第二十二章相似三角形综合复习题 2021—2022学年沪科版数学九年级上册（Word版含答案）

相似三角形综合复习题
如图，在中，，于点D，E为AC的中点，ED的延长线交AB的延长线于点F．
求证：
如图，在中，AD是BC边上的中线，M是AD的中点，BM的延长线交AC于N．
求证：．
如图，，E是CD的中点，AD、BC相交于点F，AE、BC相交于点G．
当时，求证：
求证：．
已知：如图，在中，点D、E分别在边BC、AC上，点F在DE的延长线上，，．
求证：∽；
如果，求证：．
如图所示，在等腰中，，点D由点A出发沿AB方向向点B匀速运动，同时点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，它们的速度均为连接DE，设运动时间为，解答下列问题：
当t为何值时，的面积为；
在点D，E的运动中，是否存在时间t，使得与相似？若存在，请求出对应的时间t；若不存在，请说明理由．
如图，在平行四边形ABCD中，过点A作，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且．
求证：∽；
若，，，求AE的长．
如图，已知在中，AD是的中线，，点E在边AD上，．
求证：；
求证：．
如图1，设D为锐角内一点，．
求证：；
如图2，过点B作，，连接EC，若，
求证：∽；
求的值．
如图，在中，，D为AC延长线上一点，，，过D作，交BC的延长线于点H．
求证：∽．
求DH长度．
如图三角形ABC，，AD是BC边上的高．P，N分别是AB，AC边上的点，Q，M是BC上的点，连接PQMN，PN交AD于求
若四边形PQMN是矩形，且求PQ、PN的长；
若四边形PQMN是矩形，求当矩形PQMN面积最大时，求最大面积和PQ、PN的长．
如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，于点G，于点F，．
求证：；
若，，求的值．
如图，，DB平分，过点B作交AD于连接CM交DB于N．
求证：；
若，，求MN的长．
如图，在平面直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，，，将此三角形绕原点O逆时针旋转，得到，抛物线经过点A、B、C．
求抛物线的解析式；
若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t，设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求以C、E、F为顶点三角形与相似时点P的坐标．
如图，在中，，，，现有动点P从点A出发，沿线段AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动，如果点P的运动速度是，点Q的运动速度是，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，另一点也停止运动设运动时间为t秒．
当时，求P，Q两点之间的距离
若的面积为S，求S关于t的函数关系式
当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似
如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，于点G，于点F，．
求证：∽；
若，，求的值．
如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，点E为边BC上一点，连接AE交BD于点F．
求证：
若，，，，求的值．
大雁塔是现存最早规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，被国务院批准列入第一批全国重点文物保护单位，某校社会实践小组为了测量大雁塔的高度，在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，大雁塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得米，将标杆向后平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，大雁塔的塔尖点B正好在同一直线上点F，点G，点E，点C与大雁塔底处的点A在同一直线上，这时测得米，米，请你根据以上数据，计算大雁塔的高度AB．
如图1，中，，，，动点P从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒，连接PQ．
若与相似，求t的值；
如图连接AQ，CP，若，求t的值．
如图，在中，点D，E分别在边AC，AB上且，连结DE，BD．
求证：∽．
若点E为AB中点，AD：：5，的面积为50，求的面积．
如图，在中，，AD与BD分别是的内角，的平分线，过点A作交BD的延长线于点E，∽．
求的度数；
求的值．
如图，在正方形ABCD中，E为边AD上的点，点F在边CD上，且，
求证：∽；
若，延长EF交BC的延长线于点G，求BG的长
如图，和均为等腰直角三角形，E在内，，连接BF．
求证：∽．
若，，求CE的长．
已知：如图，在梯形ABCD中，，，E是对角线AC上一点，且．
求证：；
延长BE交AD于F，求证：．
如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，于点G，于点F，．
求证：∽；
若，，求的值．
如图，在中，点D，E分别在边AB，AC上，且BE平分，，BE，CD交于点G．
求证：∽；
求证：．
答案
1.【答案】证明：，，
，
又公共角，
∽，
，，
，E为AC的中点，
，，
，
，
∽，
，
故．
2.【答案】证明：过D作交BN于F．
，
，
是AD的中点，
，
，
，
，
是BC边上的中线，
，
，
．
3.【答案】证明是CD的中点，
，
，
，
，
∽，
，
．
由知，
，
，
，
∽，
，
，
．
4.【答案】证明：，
，
，
，
又，
∽，
，
，
又，
∽；
，
，
，
，
，，
，
∽，
，
，
．
5.【答案】解：分别过点D、A作、，垂足为F、G
如图
，
，，
，
．
，
，
解得
解得．
答：t为5秒时，的面积为．
存在．理由如下：
当时，∽，
即，
解得，
当时，∽，
即，
解得．
答：存在时间t为或秒时，使得与相似．
6.【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形，，，
，．
，，
．
∽．
解：四边形ABCD是平行四边形，．
由知∽，
，
．
在中，由勾股定理得：．
7.【答案】证明：，
，
，，
，
∽；
，
，
；
，，
∽，
，
，
∽，
，
，
，
．
8.【答案】证明：如图1，延长CD交AB于E，
，
，
，
．
；
如图2，，，
，
，，
，
∽；
如图2，连接DE，
，，
是等腰直角三角形，
，
∽，
，
，
，
∽，
，
．
9.【答案】证明：，
，
，
，
，
∽；
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
．
10.【答案】解：设，则，
四边形PQMN是矩形，
，
∽，
，
，
，即，
解得，
，．
设．
四边形PQMN是矩形，
，
∽，
，
，
，
，，
，
当时，S的最大值为30，
当时，矩形PQMN的面积最大，最大面积是30，
此时，．
11.【答案】证明：
．
，
．
解：由可知：∽，
由可知：，
且，
∽，
．
12.【答案】证明：平分，
，且，
∽
，
，
又，则
，且，，
，
，
∽
，
又，
13.【答案】解：在中，，，
是由绕点O逆时针旋转而得到的，
≌，
，．
，B，C的坐标分别为，，，代入，
，
解得，
抛物线的解析式为；
抛物线的解析式为，
对称轴l为，
点坐标为，如图
，
当时，∽，
此时点P在对称轴上，即点P为抛物线的顶点，；
当时，∽，过点P作轴于M点，∽，
，
点P的横坐标为t，
，
在第二象限，
，，
，
解得，与P在二象限，横坐标小于0矛盾，舍去，
当时，，
，
当与相似时，P点的坐标为或．
14.【答案】解：由题意得，，
则．
当时，
，，
，
即P，Q两点之间的距离是10cm．
由题意得．
分两种情况：
当∽时，
，
即，
解得
当∽时，
，
即，
解得．
因此，当或时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似．
15.【答案】证明：，，
，
，
，
，
∽；
解：由可知：∽，
，
因为，，
∽，
，
．
16.【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形，
，，
，且，
∽，
：：BE，
，
；
解：，，
，且，
∽，
，
，
，，
，
∽，
，
，
，
．
17.【答案】解：由题意可得：，
∽，
，
，
∽，
，
，
，
，
米，
，
，
米，
答：大雁塔的高度AB为62米．
18.【答案】解：由题意得，，，则，
，
，
当∽时，
，
，
；
当∽时，
，
，
，
或时，与相似；
如图所示，过P作于点M，AQ，CP交于点N，
则，
∽，
，即，
，，，
，，
且，
∽，
，
解得：．
19.【答案】证明：，
：：AB，
，
∽．
解：点E为AB中点，
，
：：5，
设，则，，
，
，
，
，
的面积为50，
的面积．
20.【答案】解：与BD分别是的内角，的平分线，
，，
，
，
，
∽，
；
过A作于点F，
，，
是等腰直角三角形，
设，则，，
中，，
，
，
，
，
在中，，
∽，
．
21.【答案】证明：四边形ABCD为正方形，
，，，
，
，
，
∽；
解：，，
，，
∽，
，即，
解得：，
，
∽，
，即，
，
．
22.【答案】证明：和均为等腰直角三角形，
，
，
，
∽；
解：∽，
，，
又
，
，
又，
，
，
，
，
，
．
23.【答案】证明：，
，
∽
，
，且，
，
∽
且，
24.【答案】解：，，
，
，
，
，
∽，
由可知：∽，
由可知：，
，
∽，
，
．
25.【答案】解：，且是公共角，
∽，
，
即，
又是公共角，
∽；
，，
∽，
，
即．
又，
∽，
，
平分，
，
，
，
．