冀教版 2021-2022学年九年级数学上册25.4相似三角形的判定 同步达标测评 （word版含解析）

2021-2022学年冀教版九年级数学上册《25.4相似三角形的判定》同步达标测评（附答案）
一．选择题（共9小题，满分27分）
1．如图，小正方形的边长均为1，则A、B、C、D四个选项中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，已知△ABC，则下列三角形中，与△ABC相似的是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，在三角形纸片中，∠A＝80°，AB＝6，AC＝8．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形相似的有（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
4．如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，增加下列哪个条件不能使△ADE与△ABC相似？（　　）
A．＝ B．＝ C．∠AED＝∠B D．∠AED＝∠C
5．如图，D是△ABC边AB上一点，添加一个条件后，仍不能使△ACD∽△ABC的是（　　）
A．∠ACD＝∠B B．∠ADC＝∠ACB C．AC2＝AD AB D．
6．如图，△ABC的两条中线BE，CD交于点O，则下列结论不正确的是（　　）
A．＝ B．＝
C．△ADE∽△ABC D．S△DOE：S△BOC＝1：2
7．如图，∠DAB＝∠CAE，请你再添加一个条件，使得△ADE∽△ABC．则下列选项不成立的是（　　）
A．∠D＝∠B B．∠E＝∠C C． D．
8．如图，在△ABC中，D为AB上一点，若AC2＝AD AB，则（　　）
A．△ADC∽△CBD B．△BDC∽△BCA C．△ADC∽△ACB D．无法判断
9．如图，AB⊥BD，PD⊥BD，垂足分别为点B，D，点C是线段BD上的动点，点E是射线DP上的动点，增加下列条件，不能得到△ABC与△CDE相似的是（　　）
A．∠A＝∠ECD B．＝ C．＝ D．＝
二．填空题（共5小题，满分20分）
10．如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC上的点，试添加一个条件：　 　，使得△ADE与△ABC相似．（任意写出一个满足条件的即可）
11．如图，△ABC中，BC＞BA，点D是边BC上的一个动点（点D与点B，C不重合），若再增加一个条件，就能使△ABD与△ABC相似，则这个条件可以是　 　（写出一个即可）．
12．如图，矩形ABCD中，AD＝4，AB＝10，P为CD边上的动点，当DP＝　 　时，△ADP与△BCP相似．
13．如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝16，点P是AB边的中点，点Q是BC边上一个动点，当BQ＝　 　时，△BPQ与△BAC相似．
14．如图，在6×6的正方形的网格中，每个小正方形的边长为1，已知Rt△ABC是网格中的格点三角形，则该网格中与Rt△ABC相似且面积最大的格点三角形的面积是　 　，符合条件的格点三角形共有　 　个．
三．解答题（共11小题，满分73分）
15．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上，判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由．
16．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是AD上一点，且BE＝BD；求证：△ABE∽△ACD．
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边BC、边AB上，且∠ADE＝∠B，求证：△ADC∽△DEB．
18．如图，在△PAB中，点C、D在AB上，PC＝PD＝CD，∠A＝∠BPD，求证：△APC∽△PBD．
19．如图，已知△ADE∽△ABC，点D在△ABC内部，连接BD、CD、CE，求证：△ABD∽△ACE．
20．如图，在平行四边形ABCD中，E为DC上一点，连接AE，F为AE上一点，且∠BFE＝∠C．求证：△ABF∽△EAD．
21．如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝9，CD＝1，BD＝6，点E在BD上移动，当以E，C，D为顶点的三角形与△ABE相似时，求DE的长．
22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝8cm．点M从点C出发，以2cm/s的速度沿CA向点A匀速运动，点N从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向点C匀速运动，当一个点到达终点时，另一点也随即停止运动．
（1）经过几秒后，△MCN的面积等于△ABC面积的？
（2）经过几秒，△MCN与△ABC相似？
23．如图所示，在平行四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝6cm，BC＝12cm，点E由点A出发沿AB方向向点B匀速移动，速度为1cm/s，点F由点B出发沿BC方向向点C匀速移动，速度为2cm/s，如果动点E，F同时从A，B两点出发，连接EF，若设运动时间为ts，解答下列问题：
（1）当t为多少时，△BEF为等腰直角三角形；
（2）是否存在某一时刻t，使△EFB∽△FDC？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
24．如图，点E是四边形ABCD的对角线BD上一点，且∠BAC＝∠BDC＝∠DAE．求证：△ABE∽△ACD．
25．如图，在平面直角坐标系中，已知OA＝6厘米，OB＝8厘米．点P从点B开始沿BA边向终点A以1厘米/秒的速度移动；点Q从点A开始沿AO边向终点O以1厘米/秒的速度移动．若P、Q同时出发，运动时间为t（s）．
（1）当t为何值时，△APQ与△AOB相似？
（2）当t为何值时，△APQ的面积为8cm2？
参考答案
一．选择题（共9小题，满分27分）
1．解：已知给出的三角形的各边分别为 、2、、
只有选项A的各边为1、、与它的各边对应成比例．
故选：A．
2．解：∵由图可知，AB＝AC＝6，∠A＝30°，
∴∠C＝75°＝∠B，
A、三角形各角的度数分别为75°，52.5°，52.5°，
B、三角形各角的度数都是60°，
C、三角形各角的度数分别为75°，30°，75°，
D、三角形各角的度数分别为40°，70°，70°，
∴只有C选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等，
故选：C．
3．解：①阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；
②阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；
③两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似；
④两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似．
故选：B．
4．解：∵∠DAE＝∠BAC，
∴当＝时，△ADE∽△ACB，所以A选项符合题意，B选项不符合题意；
当∠AED＝∠B，△ADE∽△ACB，所以C选项不符合题意；
当∠AED＝∠C，△ADE∽△ABC，所以D选项不符合题意；
故选：A．
5．解：A、当∠ACD＝∠B时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；
B、当∠ADC＝∠ACB时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；
C、当AC2＝AD AB时，即＝，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；
D、当＝时，无法得出△ACD∽△ABC，故此选项符合题意．
故选：D．
6．解：∵AD＝DB，AE＝EC，
∴DE＝BC，DE∥BC，
∴＝，A选项结论正确，不符合题意；
∵DE∥BC，
∴＝，B选项结论正确，不符合题意；
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，C选项结论正确，不符合题意；
∵DE∥BC，
∴△DOE∽△COB，
∴S△DOE：S△COB＝1：4，D选项结论错误，符合题意；
故选：D．
7．解：∵∠DAB＝∠CAE，
∴∠DAB+∠BAE＝∠CAE+∠BAE，
∴∠DAE＝∠BAC，
∴当添加条件∠D＝∠B时，则△ADE∽△ABC，故选项A不符合题意；
当添加条件∠E＝∠C时，则△ADE∽△ABC，故选项B不符合题意；
当添加条件时，则△ADE∽△ABC，故选项C不符合题意；
当添加条件时，则△ADE和△ABC不一定相似，故选项D符合题意；
故选：D．
8．解：∵AC2＝AD AB，
∴，
∵∠A＝∠A，且∠A为AD、AC和AB、AC的夹角，
∴△ADC∽△ACB．
故选：C．
9．解：∵AB⊥BD，PD⊥BD，
∴∠ABC＝∠CDE＝90°，
A、∵∠A＝∠ECD，∠ABC＝∠CDE，
∴△ABC∽△EDC，
故A选项不合题意，
B、∵，
∴△ACB∽△ECD，
故B选项不合题意，
C、∵，∠ABC＝∠CDE，
∴△ABC∽△CDE，
故C选项不合题意，
若，不能判定△ABC与△CDE相似，
故选：D．
二．填空题（共5小题，满分20分）
10．解：添加∠ADE＝∠C，
又∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，
故答案为：∠ADE＝∠C（答案不唯一）．
11．解：∵∠ABD＝∠CBA，
∴当∠BAD＝∠C时，△BAD∽△BCA；
当∠BDA＝∠BAC时，△BAD∽△BCA；
当时，△BAD∽△BCA．
故答案为∠BAD＝∠C或∠BDA＝∠BAC或．
故答案为∠BAD＝∠C或∠BDA＝∠BAC或．
12．解：①当△APD∽△PBC时，
，
即，
解得：PD＝2或PD＝8；
②当△PAD∽△PBC时，
，
即＝，
解得：DP＝5．
综上所述，DP的长度是2或8或5．
故答案是：2或8或5．
13．解：∵AB＝8，BC＝16，点P是AB边的中点，
∴BP＝4．
当△BPQ∽△BAC时，
则＝，
故＝，
解得：BQ＝8；
当△BPQ∽△BCA时，
则＝，
故＝，
解得：BQ＝2，
综上所述：当BQ＝2或8时，△BPQ与△BAC相似．
故答案为：2或8．
14．解：在Rt△ABC中，AC＝1，BC＝2，
∴AB＝，AC：BC＝1：2，
∴与Rt△ABC相似的格点三角形的两直角边的比值为1：2，
若该三角形最短边长为4，则另一直角边长为8，但在6×6网格图形中，最长线段为6，但此时画出的直角三角形为等腰直角三角形，从而画不出端点都在格点且长为8的线段，故最短直角边长应小于4，在图中尝试，可画出DE＝，EF＝2，DF＝5的三角形，
∵，
∴△ABC∽△DFE，
∴∠DEF＝∠C＝90°，
∴此时△DEF的面积为：×2÷2＝10，△DEF为面积最大的三角形，
Rt△ABC的三边为1：2：的直角三角形，
∵相似，直角边为1：2，
∴直角边最长应为与2，如图中4个，
每旋转90°又有4个，
∴共4×4＝16（个）．
故答案为：10；16．
三．解答题（共11小题，满分73分）
15．解：△ABC和△DEF相似；
理由如下：根据勾股定理，得AB＝2，BC＝2，AC＝2；DE＝，DF＝，EF＝2，
∵，
∴△ABC∽△DEF．
16．证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD．
∵BE＝BD，
∴∠BED＝∠BDE．
∴∠AEB＝∠ADC．
∴△ABE∽△ACD．
17．证明：在△ABC中，AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠EDC＝∠ADE+∠ADC＝∠B+∠BED，∠ADE＝∠B，
∴∠DEB＝∠ADC，
在△ADC和△DEB中，∠ADC＝∠DEB，∠C＝∠B，
∴△ADC∽△DEB．
18．证明：∵PC＝PD，
∴∠PCD＝∠PDC，
∵∠A+∠APC＝∠PCD，∠B+∠BPD＝∠PDC，
又∵∠A＝∠BPD，
∴∠B＝∠APC，
∴△APC∽△PBD．
19．证明：∵△ADE∽△ABC，
∴，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD∽△ACE．
20．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAF＝∠AED，且∠C+∠D＝180°，
又∵∠BFE+∠BFA＝180°，
∵∠BFE＝∠C，
∴∠BFA＝∠D，
∴△ABF∽△EAD．
21．解：设DE＝x，则BE＝BD﹣x＝6﹣x，
∵AB⊥BD于B，CD⊥BD于D，
∴∠B＝∠D＝90°，
∴当时，△ABE∽△CDE，即，
解得x＝，
当时，△ABE∽△EDC，即，
整理得x2﹣6x+9＝0，
解得x1＝x2＝3，
∴当DE为或3时，以C、D、E为顶点的三角形与以E、B、A为顶点的三角形相似．
22．解：（1）设经过x秒，△MCN的面积等于△ABC面积的．
×2x（8﹣x）＝×8×10×．
解得x1＝x2＝4．
答：经过4秒后，△MCN的面积等于△ABC面积的；
（2）设经过t秒，△MCN与△ABC相似．
∵∠C＝∠C，
∴可分为两种情况：
①＝，即＝，
解得t＝；
②＝，即＝．
解得t＝．
答：经过或秒，△MCN与△ABC相似．
23．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∠A＝90°，
∴四边形ABCD为矩形，
∴∠B＝90°．
当△BEF为等腰直角三角形时，只能是BE＝BF，AE＝t，则BE＝AB﹣AE＝6﹣t，BF＝2t，
∴2t＝6﹣t．
解得：t＝2．
∴当t＝2时，△BEF为等腰直角三角形．
（2）存在，理由如下：
∵△EFB∽△FDC，
∴BF：DC＝BE：CF．
∵BE＝6﹣t，BF＝2t，CF＝12﹣2t，
∴＝．
解得：t＝或t＝6．
又∵t＝6时，B与E重合，所以不符合题意，舍去，
综上所述，当t＝时，△EFB∽△FDC．
24．解：∵∠BAC＝∠BDC，∠AOB＝∠DOC，
∴∠ABE＝∠ACD
又∵∠BAC＝∠DAE
∴∠BAC+∠EAC＝∠DAE+∠EAC
∴∠DAC＝∠EAB
∴△ABE∽△ACD．
25．解：（1）∵点A（0，6），B（8，0），
∴AO＝6，BO＝8，
∴AB＝＝＝10，
∵点P的速度是每秒1个单位，点Q的速度是每秒1个单位，
∴AQ＝t，AP＝10﹣t，
①∠APQ是直角时，△APQ∽△AOB，
∴，
即，
解得t＝＞6，舍去；
②∠AQP是直角时，△AQP∽△AOB，
∴，
即，
解得t＝，
综上所述，t＝秒时，△APQ与△AOB相似；
（2）如图，过点P作PC⊥OA于点C，
则PC＝（10﹣t），
△APQ的面积＝×t×（10﹣t）＝8，
整理，得：t2﹣10t+20＝0，
解得：t＝5+＞6（舍去），或t＝5﹣；
故当t＝5﹣s时，△APQ的面积为8cm2．