2.2二次函数图像和性质同步习题 2021-2022学年九年级数学北师大版下册（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 2.2二次函数图像和性质同步习题 2021-2022学年九年级数学北师大版下册（Word版含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 351.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-10-19 14:33:10 | ||
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文档简介
二次函数图像和性质
一．选择题（共10小题）
1．在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx+c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
2．将抛物线y＝x2﹣3向左平移2个单位后得到的抛物线表达式是（ ）
A．y＝x2﹣1 B．y＝x2﹣5 C．y＝（x+2）2﹣3 D．y＝（x﹣2）2﹣3
3．将抛物线y＝﹣2x2+1绕原点O旋转180°，则旋转后抛物线的解析式为（ ）
A．y＝2x2 B．y＝2x2+1 C．y＝﹣2x2﹣1 D．y＝2x2﹣1
4．将抛物线y＝x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，抛物线的解析式为（ ）
A．y＝x2+4x+7 B．y＝x2﹣4x+7 C．y＝x2+4x+1 D．y＝x2﹣4x+1
5．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论：①abc＜0；②3a+c＞0；③（a+c）2﹣b2＜0；④a+b≤m（am+b）（m为实数）．其中结论正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．已知抛物线y＝ax2+bx﹣3（a＜0）过A（﹣2，y1），B（﹣3，y2），C（1，y2），D（2，y3）四点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y2＞y1
7．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，下列结论不正确的是（ ）
A．b2＞4ac
B．abc＞0
C．a﹣c＜0
D．am2+bm≥a﹣b（m为为任意实数）
8．已知一次函数y＝x+c的图象如图，则二次函数y＝ax2+bx+c在平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图所示是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，图象过A点（3，0），二次函数图象对称轴为x＝1，给出四个结论：①b2＞4ac；②bc＜0；③2a+b＝0；④a+b+c＝0，其中正确结论有（ ）个．
A．0 B．1 C．2 D．3
10．二次函数y＝ax2+4x+2的图象和一次函数y＝ax﹣a（a≠0）的图象在同一平面直角坐标系中可能是（ ）
A． B．
C． D．
二．填空题（共4小题）
11．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过A（﹣1，0），B（2，0），C（0，﹣2）三点，则此二次函数的解析式是 ．
12．顶点为（3，1），形状与函数y＝x2的图象相同且开口方向相反的抛物线解析式为 ．
13．已知一个二次函数的图象形状与抛物线y＝4x2相同，且顶点坐标为（2，3），则这个二次函数的解析式为 ．
14．把二次函数y＝﹣x2﹣4x﹣3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式是 ．
三．解答题（共6小题）
15．如图，抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（﹣1，0），B（4，0），交y轴于点C．
（1）求抛物线的解析式（用一般式表示）；
（2）点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D使S△ABC＝S△ABD？若存在请求出点D的坐标；若不存在请说明理由．
16．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与x轴，轴分别交于点A，点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A，B与点C（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为D，交线段AB于点E．设点P的横坐标为m．求△PAB的面积y关于m的函数关系式，当m为何值时，y有最大值，最大值是多少？
17．如图，直线y＝﹣x+2过x轴上的点A（2，0），且与抛物线y＝ax2交于B，C两点，点B坐标为（1，1）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）连结OC，求出△AOC的面积．
（3）当﹣x+2＞ax2时，请观察图象直接写出x的取值范围．
18．如图，抛物线W：y＝x2+bx+c经过点（﹣3，0）和点（1，8）．
（1）求此抛物线W的表达式；
（2）若过点A（0，﹣6）的直线l与抛物线W有且只有一个交点P，求点P的坐标．
已知抛物线y＝mx2﹣2mx﹣3有最低点P，若点P关于坐标系原点O的对称点仍然在抛物线上，求抛物线的解析式．
20．如图，已知直线l过点A（4，0），B（0，4）两点，它与二次函数y＝ax2的图象在第一象限内交于点P，若S△AOP＝4，试求二次函数的表达式．
二次函数图像和性质
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx+c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx+c的图象，即可得出a＞0、b＞0、c＜0，由此即可得出：二次函数y＝ax﹣+bx+c的图象开口向上，对称轴x＝﹣＜0，与y轴的交点在y轴负半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论．
【解答】解：观察函数图象可知：a＞0，b＞0，c＜0，
∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，对称轴x＝﹣＜0，与y轴的交点在y轴负半轴．
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象，根据二次函数图象和一次函数图象经过的象限，找出a＞0、b＞0、c＜0是解题的关键．
2．将抛物线y＝x2﹣3向左平移2个单位后得到的抛物线表达式是（ ）
A．y＝x2﹣1 B．y＝x2﹣5 C．y＝（x+2）2﹣3 D．y＝（x﹣2）2﹣3
【分析】按照“左加右减”的规律，即可得出平移后抛物线的解析式．
【解答】解：将抛物线y＝x2﹣3向左平移2个单位后得到的抛物线表达式是y＝（x+2）2﹣3．
故选：C．
【点评】此题考查了二次函数图象与几何变换，掌握抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题的关键．
3．将抛物线y＝﹣2x2+1绕原点O旋转180°，则旋转后抛物线的解析式为（ ）
A．y＝2x2 B．y＝2x2+1 C．y＝﹣2x2﹣1 D．y＝2x2﹣1
【分析】求出原抛物线的顶点坐标，再根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数求出旋转后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．
【解答】解：y＝﹣2x2+1的顶点坐标为（0，1），
∵抛物线y＝﹣2x2+1绕原点O旋转180°，
∴旋转后的抛物线的顶点坐标为（0，﹣1），
∴旋转后的抛物线的解析式为y＝2x2﹣1．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数解析式的变化更简便．
4．将抛物线y＝x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，抛物线的解析式为（ ）
A．y＝x2+4x+7 B．y＝x2﹣4x+7 C．y＝x2+4x+1 D．y＝x2﹣4x+1
【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：抛物线y＝x2向右平移2个单位后的解析式为：y＝（x﹣2）2．
再向上平移3个单位后所得抛物线的解析式为：y＝（x﹣2）2+3，即y＝x2﹣4x+7．
故选：B．
【点评】主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
5．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论：①abc＜0；②3a+c＞0；③（a+c）2﹣b2＜0；④a+b≤m（am+b）（m为实数）．其中结论正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由抛物线开口方向，对称轴以及抛物线与y轴的交点，即可判断①；由对称轴改善得到b＝﹣2a代入a﹣b+c＜0中得3a+c＜0，即可判断②；由x＝﹣1时对应的函数值y＜0，可得出a﹣b+c＜0，得到a+c＜b，x＝1时，y＞0，可得出a+b+c＞0，得到|a+c|＜|b|，即可得到（a+c）2﹣b2＜0，即可判断③；由对称轴为直线x＝1，即x＝1时，y有最大值，即可判断④．
【解答】解：①∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴在y轴右侧，
∴b＞0
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①正确；
②当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
∵﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
把b＝﹣2a代入a﹣b+c＜0中得3a+c＜0，所以②错误；
③当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
∴a+c＜b，
当x＝1时，y＞0，
∴a+b+c＞0，
∴a+c＞﹣b，
∴|a+c|＜|b|
∴（a+c）2＜b2，即（a+c）2﹣b2＜0，所以③正确；
④∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴x＝1时，函数的最大值为a+b+c，
∴a+b+c≥am2+mb+c，
即a+b≥m（am+b），所以④错误．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
6．已知抛物线y＝ax2+bx﹣3（a＜0）过A（﹣2，y1），B（﹣3，y2），C（1，y2），D（2，y3）四点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y2＞y1
【分析】由题意可知抛物线开口向下，对称轴为x＝﹣1，然后根据点A（﹣2、y1）、B（﹣3，y2）、C（1，y2）、D（2，y3）离对称轴的远近可判断y1、y2、y3大小关系．
【解答】解：抛物线y＝ax2+bx﹣3（a＜0）过A（﹣2，y1），B（﹣3，y2），C（1，y2），D（2，y3）四点，
∴抛物线开口向下，对称轴为x＝＝﹣1．
∵|﹣1﹣（﹣2）|＜|1+1|＜|2+1|
∴y1＞y2＞y3，
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题时，需熟悉抛物线的有关性质：抛物线的开口向下，则抛物线上的点离对称轴越近，对应的函数值就越大．
7．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，下列结论不正确的是（ ）
A．b2＞4ac
B．abc＞0
C．a﹣c＜0
D．am2+bm≥a﹣b（m为为任意实数）
【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．
【解答】解：由图象可得：a＞0，c＞0，Δ＝b2﹣4ac＞0，﹣＝﹣1，
∴b＝2a＞0，b2＞4ac，故A选项正确，
∴abc＞0，故B选项正确，
当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
∴﹣a+c＜0，即a﹣c＞0，故C选项错误，
当x＝m时，y＝am2+bm+c，
当x＝﹣1时，y有最小值为a﹣b+c，
∴am2+bm+c≥a﹣b+c，
∴am2+bm≥a﹣b，故D选项正确，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与系数的关系，本题属于基础题型．
8．已知一次函数y＝x+c的图象如图，则二次函数y＝ax2+bx+c在平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据一次函数图象经过的象限，即可得出＞0、c＞0，由此即可得出：二次函数y＝ax2+bx+c的图象对称轴x＝﹣＜0，与y轴的交点在y轴正正半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论．
【解答】解：观察函数图象可知：＞0、c＞0，
∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象对称轴x＝﹣＜0，与y轴的交点在y轴正正半轴．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象，根据一次函数图象经过的象限，找出＞0、c＞0是解题的关键．
9．如图所示是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，图象过A点（3，0），二次函数图象对称轴为x＝1，给出四个结论：①b2＞4ac；②bc＜0；③2a+b＝0；④a+b+c＝0，其中正确结论有（ ）个．
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】首先会观察图形，知a＜0，c＞0，由﹣＝1，b2﹣4ac＞0，可判断出①②③小题的正确与否，④小题知当x＝1时y的值，利用图象就可求出答案．
【解答】解：由图象知和x轴有两个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，故①正确；
由图象知，图象与y轴交点在x轴的上方，且二次函数图象对称轴为x＝1，
∴c＞0，
∵﹣＝1，a＜0，
∴b＞0，
即bc＞0，2a+b＝0，
∴②不正确，③正确；
由图象知，当x＝1时y＝ax2+bx+c＝a×12+b×1+c＝a+b+c＞0，
∴④不正确，
综合上述：正确的个数是2，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解此题的关键是数形有机结合，能根据图象看出abc 的符号，与x轴，y轴交点能确定cb2﹣4ac的正负，（两个交点b2﹣4ac＞0，一个交点b2﹣4ac＝0，无交点时b2﹣4ac＜0），进而求出答案．
10．二次函数y＝ax2+4x+2的图象和一次函数y＝ax﹣a（a≠0）的图象在同一平面直角坐标系中可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可．
【解答】解：A、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝ax2+4x+2的图象应该开口向下，故选项错误；
B、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y＝ax2+4x+2的图象应该开口向上，故选项错误；
C、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y＝ax2+4x+2的图象应该开口向上，对称轴x＝﹣＜0，故选项错误；
D、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y＝ax2+4x+2的图象应该开口向上，，对称轴x＝﹣＜0，和y轴的正半轴相交，故选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数以及一次函数的图象，解题的关键是熟记一次函数y＝ax﹣a在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
二．填空题（共4小题）
11．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过A（﹣1，0），B（2，0），C（0，﹣2）三点，则此二次函数的解析式是 y＝x2﹣x﹣2 ．
【分析】将A（﹣1，0），B（2，0），C（0，﹣2）代入二次函数解析式求解．
【解答】解：将A（﹣1，0），B（2，0），C（0，﹣2）代入y＝ax2+bx+c得：
，
解得，
∴y＝x2﹣x﹣2．
故答案为：y＝x2﹣x﹣2．
【点评】本题考查求二次函数解析式，解题关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式．
12．顶点为（3，1），形状与函数y＝x2的图象相同且开口方向相反的抛物线解析式为 y＝x2+2x﹣2 ．
【分析】由形状与函数y＝x2的图象相同且开口方向相反可知a＝，把顶点（3，1）代入顶点式即可求得抛物线解析式．
【解答】解：设抛物线解析式为y＝a（x﹣h）2+k，
∵形状与函数y＝x2的图象相同且开口方向相反，
∴a＝，
把a＝，顶点（3，1）代入得：
y＝（x﹣3）2+1＝x2+2x﹣2，
故答案为：y＝x2+2x﹣2．
【点评】本题考查了二次函数解析式的求法，掌握顶点式的特点是解决本题的关键．
13．已知一个二次函数的图象形状与抛物线y＝4x2相同，且顶点坐标为（2，3），则这个二次函数的解析式为 y＝4（x﹣2）2+3或y＝﹣4（x﹣2）2+3 ．
【分析】利用抛物线顶点式求解即可．
【解答】解：图象顶点坐标为（2，3），
可以设函数解析式是y＝a（x﹣2）2+3，
又∵形状与抛物线y＝4x2相同，即二次项系数绝对值相同，
∴|a|＝4，
∴这个函数解析式是：y＝4（x﹣2）2+3或y＝﹣4（x﹣2）2+3，
故答案为：y＝4（x﹣2）2+3或y＝﹣4（x﹣2）2+3．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，如果已知三点坐标可以利用一般式求解；若已知对称轴或顶点坐标利用顶点式求解比较简单．
14．把二次函数y＝﹣x2﹣4x﹣3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式是 y＝﹣（x+2）2+1 ．
【分析】利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式即可确定答案．
【解答】解：y＝﹣x2﹣4x﹣3＝﹣（x2+4x+4﹣4）﹣3＝﹣（x+2）2+1，
故答案是：y＝﹣（x+2）2+1．
【点评】本题考查了二次函数的解析式的三种形式：
（1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；
（2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k；
（3）交点式（与x轴）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．
三．解答题（共6小题）
15．如图，抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（﹣1，0），B（4，0），交y轴于点C．
（1）求抛物线的解析式（用一般式表示）；
（2）点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D使S△ABC＝S△ABD？若存在请求出点D的坐标；若不存在请说明理由．
【分析】（1）用待定系数法求出a，b即可；
（2）设D（x，y），则三角形ABD的面积，再根据列出方程；求出y后，然后代入抛物线的解析式即可求出D的横坐标．
【解答】（1）∵抛物线 y＝ax2+bx+2 经过点 A（﹣1，0），B（4，0），
∴，
解得：，，
∴抛物线为：；
（2）由题意可知 C（0，2），A（﹣1，0），B（4，0），
∴AB＝5，OC＝2，
∴，
∵，
∴，
设D（x，y），
∴，
当y＝3时，由，
解得：x＝1 或 x＝2，
此时点D的坐标为（1，3）或（2，3），
当y＝﹣3时，由，
解得x＝﹣2 （含去） x1，x＝5，
此时D点的坐标为（5，﹣3），
综上可知存在满足条件的点D，其坐标为（1，3）或 （2，3）或 （5，﹣3）．
【点评】本题考查了二次函数的图象上点的特征，关键是利用面积关系求出D的纵坐标．
16．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与x轴，轴分别交于点A，点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A，B与点C（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为D，交线段AB于点E．设点P的横坐标为m．求△PAB的面积y关于m的函数关系式，当m为何值时，y有最大值，最大值是多少？
【分析】（1）解方程得到A（3，0），B（0，3），解方程组即可得到结论；
（2）根据已知条件得到P（m，﹣m2+2m+3），求得E（m，﹣m+3），于是得到PE＝﹣m2+2m+3+m﹣3＝﹣m2+3m，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+3与x轴，y轴分别交于点A，点B，
∴A（3，0），B（0，3），
把A（3，0），B（0，3），C（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+c得，，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵点P的横坐标为m，
∴P（m，﹣m2+2m+3），
∵PD⊥x轴，
∴E（m，﹣m+3），
∴PE＝﹣m2+2m+3+m﹣3＝﹣m2+3m，
∴y＝（﹣m2+3m） m+（﹣m2+3m）（3﹣m），
∴y关于m的函数关系式为：y＝﹣m2+m，
∵y＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+，
∴当m＝时，y有最大值，最大值是．
【点评】本题主要考查的是待定系数法求二次函数的解析式、一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，表示出点的坐标是解题的关键．
17．如图，直线y＝﹣x+2过x轴上的点A（2，0），且与抛物线y＝ax2交于B，C两点，点B坐标为（1，1）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）连结OC，求出△AOC的面积．
（3）当﹣x+2＞ax2时，请观察图象直接写出x的取值范围．
【分析】（1）根据点B的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）将直线AB的解析式与抛物线的解析式联立组成方程组，解之得出点C的坐标，再根据三角形的面积公式即可得出S△AOC的值；
（3）观察图象求得即可．
【解答】解：（1）∵点B（1，1）在抛物线y＝ax2上，
∴1＝a，
∴抛物线的解析式为y＝x2；
（2）由题可知，直线AB的解析式为y＝﹣x+2．
联立两函数解析式成方程组，，
解得：或，
∴点C的坐标为（﹣2，4）．
∴S△AOC＝×2×4＝4；
（3）由图象可知，当﹣x+2＞ax2时，x的取值范围﹣2＜x＜1．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，数形结合是解题的关键．
18．如图，抛物线W：y＝x2+bx+c经过点（﹣3，0）和点（1，8）．
（1）求此抛物线W的表达式；
（2）若过点A（0，﹣6）的直线l与抛物线W有且只有一个交点P，求点P的坐标．
【分析】（1）将点（﹣3，0），（1，8）代入抛物线表达式得，抛物线W的表达式为y＝x2+4x+3，
（2）直线l与抛物线W有且只有一个交点P，分情况讨论当l是y轴时，即x＝0时，y＝3，可得P的坐标，Ⅱ、当l不是y轴时，设l：y＝kx﹣6（k≠0），
联立直线l和二次函数得kx﹣6＝x2+4x+3，Δ＝0，解得k1＝﹣2，k2＝10，把k1＝﹣2，k2＝10，代入kx﹣6＝x2+4x+3，可得x的值，即推出P的坐标．
【解答】解：（1）将点（﹣3，0），（1，8）代入抛物线表达式，
得，
解得，
∴抛物线W的表达式为y＝x2+4x+3；
（2）∵直线l与抛物线W有且只有一个交点P，
∴Ⅰ、当l是y轴时，即x＝0时，y＝3，
∴P1（0，3）；
Ⅱ、当l不是y轴时，设l：y＝kx﹣6（k≠0），
联立，
∴kx﹣6＝x2+4x+3，
即x2+（4﹣k）x+9＝0，
∵直线l与抛物线有且只有一个交点，
∴b2﹣4ac＝（4﹣k）2﹣36＝0，
解得k1＝﹣2，k2＝10，
①当k1＝﹣2时，x2+6x+9＝（x+3）2＝0，
解得x1＝x2＝﹣3，
当x＝﹣3时，y＝0，
∴P2（﹣3，0）；
②当k2＝10时，x2﹣6x+9＝（x﹣3）2＝0，
解得x1＝x2＝3，
当x＝3时，y＝24，
∴P3（3，24），
综上所述，点P的坐标为（0，3），（﹣3，0），（3，24）．
【点评】本题考查二次函数的性质，解本题要熟练掌握二次函数的性质，代入法求解析式等基本知识点．
19．已知抛物线y＝mx2﹣2mx﹣3有最低点P，若点P关于坐标系原点O的对称点仍然在抛物线上，求抛物线的解析式．
【分析】先利用配方法得到顶点坐标为（1，﹣m﹣3），再求出顶点关于原点的对称点为（﹣1，m+3），然后把（﹣1，m+3）代入y＝mx2﹣2mx﹣3得m+2m﹣3＝m+3，最后解关于m的方程即可．
【解答】解：∵y＝mx2﹣2mx﹣3＝m（x﹣1）2﹣m﹣3，
∴顶点坐标为（1，﹣m﹣3），
∵点（1，﹣m﹣3）关于原点的对称点为（﹣1，m+3），
∴把（﹣1，m+3）代入y＝mx2﹣2mx﹣3得m+2m﹣3＝m+3，解得m＝3，
∴抛物线解析式为y＝3x2﹣6x﹣3．
【点评】本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式．求出顶点关于原点的对称点是解题的关键．
20．如图，已知直线l过点A（4，0），B（0，4）两点，它与二次函数y＝ax2的图象在第一象限内交于点P，若S△AOP＝4，试求二次函数的表达式．
【分析】先利用待定系数法求出直线l的关系式为y＝﹣x+4，则可设P（t，﹣t+4），利用三角形面积公式得到×4×（﹣t+4）＝4，解方程确定P（2，2），然后把P点坐标代入y＝ax2中求出a，从而得到二次函数的表达式．
【解答】解：设直线l的解析式为y＝kx+b，
把A（4，0），B（0，4）分别代入得，
解得，
∴直线l的关系式为y＝﹣x+4，
设P（t，﹣t+4），
∵S△AOP＝4，
∴×4×（﹣t+4）＝4，解得t＝2，
∴P（2，2），
把P（2，2）代入y＝ax2得4a＝2，解得a＝，
∴二次函数的表达式为y＝x2．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．
一．选择题（共10小题）
1．在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx+c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
2．将抛物线y＝x2﹣3向左平移2个单位后得到的抛物线表达式是（ ）
A．y＝x2﹣1 B．y＝x2﹣5 C．y＝（x+2）2﹣3 D．y＝（x﹣2）2﹣3
3．将抛物线y＝﹣2x2+1绕原点O旋转180°，则旋转后抛物线的解析式为（ ）
A．y＝2x2 B．y＝2x2+1 C．y＝﹣2x2﹣1 D．y＝2x2﹣1
4．将抛物线y＝x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，抛物线的解析式为（ ）
A．y＝x2+4x+7 B．y＝x2﹣4x+7 C．y＝x2+4x+1 D．y＝x2﹣4x+1
5．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论：①abc＜0；②3a+c＞0；③（a+c）2﹣b2＜0；④a+b≤m（am+b）（m为实数）．其中结论正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．已知抛物线y＝ax2+bx﹣3（a＜0）过A（﹣2，y1），B（﹣3，y2），C（1，y2），D（2，y3）四点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y2＞y1
7．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，下列结论不正确的是（ ）
A．b2＞4ac
B．abc＞0
C．a﹣c＜0
D．am2+bm≥a﹣b（m为为任意实数）
8．已知一次函数y＝x+c的图象如图，则二次函数y＝ax2+bx+c在平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图所示是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，图象过A点（3，0），二次函数图象对称轴为x＝1，给出四个结论：①b2＞4ac；②bc＜0；③2a+b＝0；④a+b+c＝0，其中正确结论有（ ）个．
A．0 B．1 C．2 D．3
10．二次函数y＝ax2+4x+2的图象和一次函数y＝ax﹣a（a≠0）的图象在同一平面直角坐标系中可能是（ ）
A． B．
C． D．
二．填空题（共4小题）
11．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过A（﹣1，0），B（2，0），C（0，﹣2）三点，则此二次函数的解析式是 ．
12．顶点为（3，1），形状与函数y＝x2的图象相同且开口方向相反的抛物线解析式为 ．
13．已知一个二次函数的图象形状与抛物线y＝4x2相同，且顶点坐标为（2，3），则这个二次函数的解析式为 ．
14．把二次函数y＝﹣x2﹣4x﹣3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式是 ．
三．解答题（共6小题）
15．如图，抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（﹣1，0），B（4，0），交y轴于点C．
（1）求抛物线的解析式（用一般式表示）；
（2）点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D使S△ABC＝S△ABD？若存在请求出点D的坐标；若不存在请说明理由．
16．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与x轴，轴分别交于点A，点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A，B与点C（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为D，交线段AB于点E．设点P的横坐标为m．求△PAB的面积y关于m的函数关系式，当m为何值时，y有最大值，最大值是多少？
17．如图，直线y＝﹣x+2过x轴上的点A（2，0），且与抛物线y＝ax2交于B，C两点，点B坐标为（1，1）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）连结OC，求出△AOC的面积．
（3）当﹣x+2＞ax2时，请观察图象直接写出x的取值范围．
18．如图，抛物线W：y＝x2+bx+c经过点（﹣3，0）和点（1，8）．
（1）求此抛物线W的表达式；
（2）若过点A（0，﹣6）的直线l与抛物线W有且只有一个交点P，求点P的坐标．
已知抛物线y＝mx2﹣2mx﹣3有最低点P，若点P关于坐标系原点O的对称点仍然在抛物线上，求抛物线的解析式．
20．如图，已知直线l过点A（4，0），B（0，4）两点，它与二次函数y＝ax2的图象在第一象限内交于点P，若S△AOP＝4，试求二次函数的表达式．
二次函数图像和性质
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx+c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx+c的图象，即可得出a＞0、b＞0、c＜0，由此即可得出：二次函数y＝ax﹣+bx+c的图象开口向上，对称轴x＝﹣＜0，与y轴的交点在y轴负半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论．
【解答】解：观察函数图象可知：a＞0，b＞0，c＜0，
∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，对称轴x＝﹣＜0，与y轴的交点在y轴负半轴．
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象，根据二次函数图象和一次函数图象经过的象限，找出a＞0、b＞0、c＜0是解题的关键．
2．将抛物线y＝x2﹣3向左平移2个单位后得到的抛物线表达式是（ ）
A．y＝x2﹣1 B．y＝x2﹣5 C．y＝（x+2）2﹣3 D．y＝（x﹣2）2﹣3
【分析】按照“左加右减”的规律，即可得出平移后抛物线的解析式．
【解答】解：将抛物线y＝x2﹣3向左平移2个单位后得到的抛物线表达式是y＝（x+2）2﹣3．
故选：C．
【点评】此题考查了二次函数图象与几何变换，掌握抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题的关键．
3．将抛物线y＝﹣2x2+1绕原点O旋转180°，则旋转后抛物线的解析式为（ ）
A．y＝2x2 B．y＝2x2+1 C．y＝﹣2x2﹣1 D．y＝2x2﹣1
【分析】求出原抛物线的顶点坐标，再根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数求出旋转后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．
【解答】解：y＝﹣2x2+1的顶点坐标为（0，1），
∵抛物线y＝﹣2x2+1绕原点O旋转180°，
∴旋转后的抛物线的顶点坐标为（0，﹣1），
∴旋转后的抛物线的解析式为y＝2x2﹣1．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数解析式的变化更简便．
4．将抛物线y＝x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，抛物线的解析式为（ ）
A．y＝x2+4x+7 B．y＝x2﹣4x+7 C．y＝x2+4x+1 D．y＝x2﹣4x+1
【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：抛物线y＝x2向右平移2个单位后的解析式为：y＝（x﹣2）2．
再向上平移3个单位后所得抛物线的解析式为：y＝（x﹣2）2+3，即y＝x2﹣4x+7．
故选：B．
【点评】主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
5．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论：①abc＜0；②3a+c＞0；③（a+c）2﹣b2＜0；④a+b≤m（am+b）（m为实数）．其中结论正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由抛物线开口方向，对称轴以及抛物线与y轴的交点，即可判断①；由对称轴改善得到b＝﹣2a代入a﹣b+c＜0中得3a+c＜0，即可判断②；由x＝﹣1时对应的函数值y＜0，可得出a﹣b+c＜0，得到a+c＜b，x＝1时，y＞0，可得出a+b+c＞0，得到|a+c|＜|b|，即可得到（a+c）2﹣b2＜0，即可判断③；由对称轴为直线x＝1，即x＝1时，y有最大值，即可判断④．
【解答】解：①∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴在y轴右侧，
∴b＞0
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①正确；
②当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
∵﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
把b＝﹣2a代入a﹣b+c＜0中得3a+c＜0，所以②错误；
③当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
∴a+c＜b，
当x＝1时，y＞0，
∴a+b+c＞0，
∴a+c＞﹣b，
∴|a+c|＜|b|
∴（a+c）2＜b2，即（a+c）2﹣b2＜0，所以③正确；
④∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴x＝1时，函数的最大值为a+b+c，
∴a+b+c≥am2+mb+c，
即a+b≥m（am+b），所以④错误．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
6．已知抛物线y＝ax2+bx﹣3（a＜0）过A（﹣2，y1），B（﹣3，y2），C（1，y2），D（2，y3）四点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y2＞y1
【分析】由题意可知抛物线开口向下，对称轴为x＝﹣1，然后根据点A（﹣2、y1）、B（﹣3，y2）、C（1，y2）、D（2，y3）离对称轴的远近可判断y1、y2、y3大小关系．
【解答】解：抛物线y＝ax2+bx﹣3（a＜0）过A（﹣2，y1），B（﹣3，y2），C（1，y2），D（2，y3）四点，
∴抛物线开口向下，对称轴为x＝＝﹣1．
∵|﹣1﹣（﹣2）|＜|1+1|＜|2+1|
∴y1＞y2＞y3，
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题时，需熟悉抛物线的有关性质：抛物线的开口向下，则抛物线上的点离对称轴越近，对应的函数值就越大．
7．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，下列结论不正确的是（ ）
A．b2＞4ac
B．abc＞0
C．a﹣c＜0
D．am2+bm≥a﹣b（m为为任意实数）
【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．
【解答】解：由图象可得：a＞0，c＞0，Δ＝b2﹣4ac＞0，﹣＝﹣1，
∴b＝2a＞0，b2＞4ac，故A选项正确，
∴abc＞0，故B选项正确，
当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
∴﹣a+c＜0，即a﹣c＞0，故C选项错误，
当x＝m时，y＝am2+bm+c，
当x＝﹣1时，y有最小值为a﹣b+c，
∴am2+bm+c≥a﹣b+c，
∴am2+bm≥a﹣b，故D选项正确，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与系数的关系，本题属于基础题型．
8．已知一次函数y＝x+c的图象如图，则二次函数y＝ax2+bx+c在平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据一次函数图象经过的象限，即可得出＞0、c＞0，由此即可得出：二次函数y＝ax2+bx+c的图象对称轴x＝﹣＜0，与y轴的交点在y轴正正半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论．
【解答】解：观察函数图象可知：＞0、c＞0，
∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象对称轴x＝﹣＜0，与y轴的交点在y轴正正半轴．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象，根据一次函数图象经过的象限，找出＞0、c＞0是解题的关键．
9．如图所示是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，图象过A点（3，0），二次函数图象对称轴为x＝1，给出四个结论：①b2＞4ac；②bc＜0；③2a+b＝0；④a+b+c＝0，其中正确结论有（ ）个．
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】首先会观察图形，知a＜0，c＞0，由﹣＝1，b2﹣4ac＞0，可判断出①②③小题的正确与否，④小题知当x＝1时y的值，利用图象就可求出答案．
【解答】解：由图象知和x轴有两个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，故①正确；
由图象知，图象与y轴交点在x轴的上方，且二次函数图象对称轴为x＝1，
∴c＞0，
∵﹣＝1，a＜0，
∴b＞0，
即bc＞0，2a+b＝0，
∴②不正确，③正确；
由图象知，当x＝1时y＝ax2+bx+c＝a×12+b×1+c＝a+b+c＞0，
∴④不正确，
综合上述：正确的个数是2，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解此题的关键是数形有机结合，能根据图象看出abc 的符号，与x轴，y轴交点能确定cb2﹣4ac的正负，（两个交点b2﹣4ac＞0，一个交点b2﹣4ac＝0，无交点时b2﹣4ac＜0），进而求出答案．
10．二次函数y＝ax2+4x+2的图象和一次函数y＝ax﹣a（a≠0）的图象在同一平面直角坐标系中可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可．
【解答】解：A、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝ax2+4x+2的图象应该开口向下，故选项错误；
B、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y＝ax2+4x+2的图象应该开口向上，故选项错误；
C、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y＝ax2+4x+2的图象应该开口向上，对称轴x＝﹣＜0，故选项错误；
D、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y＝ax2+4x+2的图象应该开口向上，，对称轴x＝﹣＜0，和y轴的正半轴相交，故选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数以及一次函数的图象，解题的关键是熟记一次函数y＝ax﹣a在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
二．填空题（共4小题）
11．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过A（﹣1，0），B（2，0），C（0，﹣2）三点，则此二次函数的解析式是 y＝x2﹣x﹣2 ．
【分析】将A（﹣1，0），B（2，0），C（0，﹣2）代入二次函数解析式求解．
【解答】解：将A（﹣1，0），B（2，0），C（0，﹣2）代入y＝ax2+bx+c得：
，
解得，
∴y＝x2﹣x﹣2．
故答案为：y＝x2﹣x﹣2．
【点评】本题考查求二次函数解析式，解题关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式．
12．顶点为（3，1），形状与函数y＝x2的图象相同且开口方向相反的抛物线解析式为 y＝x2+2x﹣2 ．
【分析】由形状与函数y＝x2的图象相同且开口方向相反可知a＝，把顶点（3，1）代入顶点式即可求得抛物线解析式．
【解答】解：设抛物线解析式为y＝a（x﹣h）2+k，
∵形状与函数y＝x2的图象相同且开口方向相反，
∴a＝，
把a＝，顶点（3，1）代入得：
y＝（x﹣3）2+1＝x2+2x﹣2，
故答案为：y＝x2+2x﹣2．
【点评】本题考查了二次函数解析式的求法，掌握顶点式的特点是解决本题的关键．
13．已知一个二次函数的图象形状与抛物线y＝4x2相同，且顶点坐标为（2，3），则这个二次函数的解析式为 y＝4（x﹣2）2+3或y＝﹣4（x﹣2）2+3 ．
【分析】利用抛物线顶点式求解即可．
【解答】解：图象顶点坐标为（2，3），
可以设函数解析式是y＝a（x﹣2）2+3，
又∵形状与抛物线y＝4x2相同，即二次项系数绝对值相同，
∴|a|＝4，
∴这个函数解析式是：y＝4（x﹣2）2+3或y＝﹣4（x﹣2）2+3，
故答案为：y＝4（x﹣2）2+3或y＝﹣4（x﹣2）2+3．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，如果已知三点坐标可以利用一般式求解；若已知对称轴或顶点坐标利用顶点式求解比较简单．
14．把二次函数y＝﹣x2﹣4x﹣3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式是 y＝﹣（x+2）2+1 ．
【分析】利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式即可确定答案．
【解答】解：y＝﹣x2﹣4x﹣3＝﹣（x2+4x+4﹣4）﹣3＝﹣（x+2）2+1，
故答案是：y＝﹣（x+2）2+1．
【点评】本题考查了二次函数的解析式的三种形式：
（1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；
（2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k；
（3）交点式（与x轴）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．
三．解答题（共6小题）
15．如图，抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（﹣1，0），B（4，0），交y轴于点C．
（1）求抛物线的解析式（用一般式表示）；
（2）点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D使S△ABC＝S△ABD？若存在请求出点D的坐标；若不存在请说明理由．
【分析】（1）用待定系数法求出a，b即可；
（2）设D（x，y），则三角形ABD的面积，再根据列出方程；求出y后，然后代入抛物线的解析式即可求出D的横坐标．
【解答】（1）∵抛物线 y＝ax2+bx+2 经过点 A（﹣1，0），B（4，0），
∴，
解得：，，
∴抛物线为：；
（2）由题意可知 C（0，2），A（﹣1，0），B（4，0），
∴AB＝5，OC＝2，
∴，
∵，
∴，
设D（x，y），
∴，
当y＝3时，由，
解得：x＝1 或 x＝2，
此时点D的坐标为（1，3）或（2，3），
当y＝﹣3时，由，
解得x＝﹣2 （含去） x1，x＝5，
此时D点的坐标为（5，﹣3），
综上可知存在满足条件的点D，其坐标为（1，3）或 （2，3）或 （5，﹣3）．
【点评】本题考查了二次函数的图象上点的特征，关键是利用面积关系求出D的纵坐标．
16．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与x轴，轴分别交于点A，点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A，B与点C（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为D，交线段AB于点E．设点P的横坐标为m．求△PAB的面积y关于m的函数关系式，当m为何值时，y有最大值，最大值是多少？
【分析】（1）解方程得到A（3，0），B（0，3），解方程组即可得到结论；
（2）根据已知条件得到P（m，﹣m2+2m+3），求得E（m，﹣m+3），于是得到PE＝﹣m2+2m+3+m﹣3＝﹣m2+3m，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+3与x轴，y轴分别交于点A，点B，
∴A（3，0），B（0，3），
把A（3，0），B（0，3），C（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+c得，，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵点P的横坐标为m，
∴P（m，﹣m2+2m+3），
∵PD⊥x轴，
∴E（m，﹣m+3），
∴PE＝﹣m2+2m+3+m﹣3＝﹣m2+3m，
∴y＝（﹣m2+3m） m+（﹣m2+3m）（3﹣m），
∴y关于m的函数关系式为：y＝﹣m2+m，
∵y＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+，
∴当m＝时，y有最大值，最大值是．
【点评】本题主要考查的是待定系数法求二次函数的解析式、一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，表示出点的坐标是解题的关键．
17．如图，直线y＝﹣x+2过x轴上的点A（2，0），且与抛物线y＝ax2交于B，C两点，点B坐标为（1，1）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）连结OC，求出△AOC的面积．
（3）当﹣x+2＞ax2时，请观察图象直接写出x的取值范围．
【分析】（1）根据点B的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）将直线AB的解析式与抛物线的解析式联立组成方程组，解之得出点C的坐标，再根据三角形的面积公式即可得出S△AOC的值；
（3）观察图象求得即可．
【解答】解：（1）∵点B（1，1）在抛物线y＝ax2上，
∴1＝a，
∴抛物线的解析式为y＝x2；
（2）由题可知，直线AB的解析式为y＝﹣x+2．
联立两函数解析式成方程组，，
解得：或，
∴点C的坐标为（﹣2，4）．
∴S△AOC＝×2×4＝4；
（3）由图象可知，当﹣x+2＞ax2时，x的取值范围﹣2＜x＜1．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，数形结合是解题的关键．
18．如图，抛物线W：y＝x2+bx+c经过点（﹣3，0）和点（1，8）．
（1）求此抛物线W的表达式；
（2）若过点A（0，﹣6）的直线l与抛物线W有且只有一个交点P，求点P的坐标．
【分析】（1）将点（﹣3，0），（1，8）代入抛物线表达式得，抛物线W的表达式为y＝x2+4x+3，
（2）直线l与抛物线W有且只有一个交点P，分情况讨论当l是y轴时，即x＝0时，y＝3，可得P的坐标，Ⅱ、当l不是y轴时，设l：y＝kx﹣6（k≠0），
联立直线l和二次函数得kx﹣6＝x2+4x+3，Δ＝0，解得k1＝﹣2，k2＝10，把k1＝﹣2，k2＝10，代入kx﹣6＝x2+4x+3，可得x的值，即推出P的坐标．
【解答】解：（1）将点（﹣3，0），（1，8）代入抛物线表达式，
得，
解得，
∴抛物线W的表达式为y＝x2+4x+3；
（2）∵直线l与抛物线W有且只有一个交点P，
∴Ⅰ、当l是y轴时，即x＝0时，y＝3，
∴P1（0，3）；
Ⅱ、当l不是y轴时，设l：y＝kx﹣6（k≠0），
联立，
∴kx﹣6＝x2+4x+3，
即x2+（4﹣k）x+9＝0，
∵直线l与抛物线有且只有一个交点，
∴b2﹣4ac＝（4﹣k）2﹣36＝0，
解得k1＝﹣2，k2＝10，
①当k1＝﹣2时，x2+6x+9＝（x+3）2＝0，
解得x1＝x2＝﹣3，
当x＝﹣3时，y＝0，
∴P2（﹣3，0）；
②当k2＝10时，x2﹣6x+9＝（x﹣3）2＝0，
解得x1＝x2＝3，
当x＝3时，y＝24，
∴P3（3，24），
综上所述，点P的坐标为（0，3），（﹣3，0），（3，24）．
【点评】本题考查二次函数的性质，解本题要熟练掌握二次函数的性质，代入法求解析式等基本知识点．
19．已知抛物线y＝mx2﹣2mx﹣3有最低点P，若点P关于坐标系原点O的对称点仍然在抛物线上，求抛物线的解析式．
【分析】先利用配方法得到顶点坐标为（1，﹣m﹣3），再求出顶点关于原点的对称点为（﹣1，m+3），然后把（﹣1，m+3）代入y＝mx2﹣2mx﹣3得m+2m﹣3＝m+3，最后解关于m的方程即可．
【解答】解：∵y＝mx2﹣2mx﹣3＝m（x﹣1）2﹣m﹣3，
∴顶点坐标为（1，﹣m﹣3），
∵点（1，﹣m﹣3）关于原点的对称点为（﹣1，m+3），
∴把（﹣1，m+3）代入y＝mx2﹣2mx﹣3得m+2m﹣3＝m+3，解得m＝3，
∴抛物线解析式为y＝3x2﹣6x﹣3．
【点评】本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式．求出顶点关于原点的对称点是解题的关键．
20．如图，已知直线l过点A（4，0），B（0，4）两点，它与二次函数y＝ax2的图象在第一象限内交于点P，若S△AOP＝4，试求二次函数的表达式．
【分析】先利用待定系数法求出直线l的关系式为y＝﹣x+4，则可设P（t，﹣t+4），利用三角形面积公式得到×4×（﹣t+4）＝4，解方程确定P（2，2），然后把P点坐标代入y＝ax2中求出a，从而得到二次函数的表达式．
【解答】解：设直线l的解析式为y＝kx+b，
把A（4，0），B（0，4）分别代入得，
解得，
∴直线l的关系式为y＝﹣x+4，
设P（t，﹣t+4），
∵S△AOP＝4，
∴×4×（﹣t+4）＝4，解得t＝2，
∴P（2，2），
把P（2，2）代入y＝ax2得4a＝2，解得a＝，
∴二次函数的表达式为y＝x2．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．