冀教版 2021-2022学年九年级数学上册24章一元二次方程 知识点分类训练 （word版、含解析）

2021-2022学年冀教版九年级数学上册《第24章一元二次方程》知识点分类训练（附答案）
一．一元二次方程的定义
1．若关于x的方程（a﹣1）x+2x﹣7＝0是一元二次方程，则a＝　 　．
2．关于x的方程ax2﹣3x+1＝2x2是一元二次方程，则a的取值范围为（　　）
A．a≠0 B．a＞0 C．a≠2 D．a＞2
二．一元二次方程的一般形式
3．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0，则m等于（　　）
A．1 B．2 C．1或2 D．0
4．一元二次方程3x2＝3﹣2x的一次项系数和常数项分别是（　　）
A．2和﹣3 B．3和﹣2 C．﹣3和2 D．3和2
三．一元二次方程的解
5．若2﹣是方程x2﹣4x+c＝0的一个根，则c的值是（　　）
A．1 B． C． D．
6．如果0是关于x的一元二次方程（a+3）x2﹣x+a2﹣9＝0的一个根，那么a的值是（　　）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．±2
7．已知a是方程x2﹣3x﹣4＝0的一个根，则2a2﹣6a+8的值是　 　．
8．若一元二次方程的二次项系数为1，常数项为0，它的一个根为2，则该方程为 　 　．
四．解一元二次方程-直接开平方法
9．一元二次方程3（x﹣2）2﹣27＝0的根是（　　）
A．5 B．﹣1 C．5或﹣1 D．3
10．已知关于x的一元二次方程（x+1）2﹣m＝0有两个实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m≥﹣ B．m≥0 C．m≥1 D．m≥2
11．关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣3，x2＝2（a、b、m为常数，a≠0），则方程a（x+m+1）2+b＝0的解是　 　．
12．用适当方法解方程
（1）（2x﹣1）2＝9；
（2）x2+3x﹣4＝0；
（3）（x+4）2＝5（x+4）；
（4）（x﹣2）（x﹣5）＝﹣2；
（5）2x2﹣10x＝3；
（6）（3x+5）（3x﹣5）+6x＝﹣26．
五．解一元二次方程-配方法
13．用配方法解方程x2﹣6x+1＝0，方程应变形为（　　）
A．（x﹣3）2＝8 B．（x﹣3）2＝10 C．（x﹣6）2＝10 D．（x﹣6）2＝8
14．将方程x2+6x﹣3＝0化为（x+h）2＝k的形式是　 　．
六．解一元二次方程-公式法
15．方程（x+4）（x﹣5）＝1的根为　 　．
七．解一元二次方程-因式分解法
16．已知三角形的两边长为4和5，第三边的长是方程x2﹣5x+6＝0的一个根，则这个三角形的周长是（　　）
A．11 B．12 C．11或12 D．15
17．已知一个等腰三角形的腰长和底边长是一元二次方程x2﹣10x+21＝0的两个根，则这个等腰三角形的周长为（　　）
A．10 B．13 C．17 D．13或17
八．换元法解一元二次方程
18．若实数a、b满足（4a+4b）（4a+4b﹣2）﹣8＝0，则a+b＝　 　．
九．根的判别式
19．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有实数根，则k的取值范围为（　　）
A．k≥0 B．k≥0且k≠1 C．k≥ D．k≥且k≠1
20．一元二次方程x2+3x+5＝0的根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．不能确定
21．关于x的一元二次方程ax2﹣2x+2＝0有两个相等实数根，则a的值为（　　）
A． B．﹣ C．1 D．﹣1
22．如果关于x的方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有实数根，那么m的取值范围是　 　．
23．已知关于x的方程（k﹣2）x2+（1﹣2k）x+k＝0．
（1）若方程有两个实数根，求k的取值范围；
（2）如果改为方程有实数根，k的取值范围有变化吗？若有变化，求出此时k的取值范围；若没有变化，请说明理由；
（3）方程有实数根，且k为不大于0的整数，求出此时方程的根．
24．关于x的一元二次方程kx2﹣（2k﹣2）x+（k﹣2）＝0（k≠0）．
（1）求证：无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）要使得方程的两个实数根都是整数，求整数k可能取值．
十．根与系数的关系
25．设x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两根，则x1+x2＝（　　）
A．﹣2 B．2 C．3 D．﹣3
26．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x＝0的两个根，则下列结论错误的是（　　）
A．x1≠x2 B．x1+x2＝2 C．x12﹣2x1＝0 D．x1x2＝1
27．已知一元二次方程x2﹣6x﹣15＝0的两根分别为x1，x2，则x1+x2＝　 　．
28．若x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，则代数式2x1+2x2﹣x1x2的值等于　 　．
29．一元二次方程x2﹣4x+2＝0的两根为x1、x2，则x12﹣5x1﹣x2＝　 　．
30．一元二次方程2x2﹣bx+c＝0的两根为x1，x2，若x1+x2＝5，x1 x2＝﹣2，则b＝　 　，c＝　 　．
31．已知关于x的一元二次方程mx2﹣2（m+2）x+m＝0有两个不相等的实数根x1，x2，若x1+x2＝2m，则m的值是 　 　．
32．已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0．
（1）求证：方程一定有两个不相等的实数根；
（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求出以此两根为边长的直角三角形的周长．
33．已知m，n是关于x的方程（k+1）x2﹣x+1＝0的两个实数根，且满足k+1＝（m+1）（n+1），则实数k的值是 　 　．
十一．一元二次方程的应用
34．某超市一月份的营业额是72万元，三月份的营业额为96万元，设每月的平均增长率为x，则可列方程为（　　）
A．72（1﹣x）2＝96 B．72（1+x）2＝96
C．96（1﹣x）2＝72 D．96（1+x）2＝72
35．如果有一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有100台电脑被感染．若每一轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则下列所列方程中正确的是（　　）
A．1+x+x2＝100 B．x（x+1）＝100
C．（x+1）2＝100 D．1+（x+1）2＝100
36．有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（　　）
A． x（x﹣1）＝45 B． x（x+1）＝45
C．x（x﹣1）＝45 D．x（x+1）＝45
37．新型冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现1人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将会有225人感染，若设1人平均感染x人，则x为（　　）
A．14 B．15 C．16 D．17
38．某地区前年参加中考的人数为5万人，今年参加中考的人数为6.05万人．则这两年该地区参加中考人数的年平均增长率是（　　）
A．8% B．10% C．12% D．15%
39．某商品原来每件的售价为60元，经过两次降价后每件的售价为48.6元，并且每次降价的百分率相同．
（1）求该商品每次降价的百分率；
（2）若该商品每件的进价为40元，计划通过以上两次降价的方式，将库存的该商品20件全部售出，并且确保两次降价销售的总利润不少于200元，那么第一次降价至少售出多少件后，方可进行第二次降价？
40．体育用品商店出售一批足球，每个成本40元．经市场调研，售价为50元时，可销售200个；售价每增加1元，销售量将减少10个．如果这种足球全部销售完，那么该商店可盈利2000元．问：该商店销售了这种足球多少个？每个售价多少元？
参考答案
一．一元二次方程的定义
1．解：∵关于x的方程（a﹣1）x+2x﹣7＝0是一元二次方程，
∴a2+1＝2且a﹣1≠0，
解得a＝﹣1，
故答案为：﹣1．
2．解：ax2﹣3x+1＝2x2，
（a﹣2）x2﹣3x+1＝0，
∵关于x的方程ax2﹣3x+1＝2x2是一元二次方程，
∴a﹣2≠0，
即a≠2，
故选：C．
二．一元二次方程的一般形式
3．解：根据题意，知，
，
解方程得：m＝2．
故选：B．
4．解：一元二次方程3x2＝3﹣2x变为一般形式为：一元二次方程3x2+2x﹣3＝0，
一次项系数是2，常数项是﹣3．
故选：A．
三．一元二次方程的解
5．解：把2﹣代入方程x2﹣4x+c＝0，得（2﹣）2﹣4（2﹣）+c＝0，
解得c＝1；
故选：A．
6．解：把x＝0代入一元二次方程（a+3）x2﹣x+a2﹣9＝0得a2﹣9＝0，解得a1＝﹣3，a2＝3，
而a+3≠0，
所以a的值为3．
故选：A．
7．解：∵a是方程x2﹣3x﹣4＝0的一个根，
∴a2﹣3a﹣4＝0，
∴a2﹣3a＝4，
∴2a2﹣6a+8＝2（a2﹣3a）+8＝2×4+8＝16．
故答案是：16．
8．解：由题意可得，该方程的一般形式为：x2﹣2x＝0．
故答案为：x2﹣2x＝0．
四．解一元二次方程-直接开平方法
9．解：∵3（x﹣2）2﹣27＝0，
∴3（x﹣2）2＝27，
则（x﹣2）2＝9，
∴x﹣2＝3或x﹣2＝﹣3，
解得x1＝5，x2＝﹣1，
故选：C．
10．解；（x+1）2﹣m＝0，
（x+1）2＝m，
∵一元二次方程（x+1）2﹣m＝0有两个实数根，
∴m≥0，
故选：B．
11．解：把方程a（x+m+1）2+b＝0看作关于x+1的一元二次方程，
而关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣3，x2＝2，
所以x+1＝﹣3，x+1＝2，
所以x1＝﹣4，x2＝1．
故答案为x1＝﹣4，x2＝1．
12．解：（1）（2x﹣1）2＝9，
2x﹣1＝3或2x﹣1＝﹣3，
解得：x1＝2，x2＝﹣1；
（2）因式分解，得：（x+4）（x﹣1）＝0，
x+4＝0或x﹣1＝0，
解得：x1＝﹣4，x2＝1；
（3）原方程可化为：（x+4）（x+4﹣5）＝0，
x+4＝0或x﹣1＝0，
解得：x1＝﹣4，x2＝1；
（4）整理，得：x2﹣7x+10＝﹣2，
x2﹣7x+12＝0，
（x﹣3）（x﹣4）＝0，
解得：x1＝3，x2＝4；
（5）移项，得：2x2﹣10x﹣3＝0，
a＝2，b＝﹣10，c＝﹣3，
b2﹣4ac＝100+24＝124＞0，
x＝＝；
解得：x1＝，x2＝；
（6）原方程整理，得：9x2﹣25+6x＝﹣26，
9x2+6x+1＝0，
（3x+1）2＝0，
解得：x＝﹣．
五．解一元二次方程-配方法
13．解：∵x2﹣6x+1＝0，
∴x2﹣6x+9＝8，
∴（x﹣3）2＝8，
故选：A．
14．解：由原方程，得x2+6x＝3，
配方得，x2+6x+9＝3+9，
（x+3）2＝12．
故答案为：（x+3）2＝12．
六．解一元二次方程-公式法
15．解：（x+4）（x﹣5）＝1，
整理得：x2﹣x﹣21＝0，
b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣21）＝85，
x＝，
x1＝，x2＝，
故答案为：x1＝，x2＝．
七．解一元二次方程-因式分解法
16．解：x2﹣5x+6＝0，
（x﹣2）（x﹣3）＝0，
x﹣2＝0，x﹣3＝0，
x1＝2，x2＝3，
根据三角形的三边关系定理，第三边是2或3都行，
①当第三边是2时，三角形的周长为2+4+5＝11；
②当第三边是3时，三角形的周长为3+4+5＝12；
故选：C．
17．解：解方程x2﹣10x+21＝0，得x1＝7，x2＝3，
当7为腰，3为底时，7﹣3＜7＜7+3，能构成等腰三角形，周长为7+7+3＝17；
当3为腰，7为底时，3+3＜7，不能构成等腰三角形．
故选：C．
八．换元法解一元二次方程
18．解：设a+b＝x，则由原方程，得
4x（4x﹣2）﹣8＝0，
整理，得16x2﹣8x﹣8＝0，即2x2﹣x﹣1＝0，
分解得：（2x+1）（x﹣1）＝0，
解得：x1＝﹣，x2＝1．
则a+b的值是﹣或1．
故答案是：﹣或1．
九．根的判别式
19．解：根据题意得k﹣1≠0且Δ＝（﹣2k）2﹣4（k﹣1）×（k﹣3）≥0，
解得k≥且k≠1．
故选：D．
20．解：∵Δ＝32﹣4×5＝﹣11＜0，
∴方程无实数根．
故选：C．
21．解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣2x+2＝0有两个相等实数根，
∴，
∴a＝．
故选：A．
22．解：∵关于x的方程（m﹣2）x2﹣2x+l＝0有实数根，
∴当m﹣2＝0时，m＝2时，﹣2x+l＝0有实数根；
当m﹣2≠0时，
b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4（m﹣2）＝﹣4m+12≥0，
解得m≤3．
由以上可知m≤3．
故答案为：m≤3．
23．解：（1）由题意
∴k的取值范围是k≥﹣且k≠2．
（2）有变化．
当k≠2时，k≥﹣；当k＝2时，一元一次方程﹣3x+2＝0有实根，
∴k≥﹣．
（3）若方程有实根，则k≥﹣．
又∵k≤0且k为整数，∴k＝0，
当k＝0时，﹣2x2+x＝0，
∴x1＝0，x2＝．
24．（1）证明：
∵kx2﹣（2k﹣2）x+（k﹣2）＝0（k≠0），
∴Δ＝[﹣（2k﹣2）]2﹣4k（k﹣2）＝4＞0，
∴无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由求根公式可求得x1＝1，x2＝1﹣，
要使得方程的两个实数根都是整数，则k为2的因数，
∴k＝±1或k＝±2．
十．根与系数的关系
25．解：根据根与系数的关系，
x1+x2＝﹣＝2．
故选：B．
26．解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x＝0的两个根，
∴Δ＝4＞0，即方程有两个不相等的实数根，x12﹣2x1＝0，
∴x1+x2＝2，x1x2＝0，x1≠x2．
故选：D．
27．解：根据题意得，x1+x2＝6．
故答案为6．
28．解：∵x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝4，x1x2＝﹣2020，
∴2x1+2x2﹣x1x2＝2（x1+x2）﹣x1x2＝2×4﹣（﹣2020）＝2028．
故答案为：2028．
29．解：根据题意，得x12﹣4x1+2＝0，则x12﹣4x1＝﹣2，
又因为x1+x2＝4，
所以 x12﹣5x1﹣x2＝x12﹣4x1﹣（x1+x2）＝﹣2﹣4＝﹣6．
故答案是：﹣6．
30．解：∵x1+x2＝＝5，x1 x2＝＝﹣2，
∴b＝10，c＝﹣4．
故答案是：10；﹣4．
31．解：由已知得：m≠0且Δ＝[﹣2（m+2）]2﹣4m2＝16m+16＞0，
则m的范围为m≠0且m＞﹣1，
∵关于x的一元二次方程mx2﹣2（m+2）x+m＝0有两个不相等的实数根x1，x2，
∴x1+x2＝，
∵x1+x2＝2m，
∴＝2m，
∵m≠0，
∴m2﹣m﹣2＝0，
解得m＝2或﹣1，
∵m＞﹣1，
∴m＝2，
故答案为2．
32．（1）证明：
∵方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0，
∴Δ＝（m+2）2﹣4（2m﹣1）＝m2+4m+4﹣8m+4＝m2﹣4m+4+4＝（m﹣2）2+4＞0，
∴方程一定有两个不相等的实数根；
（2）解：把x＝1代入方程可得1﹣（m+2）+2m﹣1＝0，解得m＝2，
∴方程为x2﹣4x+3＝0，解得x＝1或x＝3，
∴方程的另一根为x＝3，
当边长为1和3的线段为直角三角形的直角边时，则斜边＝＝，此时直角三角形的周长＝4+，
当边长为3的直角三角形斜边时，则另一直角边＝＝2，此时直角三角形的周长＝4+2，
综上可知直角三角形的周长为4+或4+2．
33．解：∵a＝k+1，b＝﹣1，c＝1，m与n是方程的两根，
∴m+n＝＝，
，
∴k+1＝（m+1）（n+1）＝mn+m+n+1＝＝，
即得到方程k＝，
再化简得k2+k﹣2＝0，
解得k1＝1，k2＝﹣2，
又∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4（k+1）×1＝﹣4k﹣3≥0，
∴k≤，且k≠﹣1
∴k＝﹣2．
十一．一元二次方程的应用
34．解：依题意，得72（1+x）2＝96，
故选：B．
35．解：每一轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，根据题意得
1+x+x（1+x）＝100
即（x+1）2＝100，
故选：C．
36．解：∵有x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，
∴共比赛场数为x（x﹣1），
∴共比赛了45场，
∴x（x﹣1）＝45，
故选：A．
37．解：设1人平均感染x人，
依题意可列方程：（1+x）2＝225．
解得：x1＝14，x2＝﹣16（不合题意舍去），
答：x为14，
故选：A．
38．解：设平均增长率为x，根据题意得：
5（1+x）2＝6.05
解得：x1＝0.1，或x2＝﹣2.1（不合题意舍去）
答：这两年的年平均增长率为10%．
故选：B．
39．解：（1）设该商品每次降价的百分率为x，
60（1﹣x）2＝48.6，
解得x1＝0.1，x2＝1.9（舍去），
答：该商品每次降价的百分率是10%；
（2）设第一次降价售出a件，则第二次降价售出（20﹣a）件，
由题意可得，[60（1﹣10%）﹣40]a+（48.6﹣40）×（20﹣a）≥200，
解得a≥5，
∵a为整数，
∴a的最小值是6，
答：第一次降价至少售出6件后，方可进行第二次降价．
40．解：设每个足球的售价为x元，则每个足球的销售利润为（x﹣40）元，该商店共销售了这种足球200﹣10（x﹣50）＝（700﹣10x）个，
依题意得：（x﹣40）（700﹣10x）＝2000，
整理得：x2﹣110x+3000＝0，
解得：x1＝50，x2＝60．
当x＝50时，700﹣10x＝700﹣10×50＝200；
当x＝60时，700﹣10x＝700﹣10×60＝100．
答：当每个足球的售价为50元时，该商店共销售了这种足球200个；当每个足球的售价为60元时，该商店共销售了这种足球100个．