2.2.2直线的两点式方程 同步学案（知识梳理+例题+变式+练习）（解析版）
文档属性
| 名称 | 2.2.2直线的两点式方程 同步学案（知识梳理+例题+变式+练习）（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.8MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-10-19 10:11:16 | ||
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文档简介
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2.2.2直线的两点式方程
要点一 直线的两点式方程
1．定义：如图所示，直线l经过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)，则方程___＝__，叫做直线l的两点式方程，简称两点式．
2．说明：与坐标轴垂直_的直线没有两点式方程．
【方法技巧】
直线的两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，但如果将方程变形为：(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)，它是两点式的变形，可以表示任何直线，包括与坐标轴垂直的直线．
要点二 直线的截距式方程
1．定义：如图所示，直线l与两坐标轴的交点分别是P1(a,0)，P2(0，b)(其中a≠0，b≠0)，则方程＋＝1，叫做直线l的截距式方程，简称截距式．
2．说明：一条直线与x轴的交点(a,0)的横坐标a叫做直线在x轴上的截距．与坐标轴垂直和过原点的直线均没有截距．
【方法技巧】
①由截距式方程可以直接得到直线在x轴与y轴上的截距．
②由截距式方程可知，截距式方程只能表示在x轴、y轴上的截距都存在且不为0的直线，因此，截距式不能表示过原点的直线、与x轴垂直的直线、与y轴垂直的直线．
③过原点的直线可以表示为y＝kx；与x轴垂直的直线可以表示为x＝x0；与y轴垂直的直线可以表示为y＝y0.
【基础自测】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)给定两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)就可以用两点式写出直线方程．( )
(2)方程＝和方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y－y1)的适用范围相同．( )
(3)截距相等的直线都可以用方程＋＝1表示．( )
(4)不经过原点的直线都可以用＋＝1表示．( )
【答案】（1）×（2）×（3）×（4）×
2．过点A(3,2)，B(4,3)的直线方程是( )
A．x＋y＋1＝0 B．x＋y－1＝0 C．x－y＋1＝0 D．x－y－1＝0
【答案】D
【解析】由直线的两点式方程，得＝，化简：得x－y－1＝0.故选D.
3．如图，直线l的截距式方程是＋＝1，则( )
A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0
【答案】B
【解析】M(a,0)，N(0，b)，由题图知M在x轴正半轴上，N在y轴负半轴上，所以a＞0，b＜0.故选B.
4．过两点(－1,1)和(3,9)的直线在x轴上的截距为________．
【答案】－
【解析】直线方程为＝，化为截距式为＋＝1，则在x轴上的截距为－.
题型一 由两点式求直线方程
1．(1)若直线l经过点A(2，－1)，B(2,7)，则直线l的方程为________．
【答案】(1)x＝2
【解析】(1)由于点A与点B的横坐标相等，所以直线l没有两点式方程，所求的直线方程为x＝2.
(2)若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3,4)的直线上，则m＝________.
【答案】(2)－2
【解析】(2)由直线方程的两点式得＝，即＝.∴直线AB的方程为y＋1＝－x＋2，∵点P(3，m)在直线AB上，
则m＋1＝－3＋2，得m＝－2.
2．在△ABC中，已知点A(5，－2)，B(7,3)，且边AC的中点M在y轴上，边BC的中点N在x轴上．
(1)求点C的坐标；
(2)求直线MN的方程．
【解析】(1)设点C(x，y)，由题意得＝0，＝0得x＝－5，y＝－3.故所求点C的坐标是(－5，－3)．
(2)点M的坐标是(0，－)，点N的坐标是(1,0)，直线MN的方程是＝，即5x－2y－5＝0.
【方法技巧】
当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不垂直于坐标轴．若满足，则考虑用两点式求方程.
由两点式求直线方程的步骤
1．设出直线所经过点的坐标．
2．根据题中的条件，找到有关方程，解出点的坐标．
3．由直线的两点式方程写出直线的方程．
题型二 由截距式求直线方程
【例1】求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l的方程．
【解析】方法一 设直线在x轴、y轴上的截距分别为a，b.
①当a≠0，b≠0时，设l的方程为＋＝1.∵点(4，－3)在直线上，∴＋＝1，
若a＝b，则a＝b＝1，直线方程为x＋y＝1.
若a＝－b，则a＝7，b＝－7，此时直线的方程为x－y＝7.
②当a＝b＝0时，直线过原点，且过点(4，－3)，∴直线的方程为3x＋4y＝0.
综上知，所求直线方程为x＋y－1＝0或x－y－7＝0或3x＋4y＝0.
方法二 设直线l的方程为y＋3＝k(x－4)，令x＝0，得y＝－4k－3；令y＝0，得x＝.
又∵直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等，∴|－4k－3|＝，解得k＝1或k＝－1或k＝－.
∴所求的直线方程为x－y－7＝0或x＋y－1＝0或3x＋4y＝0.
【方法技巧】
截距式方程应用的注意事项
1．如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可．
2．选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直．
3．要注意截距式直线方程的逆向应用．
【变式训练】
1.求过点A(5,2)且在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍的直线l的方程．
【解析】由题意知，当直线l在坐标轴上的截距均为零时，直线l的方程为y＝x；
当直线l在坐标轴上的截距不为零时，设l的方程为＋＝1，
将点(5,2)代入方程得＋＝1，解得a＝，所以直线l的方程为x＋2y－9＝0.
综上知，所求直线l的方程为y＝x，或x＋2y－9＝0.
题型三 直线方程的灵活运用
【例2】已知A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC中，
(1)求BC边的方程；
(2)求BC边上的中线所在直线的方程．
【解析】(1)BC边过两点B(5，－4)，C(0，－2)，由两点式，得＝，即2x＋5y＋10＝0，
故BC边的方程是2x＋5y＋10＝0(0≤x≤5)．
(2)设BC的中点M(a，b)，则a＝＝，b＝＝－3，所以M(，－3)，
又BC边的中线过点A(－3,2)，所以＝，即10x＋11y＋8＝0，所以BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0.
【变式探究1】本例中条件不变，试求AB边上的高线所在直线方程．
【解析】设AB边上的高线所在直线斜率为k，∵kAB＝＝－，∴k＝，又高线过点C(0，－2)，
∴由点斜式方程得高线所在直线方程为y＋2＝(x－0)，即4x－3y－6＝0.
【变式探究2】本例中条件不变，试求与AB平行的中位线所在直线方程．
【解析】由探究1知kAB＝－，即中位线所在直线斜率为－，由例题知BC的中点为(，－3)，
所以由点斜式方程可得，中位线所在直线方程为y＋3＝－(x－)，即6x＋8y＋9＝0.
【方法技巧】
直线方程的选择技巧
1．已知一点的坐标，求过该点的直线方程，一般选取点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜率．
2．若已知直线的斜率，一般选用直线的斜截式，再由其他条件确定直线的一个点或者截距．
3．若已知两点坐标，一般选用直线的两点式方程，若两点是与坐标轴的交点，就用截距式方程．
4．不论选用怎样的直线方程，都要注意各自方程的限制条件，对特殊情况下的直线要单独讨论解决．
【变式训练】
1.已知直线l经过点(1,6)和点(8，－8)．
(1)求直线l的两点式方程，并化为截距式方程；
(2)求直线l与两坐标轴围成的图形面积．
【解析】(1)由已知得直线l的两点式方程为＝，所以＝，即＝x－1，
所以y－6＝－2x＋2，即2x＋y＝8.所以＋＝1.
(2)由(1)知直线l在两坐标轴上的截距分别为4和8，所以围成的面积为×4×8＝16.
【易错辨析】忽视截距为零引发的错误
【例3】求过点M(3,2)，且在x、y轴上的截距相等的直线方程．
【解析】当在x、y轴上的截距均为零时，所求直线的方程为：y＝x.当在x、y轴上的截距均不为零时，可设直线的方程为＋＝1，
把点M(3,2)代入得：a＝5，故所求的直线方程为x＋y＝5.综上知所求直线的方程为y＝x或x＋y＝5.
【易错提醒】
易错原因 纠错心得
忽视了截距为零的情况，直接由＋＝1得直线方程产生了漏解. “截距相等”包含两层意思，一是截距不为零时相等，二是截距为零时相等，而后者常被忽视，造成漏解，因此对于此类题目，也要分类讨论.
1.(多选题)下列语句中不正确的是( )
A.经过定点P(x0,y0)的直线都可以用方程y-y0=k(x-x0)表示
B.经过任意两个不同点P(x1,y1),Q(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示
C.不经过原点的直线都可以用方程=1表示
D.经过定点的直线都可以用y=kx+b表示
【答案】ACD
【解析】A不正确,该方程无法表示直线x=x0;C不正确,该方程无法表示与坐标轴平行的直线;D不正确,该方程无法表示与x轴垂直的直线,B正确.
2.两条直线=1与=1在同一平面直角坐标系中的图象是下图中的( )
【答案】B
【解析】两直线的方程分别化为y=x-n,y=x-m,易知两直线的斜率符号相同.
3.过点P(3,4)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是( )
A.x-y+1=0
B.x-y+1=0或4x-3y=0
C.x+y-7=0
D.x+y-7=0或4x-3y=0
【答案】D
【解析】当直线过原点时,直线方程为y=x,即4x-3y=0;排除A、C;当直线不过原点时,设直线方程为=1,因为该直线过点P(3,4),所以=1,解得a=7.所以直线方程为x+y-7=0.所以过点P(3,4)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为4x-3y=0或x+y-7=0.故选D.
4.直线l过点(-1,-1)和(2,5),点(1 010,b)在直线l上,则b的值为( )
A.2 019 B.2 020 C.2 021 D.2 022
【答案】C
【解析】直线l的两点式方程为,化简得y=2x+1,将x=1010代入,得b=2021.
5.经过点A(1,3)和B(a,4)的直线方程为 .
【答案】x-(a-1)y+3a-4=0
【解析】当a=1时,直线AB的斜率不存在,所求直线的方程为x=1;
当a≠1时,由两点式,得,
整理,得x-(a-1)y+3a-4=0,
在这个方程中,当a=1时方程也为x=1,
所以,所求的直线方程为x-(a-1)y+3a-4=0.
6.斜率为,且与两坐标轴围成的三角形的面积为4的直线方程为 .
【答案】x-2y+4=0或x-2y-4=0
【解析】设直线方程为y=x+b,令x=0,得y=b;令y=0,得x=-2b.所以直线与坐标轴所围成的三角形的面积为S=|b|·|-2b|=b2.
由b2=4,得b=±2.所以直线方程为y=x±2,即x-2y+4=0或x-2y-4=0.
7.已知三角形三个顶点分别是A(-3,0),B(2,-2),C(0,1),求这个三角形三边各自所在直线的方程.
【解析】由两点式方程得AB:,
即AB方程为y=-×-.
由两点式方程得BC:,
即BC方程为y=-x+1.
由截距式方程,得AC:=1.
即AC方程为y=x+1.
8.直线x-y+1=0关于y轴对称的直线的方程为( )
A.x-y-1=0 B.x-y-2=0
C.x+y-1=0 D.x+y+1=0
【答案】C
【解析】令y=0,则x=-1,令x=0,则y=1,∴直线x-y+1=0关于y轴对称的直线过点(0,1)和(1,0),由直线的截距式方程可知,直线x-y+1=0关于y轴对称的直线方程是x+y=1,即x+y-1=0.
9.(多选题)经过点(2,1),且与两坐标轴围成等腰直角三角形的直线方程可以是( )
A.x+y-3=0 B.x+y+3=0
C.x-y-1=0 D.x-y+1=0
【答案】AC
【解析】由题意设直线方程为=1或=1,把点(2,1)代入直线方程得=1或=1,
解得a=3或a=1,∴所求直线的方程为=1或=1,即x+y-3=0或x-y-1=0.
10.已知两点A(3,0),B(0,4),动点P(x,y)在线段AB上运动,则xy( )
A.无最小值,且无最大值
B.无最小值,但有最大值
C.有最小值,但无最大值
D.有最小值,且有最大值
【答案】D
【解析】线段AB的方程为=1(0≤x≤3),于是y=41-(0≤x≤3),从而xy=4x1-=-x-2+3,显然当x=∈[0,3]时,xy取最大值为3;当x=0或3时,xy取最小值0.
11.已知直线l过点P(2,1),且与x轴,y轴的正半轴分别交于A,B两点,O为坐标原点,则三角形OAB面积的最小值为 .
【答案】4
【解析】设直线l的截距式方程为=1,依题意,a>0,b>0,又因为点P(2,1)在直线l上,
所以=1,即2b+a=ab.
又因为△OAB面积S=|OA| |OB|=ab,
所以S=ab=(2b+a)≥,
当且仅当2b=a时等号成立,所以ab≥,解这个不等式,得ab≥8.
从而S=ab≥4,当且仅当2b=a时,S取最小值4.
12.已知直线l过点P(4,1),
(1)若直线l过点Q(-1,6),求直线l的方程;
(2)若直线l在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍,求直线l的方程.
【解析】1)∵直线l过点P(4,1),Q(-1,6),所以直线l的方程为,即x+y-5=0.
(2)由题意知,直线l的斜率存在且不为0,所以设直线l的斜率为k,则其方程为y-1=k(x-4).
令x=0得,y=1-4k;令y=0得,x=4-.∴1-4k=24-,解得k=或k=-2.
∴直线l的方程为y-1=(x-4)或y-1=-2(x-4),即y=x或2x+y-9=0.
13.如图,已知点A(2,5)与点B(4,-7),试在y轴上找一点P,使得|PA|+|PB|的值最小.
【解析】先求出点A关于y轴的对称点A'(-2,5),则|PA|=|PA'|.若使|PA|+|PB|的值最小,则P点为直线A'B与y轴的交点.由两点式得直线A'B的方程为,化简为2x+y-1=0,令x=0,得y=1,故所求点P坐标为P(0,1).
14直线过点P,2且与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,O为坐标原点,是否存在这样的直线同时满足下列条件:
(1)△AOB的周长为12;
(2)△AOB的面积为6.
若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.
【解析】设直线方程为=1(a>0,b>0),
若满足条件(1),则a+b+=12. ①
又∵直线过点P,2,∴=1. ②
由①②可得5a2-32a+48=0,
解得
∴所求直线的方程为=1或=1,
即3x+4y-12=0或15x+8y-36=0.
若满足条件(2),则ab=12, ③
由题意得=1, ④
由③④整理得a2-6a+8=0,
解得
∴所求直线的方程为=1或=1,
即3x+4y-12=0或3x+y-6=0.
综上所述,存在同时满足(1)(2)两个条件的直线方程,为3x+4y-12=0.
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2.2.2直线的两点式方程
要点一 直线的两点式方程
1．定义：如图所示，直线l经过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)，则方程___＝__，叫做直线l的两点式方程，简称两点式．
2．说明：与坐标轴垂直_的直线没有两点式方程．
【方法技巧】
直线的两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，但如果将方程变形为：(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)，它是两点式的变形，可以表示任何直线，包括与坐标轴垂直的直线．
要点二 直线的截距式方程
1．定义：如图所示，直线l与两坐标轴的交点分别是P1(a,0)，P2(0，b)(其中a≠0，b≠0)，则方程＋＝1，叫做直线l的截距式方程，简称截距式．
2．说明：一条直线与x轴的交点(a,0)的横坐标a叫做直线在x轴上的截距．与坐标轴垂直和过原点的直线均没有截距．
【方法技巧】
①由截距式方程可以直接得到直线在x轴与y轴上的截距．
②由截距式方程可知，截距式方程只能表示在x轴、y轴上的截距都存在且不为0的直线，因此，截距式不能表示过原点的直线、与x轴垂直的直线、与y轴垂直的直线．
③过原点的直线可以表示为y＝kx；与x轴垂直的直线可以表示为x＝x0；与y轴垂直的直线可以表示为y＝y0.
【基础自测】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)给定两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)就可以用两点式写出直线方程．( )
(2)方程＝和方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y－y1)的适用范围相同．( )
(3)截距相等的直线都可以用方程＋＝1表示．( )
(4)不经过原点的直线都可以用＋＝1表示．( )
【答案】（1）×（2）×（3）×（4）×
2．过点A(3,2)，B(4,3)的直线方程是( )
A．x＋y＋1＝0 B．x＋y－1＝0 C．x－y＋1＝0 D．x－y－1＝0
【答案】D
【解析】由直线的两点式方程，得＝，化简：得x－y－1＝0.故选D.
3．如图，直线l的截距式方程是＋＝1，则( )
A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0
【答案】B
【解析】M(a,0)，N(0，b)，由题图知M在x轴正半轴上，N在y轴负半轴上，所以a＞0，b＜0.故选B.
4．过两点(－1,1)和(3,9)的直线在x轴上的截距为________．
【答案】－
【解析】直线方程为＝，化为截距式为＋＝1，则在x轴上的截距为－.
题型一 由两点式求直线方程
1．(1)若直线l经过点A(2，－1)，B(2,7)，则直线l的方程为________．
【答案】(1)x＝2
【解析】(1)由于点A与点B的横坐标相等，所以直线l没有两点式方程，所求的直线方程为x＝2.
(2)若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3,4)的直线上，则m＝________.
【答案】(2)－2
【解析】(2)由直线方程的两点式得＝，即＝.∴直线AB的方程为y＋1＝－x＋2，∵点P(3，m)在直线AB上，
则m＋1＝－3＋2，得m＝－2.
2．在△ABC中，已知点A(5，－2)，B(7,3)，且边AC的中点M在y轴上，边BC的中点N在x轴上．
(1)求点C的坐标；
(2)求直线MN的方程．
【解析】(1)设点C(x，y)，由题意得＝0，＝0得x＝－5，y＝－3.故所求点C的坐标是(－5，－3)．
(2)点M的坐标是(0，－)，点N的坐标是(1,0)，直线MN的方程是＝，即5x－2y－5＝0.
【方法技巧】
当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不垂直于坐标轴．若满足，则考虑用两点式求方程.
由两点式求直线方程的步骤
1．设出直线所经过点的坐标．
2．根据题中的条件，找到有关方程，解出点的坐标．
3．由直线的两点式方程写出直线的方程．
题型二 由截距式求直线方程
【例1】求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l的方程．
【解析】方法一 设直线在x轴、y轴上的截距分别为a，b.
①当a≠0，b≠0时，设l的方程为＋＝1.∵点(4，－3)在直线上，∴＋＝1，
若a＝b，则a＝b＝1，直线方程为x＋y＝1.
若a＝－b，则a＝7，b＝－7，此时直线的方程为x－y＝7.
②当a＝b＝0时，直线过原点，且过点(4，－3)，∴直线的方程为3x＋4y＝0.
综上知，所求直线方程为x＋y－1＝0或x－y－7＝0或3x＋4y＝0.
方法二 设直线l的方程为y＋3＝k(x－4)，令x＝0，得y＝－4k－3；令y＝0，得x＝.
又∵直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等，∴|－4k－3|＝，解得k＝1或k＝－1或k＝－.
∴所求的直线方程为x－y－7＝0或x＋y－1＝0或3x＋4y＝0.
【方法技巧】
截距式方程应用的注意事项
1．如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可．
2．选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直．
3．要注意截距式直线方程的逆向应用．
【变式训练】
1.求过点A(5,2)且在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍的直线l的方程．
【解析】由题意知，当直线l在坐标轴上的截距均为零时，直线l的方程为y＝x；
当直线l在坐标轴上的截距不为零时，设l的方程为＋＝1，
将点(5,2)代入方程得＋＝1，解得a＝，所以直线l的方程为x＋2y－9＝0.
综上知，所求直线l的方程为y＝x，或x＋2y－9＝0.
题型三 直线方程的灵活运用
【例2】已知A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC中，
(1)求BC边的方程；
(2)求BC边上的中线所在直线的方程．
【解析】(1)BC边过两点B(5，－4)，C(0，－2)，由两点式，得＝，即2x＋5y＋10＝0，
故BC边的方程是2x＋5y＋10＝0(0≤x≤5)．
(2)设BC的中点M(a，b)，则a＝＝，b＝＝－3，所以M(，－3)，
又BC边的中线过点A(－3,2)，所以＝，即10x＋11y＋8＝0，所以BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0.
【变式探究1】本例中条件不变，试求AB边上的高线所在直线方程．
【解析】设AB边上的高线所在直线斜率为k，∵kAB＝＝－，∴k＝，又高线过点C(0，－2)，
∴由点斜式方程得高线所在直线方程为y＋2＝(x－0)，即4x－3y－6＝0.
【变式探究2】本例中条件不变，试求与AB平行的中位线所在直线方程．
【解析】由探究1知kAB＝－，即中位线所在直线斜率为－，由例题知BC的中点为(，－3)，
所以由点斜式方程可得，中位线所在直线方程为y＋3＝－(x－)，即6x＋8y＋9＝0.
【方法技巧】
直线方程的选择技巧
1．已知一点的坐标，求过该点的直线方程，一般选取点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜率．
2．若已知直线的斜率，一般选用直线的斜截式，再由其他条件确定直线的一个点或者截距．
3．若已知两点坐标，一般选用直线的两点式方程，若两点是与坐标轴的交点，就用截距式方程．
4．不论选用怎样的直线方程，都要注意各自方程的限制条件，对特殊情况下的直线要单独讨论解决．
【变式训练】
1.已知直线l经过点(1,6)和点(8，－8)．
(1)求直线l的两点式方程，并化为截距式方程；
(2)求直线l与两坐标轴围成的图形面积．
【解析】(1)由已知得直线l的两点式方程为＝，所以＝，即＝x－1，
所以y－6＝－2x＋2，即2x＋y＝8.所以＋＝1.
(2)由(1)知直线l在两坐标轴上的截距分别为4和8，所以围成的面积为×4×8＝16.
【易错辨析】忽视截距为零引发的错误
【例3】求过点M(3,2)，且在x、y轴上的截距相等的直线方程．
【解析】当在x、y轴上的截距均为零时，所求直线的方程为：y＝x.当在x、y轴上的截距均不为零时，可设直线的方程为＋＝1，
把点M(3,2)代入得：a＝5，故所求的直线方程为x＋y＝5.综上知所求直线的方程为y＝x或x＋y＝5.
【易错提醒】
易错原因 纠错心得
忽视了截距为零的情况，直接由＋＝1得直线方程产生了漏解. “截距相等”包含两层意思，一是截距不为零时相等，二是截距为零时相等，而后者常被忽视，造成漏解，因此对于此类题目，也要分类讨论.
1.(多选题)下列语句中不正确的是( )
A.经过定点P(x0,y0)的直线都可以用方程y-y0=k(x-x0)表示
B.经过任意两个不同点P(x1,y1),Q(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示
C.不经过原点的直线都可以用方程=1表示
D.经过定点的直线都可以用y=kx+b表示
【答案】ACD
【解析】A不正确,该方程无法表示直线x=x0;C不正确,该方程无法表示与坐标轴平行的直线;D不正确,该方程无法表示与x轴垂直的直线,B正确.
2.两条直线=1与=1在同一平面直角坐标系中的图象是下图中的( )
【答案】B
【解析】两直线的方程分别化为y=x-n,y=x-m,易知两直线的斜率符号相同.
3.过点P(3,4)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是( )
A.x-y+1=0
B.x-y+1=0或4x-3y=0
C.x+y-7=0
D.x+y-7=0或4x-3y=0
【答案】D
【解析】当直线过原点时,直线方程为y=x,即4x-3y=0;排除A、C;当直线不过原点时,设直线方程为=1,因为该直线过点P(3,4),所以=1,解得a=7.所以直线方程为x+y-7=0.所以过点P(3,4)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为4x-3y=0或x+y-7=0.故选D.
4.直线l过点(-1,-1)和(2,5),点(1 010,b)在直线l上,则b的值为( )
A.2 019 B.2 020 C.2 021 D.2 022
【答案】C
【解析】直线l的两点式方程为,化简得y=2x+1,将x=1010代入,得b=2021.
5.经过点A(1,3)和B(a,4)的直线方程为 .
【答案】x-(a-1)y+3a-4=0
【解析】当a=1时,直线AB的斜率不存在,所求直线的方程为x=1;
当a≠1时,由两点式,得,
整理,得x-(a-1)y+3a-4=0,
在这个方程中,当a=1时方程也为x=1,
所以,所求的直线方程为x-(a-1)y+3a-4=0.
6.斜率为,且与两坐标轴围成的三角形的面积为4的直线方程为 .
【答案】x-2y+4=0或x-2y-4=0
【解析】设直线方程为y=x+b,令x=0,得y=b;令y=0,得x=-2b.所以直线与坐标轴所围成的三角形的面积为S=|b|·|-2b|=b2.
由b2=4,得b=±2.所以直线方程为y=x±2,即x-2y+4=0或x-2y-4=0.
7.已知三角形三个顶点分别是A(-3,0),B(2,-2),C(0,1),求这个三角形三边各自所在直线的方程.
【解析】由两点式方程得AB:,
即AB方程为y=-×-.
由两点式方程得BC:,
即BC方程为y=-x+1.
由截距式方程,得AC:=1.
即AC方程为y=x+1.
8.直线x-y+1=0关于y轴对称的直线的方程为( )
A.x-y-1=0 B.x-y-2=0
C.x+y-1=0 D.x+y+1=0
【答案】C
【解析】令y=0,则x=-1,令x=0,则y=1,∴直线x-y+1=0关于y轴对称的直线过点(0,1)和(1,0),由直线的截距式方程可知,直线x-y+1=0关于y轴对称的直线方程是x+y=1,即x+y-1=0.
9.(多选题)经过点(2,1),且与两坐标轴围成等腰直角三角形的直线方程可以是( )
A.x+y-3=0 B.x+y+3=0
C.x-y-1=0 D.x-y+1=0
【答案】AC
【解析】由题意设直线方程为=1或=1,把点(2,1)代入直线方程得=1或=1,
解得a=3或a=1,∴所求直线的方程为=1或=1,即x+y-3=0或x-y-1=0.
10.已知两点A(3,0),B(0,4),动点P(x,y)在线段AB上运动,则xy( )
A.无最小值,且无最大值
B.无最小值,但有最大值
C.有最小值,但无最大值
D.有最小值,且有最大值
【答案】D
【解析】线段AB的方程为=1(0≤x≤3),于是y=41-(0≤x≤3),从而xy=4x1-=-x-2+3,显然当x=∈[0,3]时,xy取最大值为3;当x=0或3时,xy取最小值0.
11.已知直线l过点P(2,1),且与x轴,y轴的正半轴分别交于A,B两点,O为坐标原点,则三角形OAB面积的最小值为 .
【答案】4
【解析】设直线l的截距式方程为=1,依题意,a>0,b>0,又因为点P(2,1)在直线l上,
所以=1,即2b+a=ab.
又因为△OAB面积S=|OA| |OB|=ab,
所以S=ab=(2b+a)≥,
当且仅当2b=a时等号成立,所以ab≥,解这个不等式,得ab≥8.
从而S=ab≥4,当且仅当2b=a时,S取最小值4.
12.已知直线l过点P(4,1),
(1)若直线l过点Q(-1,6),求直线l的方程;
(2)若直线l在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍,求直线l的方程.
【解析】1)∵直线l过点P(4,1),Q(-1,6),所以直线l的方程为,即x+y-5=0.
(2)由题意知,直线l的斜率存在且不为0,所以设直线l的斜率为k,则其方程为y-1=k(x-4).
令x=0得,y=1-4k;令y=0得,x=4-.∴1-4k=24-,解得k=或k=-2.
∴直线l的方程为y-1=(x-4)或y-1=-2(x-4),即y=x或2x+y-9=0.
13.如图,已知点A(2,5)与点B(4,-7),试在y轴上找一点P,使得|PA|+|PB|的值最小.
【解析】先求出点A关于y轴的对称点A'(-2,5),则|PA|=|PA'|.若使|PA|+|PB|的值最小,则P点为直线A'B与y轴的交点.由两点式得直线A'B的方程为,化简为2x+y-1=0,令x=0,得y=1,故所求点P坐标为P(0,1).
14直线过点P,2且与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,O为坐标原点,是否存在这样的直线同时满足下列条件:
(1)△AOB的周长为12;
(2)△AOB的面积为6.
若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.
【解析】设直线方程为=1(a>0,b>0),
若满足条件(1),则a+b+=12. ①
又∵直线过点P,2,∴=1. ②
由①②可得5a2-32a+48=0,
解得
∴所求直线的方程为=1或=1,
即3x+4y-12=0或15x+8y-36=0.
若满足条件(2),则ab=12, ③
由题意得=1, ④
由③④整理得a2-6a+8=0,
解得
∴所求直线的方程为=1或=1,
即3x+4y-12=0或3x+y-6=0.
综上所述,存在同时满足(1)(2)两个条件的直线方程,为3x+4y-12=0.
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