3.2.2　奇偶性 第一课时　函数的奇偶性-基础测试

3.2.2　奇偶性 第一课时　函数的奇偶性-基础测试
一、选择题
1.已知f(x)是定义在R上的偶函数，则f(5)＋f(－5)＝(　　)
A.0 B.5
C.2f(5) D.f(0)
2.下列函数中既是偶函数又在(0，＋∞)上是增函数的是(　　)
A.y＝x3 B.y＝|x|＋1
C.y＝－x2＋1 D.y＝2x＋1
3.(多选题)设函数f(x)在R上有定义，则下列命题正确的是(　　)
A.偶函数的图象一定与y轴相交
B.奇函数的图象一定通过原点
C.若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则恒有f(0)＝0
D.若函数f(x)为偶函数，则有f(x)＝f(－x)＝f(|x|)
4.f(x)是定义在R上的奇函数，下列结论中不一定正确的是(　　)
A.f(－x)＋f(x)＝0 B.f(－x)－f(x)＝－2f(x)
C.f(x)·f(－x)≤0 D.＝－1
5.(多选题)如果f(x)是定义在R上的奇函数，那么下列函数为奇函数的是(　　)
A.g(x)＝x＋f(x) B.g(x)＝xf(x)
C.g(x)＝x2＋f(x) D.g(x)＝x2f(x)
二、填空题
6.下列函数为偶函数的是________(填序号).
①y＝x2(x≥0)；②y＝(x－1)；③y＝2；
④y＝|x|(x≤0).
7.设f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2＋1，则f(－2)＋f(0)＝________.
8.已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝________.
三、解答题
9.判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)＝x4－3x2；
(2)f(x)＝.
10.已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，求证g(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)为奇函数.
3.2.2　奇偶性 第一课时　函数的奇偶性-基础测试参考答案
1答案　C
解析　因为f(x)是偶函数，所以f(－5)＝f(5)，故f(5)＋f(－5)＝2f(5).
2答案　B
解析　排除法.偶函数只有B，C，而函数y＝|x|＋1在(0，＋∞)上为增函数，函数y＝－x2＋1在(0，＋∞)上为减函数.故选B.
3答案　CD
解析　函数f(x)＝是偶函数，但与y轴不相交，所以A不正确；函数f(x)＝是奇函数，但图象不过原点，所以B不正确；由奇偶性的定义知C，D正确.故选CD.
4答案　D
解析　f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，所以A，B，C均正确.只有f(x)≠0时，才有＝－1，D不正确.
5答案　AD
解析　因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x).
对于A，g(－x)＝－x＋f(－x)＝－x－f(x)＝－g(x)，所以y＝x＋f(x)是奇函数；
对于B，g(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)＝g(x)，所以y＝xf(x)是偶函数；
对于C，g(－x)＝(－x)2＋f(－x)＝x2－f(x)，所以y＝x2＋f(x)为非奇非偶函数；
对于D，g(－x)＝(－x)2f(－x)＝－x2f(x)＝－g(x)，所以y＝x2f(x)是奇函数.故选AD.
6答案　③
解析　对于①④，其定义域显然不关于原点对称，故其为非奇非偶函数；又②中，由得定义域为[－1，1)，不关于原点对称，故②也是非奇非偶函数；对于③，其定义域为R，且对 x∈R都满足f(－x)＝f(x)＝2，故③是偶函数.
7答案　－5
解析　∵f(x)为奇函数，且x>0时，f(x)＝x2＋1，
∴f(－2)＝－f(2)＝－(4＋1)＝－5.
又f(0)＝0，
∴f(－2)＋f(0)＝－5＋0＝－5.
8答案　1
解析　在f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1中，
令x＝－1，得f(－1)－g(－1)＝1，
又f(－1)＝f(1)，g(－1)＝－g(1)，∴f(1)＋g(1)＝1.
9解　(1)f(x)＝x4－3x2的定义域是R，关于原点对称.
又f(－x)＝(－x)4－3(－x)2＝x4－3x2＝f(x)，
∴f(x)＝x4－3x2是偶函数.
(2)由得－1≤x＜0或0＜x≤1，
∴f(x)的定义域为[－1，0)∪(0，1]，关于原点对称，
∴f(x)＝＝.
又f(－x)＝＝－f(x)，故f(x)为奇函数.
10证明　∵f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，
∴f(－x)＝f(x)，
即a(－x)2－bx＋c＝ax2＋bx＋c，∴b＝0，
∴g(x)＝ax3＋cx，其定义域为R，
又g(－x)＝a(－x)3＋c(－x)＝－(ax3＋cx)＝－g(x).
∴g(x)为奇函数.