冀教版2021-2022学年数学九年级上册第25章图形的相似 同步练习题 （word版、含解析）

2021-2022学年冀教版九年级数学上册《第25章图形的相似》同步练习题（附答案）
一．选择题
1．若2a＝3b，则＝（　　）
A． B．﹣ C． D．﹣
2．如果，那么的值等于（　　）
A． B． C． D．2
3．若（3b+d﹣2f≠0），则的值是（　　）
A．1 B． C．3 D．无法确定
4．下列各组线段中，不是成比例线段的是（　　）
A．3，6，2，4 B．4，6，5，10 C．1，，， D．2，，，2
5．下列各组线段中，成比例的一组是（　　）
A．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10 B．a＝2，b＝4，c＝3，d＝6
C．a＝2，b＝，c＝2，d＝10 D．a＝0.8，b＝3，c＝1，d＝10
6．若ad＝bc，则下列不成立的是（　　）
A．＝（b≠0，d≠0）
B．＝（b≠0，b≠d）
C．＝（b≠0，d≠0）
D．＝（b≠﹣1，d≠﹣1）
7．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．若小凡的身高满足此黄金分割比例，且肚脐至足底的长度为108cm，则小凡的身高约为（　　）
A．155cm B．165cm C．175cm D．185cm
8．已知点B是线段AC的黄金分割点（AB＞BC），AC＝10，那么AB的长是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，AD：AB＝3：4，则AE：EC的值为（　　）
A．3：1 B．4：1 C．4：3 D．3：2
10．如图，在△APM的边AP上任取两点B，C，过B作AM的平行线交PM于N，过N作MC的平行线交AP于D．若＝，则的值为（　　）
A． B． C．2 D．3
11．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，如果AB＝3，BC＝5，EF＝4，那么DE的长是（　　）
A． B． C． D．
12．如图，已知△ADE和△ABC的相似比是1：2，且△ADE的面积是1，则四边形DBCE的面积是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
13．已知两个相似三角形的对应边之比为9：4，则这两个相似三角形的周长之比是（　　）
A．81：16 B．9：4 C．4：9 D．3：2
14．若相似三角形的相似比为1：4，则面积比为（　　）
A．1：16 B．16：1 C．1：4 D．1：2
15．如图，已知△ABC∽△BDC，其中AC＝4，CD＝2，则BC＝（　　）
A．2 B． C． D．4
16．如图，一块矩形ABCD绸布的长AB＝a，宽AD＝3，按照图中的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，如果裁出的每面彩旗与矩形ABCD绸布相似，则a的值等于（　　）
A．3 B．2 C．3 D．2
17．如图，矩形相框的外框矩形的长为12dm，宽为8dm，上下边框的宽度都为xdm，左右边框的宽度都为ydm．则符合下列条件的x，y的值能使内边框矩形和外边框矩形相似的为（　　）
A．x＝y B．3x＝2y C．x＝1，y＝2 D．x＝3，y＝2
18．如图，在4×7的方格中，点A，B，C，D在格点上，线段CD是由线段AB位似放大得到，则它们的位似中心是（　　）
A．点P1 B．点P2 C．点P3 D．点P4
19．如图，△ABC与△A1B1C1位似，位似中心是点O，若OA：OA1＝1：2，则△ABC与△A1B1C1的周长比是（　　）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：
20．如图，四边形ABCD与四边形EFGH相似，其位似中心为点O，且，则＝（　　）
A． B． C． D．
二．解答题
21．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是AD上一点，且BE＝BD；求证：△ABE∽△ACD．
22．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边BC、边AB上，且∠ADE＝∠B，求证：△ADC∽△DEB．
23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝8cm．点M从点C出发，以2cm/s的速度沿CA向点A匀速运动，点N从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向点C匀速运动，当一个点到达终点时，另一点也随即停止运动．
（1）经过几秒后，△MCN的面积等于△ABC面积的？
（2）经过几秒，△MCN与△ABC相似？
24．如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝10cm，BC＝16cm，AD⊥BC于D，点E，F分别从B，C两点同时出发，其中点E沿BC向终点C运动，速度为4cm/s；点F沿CA向终点A运动速度为5cm/s，一个点到达终点时另一个点也随之停止．设它们运动的时间为x（s），请求出x为何值时，△EFC和△ACD相似．
25．如图，在正方形ABCD中，P是AB边上的一个动点（P与A，B均不重合），将线段PD绕点P顺时针旋转90°后，得到线段PE，且PE交BC于点M，过点E作EF⊥AB的延长线于点F，连接DM，CF．
（1）求证：CF＝PE且CF⊥PE；
（2）当点P在何处时，△MDP∽△MPB？请说明理由．
26．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，E是AC上一点，AE＝5，ED⊥AB，垂足为D，求DE的长．
27．如图，AD是△ABC的中线，且∠DAC＝∠B，E为AD上一点，CD＝CE．
（1）求证：△ACE∽△BAD：
（2）若AB＝10，BC＝6，试求线段AD的长．
28．如图，AD是△ABC的高，点P、Q在BC边上，点R在AC边上，点S在AB边上，BC＝80，AD＝60，四边形PQRS是由两个并排放置的正方形所组成的矩形，则矩形的面积为多少？
29．真身宝塔，位于陕西省扶风法门镇法门寺内，因塔下藏有佛祖真身舍利而得名．小玲和晓静很想知道真身宝塔的高度PQ，于是，有一天，他们带着标杆和皮尺来到法门寺进行测量，测量方案如下：如图，首先，小玲在C处放置一平面镜，她从点C沿QC后退，当退行1.8米到B处时，恰好在镜子中看到塔顶P的像，此时测得小玲眼睛到地面的距离AB为1.5米；然后，晓静在F处竖立了一根高1.6米的标杆EF，发现地面上的点M、标杆顶点E和塔顶P在一条直线上，此时测得FM为2.4米，CF为11.7米，已知PQ⊥QM，AB⊥QM，EF⊥QM，点Q、C、B、F、M在一条直线上，请根据以上所测数据，计算真身宝塔的高度PQ．
30．如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S在一条直线上，且直线PS与河垂直，在过点S且与直线PS垂直的直线a上选择适当的点T，PT与过点Q且与PS垂直的直线b的交点为R．如果QS＝60m，ST＝120m，QR＝80m，求PQ的长．
31．如图，利用标杆DE测量楼高，点A，D，B在同一直线上，DE⊥AC，BC⊥AC，垂足分别为E，C．若测得AE＝1m，DE＝1.5m，CE＝5m，楼高BC是多少？
32．如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，请按要求在方格纸内作图．
（1）在图1中以点B为位似中心，作△ABC的位似图形，并把△ABC的边长缩小到原来的．
（2）在图2中画格点线段EF（端点在格点上），把△ABC的面积分为1：2两部分，其中点E，F均落在△ABC的边上且不与点A，B，C重合．
参考答案
1．解：∵2a＝3b，
∴＝．
故选：A．
2．解：∵，
∴3（a﹣b）＝a，
∴a＝b，
∴＝＝．
故选：B．
3．解：∵（3b+d﹣2f≠0），
∴a＝3b，c＝3d，e＝3f，
∴＝＝＝3．
故选：C．
4．解：A、6×2＝3×4，成比例线段，故本选项不符合题意；
B、4×10≠5×6，不是成比例线段，故本选项符合题意；
C、1×＝×，成比例线段，故本选项不符合题意；
D、2×＝×2，成比例线段，故本选项不符合题意．
故选：B．
5．解：A． ＝＝，＝＝，则≠，所以A选项不符合题意；
B． ＝＝，＝＝，则＝，所以B选项符合题意；
C． ＝＝，＝＝，则≠，所以C选项不符合题意；
D． ＝＝0.8，＝＝0.3，则≠，所以D选项不符合题意．
故选：B．
6．解：A、∵＝，
∴ad＝bc，故选项成立；
B、∵＝，
∴b（a﹣c）＝a（b﹣d），
∴ab﹣bc＝ab﹣ad，
∴ad＝bc，故选项成立；
C、∵＝，
∴（a+b）d＝（c+d）b，
∴ad+bd＝bc+bd，
∴ad＝bc，故选项成立；
D、∵＝，
∴（a+1）（d+1）＝（b+1）（c+1），
∴ad+a+d+1＝bc+b+c+1，
∴ad+a+d＝bc+b+c，故选项不成立．
故选：D．
7．解：设小凡的头顶至肚脐的长度为xcm，则小凡的身高为（x+108）cm，
由题意得：＝，
∴x≈0.618×108＝66.744（cm），
∴x+108≈175（cm），
即小凡的身高约为175cm，
故选：C．
8．解：∵点B是线段AC的黄金分割点（AB＞BC），
∴AB＝AC，
∵AC＝10，
∴AB＝×10＝5﹣5，
故选：B．
9．解：∵AD：AB＝3：4，
∴AD：DB＝3：1，
∵DE∥BC，
∴AE：EC＝AD：DB＝3：1，
故选：A．
10．解：∵BN∥AM，＝，
∴＝，
∵DN∥CM，
∴＝＝，
故选：B．
11．解：∵直线l1∥l2∥l3，
∴，
∵AB＝3，BC＝5，EF＝4，
∴，
∴DE＝．
故选：A．
12．解：∵△ADE与△ABC的相似比为1：2，
∴△ADE与△ABC的面积比为1：4．
∴△ADE与四边形DBCE的面积比为1：3．
∵△ADE的面积是1，
∴四边形DBCE的面积是3．
故选：B．
13．解：两个相似三角形的对应边之比为9：4，则这两个相似三角形的周长之比9：4．
故选：B．
14．解：两个相似三角形的相似比为1：4，相似三角形面积的比等于相似比的平方是1：16．
故选：A．
15．解：∵△ABC∽△BDC，
∴＝，
∵AC＝4，CD＝2，
∴BC2＝AC CD＝4×2＝8，
∴BC＝2．
故选：B．
16．解：∵使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，
∴，
解得a＝3或﹣3（舍弃），
∴a＝3，
故选：C．
17．解：如图，当矩形ABCD∽矩形EFGH时，则有＝，
∴＝，
可得3x＝2y，选项B符合题意，
当矩形ABCD∽矩形EHFG时，则有＝，
∴＝，
推不出：x＝y或3x＝2y或x＝1，y＝2或x＝3，y＝2．故选项A，B，C，D都不满足条件，此种情形不存在．
∴矩形ABCD∽矩形EFGH，可得3x＝2y，
故选：B．
18．解：延长CA、DB交于点P1，
则点P1为位似中心，
故选：A．
19．解：∵△ABC与△A1B1C1位似，
∴△ABC∽△A1B1C1，AC∥A1C1，
∴△AOC∽△A1OC1，
∴＝＝，
∴△ABC与△A1B1C1的周长比为1：2，
故选：A．
20．解：∵＝，
∴＝，
∵四边形ABCD与四边形EFGH相似，
∴EF∥AB，FG∥BC，
∴△OEF∽△OAB，△OGF∽△OCB，
∴＝，＝，
∴＝＝，
故选：A．
21．证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD．
∵BE＝BD，
∴∠BED＝∠BDE．
∴∠AEB＝∠ADC．
∴△ABE∽△ACD．
22．证明：在△ABC中，AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠EDC＝∠ADE+∠ADC＝∠B+∠BED，∠ADE＝∠B，
∴∠DEB＝∠ADC，
在△ADC和△DEB中，∠ADC＝∠DEB，∠C＝∠B，
∴△ADC∽△DEB．
23．解：（1）设经过x秒，△MCN的面积等于△ABC面积的．
×2x（8﹣x）＝×8×10×．
解得x1＝x2＝4．
答：经过4秒后，△MCN的面积等于△ABC面积的；
（2）设经过t秒，△MCN与△ABC相似．
∵∠C＝∠C，
∴可分为两种情况：
①＝，即＝，
解得t＝；
②＝，即＝．
解得t＝．
答：经过或秒，△MCN与△ABC相似．
24．解：（1）如图1中，
点F在AC上，点E在BD上时，
①当时，△CFE∽△CDA，
∴，
∴t＝，
②当时，即，
∴t＝2，
当点F在AC上，点E在CD上时，不存在△EFC和△ACD相似，
综上所述，t＝s或2s时，△EFC和△ACD相似．
25．解：（1）证明：在正方形ABCD中，P在边AB上，且∠DPE＝∠A＝90°，
∴∠APD+∠ADP＝∠APD+∠FPE＝90°，
∴∠ADP＝∠FPE，
∵EF⊥AB，
∴∠PFE＝∠A＝90°，
在△PEF和△DPA中，
，
∴△PEF≌△DPA（AAS），
∴PF＝AD＝AB＝DC，
又AF∥CD，
∴四边形PFCD是平行四边形，
∴CF＝PD＝PE，CF∥PD，
∵DP⊥PE，
∴CF⊥PE．
（2）当点P是AB的中点时，△MDP∽△MPB．
理由：∵△MDP∽△MPB，
∴，
∵∠ADP＝∠BPM，∠A＝∠PBM，
∴△PDA∽△MPB，
∴，
∴，
∴PA＝PB，
即点P是边AB的中点，
∴当点P恰好是AB边的中点时，△MDP∽△MPB．
26．解：∵∠C＝∠ADE＝90°，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴，
又∵AB＝10，AC＝8，
∴CB＝＝6，
∴＝，
∴DE＝3．
27．证明：（1）∵CD＝CE
∴∠CDE＝∠CED
∴∠AEC＝∠BDA
又∵∠DAC＝∠B
∴△ACE∽△BAD；
（2）∵AD是△ABC的中线，
∴CD＝BD＝CE＝BC＝3，
∵∠DAC＝∠B，
∴∠ACD＝∠BCA，
∴△ACD∽△BCA，
∴，
即，
∴AC＝3，
∵△ACE∽△BAD，
∴，
即，
∴AD＝5．
28．解：∵SR∥BC，
∴△ASR∽△ABC，
∴，
设PS＝y，则SR＝2y，
即 ，
解得y＝24，
∴PS＝24，SR＝48，
∴矩形PQRS的面积是24×48＝1152．
29．解：∵∠PQC＝∠ABC＝90°，∠PCQ＝∠ACB，
∴△PCQ∽△ACB，
∴，
∴，
∴QC＝1.2PQ，
∵∠PQF＝∠EFM＝90°，∠PMQ＝∠EMF，
∴△PMQ∽△EMF，
∴，
∴，
即，
∴PQ＝47，
答：真身宝塔的高度PQ为47米．
30．解：设PQ＝xm，
由题意可知QR∥ST，
∴△PQR∽△PST
∴．
∴，
解得x＝120．
∴PQ的长为120m．
31．解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
∴BC＝9（m），
答：楼高BC是9m．
32．解：（1）如图所示：
（2）∵△ABC的面积为×6×4＝12，
∴线段EF将△ABC面积分成4和8两部分，
如图所示：