3.2.2　奇偶性 第二课时　函数奇偶性的应用-基础测试

函数奇偶性的应用-基础测试
一、选择题
1.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，则f(2)的值是(　　)
A.0 B.1
C.2 D.4
2.f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3为偶函数，则f(x)在区间(2，5)上是(　　)
A.增函数 B.减函数
C.有增有减 D.增减性不确定
3.若偶函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则a＝f(－)，b＝f，c＝f的大小关系是(　　)
A.b＜a＜c B.b＜c＜a
C.a＜c＜b D.c＜a＜b
4.已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，f(－2)＝10，则f(2)等于(　　)
A.－26 B.－18
C.－10 D.10
5.奇函数f(x)在(－∞，0)上的解析式为f(x)＝x(1＋x)，则f(x)在(0，＋∞)上有(　　)
A.最大值－ B.最大值
C.最小值－ D.最小值
二、填空题
6.如果函数F(x)＝是奇函数，则f(x)＝________.
7.若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是增函数，且f(2)＝0，则使得f(x)<0的x的取值范围是________.
8.若函数f(x)＝x2－2ax＋3图象的对称轴为x＝1，则当x∈[－1，2]时，f(x)的值域为________.
三、解答题
9.已知函数f(x)＝x＋(a>0).
(1)判断函数f(x)的奇偶性并证明；
(2)若a＝4，证明：函数f(x)在区间(2，＋∞)上是增函数.
10.设定义在[－2，2]上的奇函数f(x)＝x5＋x3＋b.
(1)求b值；
(2)若f(x)在[0，2]上单调递增，且f(m)＋f(m－1)>0，求实数m的取值范围.
第二课时 函数奇偶性的应用-基础测试参考答案
1答案　A
解析　由题意得f(0＋2)＝f(2)＝f(0)＝0.
2答案　B
解析　由f(x)是偶函数，即f(－x)＝f(x)，得m＝0，所以f(x)＝－x2＋3，画出函数f(x)＝－x2＋3的图象(略)知，在区间(2，5)上为减函数.
3答案　C
解析　由f(x)为偶函数，得a＝f(－)＝f().
又∵＜＜，f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
∴f()＜f＜f，即a＜c＜b.
4答案　A
解析　设g(x)＝x5＋ax3＋bx，函数定义域为R.
∵g(－x)＝(－x)5＋a(－x)3＋b(－x)＝－x5－ax3－bx＝－g(x)，
∴g(x)为奇函数.
∵f(－2)＝g(－2)－8＝10，∴g(－2)＝18，
∴g(2)＝－g(－2)＝－18，
∴f(2)＝g(2)－8＝－18－8＝－26.
5答案　B
解析　法一　当x<0时，f(x)＝x2＋x＝－，
所以f(x)有最小值－，
因为f(x)是奇函数，
所以当x>0时，f(x)有最大值.
法二　当x>0时，－x<0，所以f(－x)＝－x(1－x).
又f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)＝x(1－x)＝－x2＋x＝－＋，
所以当x>0时，f(x)有最大值.故选B.
6答案　2x＋3
解析　设x<0，∴－x>0，
∴F(－x)＝2(－x)－3＝－2x－3.
又∵F(x)为奇函数，
∴F(x)＝－F(－x)＝2x＋3，即f(x)＝2x＋3.
7答案　(－∞，－2)∪(2，＋∞)
解析　∵函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，所以f(x)在(0，＋∞)上是减函数，又因为f(2)＝0，所以f(x)<0 f(|x|)<0＝f(2)，即|x|>2，所以x>2或x<－2.
8答案　[2，6]
解析　由对称轴为x＝1得a＝1.∴f(x)＝x2－2x＋3，
∴f(x)在[－1，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，
∴f(x)min＝f(1)＝2，f(x)max＝f(－1)＝6，
∴f(x)∈[2，6].
9(1)解　函数f(x)为奇函数，证明如下：
函数f(x)＝x＋(a>0)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且关于原点对称.
又因为f(－x)＝－x＋＝－＝－f(x)，
所以函数f(x)为奇函数.
(2)证明　当a＝4时f(x)＝x＋，
设x1，x2是区间(2，＋∞)上的任意两个实数且2则f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－
＝，
因为2所以x1－x2<0，x1x2－4>0，
所以f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)所以函数f(x)在(2，＋∞)上为增函数.
10解　(1)因为函数f(x)是定义在[－2，2]上的奇函数，
所以f(0)＝0，解得b＝0(经检验符合题意).
(2)因为函数f(x)在[0，2]上是增函数，又f(x)是奇函数，所以f(x)在[－2，2]上是增函数.
因为f(m)＋f(m－1)>0，
所以f(m－1)>－f(m)＝f(－m)，
所以m－1>－m，①
又需要不等式f(m)＋f(m－1)>0在函数f(x)定义域内有意义，
所以②
解①②得所以m的取值范围为.