--2022学年数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.1.1倾斜角与斜率学案

2.1　直线的倾斜角与斜率
2.1.1　倾斜角与斜率学案导学
解读目标：
1.理解直线的斜率和倾斜角的概念．(重点)
2.理解直线的方向向量和向量坐标表示．(重点)
3.掌握过两点的直线斜率的计算公式，会应用斜率公式求直线的斜率．(难点)
解读知识点：
知识点1　倾斜角的相关概念
(1)倾斜角的定义
当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．如图所示，直线l的倾斜角是∠_APx为锐角，直线l′的倾斜角是∠BPx为钝角．
(2)倾斜角的范围
当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°，因此直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.
温馨提示：由倾斜角的定义可以知道，任何一条直线都有倾斜角；不同的直线其倾斜角有可能相同，如平行的直线其倾斜角是相同的．
知识点2　直线的斜率
(1)直线的斜率
把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α.
(2)斜率与倾斜角的对应关系
图示
倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180°
斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0
(3)过两点的直线的斜率公式
过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝.
温馨提示：当倾斜角为锐角时，其斜率为正值，而且斜率随着倾斜角的增大而增大，当倾斜角为钝角时，其斜率为负值，斜率随着倾斜角的增大而增大，当倾斜角为90°时，直线的斜率不存在．
所有的直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率．当直线的倾斜角是90°时，直线的斜率不存在，但并不是该直线不存在，此时直线垂直于x轴(或平行于y轴或与y轴重合)．
知识点3　直线的斜率与方向向量的关系
(1)若直线l的斜率为k，则直线l的一个方向向量的坐标为(1，k)．
(2)若直线l的一个方向向量的坐标为(x，y)，则直线l的斜率k＝.
解读题型：
题型1　直线的倾斜角
【例1】　(1)若直线l向上的方向与y轴的正方向成30°角，则直线l的倾斜角为(　　)
A．30°　　　　　 B．60°
C．30°或150° D．60°或120°
(2)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为(　　)
A．α＋45° B．α－135°
C．135°－α D．α－45°
【名师指导】求直线倾斜角的方法及注意点
(1)方法：求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论．
(2)两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°.
②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°.
巩固训练：
1．设直线l与x轴交于点A，其倾斜角为α，直线l绕点A顺时针旋转60°后得直线l1，则直线l1的倾斜角可能为(　　)
A．α＋60°　 B．α＋120°
C．α－60° D．120°－α
2.已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向所成的角为120°，如图，则直线l2的倾斜角为________．
题型2　直线的斜率和方向向量
【例2】　(1)过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角是135°，则y等于(　　)
A．1 B．5
C．－1 D．－5
(2)已知直线l经过点P(3，m)和点Q(m，－2)，直线l的方向向量为(2,4)，则直线l的斜率为________，实数m的值为________．
名师指导：直线斜率的计算方法
(1)①判断两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在．
②若两点的横坐标不相等，则可以用斜率公式k＝(其中x1≠x2)进行计算．
(2)已知直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝.
巩固训练：
3．已知直线l过点M(m＋1，m－1)，N(2m,1)．
(1)当m为何值时，直线l的倾斜角为90°？
(2)当m为何值时，直线l的斜率是1
4．经过M(0,3)，N(－1,0)两点的直线的方向向量为(1，k)，求k的值．
题型3　直线的倾斜角和斜率的综合
【例3】　已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点．
(1)求直线l的斜率k的取值范围；
(2)求直线l的倾斜角α的取值范围．
名师指导：1．过定点和线段有交点的直线的斜率的取值范围问题
已知一条线段AB的端点及线段外一点P，求过点P的直线l与线段AB有交点的情况下直线l的斜率的取值范围，若直线PA，PB的斜率均存在，则步骤为：①连接PA，PB；②由k＝，求出kPA，kPB；③结合图形即可写出满足条件的直线l的斜率的取值范围．
2．直线的倾斜角和斜率的关系
直线的斜率也反映了直线相对于x轴的正方向的倾斜程度．当0°≤α＜90°时，斜率越大，直线的倾斜程度越大；当90°＜α＜180°时，斜率越大，直线的倾斜程度也越大．
巩固训练：
5．已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2)．
(1)求直线AB和AC的斜率；
(2)若点D在线段BC(包括端点)上移动时，求直线AD的斜率的变化范围．
当堂达标：
1．下列说法正确的是(　　)
A．若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°
B．若k是直线的斜率，则k∈R
C．任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
D．任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角
ABC　由直线的倾斜角和斜率的定义知，A、B、C正确，D错误．故选ABC．
2．下面选项中，两点确定的直线的斜率不存在的是(　　)
A．(4,2)与(－4,1)　 B．(0,3)与(3,0)
C．(3，－1)与(2，－1) D．(－2,2)与(－2,5)
D　D项，因为x1＝x2＝－2，所以直线垂直于x轴，倾斜角为90°，斜率不存在．
3．过点A(－，)与点B(－，)的直线的倾斜角为(　　)
A．45° B．135°
C．45°或135° D．60°
kAB＝＝＝1，故直线的倾斜角为45°.
4．已知点P(－1，－1)，另有两点A(1,0)，B(0,1)，若过点P的直线l与线段AB有交点，则直线l的斜率取值范围为________．
　因为A(1,0)，B(0,1)，又过点P的直线l与线段AB有交点，所以直线l的斜率的取值范围为.
5．经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是________．(其中m≥1)
0°<α≤90°　当m＝1时，倾斜角α＝90°；当m>1时，tan α＝>0，∴0°<α<90°.故0°<α≤90°.
解读目标：
1.理解直线的斜率和倾斜角的概念．(重点)
2.理解直线的方向向量和向量坐标表示．(重点)
3.掌握过两点的直线斜率的计算公式，会应用斜率公式求直线的斜率．(难点)
解读知识点：
知识点1　倾斜角的相关概念
(1)倾斜角的定义
当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．如图所示，直线l的倾斜角是∠_APx为锐角，直线l′的倾斜角是∠BPx为钝角．
(2)倾斜角的范围
当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°，因此直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.
温馨提示：由倾斜角的定义可以知道，任何一条直线都有倾斜角；不同的直线其倾斜角有可能相同，如平行的直线其倾斜角是相同的．
知识点2　直线的斜率
(1)直线的斜率
把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α.
(2)斜率与倾斜角的对应关系
图示
倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180°
斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0
(3)过两点的直线的斜率公式
过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝.
温馨提示：当倾斜角为锐角时，其斜率为正值，而且斜率随着倾斜角的增大而增大，当倾斜角为钝角时，其斜率为负值，斜率随着倾斜角的增大而增大，当倾斜角为90°时，直线的斜率不存在．
所有的直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率．当直线的倾斜角是90°时，直线的斜率不存在，但并不是该直线不存在，此时直线垂直于x轴(或平行于y轴或与y轴重合)．
知识点3　直线的斜率与方向向量的关系
(1)若直线l的斜率为k，则直线l的一个方向向量的坐标为(1，k)．
(2)若直线l的一个方向向量的坐标为(x，y)，则直线l的斜率k＝.
解读题型：
题型1　直线的倾斜角
【例1】　(1)若直线l向上的方向与y轴的正方向成30°角，则直线l的倾斜角为(　　)
A．30°　　　　　 B．60°
C．30°或150° D．60°或120°
(2)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为(　　)
A．α＋45° B．α－135°
C．135°－α D．α－45°
(1)如图，直线l有两种情况，故l的倾斜角为60°或120°.
(2)根据题意，画出图形，如图所示．
通过图象可知：
当0°≤α<135°，l1的倾斜角为α＋45°；
当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.
【名师指导】求直线倾斜角的方法及注意点
(1)方法：求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论．
(2)两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°.
②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°.
巩固训练：
1．设直线l与x轴交于点A，其倾斜角为α，直线l绕点A顺时针旋转60°后得直线l1，则直线l1的倾斜角可能为(　　)
A．α＋60°　 B．α＋120°
C．α－60° D．120°－α
直线l绕点A顺时针旋转60°后得直线l1，当α≥60°时，直线l1的倾斜角为α－60°，当0°≤α<60°时，直线l1的倾斜角为180°－(60°－α)＝120°＋α.
2.已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向所成的角为120°，如图，则直线l2的倾斜角为________．
设直线l2的倾斜角为α2，l1和l2向上的方向所成的角为120°，所以∠BAC＝120°，所以α2＝120°＋α1＝135°.]
题型2　直线的斜率和方向向量
【例2】　(1)过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角是135°，则y等于(　　)
A．1 B．5
C．－1 D．－5
(2)已知直线l经过点P(3，m)和点Q(m，－2)，直线l的方向向量为(2,4)，则直线l的斜率为________，实数m的值为________．
(1)∵过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角是135°，
∴＝tan 135°＝－1，解得y＝－5，故选D．
(2)由直线l的方向向量为(2,4)得，直线l的斜率为＝2，因此＝2，解得m＝.
名师指导：直线斜率的计算方法
(1)①判断两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在．
②若两点的横坐标不相等，则可以用斜率公式k＝(其中x1≠x2)进行计算．
(2)已知直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝.
巩固训练：
3．已知直线l过点M(m＋1，m－1)，N(2m,1)．
(1)当m为何值时，直线l的倾斜角为90°？
(2)当m为何值时，直线l的斜率是1
[解]　(1)l的倾斜角为90°，即l平行于y轴，所以m＋1＝2m，得m＝1.
(2)由题意知m＋1≠2m，即m≠1，直线l的斜率k＝＝1，解得m＝.
4．经过M(0,3)，N(－1,0)两点的直线的方向向量为(1，k)，求k的值．
[解]　直线MN的斜率kMN＝＝3，
∵直线MN的方向向量为(1，k)，
∴k＝3.
题型3　直线的倾斜角和斜率的综合
【例3】　已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点．
(1)求直线l的斜率k的取值范围；
(2)求直线l的倾斜角α的取值范围．
[解]　如图所示，由题意可知kPA＝＝－1，kPB＝＝1.
(1)要使直线l与线段AB有公共点，则k≤－1或k≥1，即直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
(2)由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，
所以α的取值范围是45°≤α≤135°.
名师指导：1．过定点和线段有交点的直线的斜率的取值范围问题
已知一条线段AB的端点及线段外一点P，求过点P的直线l与线段AB有交点的情况下直线l的斜率的取值范围，若直线PA，PB的斜率均存在，则步骤为：①连接PA，PB；②由k＝，求出kPA，kPB；③结合图形即可写出满足条件的直线l的斜率的取值范围．
2．直线的倾斜角和斜率的关系
直线的斜率也反映了直线相对于x轴的正方向的倾斜程度．当0°≤α＜90°时，斜率越大，直线的倾斜程度越大；当90°＜α＜180°时，斜率越大，直线的倾斜程度也越大．
巩固训练：
5．已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2)．
(1)求直线AB和AC的斜率；
(2)若点D在线段BC(包括端点)上移动时，求直线AD的斜率的变化范围．
[解]　(1)由斜率公式可得直线AB的斜率kAB＝＝.直线AC的斜率kAC＝＝.故直线AB的斜率为，直线AC的斜率为.
(2)如图所示，当D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，所以直线AD的斜率的变化范围是.
当堂达标：
1．下列说法正确的是(　　)
A．若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°
B．若k是直线的斜率，则k∈R
C．任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
D．任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角
ABC　由直线的倾斜角和斜率的定义知，A、B、C正确，D错误．故选ABC．
2．下面选项中，两点确定的直线的斜率不存在的是(　　)
A．(4,2)与(－4,1)　 B．(0,3)与(3,0)
C．(3，－1)与(2，－1) D．(－2,2)与(－2,5)
D　D项，因为x1＝x2＝－2，所以直线垂直于x轴，倾斜角为90°，斜率不存在．
3．过点A(－，)与点B(－，)的直线的倾斜角为(　　)
A．45° B．135°
C．45°或135° D．60°
kAB＝＝＝1，故直线的倾斜角为45°.
4．已知点P(－1，－1)，另有两点A(1,0)，B(0,1)，若过点P的直线l与线段AB有交点，则直线l的斜率取值范围为________．
　因为A(1,0)，B(0,1)，又过点P的直线l与线段AB有交点，所以直线l的斜率的取值范围为.
5．经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是________．(其中m≥1)
0°<α≤90°　当m＝1时，倾斜角α＝90°；当m>1时，tan α＝>0，∴0°<α<90°.故0°<α≤90°.
1/9