人教版2021-2022学年八年级数学上册11.1.2 三角的高、中线与角平分线知识点整理与同步练习(word版含答案)
文档属性
| 名称 | 人教版2021-2022学年八年级数学上册11.1.2 三角的高、中线与角平分线知识点整理与同步练习(word版含答案) |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 936.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-10-19 13:08:35 | ||
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文档简介
第11章 三角形
三角形的高
1. 三角形的高定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点
和垂足之间的线段叫做三角形这边上的高，简称三角形的高。如图，线段AD是BC边上的高。
注意：高与垂线不同，高是线段，垂线是直线。
2. 表示：1.AD是△ABC的BC上的高线；2.AD⊥BC于D；3.∠ADB=∠ADC=90°。
3. 三角形高的交点位置：锐角三角形的三条高的交点在三角形的内部，直角三角形三条高的交点在角直角顶点，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部。如下图所示。
图1 图2 图3
4.三角形的三条高的特性
锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
高在三角形内部的数量 3 1 1
高之间是否相交 相交 相交 不相交
高所在的直线是否相交 相交 相交 相交
三条高所在直线的交点的位置 三角形的内部 直角顶点 三角形的外部
三角形的中线
1. 三角形的中线定义：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形这边上的中线。
2.表示：1.AD是△ABC的BC上的中线；2.BD=DC=BC.
3.三角形的重心：三角形的三条中线相交于一点。三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。重心一定在三角形内。
三角形的角平分线
1.三角形的角平分线定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线。
2. 表示：1.AD是△ABC的∠BAC的平分线；2.∠1=∠2=∠BAC.
3. 三角形的角平分线的位置：三角形的三条角平分线都在三角形的内部，并且三条角平分线交于三角形内一点。
一．选择题（共10小题）
1．下列四个图中，正确画出中边上的高是
A． B．
C． D．
2．如图，中，边上的高是
A．线段 B．线段 C．线段 D．线段
3．甲、乙两位同学分别用尺规作图法作的平分线，则他们两人的作图方法
A．甲、乙两人均正确 B．甲正确，乙错误
C．甲错误，乙正确 D．甲、乙两人均错误
4．三角形的角平分线、中线、高都是
A．直线 B．线段 C．射线 D．以上都不对
5．如图，是的中线，的周长比的周长大，，则的长为
A． B． C． D．
6．如图，在中，是高，是角平分线，是中线，则下列说法中错误的是
A． B． C． D．
7．如图，若是的中线，，则
A．6 B．5 C．8 D．4
8．如图，已知点是中边上的一点，线段将分为面积相等的两部分，则线段是的一条
A．角平分线 B．中线
C．高线 D．边的垂直平分线
9．若是的中线，则以下结论正确的是
A． B．
C． D．以上答案都正确
10．如图，中，，为的中点，延长交于点，为上一点，且于点，下列判断中，正确的个数是
①是的边上的中线；
②既是的角平分线，也是的角平分线；
③既是的边上的高，也是的边上的高．
A．0 B．1 C．2 D．3
二．填空题（共4小题）
11．在中，，、分别为边上的高和中线，若，则的度数为 ．
12．是的中线，，，和的周长的差是 ．
13．如图，如果，则为△ 的角平分线，为△ 的角平分线．
14．如图，在中，，平分，若，，则 ．
三．解答题（共3小题）
15．如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多2，且与的和为10．
（1）求、的长．
（2）求边的取值范围．
16．如图，在中，点在上，且，是的中点，交于点．图中哪条线段是哪个三角形的角平分线？哪条线段是哪个三角形的中线？
17．已知：如图，中，、分别是的高和角平分线，是的平分线，与交于，若，，求、的度数．
参考答案
选择题（共 10 小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C A B C C B B C C
1．解：根据三角形高线的定义，边上的高是过点向作垂线垂足为，
纵观各图形，选项都不符合题意，选项符合题意．
故选：．
2．解：因为点到边的垂线段是，所以边上的高是，
故选：．
3．解：由图知，甲、乙两位同学分别用尺规作图法作的平分线，则他们两人的作图方法甲正确，乙正确，
故选：．
4．解：三角形的角平分线、中线、高都是线段．
故选：．
5．解：为的边上的中线，
，
的周长比的周长大，
，
，
，
，
故选：．
6．解：是的中线，
，说法正确，不符合题意；
是高，
，
，说法正确，不符合题意；
是角平分线，
，说法错误，符合题意；
，
，说法正确，不符合题意；
故选：．
7．解：是的中线，，
，
故选：．
8．解：由题意知，当线段将分为面积相等的两部分，则线段是的一条中线．
故选：．
9．解：是的中线，
，
故选：．
10．解：为的中点，
是的边上的中线，①说法正确；
，
既是的角平分线，是的角平分线，②说法错误；
，
既是的边上的高，也是的边上的高，③说法正确；
故选：．
二．填空题（共4小题）
11．解：如图：
，、分别为边上的高和中线，，
，，
，
，
如图：
，、分别为边上的高和中线，，
，，
，
故答案为：或．
12．解：是的中线，
，
和的周长的差，
，，
和的周长的差．
故答案为：2．
13．解：，
为的角平分线，
，
为的角平分线．
故答案为：；．
14．解：平分，
，
，
中，
．
故答案为．
三．解答题（共3小题）
15．解：（1）是边上的中线，
，
的周长的周长，
即①，
又②，
①②得．，
解得，
②①得，，
解得，
和的长分别为：，；
（2），，
．
16．解：是的角平分线，是的角平分线；
是的中线，是的中线．
17．解：①在中，，，
．
是的角平分线，
．
是的高，
在中，
．
②是的平分线，，
，
又，
，
，
．
三角形的高
1. 三角形的高定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点
和垂足之间的线段叫做三角形这边上的高，简称三角形的高。如图，线段AD是BC边上的高。
注意：高与垂线不同，高是线段，垂线是直线。
2. 表示：1.AD是△ABC的BC上的高线；2.AD⊥BC于D；3.∠ADB=∠ADC=90°。
3. 三角形高的交点位置：锐角三角形的三条高的交点在三角形的内部，直角三角形三条高的交点在角直角顶点，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部。如下图所示。
图1 图2 图3
4.三角形的三条高的特性
锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
高在三角形内部的数量 3 1 1
高之间是否相交 相交 相交 不相交
高所在的直线是否相交 相交 相交 相交
三条高所在直线的交点的位置 三角形的内部 直角顶点 三角形的外部
三角形的中线
1. 三角形的中线定义：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形这边上的中线。
2.表示：1.AD是△ABC的BC上的中线；2.BD=DC=BC.
3.三角形的重心：三角形的三条中线相交于一点。三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。重心一定在三角形内。
三角形的角平分线
1.三角形的角平分线定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线。
2. 表示：1.AD是△ABC的∠BAC的平分线；2.∠1=∠2=∠BAC.
3. 三角形的角平分线的位置：三角形的三条角平分线都在三角形的内部，并且三条角平分线交于三角形内一点。
一．选择题（共10小题）
1．下列四个图中，正确画出中边上的高是
A． B．
C． D．
2．如图，中，边上的高是
A．线段 B．线段 C．线段 D．线段
3．甲、乙两位同学分别用尺规作图法作的平分线，则他们两人的作图方法
A．甲、乙两人均正确 B．甲正确，乙错误
C．甲错误，乙正确 D．甲、乙两人均错误
4．三角形的角平分线、中线、高都是
A．直线 B．线段 C．射线 D．以上都不对
5．如图，是的中线，的周长比的周长大，，则的长为
A． B． C． D．
6．如图，在中，是高，是角平分线，是中线，则下列说法中错误的是
A． B． C． D．
7．如图，若是的中线，，则
A．6 B．5 C．8 D．4
8．如图，已知点是中边上的一点，线段将分为面积相等的两部分，则线段是的一条
A．角平分线 B．中线
C．高线 D．边的垂直平分线
9．若是的中线，则以下结论正确的是
A． B．
C． D．以上答案都正确
10．如图，中，，为的中点，延长交于点，为上一点，且于点，下列判断中，正确的个数是
①是的边上的中线；
②既是的角平分线，也是的角平分线；
③既是的边上的高，也是的边上的高．
A．0 B．1 C．2 D．3
二．填空题（共4小题）
11．在中，，、分别为边上的高和中线，若，则的度数为 ．
12．是的中线，，，和的周长的差是 ．
13．如图，如果，则为△ 的角平分线，为△ 的角平分线．
14．如图，在中，，平分，若，，则 ．
三．解答题（共3小题）
15．如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多2，且与的和为10．
（1）求、的长．
（2）求边的取值范围．
16．如图，在中，点在上，且，是的中点，交于点．图中哪条线段是哪个三角形的角平分线？哪条线段是哪个三角形的中线？
17．已知：如图，中，、分别是的高和角平分线，是的平分线，与交于，若，，求、的度数．
参考答案
选择题（共 10 小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C A B C C B B C C
1．解：根据三角形高线的定义，边上的高是过点向作垂线垂足为，
纵观各图形，选项都不符合题意，选项符合题意．
故选：．
2．解：因为点到边的垂线段是，所以边上的高是，
故选：．
3．解：由图知，甲、乙两位同学分别用尺规作图法作的平分线，则他们两人的作图方法甲正确，乙正确，
故选：．
4．解：三角形的角平分线、中线、高都是线段．
故选：．
5．解：为的边上的中线，
，
的周长比的周长大，
，
，
，
，
故选：．
6．解：是的中线，
，说法正确，不符合题意；
是高，
，
，说法正确，不符合题意；
是角平分线，
，说法错误，符合题意；
，
，说法正确，不符合题意；
故选：．
7．解：是的中线，，
，
故选：．
8．解：由题意知，当线段将分为面积相等的两部分，则线段是的一条中线．
故选：．
9．解：是的中线，
，
故选：．
10．解：为的中点，
是的边上的中线，①说法正确；
，
既是的角平分线，是的角平分线，②说法错误；
，
既是的边上的高，也是的边上的高，③说法正确；
故选：．
二．填空题（共4小题）
11．解：如图：
，、分别为边上的高和中线，，
，，
，
，
如图：
，、分别为边上的高和中线，，
，，
，
故答案为：或．
12．解：是的中线，
，
和的周长的差，
，，
和的周长的差．
故答案为：2．
13．解：，
为的角平分线，
，
为的角平分线．
故答案为：；．
14．解：平分，
，
，
中，
．
故答案为．
三．解答题（共3小题）
15．解：（1）是边上的中线，
，
的周长的周长，
即①，
又②，
①②得．，
解得，
②①得，，
解得，
和的长分别为：，；
（2），，
．
16．解：是的角平分线，是的角平分线；
是的中线，是的中线．
17．解：①在中，，，
．
是的角平分线，
．
是的高，
在中，
．
②是的平分线，，
，
又，
，
，
．