冀教版2021-2022学年数学九年级上册 第25章图形的相似 同步达标训练 （word版含解析）

2021-2022学年冀教版九年级数学上册《第25章图形的相似》同步达标训练（附答案）
一．选择题
1．下面四组线段中，成比例的是（　　）
A．a＝2，b＝3，c＝4，d＝5 B．a＝1，b＝2，c＝2，d＝4
C．a＝4，b＝6，c＝8，d＝10 D．a＝，b＝，c＝3，d＝
2．如果，那么的值等于（　　）
A． B． C． D．2
3．若（3b+d﹣2f≠0），则的值是（　　）
A．1 B． C．3 D．无法确定
4．如图，AB与CD相交于点E，点F在线段BC上，且AC∥EF∥DB．若BE＝5，BF＝3，AE＝BC，则的值为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在△ABC中，D是BC上一点，连接AD，，F是AD的中点，连接BF并延长交AC于E，则的值是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在四边形ABCD中，已知∠ADC＝∠BAC，那么补充下列条件后不能判定△ADC和△BAC相似的是（　　）
A．CA平分∠BCD B． C．AC2＝BC CD D．∠DAC＝∠ABC
7．如图，在△ACD中，AD＝6，BC＝5，AC2＝AB（AB+BC），且△DAB∽△DCA，若AD＝3AP，点Q是线段AB上的动点，则PQ的最小值是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，BE与CD交于点A，∠C＝∠E，AC＝2，BC＝4，AE＝1.5，则DE＝（　　）
A．2 B．3 C．3.5 D．4
9．如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点．以B为圆心，以一定长度为半径画弧，分别交AB、BC于点F、G，以D为圆心，以相同的半径画弧，交AD于点M，以M为圆心，以FG的长度为半径画弧，交于点N，连接DN并延长交AC于点E．则下列式子中错误的是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在测量旗杆高度的数学活动中，某同学在脚下放了一面镜子，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶部．若眼睛距离地面AB＝1.5m，同时量得BC＝2m，CD＝12m，则旗杆高度DE＝（　　）
A．6m B．8m C．9m D．16m
11．如图，在△ABC中，CD，BE分别是△ABC的边AB，AC上的中线，则＝（　　）
A． B． C． D．
12．如图所示是利用图形的位似绘制的一幅“小鱼”图案，其中O为位似中心，且OA＝2OD，若图案中鱼身（△ABC）的面积为S，则鱼尾（△DEF）的面积为（　　）
A． B．S C．S D．S
13．如图，已知点C，D都是线段AB的黄金分割点，如果CD＝4，那么AB的长度是（　　）
A．2﹣2 B．6﹣2 C．8+4 D．2+
二．填空题
14．已知（abc≠0，a+b≠c），则＝　 　．
15．若＝＝＝k成立，则k的值为 　 　．
16．若（k≠0），则y＝kx+k﹣2一定经过第　 　象限．
17．如图，点D、E分别在△ABC的边AB，AC上，DE∥BC，点G在边BC上，AG交DE于点H，点O是线段AG的中点，若AD：DB＝3：1，则AO：OH＝　 　．
18．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，若进行以下操作，在边BC上从左到右依次取点D1、D2、D3、D4、…；过点D1作AB、AC的平行线分别交AC、AB于点E1、F1；过点D2作AB、AC的平行线分别交AC、AB于点E2、F2；过点D3作AB、AC的平行线分别交AC、AB于点E3、F3…，则4（D1E1+D2E2+…+D2021E2021）+5（D1F1+D2F2+…+D2021F2021）＝　 　．
19．如图，一组平行线l1、l2、l3相交于直线l4、l5，则＝　 　．
20．如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，四边形ABCD的面积是　 　．若四边形EFGH与四边形ABCD相似，则四边形EFGH的面积是　 ．
21．在△ABC中，AB＝6cm，AC＝9cm，动点D从点B开始沿BA边运动，速度为1cm/s；动点E从点A开始沿AC边运动，速度为2cm/s．如果D，E两动点同时运动，那么当它们运动 　 　s时，由D，A，E三点连成的三角形与△ABC相似．
22．如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，AC＝7，点D，E分别在AB，BC上，将△BDE沿ED折叠，点B的对应点F刚好落在AC上．当△CEF与△ABC相似时，BE的长为　 　．
23．如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．将线段AB绕点B顺时针方向旋转，使点A落在BD上的点H．点E为边BC的中点，连接HE，交AC于点P，若AC＝12，BD＝16，则线段PC的长为 　 　．
24．△AOB三个顶点的坐标分别为A（5，0），O（0，0），B（3，6），以原点O为位似中心，相似比为，将△AOB缩小，则点B的对应点B′的坐标是 　 　．
三．解答题
25．如图1，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2BC，D为AC边上一点，BE⊥BD，BE＝2BD，连接DE交AB于F点．
（1）求证：△CBD∽△ABE；
（2）若∠DBC＝30°，求的值；
（3）如图2，若D在射线AC上，且CD＝1，当F点为BE中点时，求AB的值
．
26．如图，在 ABCD中，点E为CD上一点，连接AE，在AE上取一点F，使得∠AFB＝∠D．求证：AE BF＝BC BA．
27．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣3，4），C（﹣2，6）．
（1）画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1，写出点C1的坐标．
（2）以原点O为位似中心，画出将△A1B1C1三条边放大为原来的2倍后得△A2B2C2，写出点B2的坐标．
28．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，线段AG分别交线段DE，BC于点F，G，且．
（1）求证：△ADF∽△ACG；
（2）若＝，求的值．
29．如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE．且∠B＝∠ADE＝∠C．
（1）证明：△BDA∽△CED；
（2）若∠B＝45°，BC＝6，当点D在BC上运动时（点D不与B、C重合）．且△ADE是等腰三角形，求此时BD的长．
30．如图在锐角三角形OAB中，点M，N分别在边OB，OA上，OG⊥AB于点G，OH⊥MN于点H，∠NOH＝∠GOB．
（1）求证：△OMN∽△OAB；
（2）若OM＝3，OA＝7，求的值．
31．如图，在平行四边形ABCD中，点E是AC上一点，射线BE与CD的延长线交于点P，与边AD交于点F，连接FC．
（1）若∠ABF＝∠ACF，求证：CE2＝EF EP；
（2）若点D是CP中点，BE＝2，求EF的长．
32．如图，在△ABC中，CD是角平分线，DE平分∠CDB交BC于点E，且DE∥AC．
（1）求证：CD2＝CA CE．
（2）若CE＝2BE＝2，求CD的长．
33．已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，E为直角边AC的中点，过D，E作直线交AB的延长线于F．
（1）若AB＝6，AC＝8，求BD长；
（2）求证：AB AF＝AC DF．
34．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE∥AC，EF∥AB．
（1）求证：△BDE∽△EFC．
（2）若，△EFC的面积是25，求△ABC的面积．
35．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝8cm．点M从点C出发，以2cm/s的速度沿CA向点A匀速运动，点N从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向点C匀速运动，当一个点到达终点时，另一点也随即停止运动．
（1）经过几秒后，△MCN的面积等于△ABC面积的？
（2）经过几秒，△MCN与△ABC相似？
36．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC，DC上，AE与BD交于点H，AE的延长线与DC的延长线交于点G，∠BAE＝∠DAF．
（1）求证：AD2＝DF DG；
（2）若HE＝4，EG＝5，求AH的长．
37．如图，小明同学为了测量教学楼的高度OE，先在操场上点A处放一面镜子，从点A处后退1m到点B处，恰好在镜子中看到楼的顶部E点；再将镜子向后移动4m放在C处，从点C处向后退1.5m到点D处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E点，测得小明的眼睛距地面的高度FB，GD为1.5m，点O，A，B，C，D在同一水平线上，镜子可看成一个点．求教学楼的高度OE．
参考答案
1．解：A、2×5≠3×4，故选项不符合题意；
B、1×4＝2×2，故选项符合题意；
C、4×10≠5×6，故选项不符合题意；
D、×3≠×，故选项不符合题意．
故选：B．
2．解：∵，
∴3（a﹣b）＝a，
∴a＝b，
∴＝＝．
故选：B．
3．解：∵（3b+d﹣2f≠0），
∴a＝3b，c＝3d，e＝3f，
∴＝＝＝3．
故选：C．
4．解：设CF＝x，
∵EF∥AC，
∴＝，
∴＝，
解得x＝，
∴CF＝，
∵EF∥DB，
∴＝＝＝．
故选：A．
5．解：过D点作DH∥BE交AC于H，如图，
∵F点为AD的中点，
∴AF＝FD，
∵FE∥DH，
∴＝＝1，即AE＝EH，
∵DH∥BE，
∴＝＝，CH＝3EH，
∴＝．
故选：A．
6．解：在△ADC和△BAC中，∠ADC＝∠BAC，
如果△ADC∽△BAC，需满足的条件有：
①∠DAC＝∠ABC或AC是∠BCD的平分线；
②＝；
故选：C．
7．解：∵△DAB∽△DCA，
∴，
∴，
解得：BD＝4（负值舍去），
∵△DAB∽△DCA，
∴，
∴AC＝，
∵AC2＝AB（AB+BC），
∴（AB）2＝AB（AB+BC），
∴AB＝4，
∴AB＝BD＝4，
过B作BH⊥AD于H，
∴AH＝AD＝3，
∴BH＝＝＝，
∵AD＝3AP，AD＝6，
∴AP＝2，
当PQ⊥AB时，PQ的值最小，
∵∠AQP＝∠AHB＝90°，∠PAQ＝∠BAH，
∴△APQ∽△ABH，
∴，
∴＝，
∴PQ＝，
故选：A．
8．解：∵∠C＝∠E，∠CAB＝∠DAE，
∴△CAB∽△EAD，
∴，
∴，
∴DE＝3，
故选：B．
9．解：由题意可得：∠ABC＝∠ADE，
∴DE∥BC，
∴，，，故选项A，B，D不合题意，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，故选项C符合题意，
故选：C．
10．解：∵AB⊥BD，DE⊥BD，
∴∠ABC＝∠EDC＝90°，
∵∠ACB＝∠DCE，
∴△ABC∽△EDC，
∴＝，
∴＝，
∴DE＝9（m），
故选：C．
11．解：∵CD，BE分别是△ABC的边AB，AC上中线，
∴D是AB的中点，E是AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∴△DEF∽△CBF，
∴＝＝，
故选：D．
12．解：∵△ABC与△DEF是以O为位似中心位似图形，OA＝2OD，
∴△ABC∽△DEF，且相似比为2，
∴＝22＝4，
∵△ABC的面积为S，
∴△DEF的面积S，
故选：C．
13．解：∵点C，D都是线段AB的黄金分割点，
∴AD＝AB，BC＝AB，
∵CD＝4，AD+BC﹣CD＝AB，
∴AB+AB﹣4＝AB，
解得：AB＝8+4，
故选：C．
14．解：设＝k，
则a＝2k，b＝3k，c＝4k，
所以
＝
＝
＝3，
故答案为：3．
15．解：当a+b+c≠0时，根据比例的等比性质，得k＝＝1：
当a+b+c＝0时，即a+b＝﹣c，则k＝＝﹣2．
故答案为：1或﹣2．
16．解：根据比例的等比性质，得k＝，
当a+b+c≠0时，k＝2，
∴直线解析式是y＝2x，
∴图象经过一、三象限．
当a+b+c＝0时，a+b＝﹣c，
∴k＝＝＝﹣1，
∴直线解析式是y＝﹣x﹣3，
∴图象经过二、三、四象限．
综上所述，直线一定经过第三象限，
故答案为：三．
17．解：∵点O是线段AG的中点，
∴OA＝OG＝AG，
∵DE∥BC，AD：DB＝3：1，
∴＝＝＝，＝＝，
∴OH＝OG﹣HG＝AG﹣AG＝AG，
∴AO：OH＝（AG）：（AG）＝2：1，
故答案为：2：1．
18．解：∵D1F1∥AC，
∴．
∵D1F1∥AC，D1E1∥AB，
∴四边形D1E1AF1为平行四边形．
∴D1E1＝AF1．
∴BF1＝AB﹣AF1＝AB﹣D1E1．
∴．
将AB＝5，AC＝4代入上式得：4D1E1+5D1F1＝20．
同理可得：4D2E2+5D2F2＝20，
…
4D2021E2021+5D2021F2021＝20，
∴4（D1E1+D2E2+…+D2021E2021）+5（D1F1+D2F2+…+D2021F2021）
＝4D1E1+5D1F1+4D2E2+5D2F2+…+4D2021E2021+5D2021F2021
＝20+20+…+20
＝2021×20
＝40420．
故答案为40420．
19．解：∵l1∥l2，
∴＝①，
∵l2∥l3，
∴＝②，
①×②，得＝，
故答案为：．
20．解：∵S四边形ABCD＝2×4﹣×1×2﹣×1×2﹣1×1﹣×1×1＝．
又∵四边形EFGH与四边形ABCD相似，
∴S四边形EFGH：S四边形ABCD＝（）2＝（）2＝，
∴S四边形EFGH＝×＝．
故答案为：，．
21．解：根据题意得：AE＝2t，BD＝t，
∴AD＝6﹣t，
∵∠A＝∠A，
∴分两种情况：
①当＝时，
即＝，解得：t＝；
②当＝时，
即＝，解得：t＝；
综上所述：当t＝或时，△ADE与△ABC相似．
22．解：∵将△BDE沿DE翻折得到△FDE，
∴BE＝EF，
∵BC＝8，
∴CE＝8﹣BE，
当△CEF与△ABC相似时，＝或＝，即＝或＝，
解得：BE＝或，
故答案是：或．
23．解：过E点作EF⊥BD于F，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴EF∥AC，
∵AC＝12，BD＝16，
∴OC＝OA＝AC＝6，OB＝OD＝BD＝8，
∴BC＝＝＝10，
∴BH＝AB＝BC＝10，
∴OH＝BH﹣OB＝2，
∵E是BC的中点，EF∥AC，
∴EF＝OC＝3，OF＝OB＝4，
∴HF＝OH+OF＝6，
∵EF∥AC，
∴△HOP∽△HFE，
∴，
∴，
∴OP＝1，
∴CP＝OC﹣OP＝5．
故答案为：5．
24．解：∵△AOB顶点B的坐标为（3，6），以原点O为位似中心，相似比为，将△AOB缩小，
∴点B的对应点B′的坐标为（3×，6×）或（3×（﹣），6×（﹣）），即（2，4）或（﹣2，﹣4），
故答案为：（2，4）或（﹣2，﹣4）．
25．解：（1）∵BE⊥BD，
∴∠DBE＝90°＝∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABE，
∵AB＝2BC，BE＝2BD，
∴＝，
∴△CBD∽△ABE；
（2）如图1，过点D作DH⊥BC于H，
∵∠ABC＝90°，AB＝2BC，
∴AC＝＝BC，
∵△CBD∽△ABE，
∴，∠AEB＝∠BDC，
∴AE＝2CD，
∵DH⊥BC，
∴∠ABC＝∠DHC＝90°，
又∵∠C＝∠C，
∴△ABC∽△DHC，
∴，
∴CH＝CD，DH＝CD，
∵∠DBC＝30°，
∴BD＝2DH＝CD，
∵∠AEB＝∠BDC，∠BDC+∠ADB＝180°，
∴∠AEB+∠ADB＝180°，
∴点A，点E，点B，点D四点共圆，
∴∠AED＝∠ABD，∠BAE＝∠BDE，
∴△AEF∽△DBF，
∴，
∴；
（3）如图2，过点A作AN⊥BE于N，
∵F点为BE中点，BE＝2BD，
∴BF＝EF＝BE＝BD，
又∵∠EBD＝90°，
∴∠BFD＝∠BDF＝45°，
∵△CBD∽△ABE，
∴AE＝2CD＝2，∠AEB＝∠ADB＝45°，
又∵∠BFD＝∠AFE＝45°，
∴∠AEF＝∠AFE，
∴∠FAE＝90°，AE＝AF＝2，
∴EF＝2，
∵AN⊥BE，
∴AN＝EN＝FN＝，
∵EF＝BF＝2，
∴BN＝3，
∴AB＝＝＝2．
26．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AB∥CD，
∴∠DEA＝∠BAF，
又∵∠AFB＝∠D，
∴△ADE∽△BFA，
∴，
∴AE BF＝AB AD＝BC BA．
27．解：（1）如图，△A1B1C1为所求作的三角形，C1（3，3）．
（2）如图所示，则△A2B2C2为所求作的三角形，B2（2，8）．
28．解：（1）∵∠AED＝∠B，∠DAE＝∠CAB，
∴△AED∽△ABC，
∴∠ADF＝∠C，
又∵，
∴△ADF∽△ACG；
（2）∵△ADF∽△ACG，
∴，
∵，
∴，
又∵AG＝AF+FG，
∴．
29．解：（1）∵∠B＝∠ADE＝∠C，
∴∠BAD＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE，
∵∠CDE＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE，
∴∠BAD＝∠CDE，
∴△BDA∽△CED；
（2）当AD＝AE时，
∴∠1＝∠AED，
∵∠1＝45°，
∴∠1＝∠ADE＝45°，
∴∠DAE＝90°，
∴点D与B重合，不合题意舍去；
当EA＝ED时，如图1，
∴∠EAD＝∠1＝45°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD＝∠EAD＝45°，
∴AD平分∠BAC，
∴AD垂直平分BC，
∴BD＝3；
当DA＝DE时，如图2，
∵∠1＝∠C，∠DAE＝∠CAD，
∴△ADE∽△ACD，
∴DA：AC＝DE：DC，
∴AC＝DC，
∵∠B＝45°，
∴∠C＝45°，∠BAC＝90°，
∵BC＝6，
∴，
∴，
综上所述，当△ADE是等腰三角形时，BD的长为3或．
30．（1）证明：在△OHN和△OGB中，∵∠OHN＝∠OGB＝90°，∠NOH＝∠BOG，
∴△OHN∽△OGB，
∴∠ONH＝∠B，
∵∠AOB＝∠MON，
∴△OMN∽△OAB；
（2）解：由（1）得△OMN∽△OAB，
∵OM＝3，OA＝7，
∴．
31．解：（1）∵平行四边形ABCD，射线BE与CD的延长线交于点P，
∴AB∥CD，
∴∠ABF＝∠P，
∵∠ABF＝∠ACF，
∴∠ACF＝∠P，
∵∠CEF＝∠PEC，
∴△CEF∽△PEC，
∴，
即CE2＝EF PE；
（2））∵平行四边形ABCD，射线BE与CD的延长线交于点P，
∴AB∥CD，AB＝CD，AD∥BC，
∴∠ABF＝∠P，
∵∠AEB＝∠CEP，
∴△BEA∽△PEC，
∴，
∵点D是CP的中点，
∴CP＝2CD＝2AB，点F是BP的中点，
∴，
解得：PE＝4，
∴PF＝﹣BP
＝（BE+PE）
＝3，
∴EF＝PE﹣PF＝．
32．（1）证明：∵CD是角平分线，
∴∠ACD＝∠DCE．
∵DE平分∠CDB，
∴∠CDE＝∠EDB，
又∵DE∥AC，
∴∠A＝∠EDB，
∴∠A＝∠CDE，
∴△ACD∽△DCE，
∴，
∴CD2＝CA CE；
（2）解：∵CE＝2BE＝2，
∴CE＝2，BE＝1，
∵CD平分∠CDB，
∴∠ACD＝∠BCD，
又∵DE∥AC，
∴∠ACD＝∠CDE，
∴∠BCD＝∠CDE，
∴DE＝CE＝2，
∵DE∥AC，
∴，
∴CA＝6，
∴CD2＝CA CE＝12，
∴．
33．解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，
∴BC＝＝10，
∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴∠CAB＝∠ADB，
∵∠B＝∠B，
∴△CBA∽△ABD，
∴，
∴，
∴BD＝3.6；
（2）证明：由（1）知：BD：AD＝AB：AC①，
又∵E为AC的中点，AD⊥BC，
∴ED＝AE＝EC，
∴∠C＝∠EDC＝∠FAD＝∠BDF，
又∵∠F为公共角，
∴△DBF∽△ADF，
∴BD：AD＝DF：AF②，
由①②得，AB：AC＝DF：AF，
∴AB AF＝AC DF．
34．解：（1）∵DE∥AC，EF∥AB，
∴∠DEB＝∠C，∠BDE＝∠A，∠A＝∠EFC．
∴∠BDE＝∠EFC．
∴△BDE∽△EFC．
（2）∵DE∥AC，
∴∠A＝∠EFC，∠B＝∠FEC．
∴△ABC∽△FEC．
∵，
∴．
∴＝．
∴．
∵△EFC的面积是25，
∴S△ABC＝64．
35．解：（1）设经过x秒，△MCN的面积等于△ABC面积的．
×2x（8﹣x）＝×8×10×．
解得x1＝x2＝4．
答：经过4秒后，△MCN的面积等于△ABC面积的；
（2）设经过t秒，△MCN与△ABC相似．
∵∠C＝∠C，
∴可分为两种情况：
①＝，即＝，
解得t＝；
②＝，即＝．
解得t＝．
答：经过或秒，△MCN与△ABC相似．
36．（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB∥DG，
∴∠BAE＝∠DGA，
又∠BAE＝∠DAF，
∴∠DGA＝∠DAF，
又∠ADF＝∠GDA，
∴△ADF∽△GDA，
∴，
∴AD2＝DF DG．
（2）解：∵AB∥GD，
∴，
∵AD∥BC，
∴，
∴，
即AH2＝HG HE＝（4+5）×4＝36，
∴AH＝6．
37．解：由已知得，AB＝1m，CD＝1.5m，AC＝4m，FB＝GD＝1.5m，∠AOE＝∠ABF＝∠CDG＝90°，∠BAF＝∠OAE，∠DCG＝∠OCE．
∵∠BAF＝∠OAE，∠ABF＝∠AOE，
∴△BAF∽△OAE，
∴＝，即＝，
∴OE＝1.5OA，
∵∠DCG＝∠OCE，∠CDG＝∠COE，
∴△GDC∽△EOC，
∴＝，即＝，
∴OE＝OA+4，
∴OE＝1.5OA，
∴1.5OA＝OA+4，
∴OA＝8m，OE＝12m．
答：教学楼的高度OE为12m．