冀教版 2021-2022学年九年级数学上册25.5相似三角形的性质 同步练习题（word版、含解析）

2021-2022学年冀教版九年级数学上册《25.5相似三角形的性质》同步练习题（附答案）
一．选择题
1．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D．过点D作DE∥BC交AB于点E，若AE：BE＝3：2，且△ADE的面积为3，则△BCD的面积为（　　）
A． B． C． D．
2．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AB上，连接DE，交对角线AC于点F，如果＝，CD＝6，那么AE＝（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA＝1：9，则S△BDE与S△CDE的比是（　　）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：5
4．如图，在△ABC中，EF∥BC，EG∥AB，则下列式子一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在矩形ABCD中，AD＝m，E是AD边上的一个动点，点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点．当四边形EGFH为正方形时，S矩形ABCD：S正方形EGFH＝（　　）
A．4：1 B．1：4 C．5：2 D．2：1
6．如图，已知AB∥CD∥EF，则下列四个结论；；；④＝1中，正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，在 ABCD中，点E在边AD上，且AE＝ED，连接BE并延长交CD的延长线于F，则△FED与 ABCD的面积之比为（　　）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5
8．如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，D、E分别为△ABC的边AB、AC上的点，且DE∥BC，CD、BE相交于点O，BD＝2AD．若△ODE的面积为1，则△BCE的面积为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
10．《几何原本》有一个图形：在△ABC中，D，E是边AB上的两点（AD＜AE），且满足AD＝BE．过点D，E分别作BC的平行线，过点D作AC的平行线，它们将△ABC分成如图的5个部分，其面积依次记为S1，S2，S3，S4，S5．若S2＝18，S3＝6，则S4值为（　　）
A．9 B．18 C．27 D．54
11．如图，在△ABC中，点D在AC边上，连接BD，点E在BD边上，过点E作EF∥AC，交AB于点F，过点F作FG∥BC，交AC于点G，则下列式子一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
12．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连结BF交AC于点M，连结DE、BO．若∠COB＝60°，FO＝FC，则下列结论：①FB⊥OC，OM＝CM；②△EOB≌△CMB；③四边形EBFD是菱形；④S△AOE：S△BCF＝1：2．其中正确结论的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
13．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于点F，DG⊥AC于G，连接DF，下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②AF＝AG；③DF＝DC；④S四边形CDEF＝S△ABF．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
14．如图，正方形ABCD和正方形AEFG，F点在边BC上，边FG与正方形ABCD的对角线AC相交于点H，连接DG．以下四个结论：①∠EAB＝∠GAD；②△AFC∽△AGD；③DG＝FC；④点G到直线AD和直线CD的距离相等．其中正确的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
15．如图正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，且满足BE＝AD，连接CE并延长交AD于点F，连接AE，过B点作BG⊥AE于点G，延长BG交AD于点H．在下列结论中：①AH＝DF；②∠AEF＝45°；③S四边形EFHG＝S△DEF+S△AGH．其中不正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
16．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于点G，有下列结论：①∠BAE＝∠DAF＝15°；②AC⊥EF；③BE+DF＝EF；④AG＝GC．其中正确的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二．解答题
17．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，线段AG分别交线段DE，BC于点F，G，且．
（1）求证：△ADF∽△ACG；
（2）若＝，求的值．
18．如图在锐角三角形OAB中，点M，N分别在边OB，OA上，OG⊥AB于点G，OH⊥MN于点H，∠NOH＝∠GOB．
（1）求证：△OMN∽△OAB；
（2）若OM＝3，OA＝7，求的值．
19．如图，在平行四边形ABCD中，点E是AC上一点，射线BE与CD的延长线交于点P，与边AD交于点F，连接FC．
（1）若∠ABF＝∠ACF，求证：CE2＝EF EP；
（2）若点D是CP中点，BE＝2，求EF的长．
20．已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，E为直角边AC的中点，过D，E作直线交AB的延长线于F．
（1）若AB＝6，AC＝8，求BD长；
（2）求证：AB AF＝AC DF．
21．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC，BD交于点E，过点E作MN∥AD，分别交AB，CD于点M，N．
（1）求证：△AME∽△ABC；
（2）求证：＝+；
（3）若AD＝5，BC＝7，求MN的长．
22．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC，DC上，AE与BD交于点H，AE的延长线与DC的延长线交于点G，∠BAE＝∠DAF．
（1）求证：AD2＝DF DG；
（2）若HE＝4，EG＝5，求AH的长．
参考答案
1．解：∵AE：BE＝3：2，
∴AE：BA＝3：5，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，
∴△ADE与△ACB的面积之比为：9：25，
∵AE：BE＝3：2，
∴△ADE与△DEB的面积之比为：9：6，
∴△ADE与△DCB的面积之比为：9：10，
∵△ADE的面积为3，
∴△BCD的面积为，
故选：D．
2．解：设△ADC中AC边上的高为h，
则S△ADF＝×AF×h，S△DFC＝×FC×h，
∵＝，
∴＝，
∵平行四边形ABCD中AB∥CD，
∴△AEF∽△CDF，
∴，即，
解得AE＝4，
故选：C．
3．解：∵DE∥AC，
∴∠DEO＝∠CAO，∠EDO＝∠ACO，
∴△DOE∽△COA，
∴，
∵S△DOE：S△COA＝1：9，
∴，
∴，
∴，
∴S△BDE与S△CDE的比是1：2，
故选：A．
4．解：∵EF∥BC，
∴，所以A选项错误；
∵EG∥AB，
∴，
∴，所以B选项错误；
∵EG∥AB，
∴，
∵EF∥BC，
∴，
∴，所以C选项错误；
∵EG∥AB，
∴，
∵EF∥BC，
∴，
∴，所以D选项正确．
故选：D．
5．解：∵G，F分别是BE，BC的中点，
∴GF是△BEC的中位线，
∴GF＝，GF∥CE，
同理，FH＝，FH∥BE，
当四边形EGFH是正方形时，
EG＝GF＝FH＝EH，
∴CE＝BE，
∴∠EBC＝∠ECB＝45°，
∴∠ABE＝∠DCE＝45°，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，AB＝CD，
∴∠ABE＝∠AEB＝45°，∠DEC＝∠DCE＝45°，
∴AB＝AE，DE＝DC，
∵AB＝CD，
∴AE＝DE，
设AE＝DE＝AB＝DC＝a，
∴BE＝＝a，
∴，
则S矩形ABCD＝AB AD＝2a2，S正方形EGFC＝FH2＝，
∴S矩形ABCD：S正方形EGFH＝4：1，
故选：A．
6．解：∵CD∥EF，
∴△BEA∽△BCD，
∴，故结论①错误；
∵AB∥CD，
∴△BEA∽△CED，
∴，故结论②正确；
∵AB∥EF，
∴△EFD∽△ABD，相似比为，
∵CD∥EF，
∴△EFB∽△CDB，相似比为，
∵DF与BF不一定相等，
∴与不一定相等，
∴与不一定相等，故结论③错误；
由③得：△EFD∽△ABD，△EFB∽△CDB，
∴，，
∴，故结论④正确；
故选：B．
7．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD∥BC，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠F，∠A＝∠EDF，
在△ABE和△DFE中，
，
∴△ABE≌△DFE（AAS），
∴AB＝DF，
∵AB＝CD，
∴DF＝CD，
∴＝，
∵AD∥BC，
∴△FED∽△FBC，
∴＝（）2＝，
则△FED与 ABCD的面积之比为：1：4．
故选：C．
8．解：∵GE∥BD，GF∥AC，
∴＝，，
∴．
故选：C．
9．解：∵BD＝2AD，AD+BD＝AB，
∴＝，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽ABC，
∴＝＝，
∵DE∥BC，
∴△ODE∽OCB，
∴＝＝，
∴＝（）2＝，＝，
∵S△ODE＝1，
∴S△OCB＝9，S△OCE＝3，
∴S△BCE＝S△OCB+S△OCE＝12，
故选：D．
10．解：如图，连接GF，
∵AD＝BE，DG∥AC，EF∥BC，
∴＝＝＝，
∵∠DHE＝∠GHF，
∴△DHE∽△GHF，
∴＝（）2，
∵S2＝18，S3＝6，
∴＝，S△HGF＝S3，
∴S△DHE＝（）2×3＝27，
则S4的值为27．
故选：C．
11．解：∵EF∥AC，
∴＝，
∵FG∥BC，
∴＝，
∴＝，
故D正确．
故选：D．
12．解：连接OD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，AC、BD互相平分，
∵O为AC中点，
∴BD也过O点，
∴OB＝OC，
∵∠COB＝60°，OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB＝BC＝OC，∠OBC＝60°，
在△OBF与△CBF中，
，
∴△OBF≌△CBF（SSS），
∴△OBF与△CBF关于直线BF对称，
∴FB⊥OC，OM＝CM，
∴①正确；
∵∠OBC＝60°，
∴∠ABO＝30°，
∵△OBF≌△CBF，
∴∠OBM＝∠CBM＝30°，
∴∠ABO＝∠OBF，
∵AB∥CD，
∴∠OCF＝∠OAE，
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF，
∴OB⊥EF，
∴四边形EBFD是菱形，
∴②正确；
∵四边形EBFD是菱形，
∵∠OBC＝60°，
∴∠ABO＝30°，
∵△OBF≌△CBF，
∴∠OBM＝∠CBM＝30°，
∴∠ABO＝∠OBF，
∵AB∥CD，
∴∠OCF＝∠OAE，
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF，
∴OB⊥EF，
∴四边形EBFD是菱形，
∴③正确，
∵△EOB≌△FOB≌△FCB，
∴△EOB≌△CMB错误．
∴②错误；
④∵四边形ABCD是矩形，四边形EBFD是菱形，
∴OA＝OC，∠COF＝∠AOE，OF＝OE，
∴△AOE≌△COF（SAS），
∴S△AOE＝S△COF，
∵S△COF＝2S△CMF，
∵∠FCO＝30°，
∴FM＝CM，BM＝CM，
∴，
∴S△FOM：S△BOF＝1：4，
∵∠OGE＝∠OMF，∠GOE＝∠MOF，OE＝OF，
∴△GEO≌△MFO（AAS），
∴S△GEO＝S△MFO，
∴S△DEF＝S△EFB＝2S△BOF，
设S△EGO＝x，则S△AOE＝2x，S△BOF＝4x，
S四边形DGOF＝S△DEF﹣S△EGO＝S△EFB﹣S△EGO＝8x﹣x，
∴S△AOE：S四边形DGOF＝2x：（8x﹣x）＝2：7，
故④正确；
所以其中正确结论的个数为3个，
故选：C．
13．解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC，AD∥BC，∠ABC＝90°
∵AD∥BC，
∴∠EAC＝∠ACB，
∵BE⊥AC，
∴∠AFE＝90°，
∵∠AFE＝∠CBA，∠EAF＝∠BCA，
∴△AEF∽△CAB，所以①正确；
∵BE⊥AC，DG⊥AC，
∴EF∥DG，
∴＝，
而E是AD边的中点，
∴AE＝AD，
∴AF＝AG，所以②正确；
∵AE＝AD，AD＝BC，
∴AE＝BC，
∵△AEF∽△CFB，
∴＝＝，
∵AF＝FG，
∴AF＝FG＝CG，
∴DG垂直平分CF，
∴DC＝DF，所以③正确；
设△AEF的面积为S，则S△DEF＝S，
∴S△DFG＝S△DCG＝S△DAF＝2S，
∵△AEF∽△CFB，
∴＝＝，
∴S△ABF：S△AEF＝1：2，
即S△ABF＝2S，
∴S四边形CDEF：S△ABF＝（S+2S+2S）：2S，
∴S四边形CDEF＝S△ABF．所以④错误．
故选：C．
14．解：∵四边形ABCD，四边形AEFG都是正方形，
∴∠EAG＝∠BAD＝∠ADC＝90°，∠FAG＝∠AFG＝∠DAC＝∠ACB＝45°，AF＝AG，AC＝AD，
∴∠EAG﹣∠BAG＝∠BAD﹣∠BAG，
∴∠EAB＝∠DAG，故①正确；
∵AF＝AG，AC＝AD，
∴，
∵∠FAG＝∠CAD＝45°，
∴∠FAC＝∠DAG，
∴△FAC∽△GAD，故②正确，
∴∠ADG＝∠ACB＝45°，，
∴DG＝FC，故③正确，
∠CDG＝∠ADC﹣∠ADG＝45°，
∴DG是∠ADC的平分线，
∴点G到直线AD和直线CD的距离相等．故④正确．
综上所述：正确的有①②③④，共4个．
故选：D．
15．解：∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ABE＝∠ADE＝∠CDE＝45°，AB＝BC＝AD＝DC．
∵BE＝AD，
∴AB＝BE，
∵BG⊥AE，
∴BH是线段AE的垂直平分线，∠ABH＝∠DBH＝22.5°，
在Rt△ABH中，∠AHB＝90°﹣∠ABH＝67.5°，
∵∠AGH＝90°，
∴∠DAE＝∠ABH＝22.5°，
在△ADE和△CDE中，
，
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴∠DAE＝∠DCE＝22.5°，
∴∠ABH＝∠DCF，
在Rt△ABH和Rt△DCF中，
，
∴△ABH≌△DCF（ASA），
∴AH＝DF，∠CFD＝∠AHB＝67.5°，
∵∠CFD＝∠EAF+∠AEF，
∴67.5°＝22.5°+∠AEF，
∴∠AEF＝45°，故①②正确；
如图，连接HE，
∵BH是AE垂直平分线，
∴AG＝EG，
∴S△AGH＝S△HEG，
∵AH＝HE，
∴∠AHG＝∠EHG＝67.5°，
∴∠DHE＝45°，
∵∠ADE＝45°，
∴∠DEH＝90°，∠DHE＝∠HDE＝45°，
∴EH＝ED，
∴△DEH是等腰直角三角形，
∵EF不垂直DH，
∴FH≠FD，
∴S△EFH≠S△EFD，
∴S四边形EFHG＝S△HEG+S△EFH＝S△AHG+S△EFH≠S△DEF+S△AGH，故③错误，
∴正确的是①②，③不正确，
故选：A．
16．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE＝AF，∠EAF＝60°，
∴∠BAE+∠DAF＝30°，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE＝DF，
∵BC＝CD，
∴BC﹣BE＝CD﹣DF，
即CE＝CF，
∴AC是EF的垂直平分线，
∴AC⊥EF，
∴∠EAC＝∠FAC＝×60°＝30°，
∵∠BAC＝∠DAC＝45°，
∴∠BAE＝∠DAF＝15°，
故结论①②正确；
设EC＝x，则FC＝x，
由勾股定理得EF＝x，
CG＝EF＝x，
则AC＝CG+AG＝CG+CG＝，
∴AB＝＝，
∴BE＝AB﹣CE＝﹣x＝，
∴BE+DF＝2×＝（）x＝x，
故结论③错误，
综上所述结论①②④正确，结论③错误，
故选：C．
17．解：（1）∵∠AED＝∠B，∠DAE＝∠CAB，
∴△AED∽△ABC，
∴∠ADF＝∠C，
又∵，
∴△ADF∽△ACG；
（2）∵△ADF∽△ACG，
∴，
∵，
∴，
又∵AG＝AF+FG，
∴．
18．（1）证明：在△OHN和△OGB中，∵∠OHN＝∠OGB＝90°，∠NOH＝∠BOG，
∴△OHN∽△OGB，
∴∠ONH＝∠B，
∵∠AOB＝∠MON，
∴△OMN∽△OAB；
（2）解：由（1）得△OMN∽△OAB，
∵OM＝3，OA＝7，
∴．
19．解：（1）∵平行四边形ABCD，射线BE与CD的延长线交于点P，
∴AB∥CD，
∴∠ABF＝∠P，
∵∠ABF＝∠ACF，
∴∠ACF＝∠P，
∵∠CEF＝∠PEC，
∴△CEF∽△PEC，
∴，
即CE2＝EF PE；
（2））∵平行四边形ABCD，射线BE与CD的延长线交于点P，
∴AB∥CD，AB＝CD，AD∥BC，
∴∠ABF＝∠P，
∵∠AEB＝∠CEP，
∴△BEA∽△PEC，
∴，
∵点D是CP的中点，
∴CP＝2CD＝2AB，点F是BP的中点，
∴，
解得：PE＝4，
∴PF＝BP
＝（BE+PE）
＝3，
∴EF＝PE﹣PF＝．
20．解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，
∴BC＝＝10，
∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴∠CAB＝∠ADB，
∵∠B＝∠B，
∴△CBA∽△ABD，
∴，
∴，
∴BD＝3.6；
（2）证明：由（1）知：BD：AD＝AB：AC①，
又∵E为AC的中点，AD⊥BC，
∴ED＝AE＝EC，
∴∠C＝∠EDC＝∠FAD＝∠BDF，
又∵∠F为公共角，
∴△DBF∽△ADF，
∴BD：AD＝DF：AF②，
由①②得，AB：AC＝DF：AF，
∴AB AF＝AC DF．
21．（1）证明：∵AD∥BC，MN∥AD，
∴MN∥BC，
∴△AME∽△ABC；
（2）证明：∵MN∥AD，AD∥BC，
∴＝，
∵MN∥BC，
∴△AME∽△ABC，△DEN∽△DBC，
∴＝，＝，∴＝，
∴ME＝NE，
∴点E是MN的中点，ME＝NE＝MN，
∵AD∥BC∥MN，
∴△CEN∽△CAD，△AME∽△ABC，
∴＝，＝，
∴+＝+＝＝1，
∴+＝1，
∴＝+．
（3）结合（2）的结论，
∵AD＝5，BC＝7，
∴＝，
∴ME＝，
∵ME＝NE，
∴MN＝ME+NE＝+＝．
22．（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB∥DG，
∴∠BAE＝∠DGA，
又∠BAE＝∠DAF，
∴∠DGA＝∠DAF，
又∠ADF＝∠GDA，
∴△ADF∽△GDA，
∴，
∴AD2＝DF DG．
（2）解：∵AB∥GD，
∴，
∵AD∥BC，
∴，
∴，
即AH2＝HG HE＝（4+5）×4＝36，
∴AH＝6．