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第三节 匀变速直线运动的位移与时间的关系
【要点归纳】
知识点一、匀速直线运动的位移
1．做匀速直线运动的物体在时间t内的位移x＝vt.
2．做匀速直线运动的物体，其v－t图象是一条平行于时间轴的直线，其位移在数值上等于v－t图线与对应的时间轴所包围的矩形的面积．如图所示：
(1)v－t图象的斜率表示加速度a，在匀速直线运动中，a＝＝0.
(2)v－t图象与时间t轴间的面积在数值上等于物体做匀速直线运动在这段时间内的位移．
(3)v－t图象的纵截距表示速度的大小．
3．匀速直线运动的x－t图象
若取t＝0时，x＝0，则x－t图象为过原点的一条倾斜的直线，如图所示．
若在t＝0时，x＝x0，则x－t图象为一条纵轴截距为x0的倾斜的直线，如图所示，x－t图象的斜率表示物体运动的速度，v＝.
知识点二、匀变速直线运动的位移
1．匀变速直线运动的位移公式x＝v0t＋at2
2．推导过程
如图所示，为匀变速直线运动的v－t图象，在时间t内的位移x在数值上等于图线与时间t轴所围面积．
v－t图象中直线下面的梯形OABC的面积S＝(OC＋AB)·OA
把面积以及各条线段换成所代表的物理量，得x＝(v0＋v)t
由速度公式v＝v0＋at代入上式得x＝v0t＋at2
知识点三、对位移公式x＝v0t＋at2的理解
1．适用条件：匀变速直线运动．
2．矢量性
公式x＝v0t＋at2为矢量式，其中的x、v0、a都是矢量，应用时必须选取统一的正方向，一般选初速度v0的方向为正方向．
运动情况 取值
若物体做匀加速直线运动 a与v0同向，a取正值(v0方向为正方向)
若物体做匀减速直线运动 a与v0反向，a取负值(v0方向为正方向)
若位移的计算结果为正值 说明位移的方向与规定的正方向相同
若位移的计算结果为负值 说明位移的方向与规定的正方向相反
3.特殊情况
(1)x＝vt(匀速直线运动)
(2)x＝at2(由静止开始的匀加速直线运动)
知识点四、位移—时间关系图象
1．位移—时间图象(x－t图象)在平面直角坐标系中，用横轴表示时间t，用纵轴表示位移x，如图所示，根据给出(或测定)的数据，作出几个点的坐标，用平滑的直线将几个点连起来，则这条直线就表示了物体的运动特点．这种图象就叫做位移—时间图象，简称位移图象．如图所示为自行车从初始位置开始，每经过5 s的位移都是30 m的x－t图象．
2．根据x－t图象分析物体的运动
(1)由x－t图象可以确定物体各个时刻所对应的位移或物体发生一段位移所需要的时间．
(2)若物体做匀速直线运动，则x－t图象是一条倾斜的直线，如图A、B所示．直线的斜率表示物体的速度，斜率的正负表示物体的运动方向．
(3)若x－t图象为平行于时间轴的直线，表明物体处于静止状态，如图C所示．
(4)若物体做变速直线运动，x－t图象为曲线，如图所示，斜率逐渐增大，表明物体运动得越来越快．
知识点五、匀变速直线运动位移与速度的关系
1．公式推导
我们把速度公式v＝v0＋at，变为t＝，代入位移公式x＝v0t＋at2可得v2－v＝2ax
这就是匀变速直线运动位移与速度的关系式．
2．关系式的应用
(1)公式v2－v＝2ax是根据匀变速直线运动的两个基本关系式推导出来的，但因为不含时间变量，所以在某些问题中应用很方便．
(2)公式在应用时也必须注意符号法则，公式中的v、v0、a、x也要规定统一的正方向，一般选初速度方向为正方向．
3．三个基本公式的选择
公式v＝v0＋at，x＝v0t＋at2，v2－v＝2ax中包含五个物理量，它们分别为：初速度v0，加速度a，运动时间t，位移x和末速度v，在解题过程中选用公式的基本方法为：
(1)如果题目中无位移x，也不让求位移，一般选用速度公式v＝v0＋at；
(2)如果题中无末速度v，也不让求末速度，一般选用位移公式x＝v0t＋at2；
(3)如果题中无运动时间t，也不让求运动时间，一般选用导出公式v2－v＝2ax.
由③④得：＝v
知识点六、对位移—速度关系式的理解
1．位移与速度的关系式：v2－v＝2ax为矢量式，应用它解题时，一般先规定初速度v0的方向为正方向：
(1)物体做加速运动时，a取正值，做减速运动时，a取负值．
(2)位移x＞0，说明物体通过的位移方向与初速度方向相同；x＜0，说明位移的方向与初速度的方向相反．
2．适用范围：匀变速直线运动．
3．特例
(1)当v0＝0时，v2＝2ax
物体做初速度为零的匀加速直线运动．
(2)当v＝0时，－v＝2ax
物体做匀减速直线运动直到静止．
知识点七、匀变速直线运动的推论
1．平均速度：做匀变速直线运动的物体在一段时间t内的平均速度等于这段时间的中间时刻的瞬时速度，还等于这段时间初、末速度矢量和的一半．即＝v＝.
推导：设物体的初速度为v0，做匀变速运动的加速度为a，t秒末的速度为v.由x＝v0t＋at2得，① 平均速度＝＝v0＋at②
由速度公式v＝v0＋at，当t′＝时v＝v0＋a ③
由②③得＝v④ 又v＝v＋a ⑤
由③④⑤解得v＝⑥所以＝v＝.
2．逐差相等：在任意两个连续相等的时间间隔T内，位移之差是一个常量，即Δx＝xⅡ－xⅠ＝aT2
推导：时间T内的位移x1＝v0T＋aT2①
在时间2T内的位移x2＝v02T＋a(2T)2②则xⅠ＝x1，xⅡ＝x2－x1③
由①②③得Δx＝xⅡ－xⅠ＝aT2
此推论常有两方面的应用：一是用以判断物体是否做匀变速直线运动，二是用以求加速度．
3．某段位移中点的瞬时速度等于初速度和末速度的平方和的一半的平方根，即v＝.
4．初速度为零的匀变速直线运动的比例式(T为等时间间隔)
(1)1T末、2T末、3T末、……、nT末瞬时速度之比为v1∶v2∶v3∶……∶vn＝1∶2∶3∶……∶n
由速度公式v＝at，得v1＝aT，v2＝2aT，v3＝3aT，……，vn＝naT
所以v1∶v2∶v3∶……∶vn＝1∶2∶3∶……∶n
(2)1T内、2T内、3T内、……nT内的位移之比为x1∶x2∶x3∶……∶xn＝12∶22∶32∶……∶n2
由位移公式x＝at2得x1＝aT2，x2＝a(2T)2，
x3＝a(3T)2，……，xn＝a(nT)2
所以x1∶x2∶x3∶……∶xn＝12∶22∶32∶……∶n2
(3)第1个T内，第二个T内，第三个T内，……，第n个T内位移之比为
xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶……∶xn＝1∶3∶5∶……∶(2n－1)
由位移公式x＝at2得xⅠ＝aT2
xⅡ＝a(2T)2－aT2＝aT2
xⅢ＝a(3T)2－a(2T)2＝aT2
……
xn＝a(nT)2－a[(n－1)T]2＝aT2
所以xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶……∶xn＝1∶3∶5∶……∶(2n－1)
(4)通过连续相等的位移所用时间之比为
t1∶t2∶t3∶……∶tn＝1∶(－1)∶(－)∶……∶(－)
由x＝at2知t1＝
通过第二段相同位移所用时间
t2＝ － ＝ (－1)
同理t3＝ － ＝ (－)
……
tn＝ (－)
则t1∶t2∶t3∶……∶tn＝1∶(－1)∶(－)∶……∶(－)
【真题演练】
1．(2020－2021学年上海市上海师范大学附属中学高一(上)期中)甲乙两车在同一平直公路上同向运动，甲做匀加速直线运动，乙做匀速直线运动。甲乙两车的位置x随时间t的变化如图所示。下列说法正确的是( )
A．在t1时刻两车速度相等
B．从0到t1时间内，两车走过的路程相等
C．从t1到t2时间内，甲车走过的路程大
D．从t1到t2时间内的某时刻，两车速度相等
【解析】 A．位移图像的斜率表示速度，在t1时刻两车的图像的斜率不相等，A错误；
B．从0到t1时间内，车走的的路程是图像初末时刻的位置差，由图像可知，两车走过的路程不相等，B错误；
C．从t1到t2时间内，两车的初末位置一样，所以路程一样，C错误；
D．位移图像的斜率表示速度，从t1到t2时间内的某时刻，甲车图像的斜率存在与乙车图像斜率相等的时刻，D正确。故选D。
【答案】 D
2．(2020－2021学年辽宁省沈阳二中高一(上)期中)(多选)在一次救灾活动中，一辆救灾汽车由静止开始做匀变速直线运动，刚运动了8s，由于前方突然有巨石滚下，堵在路中央，所以又紧急刹车，匀减速运动经4s停在巨石前。则关于汽车的运动情况，下列说法正确的是( )
A．加速、减速中的加速度大小之比a1∶a2等于2∶1
B．加速、减速中的平均速度大小之比等于1∶1
C．加速、减速中的位移之比x1∶x2等于2∶1
D．加速、减速中的平均速度大小之比等于1∶2
【解析】 A．由，得a1∶a2＝1∶2，故A错误；
BD．由，知，故B正确，D错误；
C．由，知x1∶x2＝2∶1，故C正确。故选BC。
【答案】 BC
3．(2020－2021学年江苏省南京师大附中高一(上)期中)(多选)某质点先做初速度为零的匀加速直线运动，后做同方向的匀减速直线运动，直到速度减为零，则下列关于该过程的运动学图像正确的是( )
A． B．
C． D．
【解析】 A．根据初速度为零的匀加速直线运动规律，有v=at，因此v一t图应为直线。故A错误；
B．根据初速度为零的匀加速直线运动规律，有，因此是二次函数正确。故B正确；
C．根据初速度为零的匀加速直线运动规律，有，v2与x也是直线关系成立。故C正确；
D．根据初速度为零的匀加速直线运动规律，有，应该是开口左右的抛物线。故D错误。故选BC。
【答案】 BC
4．(2020－2021学年吉林省长春市实验中学高一(上)期中)一质点做匀加速直线运动，第3秒内的位移2m，第4秒内的位移是2.5m，那么可以知道( )
A．初速度是1.25m/s
B．第3秒初的瞬时速度是1.75m/s
C．第3秒末的瞬时速度是2.5m/s
D．质点的加速度是0.125m/s2
【解析】 AD．匀变速直线运动中时间相等相邻两段位移差相等，即△x=(2.5－2)m=0.5m，则第2秒内的位移为x2=(2－0.5)m=1.5m，第1秒内的位移为x1=(1.5－0.5)m=1m，根据匀变速直线运动中时间相等相邻两段位移差关系△x=aT2，有2.5－2=a 12，解得a=0.5m/s2，根据速度位移公式，代入数据解得v0=0.75m/s，故AD错误；
B．设第3秒初的瞬时速度为v2，第3秒内的位移，代入数据解得v2=1．75m/s，故B正确；
C．第3秒末的瞬时速度v3=v2+at=1.75m/s+0.5×1m/s=2.25m/s，故C错误。故选B。
【答案】 B
5．(2020－2021学年湖南省长沙市湖南师大附中高一(上)期中)一旅客在站台候车线处候车，若动车一节车厢长18米，动车进站时可以看做匀减速直线运动。他发现4s内动车从他跟前驶过3节车厢，而在接下来的2s内驶过1节车厢。若车还未停下，则该动车的加速度大小为( )
A． B． C． D．
【解析】 4s内动车从他跟前驶过3节车厢，则该段时间内中间时刻的瞬时速度
接下来的2s内驶过1节车厢，该段时间内中间时刻的瞬时速度
则动车的加速度
加速度大小为，方向与初速方向相反。故选B。
【答案】 B
6．(2020－2021学年黑龙江省哈尔滨市第三中学高一(上)期中)一个物体做匀臧速直线运动直到停止，先后经过a、b两点时的速度大小分别是4m/s和2m/s，所用时间是1s，以物体经过a点的时刻为计时起点，下列判断正确的是( )
A．物体的加速度大小为6m/s2
B．经过ab中点时的速率是3m/s
C．在0.5s时刻的速率是m/s
D．前0.5s内的位移大小为1.75m
【解析】 A．根据加速度公式，该物体加速度为。加速度大小为2m/s2，故A错误；
B．由匀变速直线运动推论可知，ab中点时的速率等于，故B错误；
C．由匀变速直线运动推论可知，ab段中间时刻的速率是等于该段时间内的平均速度大小，即，故C错误；
D．由匀变速直线运动规律可得，物体前0．5s内的位移大小为，故D正确。故选D
【答案】 D
7．(2020－2021学年黑龙江省哈尔滨市第三中学高一(上)期中)(多选)平直公路上行驶a车和b车，其位移时间图象分别为图中直线a和曲线b，已知b车的加速度恒定且a＝－2m/s2，t＝3s时，直线a和曲线b刚好相切，下列说法正确的是( )
A．a车的速度是2m/s
B．t＝3s时，a、b两车的速度相等，相距最远
C．b车的初速度是8m/s
D．t＝0s时a车和b车之间的距离为9m
【解析】 A．x－t图象的斜率等于速度，由题图可知，a车的速度不变，做匀速直线运动，速度为，A正确；
BC．t＝3s时，直线a和曲线b刚好相切，位置坐标相同，两车相遇，斜率相等，此时两车的速度相等，则t＝3s，b车的速度为，设b车的初速度为v0，对b车，由，解得：v0＝8m/s，B错误，C正确；
D．t＝3s时，a车的位移为，b车的位移为，t＝3s时，a车和b车到达同一位置，所以t＝0时两车相距，D正确；故选ACD。
【答案】 ACD
8．(2020－2021学年广东省广州市广东实验中学高一(上)期中)滑块以一定的初速度从底端冲上足够长的光滑斜面，滑行到最高点的时间为t，位移为L；现在距底端L处放一弹性挡板(如图中用虚线表示)，滑块仍以相同初速度从底端出发，已知滑块与挡板相碰后可原速反弹，碰撞时间可以忽略不计，则滑块从出发至返回底端的时间为( )
A． B．t C．1.2t D．t
【解析】 本题采用逆向思维，距底端L处放一弹性挡板，将L分为1:3两段，根据初速度为零的匀加速直线运动的连续时间内的运动等分规律，这两段的时间相等，均等于，那么滑块仍以相同初速度从底端出发上滑到挡板的时间为，从挡板下滑到底端的时间为，总时间为t，B正确，ACD错误。故选B。
【答案】 B
9．(2020－2021学年黑龙江省哈尔滨市黑龙江实验中学高一(上)期中)汽车以20m/s的速度做匀速直线运动，刹车后的加速度大小为5m/s2，那么开始刹车后2s内与开始刹车6s内汽车通过的位移之比为( )
A．1：1 B．1：3 C．3：4 D．1：4
【解析】 汽车从刹车到静止用时
故刹车后2s位移s1=v0t－at2=20×2m－×5×22m=30m
刹车后6s内汽车的位移等于4s内的位移s2=v0t刹－at刹2=20×4m－×5×42m=40m
故s1：s2=3：4，故选C。
【答案】 C
10．(2020－2021学年北京市海淀区101中学高一(上)期中)一辆汽车沿平直的公路行驶，已知汽车的位移随时间变化的规律为x=4+tn(m)。则下列说法正确的是( )
A．如果n取1，汽车做速度大小为4m/s的匀速直线运动
B．如果n取1，汽车做速度大小为2m/s的匀速直线运动
C．如果n取2，汽车做初速度为零、加速度大小为2m/s2的匀加速直线运动
D．如果n取2，汽车做初速度为4m/s、加速度大小为2m/s2的匀加速直线运动
【解析】 AB．如果n取1，则x=4+t，则汽车做速度大小为1m/s的匀速直线运动，选项AB错误；
CD．如果n取2，则x=4+t2，对比，可知v0=0，a=2m/s2，即汽车做初速度为零、加速度大小为2m/s2的匀加速直线运动，选项C正确，D错误。故选C。
【答案】 C
11．(2020－2021学年广西南宁市二中高一(上)期中)已知某质点做直线运动的位移x与时间t的关系为(各物理量均采用国际单位制单位)，则该质点( )
A．第2s内的位移是
B．前2s内的平均速度是
C．任意相邻的1s内位移差都是
D．第2s末的速度比第1s初的速度增加
【解析】A．质点在第2s内的位移，故A错误；
B．质点在前2s内的位移，
则前2s内的平均速度为，故B错误；
C．根据，得加速度
则任意相邻1s内的位移之差为，故C正确；
D．第2s末到第1s初时间为2s，则第2s末的速度比第1s初的速度增加，故D错误。故选C。
【答案】C
12．(2020－2021学年重庆市南开中学高一(上)期中)电动自行车因为不排放污染空气的有害气体，逐步被推广为重要的交通工具。某辆电动自行车做匀加速直线运动，依次经过A、B、C、D四点，已知xAB=42m，xCD=30m，电动自行车通过AB、BC、CD三段所用的时间分别为15s、10s、5s，则xBC大小为( )
A．30m B．48m C．50m D．55m
【解析】 设质点经过AB、BC和CD三段所用时间分别为3t、2t和t，设各段时间t内的位移分别为s1、s2、s3、s4、s5和s6，由题可得x1=xAB=s1+s2+s3，x2=xCD=s6
设bc段的位移为x，则x=s4+s5，根据公式△x=aT2，则(x+x2)－x1=(s4+s5+s6) (s1+s2+s3)＝9at2，由于s2－s1=s3－s2，所以可得s1+s3=2s2，结合可得x1=s1+s2+s3=3s2，而s6 s2＝4at2，即，联立可得，故B正确，ACD错误。故选B。
【答案】 B
13．(2020－2021学年重庆市南开中学高一(上)期中)2020年10月7日第六届重庆国际汽车工业展览会开幕，各大厂商的各款车型相聚亮相，其中新能源汽车尤其引入注目。已知某新能源汽车刹车后做匀减速直线运动，第1s内的位移是24m，加速度大小为8m/s2。求：
(1)汽车的初速度；
(2)汽车4s内发生的位移。
【解析】 由题意得：
(1)前1s内，代入得
(2)当车停下时，得
故已停，由，得
【答案】 (1)28m/s；(2)49m
14．(2020－2021学年云南省玉溪一中高一(上)期中)11月12，13，14日，我校将举行运动会。同学们利用体育课及课外活动时间积极准备着这次运动会。其中一个集体项目是50米迎面接力赛跑。假设在某次训练中甲同学从静止开始经过t=2s加速到v=8m/s，后保持这个速度把接力棒交给乙同学。如果加速阶段视为匀加速直线运动，求：
(1)甲同学在加速阶段的加速度为多大？
(2)甲同学在加速阶段通过的位移为多大？
(3)甲同学完成这次接力共用时多少？
【解析】 (1)甲同学做初速度为零的匀加速直线运动，根据速度公式，有v=at
代入数据，解得a=4m/s2
(2)根据位移公式，有x=t2
代入数据，解得x=8m
(3)甲同学先匀加速运动，后匀速运动。匀速运动，有=v=42m
解得=5.25s
所以共用时t+=7.25s
【答案】 (1)4m/s2；(2)8m；(3)7.25s
15．(2020－2021学年天津市第一中学高一(上)期中)一辆汽车在公路上以54km/h的速度匀速行驶，突然发现前方30m处有一障碍物，为了使汽车不撞上障碍物，驾驶员立即刹车，刹车的加速度大小为6m/s2，则驾驶员的反应时间不能超过多少秒？
【解析】 根据公式有
代入数据有
代入数据解得
所以驾驶员的反应时间不能超过0.75秒。
【答案】 0.75s
16．(2020－2021学年吉林省长春市东北师大附中高一(上)期中)一质点沿直线从静止开始以1m/s2的加速度水平向右做匀加速直线运动，经5秒加速后，做匀速直线运动4秒钟，又经2秒钟做匀减速直线运动直到静止，则：
(1)质点匀速直线运动时速度是多大？
(2)做减速直线运动时的加速度？
(3)物体通过的总位移为多大？
【解析】 (1)加速过程的末速度为
(2)减速运动时，方向与运动方向相反；
(3)加速位移
匀速位移
减速位移
总位移
【答案】 (1)5m/s；(2)－2.5m/s2，方向与运动方向相反；(3)37.5m
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第三节 匀变速直线运动的位移与时间的关系
【要点归纳】
知识点一、匀速直线运动的位移
1．做匀速直线运动的物体在时间t内的位移x＝ .
2．做匀速直线运动的物体，其v－t图象是一条平行于时间轴的直线，其位移在数值上等于v－t图线与对应的时间轴所包围的矩形的面积．如图所示：
(1)v－t图象的斜率表示 ，在匀速直线运动中，a＝ .
(2)v－t图象与时间t轴间的面积在数值上等于物体做匀速直线运动在这段时间内的位移．
(3)v－t图象的纵截距表示 ．
3．匀速直线运动的x－t图象
若取t＝0时，x＝0，则x－t图象为过原点的一条倾斜的直线，如图所示．
若在t＝0时，x＝x0，则x－t图象为一条纵轴截距为x0的倾斜的直线，如图所示，x－t图象的斜率表示物体运动的速度，v＝ .
知识点二、匀变速直线运动的位移
1．匀变速直线运动的位移公式x＝v0t＋at2
2．推导过程
如图所示，为匀变速直线运动的v－t图象，在时间t内的位移x在数值上等于图线与时间t轴所围面积．
v－t图象中直线下面的梯形OABC的面积S＝(OC＋AB)·OA
把面积以及各条线段换成所代表的物理量，得x＝(v0＋v)t
由速度公式v＝v0＋at代入上式得x＝
知识点三、对位移公式x＝v0t＋at2的理解
1．适用条件：匀变速直线运动．
2．矢量性
公式x＝v0t＋at2为矢量式，其中的x、v0、a都是矢量，应用时必须选取统一的正方向，一般选初速度v0的方向为正方向．
运动情况 取值
若物体做匀加速直线运动 a与v0同向，a取 (v0方向为正方向)
若物体做匀减速直线运动 a与v0反向，a取 (v0方向为正方向)
若位移的计算结果为正值 说明位移的方向与规定的正方向
若位移的计算结果为负值 说明位移的方向与规定的正方向
3.特殊情况
(1)x＝vt(匀速直线运动)
(2)x＝at2(由静止开始的匀加速直线运动)
知识点四、位移—时间关系图象
1．位移—时间图象(x－t图象)在平面直角坐标系中，用横轴表示时间t，用纵轴表示位移x，如图所示，根据给出(或测定)的数据，作出几个点的坐标，用平滑的直线将几个点连起来，则这条直线就表示了物体的运动特点．这种图象就叫做位移—时间图象，简称位移图象．如图所示为自行车从初始位置开始，每经过5 s的位移都是30 m的x－t图象．
2．根据x－t图象分析物体的运动
(1)由x－t图象可以确定物体各个时刻所对应的位移或物体发生一段位移所需要的时间．
(2)若物体做匀速直线运动，则x－t图象是一条倾斜的直线，如图A、B所示．直线的斜率表示物体的速度，斜率的正负表示物体的 ．
(3)若x－t图象为平行于时间轴的直线，表明物体处于 ，如图C所示．
(4)若物体做变速直线运动，x－t图象为曲线，如图所示，斜率逐渐 ，表明物体运动得 ．
知识点五、匀变速直线运动位移与速度的关系
1．公式推导
我们把速度公式v＝v0＋at，变为t＝，代入位移公式x＝v0t＋at2可得
这就是匀变速直线运动位移与速度的关系式．
2．关系式的应用
(1)公式v2－v＝2ax是根据匀变速直线运动的两个基本关系式推导出来的，但因为不含时间变量，所以在某些问题中应用很方便．
(2)公式在应用时也必须注意符号法则，公式中的v、v0、a、x也要规定统一的正方向，一般选初速度方向为正方向．
3．三个基本公式的选择
公式v＝v0＋at，x＝v0t＋at2，v2－v＝2ax中包含五个物理量，它们分别为：初速度v0，加速度a，运动时间t，位移x和末速度v，在解题过程中选用公式的基本方法为：
(1)如果题目中无位移x，也不让求位移，一般选用速度公式v＝ ；
(2)如果题中无末速度v，也不让求末速度，一般选用位移公式x＝ ；
(3)如果题中无运动时间t，也不让求运动时间，一般选用导出公式 .
由③④得：＝
知识点六、对位移—速度关系式的理解
1．位移与速度的关系式：v2－v＝2ax为矢量式，应用它解题时，一般先规定初速度v0的方向为正方向：
(1)物体做加速运动时，a取正值，做减速运动时，a取负值．
(2)位移x＞0，说明物体通过的位移方向与初速度方向相同；x＜0，说明位移的方向与初速度的方向相反．
2．适用范围：匀变速直线运动．
3．特例
(1)当v0＝0时，v2＝2ax
物体做初速度为零的匀加速直线运动．
(2)当v＝0时，－v＝2ax
物体做匀减速直线运动直到静止．
知识点七、匀变速直线运动的推论
1．平均速度：做匀变速直线运动的物体在一段时间t内的平均速度等于这段时间的中间时刻的瞬时速度，还等于这段时间初、末速度矢量和的一半．即＝v＝ .
推导：设物体的初速度为v0，做匀变速运动的加速度为a，t秒末的速度为v.由x＝v0t＋at2得，① 平均速度＝＝v0＋at②
由速度公式v＝v0＋at，当t′＝时v＝v0＋a ③
由②③得＝v④ 又v＝v＋a ⑤
由③④⑤解得v＝⑥所以＝v＝.
2．逐差相等：在任意两个连续相等的时间间隔T内，位移之差是一个常量，即Δx＝xⅡ－xⅠ＝
推导：时间T内的位移x1＝v0T＋aT2①
在时间2T内的位移x2＝v02T＋a(2T)2②则xⅠ＝x1，xⅡ＝x2－x1③
由①②③得Δx＝xⅡ－xⅠ＝aT2
此推论常有两方面的应用：一是用以判断物体是否做匀变速直线运动，二是用以求加速度．
3．某段位移中点的瞬时速度等于初速度和末速度的平方和的一半的平方根，即v＝ .
4．初速度为零的匀变速直线运动的比例式(T为等时间间隔)
(1)1T末、2T末、3T末、……、nT末瞬时速度之比为v1∶v2∶v3∶……∶vn＝
由速度公式v＝at，得v1＝aT，v2＝2aT，v3＝3aT，……，vn＝naT
所以v1∶v2∶v3∶……∶vn＝
(2)1T内、2T内、3T内、……nT内的位移之比为x1∶x2∶x3∶……∶xn＝
由位移公式x＝at2得x1＝aT2，x2＝a(2T)2，
x3＝a(3T)2，……，xn＝a(nT)2
所以x1∶x2∶x3∶……∶xn＝
(3)第1个T内，第二个T内，第三个T内，……，第n个T内位移之比为
xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶……∶xn＝
由位移公式x＝at2得xⅠ＝aT2
xⅡ＝a(2T)2－aT2＝aT2
xⅢ＝a(3T)2－a(2T)2＝aT2
……
xn＝a(nT)2－a[(n－1)T]2＝aT2
所以xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶……∶xn＝
(4)通过连续相等的位移所用时间之比为
t1∶t2∶t3∶……∶tn＝
由x＝at2知t1＝
通过第二段相同位移所用时间
t2＝ － ＝ (－1)
同理t3＝ － ＝ (－)
……
tn＝ (－)
则t1∶t2∶t3∶……∶tn＝
【真题演练】
1．(2020－2021学年上海市上海师范大学附属中学高一(上)期中)甲乙两车在同一平直公路上同向运动，甲做匀加速直线运动，乙做匀速直线运动。甲乙两车的位置x随时间t的变化如图所示。下列说法正确的是( )
A．在t1时刻两车速度相等
B．从0到t1时间内，两车走过的路程相等
C．从t1到t2时间内，甲车走过的路程大
D．从t1到t2时间内的某时刻，两车速度相等
2．(2020－2021学年辽宁省沈阳二中高一(上)期中)(多选)在一次救灾活动中，一辆救灾汽车由静止开始做匀变速直线运动，刚运动了8s，由于前方突然有巨石滚下，堵在路中央，所以又紧急刹车，匀减速运动经4s停在巨石前。则关于汽车的运动情况，下列说法正确的是( )
A．加速、减速中的加速度大小之比a1∶a2等于2∶1
B．加速、减速中的平均速度大小之比等于1∶1
C．加速、减速中的位移之比x1∶x2等于2∶1
D．加速、减速中的平均速度大小之比等于1∶2
3．(2020－2021学年江苏省南京师大附中高一(上)期中)(多选)某质点先做初速度为零的匀加速直线运动，后做同方向的匀减速直线运动，直到速度减为零，则下列关于该过程的运动学图像正确的是( )
A． B．
C． D．
4．(2020－2021学年吉林省长春市实验中学高一(上)期中)一质点做匀加速直线运动，第3秒内的位移2m，第4秒内的位移是2.5m，那么可以知道( )
A．初速度是1.25m/s
B．第3秒初的瞬时速度是1.75m/s
C．第3秒末的瞬时速度是2.5m/s
D．质点的加速度是0.125m/s2
5．(2020－2021学年湖南省长沙市湖南师大附中高一(上)期中)一旅客在站台候车线处候车，若动车一节车厢长18米，动车进站时可以看做匀减速直线运动。他发现4s内动车从他跟前驶过3节车厢，而在接下来的2s内驶过1节车厢。若车还未停下，则该动车的加速度大小为( )
A． B． C． D．
6．(2020－2021学年黑龙江省哈尔滨市第三中学高一(上)期中)一个物体做匀臧速直线运动直到停止，先后经过a、b两点时的速度大小分别是4m/s和2m/s，所用时间是1s，以物体经过a点的时刻为计时起点，下列判断正确的是( )
A．物体的加速度大小为6m/s2
B．经过ab中点时的速率是3m/s
C．在0.5s时刻的速率是m/s
D．前0.5s内的位移大小为1.75m
7．(2020－2021学年黑龙江省哈尔滨市第三中学高一(上)期中)(多选)平直公路上行驶a车和b车，其位移时间图象分别为图中直线a和曲线b，已知b车的加速度恒定且a＝－2m/s2，t＝3s时，直线a和曲线b刚好相切，下列说法正确的是( )
A．a车的速度是2m/s
B．t＝3s时，a、b两车的速度相等，相距最远
C．b车的初速度是8m/s
D．t＝0s时a车和b车之间的距离为9m
8．(2020－2021学年广东省广州市广东实验中学高一(上)期中)滑块以一定的初速度从底端冲上足够长的光滑斜面，滑行到最高点的时间为t，位移为L；现在距底端L处放一弹性挡板(如图中用虚线表示)，滑块仍以相同初速度从底端出发，已知滑块与挡板相碰后可原速反弹，碰撞时间可以忽略不计，则滑块从出发至返回底端的时间为( )
A． B．t C．1.2t D．t
9．(2020－2021学年黑龙江省哈尔滨市黑龙江实验中学高一(上)期中)汽车以20m/s的速度做匀速直线运动，刹车后的加速度大小为5m/s2，那么开始刹车后2s内与开始刹车6s内汽车通过的位移之比为( )
A．1：1 B．1：3 C．3：4 D．1：4
10．(2020－2021学年北京市海淀区101中学高一(上)期中)一辆汽车沿平直的公路行驶，已知汽车的位移随时间变化的规律为x=4+tn(m)。则下列说法正确的是( )
A．如果n取1，汽车做速度大小为4m/s的匀速直线运动
B．如果n取1，汽车做速度大小为2m/s的匀速直线运动
C．如果n取2，汽车做初速度为零、加速度大小为2m/s2的匀加速直线运动
D．如果n取2，汽车做初速度为4m/s、加速度大小为2m/s2的匀加速直线运动
11．(2020－2021学年广西南宁市二中高一(上)期中)已知某质点做直线运动的位移x与时间t的关系为(各物理量均采用国际单位制单位)，则该质点( )
A．第2s内的位移是
B．前2s内的平均速度是
C．任意相邻的1s内位移差都是
D．第2s末的速度比第1s初的速度增加
12．(2020－2021学年重庆市南开中学高一(上)期中)电动自行车因为不排放污染空气的有害气体，逐步被推广为重要的交通工具。某辆电动自行车做匀加速直线运动，依次经过A、B、C、D四点，已知xAB=42m，xCD=30m，电动自行车通过AB、BC、CD三段所用的时间分别为15s、10s、5s，则xBC大小为( )
A．30m B．48m C．50m D．55m
13．(2020－2021学年重庆市南开中学高一(上)期中)2020年10月7日第六届重庆国际汽车工业展览会开幕，各大厂商的各款车型相聚亮相，其中新能源汽车尤其引入注目。已知某新能源汽车刹车后做匀减速直线运动，第1s内的位移是24m，加速度大小为8m/s2。求：
(1)汽车的初速度；
(2)汽车4s内发生的位移。
14．(2020－2021学年云南省玉溪一中高一(上)期中)11月12，13，14日，我校将举行运动会。同学们利用体育课及课外活动时间积极准备着这次运动会。其中一个集体项目是50米迎面接力赛跑。假设在某次训练中甲同学从静止开始经过t=2s加速到v=8m/s，后保持这个速度把接力棒交给乙同学。如果加速阶段视为匀加速直线运动，求：
(1)甲同学在加速阶段的加速度为多大？
(2)甲同学在加速阶段通过的位移为多大？
(3)甲同学完成这次接力共用时多少？
15．(2020－2021学年天津市第一中学高一(上)期中)一辆汽车在公路上以54km/h的速度匀速行驶，突然发现前方30m处有一障碍物，为了使汽车不撞上障碍物，驾驶员立即刹车，刹车的加速度大小为6m/s2，则驾驶员的反应时间不能超过多少秒？
16．(2020－2021学年吉林省长春市东北师大附中高一(上)期中)一质点沿直线从静止开始以1m/s2的加速度水平向右做匀加速直线运动，经5秒加速后，做匀速直线运动4秒钟，又经2秒钟做匀减速直线运动直到静止，则：
(1)质点匀速直线运动时速度是多大？
(2)做减速直线运动时的加速度？
(3)物体通过的总位移为多大？
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