鲁教版（五四制）2021-2022学年九年级数学上册3.7二次函数与一元二次方程 同步能力达标测评 （word版含解析）
文档属性
| 名称 | 鲁教版（五四制）2021-2022学年九年级数学上册3.7二次函数与一元二次方程 同步能力达标测评 （word版含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 227.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-10-20 06:42:56 | ||
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文档简介
2021-2022学年鲁教版九年级数学上册《3.7二次函数与一元二次方程》
同步能力达标测评（附答案）
一．选择题（共12小题，满分36分）
1．若函数y＝ax2+bx的图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+5＝0的根的情况为（ ）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
2．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x … ﹣1 0 1 3 …
y＝ax2+bx+c … n 3 m 3 …
且当x＝时，与其对应的函数值y＜0．则（ ）
A．m＜n B．m＝n C．m＞n D．无法判断
3．已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（1，0），B（5，0）两点，x1，x2是关于x的一次方程a（x﹣1）2+c＝m2+b﹣bx的两根，则x1+x2的值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．10
4．已知关于x的二次函数y＝x2﹣x+a﹣1图象与x轴有两个交点，则实数a的值可能是（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
5．如图，抛物线y1＝ax2+bx+c与直线y2＝kx+m的交点为A（1，﹣3），B（6，1）．当y1＞y2时，x的取值范围是（ ）
A．1＜x＜6 B．﹣3＜x＜1 C．x＜﹣3或x＞1 D．x＜1或x＞6
6．抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）经过A（2，0），B（﹣4，0）两点，下列四个结论：
①一元二次方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝2，x2＝﹣4；
②对于任意实数t，总有at2+bt≤a﹣b；
③若点C（﹣5，y1），D（π，y2）在该抛物线上，则y1＜y2；
④对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2+bx+c＝p（p为常数，p＞0）的根为整数，则p的值只有两个．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．已知抛物线y＝ax2+x﹣a（a≠0）与y轴的交点在x轴的下方，下列说法中正确的是（ ）
A．该抛物线的顶点一定在第一象限
B．该抛物线的顶点一定在第二象限
C．该抛物线的顶点一定在第三象限
D．该抛物线的顶点所在象限不确定
8．二次函数y＝x2﹣5x﹣6与x轴的交点坐标是（ ）
A．（0，﹣6） B．（﹣6，0）、（1，0）
C．（﹣1，0）、（6，0） D．（3，0）、（2，0）
9．下表列出了函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中自变量x与函数y的部分对应值．根据表中数据，判断一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解在哪两个相邻的整数之间（ ）
x ﹣2 ﹣1 0 1 2
y 1 2 1 ﹣2 ﹣7
A．1与2之间 B．﹣2与﹣1之间 C．﹣1与0之间 D．0与1之间
10．如图，抛物线y＝﹣x2+mx的对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1≤x≤3的范围内有解，则t的取值错误的是（ ）
A．t＝2.5 B．t＝3 C．t＝3.5 D．t＝4
11．如图，已知顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，﹣4），则下列结论：①b2＞4ac；②ax2+bx+c≥﹣6；③9a﹣3b+c＝﹣6；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣4的根为﹣5和﹣1；⑤若点（﹣2，m），（﹣5，n）在抛物线上，则m＞n，其中正确结论的个数共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．已知抛物线y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+1（x1＜x2），抛物线与x轴交于（m，0），（n，0）两点（m＜n），则m，n，x1，x2的大小关系是（ ）
A．x1＜m＜n＜x2 B．m＜x1＜x2＜n C．m＜x1＜n＜x2 D．x1＜m＜x2＜n
二．填空题（共16小题，满分64分）
13．如图，已知二次函数y1＝x2﹣3x的图象与正比例函数y2＝x的图象在第一象限交于点A，与x轴正半轴交于点B，若y1＜y2，则x的取值范围是 ．
14．已知二次函数y＝ax2+6ax+c（a≠0）的图象与x轴一个交点的横坐标为﹣1，则与x轴的另一个交点的横坐标为 ．
15．若抛物线y＝x2+2（k﹣）x+k2（k为常数）的图象与x轴没有交点，则k取值范围为 ．
16．如图所示抛物线y＝ax2+2ax﹣3的图象，则方程ax2+2ax﹣3＝0的两根为 ．
17．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为（﹣4，0），对称轴为x＝﹣1，则y＞0时，x的取值范围 ．
18．若抛物线y＝x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2，对称轴为直线x＝1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，平移后抛物线的顶点坐标为 ．
19．抛物线y＝﹣2x2+2（k+1）x﹣k（k为常数）与x轴交点的个数是 ．
20．已知抛物线y＝x2﹣3x﹣2020与x轴的一个交点为（a，0），则代数式a2﹣3a﹣2021的值为 ．
21．已知函数y＝（a﹣1）x2﹣2ax+a﹣3的图象与两坐标轴共有两个交点，则a的值为 ．
22．已知二次函数y＝a x2+bx+c的图象经过点A（﹣8，0），B（4，0）两点，则关于x的一元二次方程a x2+bx+c＝0的解是 ．
23．已知函数y＝mx2+2x﹣m+2的图象与坐标轴只有两个交点，则m＝ ．
24．如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝1．直线y＝﹣x+c与抛物线y＝ax2+bx+c交于C，D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，则下列结论：①2a+b+c＞0；②a﹣b+c＜0；③x（ax+b）≤a+b；
④﹣2＜a＜﹣1．其中正确的结论是 （只填写序号）．
25．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，与y轴的交点B在2和3之间（不包括这两个点），下列结论：①当﹣1＜x＜3时，y＞0；②﹣1＜a＜﹣；③对于任意实数m，a+b＞m（am+b）始终成立；④b2﹣4ac＝16a2，其中正确的结论的序号是 ．
26．如果抛物线y＝ax2﹣3x+1与x轴有交点，那么a的取值范围是 ．
27．如图，二次函数y＝﹣x2+mx的图象与x轴交于坐标原点和（4，0），若关于x的方程x2﹣mx+t＝0（t为实数）在1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是 ．
28．抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，4），B（2，4），则关于x的一元二次方程a（x﹣3）2﹣4＝3b﹣bx﹣c的解为 ．
三．解答题（共2小题，满分20分）
29．已知二次函数y＝ax2﹣4ax+c的最小值为﹣1．其图象与x轴交于A，B两点（点B在点A右侧），与y轴交于（0，3）．
（1）求二次函数表达式．
（2）将线段OB向右平移m个单位，向上平移n个单位至O'B'（m，n均为正数），若点O'，B'均落在此二次函数图象上，求m，n的值．
30．如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝a（x﹣1）2+4（a为常数，且a≠0）的图象与x轴交于点A，B（A在B的左侧），与一次函数y＝mx+3（m为常数，且m≠0）的图象相交于y轴，交点为点C．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图2，若一次函数图象也经过点B，且a（x﹣1）2+4＞mx+3，根据图象，直接写出x的取值范围；
（3）若二次函数图象与一次函数图象只有唯一公共点C，求m的值．
参考答案
一．选择题（共12小题，满分36分）
1．解：由图象可得，
函数y＝ax2+bx的最小值是﹣3，
∴不存在x使得ax2+bx＝﹣5，
∴一元二次方程ax2+bx+5＝0无实数根，
故选：A．
2．解：由表格可得，二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝，
∵当x＝时，与其对应的函数值y＜0，由表格可知是最小值，
∴抛物线开口向上，
∴1离对称轴比较近，
∴n＞m，
故选：A．
3．解：∵x1，x2是关于x的一次方程a（x﹣1）2+c＝m2+b﹣bx的两根，
∴ax2+（b﹣2a）x+a+c﹣m2﹣b＝0，
∴x1+x2＝﹣＝﹣+2，
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（1，0），B（5，0）两点，
∴﹣＝＝3，
∴﹣＝6，
∴x1+x2＝6+2＝8．
故选：C．
4．解：∵关于x的二次函数y＝x2﹣x+a﹣1图象与x轴有两个交点，
∴Δ＞0，
∴1﹣4（a﹣1）＞0，
∴a＜，
∴a＝1符合题意，
故选：A．
5．解：∵二次函数y1＝ax2+bx+c与一次函数y2＝kx+m的交点A、B的坐标分别为（1，﹣3）、（6，1），
∴当y1＞y2时，x的取值范围是x＜1或x＞6，
故选：D．
6．解：∵A，B为抛物线上的对称点，
∴对称轴为直线，
∵a＜0，
∴当x＝﹣1时，ymax＝a﹣b+c，
∴对于任意实数t，有at2+bt+c≤a﹣b+c，
∴at2+bt a﹣b，
故②正确，
∵|﹣5﹣（﹣1）|≤|π﹣（﹣1）|，
∴y2＜y1，
故③错误；
∵当ax2+bx+c＞0时，有﹣4＜x＜2，
∴若ax2+bx+c＝p（p＞0）的根为整数，
则它的根为﹣3，1或﹣2，0，或﹣1，﹣1，
∴满足条件的p的值有3个，故④错误；
∴正确的是①③，有两个，
故选：B．
7．解：∵当x＝0时，y＝﹣a＜0，
∴a＞0，
∴顶点为（﹣，），
∴x＜0，y＜0，
∴这条抛物线的顶点一定在第三象限，
故选：C．
8．解：∵二次函数y＝x2﹣5x﹣6，
∴当y＝0时，0＝x2﹣5x﹣6＝（x﹣6）（x+1），
解得x1＝6，x2＝﹣1，
∴二次函数y＝x2﹣5x﹣6与x轴的交点坐标是（﹣1，0），（6，0），
故选：C．
9．解：∵当x＝0时，y＝1，x＝1时，y＝﹣2，
∴函数在0～1之间由正到负，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个近似解在0与1之间，
故选：D．
10．解：∵抛物线y＝﹣x2+mx的对称轴为直线x＝2，
∴﹣＝2，
解得m＝4，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+4x，
抛物线的顶点坐标为（2，4），
当x＝1时，y＝﹣x2+4x＝3；当x＝3时，y＝﹣x2+4x＝3，
∵关于x的一元二次方程x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1≤x≤3的范围内有解，
∴抛物线y＝﹣x2+4x与直线y＝t在1≤x≤3的范围内有公共点，
∴3≤t≤4．
观察选项，只有选项A符合题意．
故选：A．
11．解：∵抛物线与x轴有2个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，
即b2＞4ac，所以①正确；
∵抛物线的顶点坐标为（﹣3，﹣6），开口向上，
∴当x＝﹣3时，函数有最小值，
∴ax2+bx+c≥﹣6，所以②正确；
∵抛物线的顶点坐标为（﹣3，﹣6），
∴9a﹣3b+c＝﹣6，所以③正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，﹣4），且抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，
∴点（﹣1，﹣4）关于直线x＝﹣3的对称点（﹣5，﹣4）在抛物线上，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣4的两根为﹣5和﹣1，所以④正确；
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣3，
而点（﹣2，m），（﹣5，n）在抛物线上，
∵﹣3﹣（﹣5）＞﹣2﹣（﹣3），
∴m＜n，所以⑤错误．
故选：D．
12．解：设y′＝（x﹣x1）（x﹣x2），则x1、x2是函数y′和x轴的交点的横坐标，
而y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+1＝y′+1，
即函数y′向上平移1个单位得到函数y，
则两个函数的图象如下图所示（省略了y轴），
从图象看，x1＜m＜n＜x2，
故选：A．
二．填空题（共16小题，满分64分）
13．解：由，
解得或，
∵二次函数y1＝x2﹣3x的图象与正比例函数y2＝x的图象在第一象限交于点A，
∴A点坐标为（4，4），
若y1＜y2，则二次函数图象在一次函数图象的下面，
此时x的取值范围是：0＜x＜4．
故答案为：0＜x＜4．
14．解：∵二次函数y＝ax2+6ax+c＝a（x+3）2﹣6a+c，
∴该函数的对称轴是直线x＝﹣3，
∵二次函数y＝ax2+6ax+c的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），
∴它与x轴的另一个交点的坐标是：（﹣5，0），
故答案为：﹣5．
15．解：根据题意得△＝4（k﹣）2﹣4k2＜0，
解得k＞．
故答案为k＞．
16．解：抛物线的对称轴为：x＝﹣＝﹣1，
由图象可知，抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（1，0），
∴一元二次方程ax2+2ax﹣3＝0的两根为x1＝1，x2＝﹣3，
故答案为：x1＝1，x2＝﹣3．
17．解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣4，0），对称轴为x＝﹣1，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（2，0），
∴y＞0时，x的取值范围为x＜﹣4或x＞2．
故答案为x＜﹣4或x＞2．
18．解：∵抛物线y＝x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2，对称轴为直线x＝1，
∴抛物线y＝x2+ax+b与x轴两个交点坐标为（0，0），（2，0），
∴抛物线解析式为y＝x（x﹣2），即y＝x2﹣2x；
∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，
∴抛物线y＝x2+ax+b的顶点坐标为（1，﹣1），
∵点（1，﹣1）向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到对应点的坐标为（﹣1，﹣4），
∴平移后抛物线的顶点坐标为 （﹣1，﹣4）．
故答案为（﹣1，﹣4）．
19．解：∵抛物线y＝﹣2x2+2（k+1）x﹣k（k为常数），
∴当y＝0时，0＝﹣2x2+2（k+1）x﹣k，
∴△＝[2（k+1）]2﹣4×（﹣2）×（﹣k）＝4k2+4＞0，
∴0＝﹣2x2+2（k+1）x﹣k有两个不相等的实数根，
∴抛物线y＝﹣2x2+2（k+1）x﹣k（k为常数）与x轴有两个交点，
故答案为：2．
20．解：∵抛物线y＝x2﹣3x﹣2020与x轴的一个交点为（a，0），
∴a2﹣3a﹣2020＝0，
∴a2﹣3a＝2020，
∴a2﹣3a﹣2021＝﹣1，
故答案为﹣1．
21．解：当a﹣1＝0时，即a＝1，函数为y＝﹣2x﹣2，此一次函数与坐标轴共有两个交点；
当a﹣1≠0，此函数为二次函数，
若a﹣3＝0，抛物线解析式为y＝2x2﹣6x，抛物线经过原点且抛物线与x轴有两个交点；
若Δ＝0，抛物线的顶点在x轴上，即△＝（﹣2a）2﹣4（a﹣1）（a﹣3）＝0，解得a＝，抛物线解析式为y＝﹣x2﹣x﹣＝﹣（x+3）2，抛物线的顶点为（﹣3，0），则抛物线与两坐标轴共有两个交点．
综上所述，a的值为1或3或．
故答案为1或3或．
22．解：∵二次函数y＝a x2+bx+c的图象经过点A（﹣8，0），B（4，0）两点，
∴当y＝0时，0＝a x2+bx+c，得x1＝﹣8，x2＝4，
∴一元二次方程a x2+bx+c＝0的解是﹣8或4，
故答案为：﹣8或4．
23．解：（1）m＝0时，函数的图象是一条直线：y＝2x+2，
它与x轴、y轴各有一个交点，与坐标轴只有两个交点；
（2）m≠0时，Δ＝b2﹣4ac＝0，
∴22﹣4m（﹣m+2）＝0，
∴m2﹣2m+1＝0，
解得m＝1；
（3）m≠0时，Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴22﹣4m（﹣m+2）＞0，
∴（m﹣1）2＞0，
此时函数的图象一定经过原点，
∴﹣m+2＝0，
解得m＝2；
综上，可得m的值为0或1或2．
故答案为：0或1或2．
24．解：∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，
∵对称轴x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b+c＝2a﹣2a+c＝c＞0，
∴①正确；
∵抛物线与x轴的另一个交点在x轴的负半轴上，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标大于2小于3，而抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标的横坐标大于﹣1小于0，
∴当x＝﹣1时y＜0，
∴a﹣b+c＜0,
∴②正确；
∵当x＝1时，二次函数有最大值，
∴ax2+bx+c≤a+b+c，
∴ax2+bx≤a+b，
∴③正确；
∵直线y＝﹣x+c与抛物线y＝ax2+bx+c交于C、D，D在x轴下方且0＜x＜3，
∴x＝3时，一次函数值比二次函数值大，
即9a+3b+c＜﹣3+c，
∴9a﹣6a＜﹣3，
∴a＜﹣1，
∴④不正确；
∴①②③正确,
故答案为：①②③．
25．解：∵抛物线与x轴交于A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），
∵抛物线开口向下，
∴当﹣1＜x＜3，y＞0，所以①正确；
∵抛物线与x轴交于A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，
∴a﹣b+c＝0，﹣＝1，
∴b＝﹣2a，c＝﹣3a，
∵抛物线与y轴的交点坐标为（0，c），
而抛物线与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间（不包括这两个点），
∴2＜c＜3，
∴2＜﹣3a＜3，
∴﹣1＜a＜﹣，所以②正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴二次函数的最大值为a+b+c，
∴a+b+c＞mx2+bm+c（m≠1）
∴a+b＞m（am+b）（m≠1），所以③不正确；
∵b＝﹣2a，c＝﹣3a，
∴b2﹣4ac＝4a2﹣4a （﹣3a）＝16a2，所以④正确．
故答案为：①②④．
26．解：∵抛物线y＝ax2﹣3x+1与x轴有交点，
∴a≠0，△≥0，
∴9﹣4a×1≥0，
∴a≤，
故答案为：a≤且a≠0．
27．解：∵抛物线的对称轴为直线x＝，解得m＝4，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+4x，
抛物线的顶点坐标为（2，4），
当x＝1时，y＝﹣x2+4x＝﹣1+4＝3；
当x＝4时，y＝﹣x2+4x＝﹣16+16＝0，
当x＝2时，y＝4，
在1＜x＜4时有公共点时
当直线y＝t与抛物线y＝﹣x2+4x在1＜x＜4时有公共点时，0＜t≤4，
故答案为0＜t≤4．
28．解：抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，4），B（2，4），
即y＝ax2+bx+c＝4时，x＝﹣1或2，
则将上述抛物线向右平移3个单位得到y＝a（x﹣3）2+b（x﹣3）+c，
则y＝4时，即y＝a（x﹣3）2+b（x﹣3）+c＝4，即a（x﹣3）2﹣4＝3b﹣bx﹣c，
则点A、B也向右平移了3个单位，则x＝2或5，
故答案为2或5．
三．解答题（共2小题，满分20分）
29．解：（1）∵二次函数y＝ax2﹣4ax+c的最小值为﹣1，
∴对称轴为直线x＝﹣＝2，顶点（2，﹣1），
∴y＝a（x﹣2）2﹣1，
代入（0，3）．解得a＝1，
∴y＝（x﹣2）2﹣1＝x2﹣4x+3．
（2）y＝x2﹣4x+3＝0，解得x＝1或3，
∴A（1，0），B（3，0），
∴OB＝O'B'＝3，
又∵对称轴为直线x＝﹣＝2，O'，B'均落在此二次函数图象上，
∴O'，B'到对称轴的距离为，
∴m＝2+﹣3＝，n＝﹣1＝．
30．解：（1）y＝mx+3，令x＝0，
∴y＝3，C（0，3），
代入y＝a（x﹣1）2+4，a＝﹣1，
∴y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x +2x+3，
（2）y＝﹣x +2x+3＝0，解得x＝﹣1或3，
∴B（3，0），
由图像可知：a（x﹣1）2+4＞mx+3的范围为0＜x＜3，
（3）联立：﹣x +2x+3＝mx+3
化简得：x +（m﹣2）x＝0，
△＝（m﹣2）2＝0，解得m＝2．
同步能力达标测评（附答案）
一．选择题（共12小题，满分36分）
1．若函数y＝ax2+bx的图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+5＝0的根的情况为（ ）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
2．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x … ﹣1 0 1 3 …
y＝ax2+bx+c … n 3 m 3 …
且当x＝时，与其对应的函数值y＜0．则（ ）
A．m＜n B．m＝n C．m＞n D．无法判断
3．已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（1，0），B（5，0）两点，x1，x2是关于x的一次方程a（x﹣1）2+c＝m2+b﹣bx的两根，则x1+x2的值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．10
4．已知关于x的二次函数y＝x2﹣x+a﹣1图象与x轴有两个交点，则实数a的值可能是（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
5．如图，抛物线y1＝ax2+bx+c与直线y2＝kx+m的交点为A（1，﹣3），B（6，1）．当y1＞y2时，x的取值范围是（ ）
A．1＜x＜6 B．﹣3＜x＜1 C．x＜﹣3或x＞1 D．x＜1或x＞6
6．抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）经过A（2，0），B（﹣4，0）两点，下列四个结论：
①一元二次方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝2，x2＝﹣4；
②对于任意实数t，总有at2+bt≤a﹣b；
③若点C（﹣5，y1），D（π，y2）在该抛物线上，则y1＜y2；
④对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2+bx+c＝p（p为常数，p＞0）的根为整数，则p的值只有两个．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．已知抛物线y＝ax2+x﹣a（a≠0）与y轴的交点在x轴的下方，下列说法中正确的是（ ）
A．该抛物线的顶点一定在第一象限
B．该抛物线的顶点一定在第二象限
C．该抛物线的顶点一定在第三象限
D．该抛物线的顶点所在象限不确定
8．二次函数y＝x2﹣5x﹣6与x轴的交点坐标是（ ）
A．（0，﹣6） B．（﹣6，0）、（1，0）
C．（﹣1，0）、（6，0） D．（3，0）、（2，0）
9．下表列出了函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中自变量x与函数y的部分对应值．根据表中数据，判断一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解在哪两个相邻的整数之间（ ）
x ﹣2 ﹣1 0 1 2
y 1 2 1 ﹣2 ﹣7
A．1与2之间 B．﹣2与﹣1之间 C．﹣1与0之间 D．0与1之间
10．如图，抛物线y＝﹣x2+mx的对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1≤x≤3的范围内有解，则t的取值错误的是（ ）
A．t＝2.5 B．t＝3 C．t＝3.5 D．t＝4
11．如图，已知顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，﹣4），则下列结论：①b2＞4ac；②ax2+bx+c≥﹣6；③9a﹣3b+c＝﹣6；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣4的根为﹣5和﹣1；⑤若点（﹣2，m），（﹣5，n）在抛物线上，则m＞n，其中正确结论的个数共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．已知抛物线y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+1（x1＜x2），抛物线与x轴交于（m，0），（n，0）两点（m＜n），则m，n，x1，x2的大小关系是（ ）
A．x1＜m＜n＜x2 B．m＜x1＜x2＜n C．m＜x1＜n＜x2 D．x1＜m＜x2＜n
二．填空题（共16小题，满分64分）
13．如图，已知二次函数y1＝x2﹣3x的图象与正比例函数y2＝x的图象在第一象限交于点A，与x轴正半轴交于点B，若y1＜y2，则x的取值范围是 ．
14．已知二次函数y＝ax2+6ax+c（a≠0）的图象与x轴一个交点的横坐标为﹣1，则与x轴的另一个交点的横坐标为 ．
15．若抛物线y＝x2+2（k﹣）x+k2（k为常数）的图象与x轴没有交点，则k取值范围为 ．
16．如图所示抛物线y＝ax2+2ax﹣3的图象，则方程ax2+2ax﹣3＝0的两根为 ．
17．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为（﹣4，0），对称轴为x＝﹣1，则y＞0时，x的取值范围 ．
18．若抛物线y＝x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2，对称轴为直线x＝1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，平移后抛物线的顶点坐标为 ．
19．抛物线y＝﹣2x2+2（k+1）x﹣k（k为常数）与x轴交点的个数是 ．
20．已知抛物线y＝x2﹣3x﹣2020与x轴的一个交点为（a，0），则代数式a2﹣3a﹣2021的值为 ．
21．已知函数y＝（a﹣1）x2﹣2ax+a﹣3的图象与两坐标轴共有两个交点，则a的值为 ．
22．已知二次函数y＝a x2+bx+c的图象经过点A（﹣8，0），B（4，0）两点，则关于x的一元二次方程a x2+bx+c＝0的解是 ．
23．已知函数y＝mx2+2x﹣m+2的图象与坐标轴只有两个交点，则m＝ ．
24．如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝1．直线y＝﹣x+c与抛物线y＝ax2+bx+c交于C，D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，则下列结论：①2a+b+c＞0；②a﹣b+c＜0；③x（ax+b）≤a+b；
④﹣2＜a＜﹣1．其中正确的结论是 （只填写序号）．
25．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，与y轴的交点B在2和3之间（不包括这两个点），下列结论：①当﹣1＜x＜3时，y＞0；②﹣1＜a＜﹣；③对于任意实数m，a+b＞m（am+b）始终成立；④b2﹣4ac＝16a2，其中正确的结论的序号是 ．
26．如果抛物线y＝ax2﹣3x+1与x轴有交点，那么a的取值范围是 ．
27．如图，二次函数y＝﹣x2+mx的图象与x轴交于坐标原点和（4，0），若关于x的方程x2﹣mx+t＝0（t为实数）在1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是 ．
28．抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，4），B（2，4），则关于x的一元二次方程a（x﹣3）2﹣4＝3b﹣bx﹣c的解为 ．
三．解答题（共2小题，满分20分）
29．已知二次函数y＝ax2﹣4ax+c的最小值为﹣1．其图象与x轴交于A，B两点（点B在点A右侧），与y轴交于（0，3）．
（1）求二次函数表达式．
（2）将线段OB向右平移m个单位，向上平移n个单位至O'B'（m，n均为正数），若点O'，B'均落在此二次函数图象上，求m，n的值．
30．如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝a（x﹣1）2+4（a为常数，且a≠0）的图象与x轴交于点A，B（A在B的左侧），与一次函数y＝mx+3（m为常数，且m≠0）的图象相交于y轴，交点为点C．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图2，若一次函数图象也经过点B，且a（x﹣1）2+4＞mx+3，根据图象，直接写出x的取值范围；
（3）若二次函数图象与一次函数图象只有唯一公共点C，求m的值．
参考答案
一．选择题（共12小题，满分36分）
1．解：由图象可得，
函数y＝ax2+bx的最小值是﹣3，
∴不存在x使得ax2+bx＝﹣5，
∴一元二次方程ax2+bx+5＝0无实数根，
故选：A．
2．解：由表格可得，二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝，
∵当x＝时，与其对应的函数值y＜0，由表格可知是最小值，
∴抛物线开口向上，
∴1离对称轴比较近，
∴n＞m，
故选：A．
3．解：∵x1，x2是关于x的一次方程a（x﹣1）2+c＝m2+b﹣bx的两根，
∴ax2+（b﹣2a）x+a+c﹣m2﹣b＝0，
∴x1+x2＝﹣＝﹣+2，
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（1，0），B（5，0）两点，
∴﹣＝＝3，
∴﹣＝6，
∴x1+x2＝6+2＝8．
故选：C．
4．解：∵关于x的二次函数y＝x2﹣x+a﹣1图象与x轴有两个交点，
∴Δ＞0，
∴1﹣4（a﹣1）＞0，
∴a＜，
∴a＝1符合题意，
故选：A．
5．解：∵二次函数y1＝ax2+bx+c与一次函数y2＝kx+m的交点A、B的坐标分别为（1，﹣3）、（6，1），
∴当y1＞y2时，x的取值范围是x＜1或x＞6，
故选：D．
6．解：∵A，B为抛物线上的对称点，
∴对称轴为直线，
∵a＜0，
∴当x＝﹣1时，ymax＝a﹣b+c，
∴对于任意实数t，有at2+bt+c≤a﹣b+c，
∴at2+bt a﹣b，
故②正确，
∵|﹣5﹣（﹣1）|≤|π﹣（﹣1）|，
∴y2＜y1，
故③错误；
∵当ax2+bx+c＞0时，有﹣4＜x＜2，
∴若ax2+bx+c＝p（p＞0）的根为整数，
则它的根为﹣3，1或﹣2，0，或﹣1，﹣1，
∴满足条件的p的值有3个，故④错误；
∴正确的是①③，有两个，
故选：B．
7．解：∵当x＝0时，y＝﹣a＜0，
∴a＞0，
∴顶点为（﹣，），
∴x＜0，y＜0，
∴这条抛物线的顶点一定在第三象限，
故选：C．
8．解：∵二次函数y＝x2﹣5x﹣6，
∴当y＝0时，0＝x2﹣5x﹣6＝（x﹣6）（x+1），
解得x1＝6，x2＝﹣1，
∴二次函数y＝x2﹣5x﹣6与x轴的交点坐标是（﹣1，0），（6，0），
故选：C．
9．解：∵当x＝0时，y＝1，x＝1时，y＝﹣2，
∴函数在0～1之间由正到负，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个近似解在0与1之间，
故选：D．
10．解：∵抛物线y＝﹣x2+mx的对称轴为直线x＝2，
∴﹣＝2，
解得m＝4，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+4x，
抛物线的顶点坐标为（2，4），
当x＝1时，y＝﹣x2+4x＝3；当x＝3时，y＝﹣x2+4x＝3，
∵关于x的一元二次方程x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1≤x≤3的范围内有解，
∴抛物线y＝﹣x2+4x与直线y＝t在1≤x≤3的范围内有公共点，
∴3≤t≤4．
观察选项，只有选项A符合题意．
故选：A．
11．解：∵抛物线与x轴有2个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，
即b2＞4ac，所以①正确；
∵抛物线的顶点坐标为（﹣3，﹣6），开口向上，
∴当x＝﹣3时，函数有最小值，
∴ax2+bx+c≥﹣6，所以②正确；
∵抛物线的顶点坐标为（﹣3，﹣6），
∴9a﹣3b+c＝﹣6，所以③正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，﹣4），且抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，
∴点（﹣1，﹣4）关于直线x＝﹣3的对称点（﹣5，﹣4）在抛物线上，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣4的两根为﹣5和﹣1，所以④正确；
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣3，
而点（﹣2，m），（﹣5，n）在抛物线上，
∵﹣3﹣（﹣5）＞﹣2﹣（﹣3），
∴m＜n，所以⑤错误．
故选：D．
12．解：设y′＝（x﹣x1）（x﹣x2），则x1、x2是函数y′和x轴的交点的横坐标，
而y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+1＝y′+1，
即函数y′向上平移1个单位得到函数y，
则两个函数的图象如下图所示（省略了y轴），
从图象看，x1＜m＜n＜x2，
故选：A．
二．填空题（共16小题，满分64分）
13．解：由，
解得或，
∵二次函数y1＝x2﹣3x的图象与正比例函数y2＝x的图象在第一象限交于点A，
∴A点坐标为（4，4），
若y1＜y2，则二次函数图象在一次函数图象的下面，
此时x的取值范围是：0＜x＜4．
故答案为：0＜x＜4．
14．解：∵二次函数y＝ax2+6ax+c＝a（x+3）2﹣6a+c，
∴该函数的对称轴是直线x＝﹣3，
∵二次函数y＝ax2+6ax+c的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），
∴它与x轴的另一个交点的坐标是：（﹣5，0），
故答案为：﹣5．
15．解：根据题意得△＝4（k﹣）2﹣4k2＜0，
解得k＞．
故答案为k＞．
16．解：抛物线的对称轴为：x＝﹣＝﹣1，
由图象可知，抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（1，0），
∴一元二次方程ax2+2ax﹣3＝0的两根为x1＝1，x2＝﹣3，
故答案为：x1＝1，x2＝﹣3．
17．解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣4，0），对称轴为x＝﹣1，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（2，0），
∴y＞0时，x的取值范围为x＜﹣4或x＞2．
故答案为x＜﹣4或x＞2．
18．解：∵抛物线y＝x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2，对称轴为直线x＝1，
∴抛物线y＝x2+ax+b与x轴两个交点坐标为（0，0），（2，0），
∴抛物线解析式为y＝x（x﹣2），即y＝x2﹣2x；
∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，
∴抛物线y＝x2+ax+b的顶点坐标为（1，﹣1），
∵点（1，﹣1）向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到对应点的坐标为（﹣1，﹣4），
∴平移后抛物线的顶点坐标为 （﹣1，﹣4）．
故答案为（﹣1，﹣4）．
19．解：∵抛物线y＝﹣2x2+2（k+1）x﹣k（k为常数），
∴当y＝0时，0＝﹣2x2+2（k+1）x﹣k，
∴△＝[2（k+1）]2﹣4×（﹣2）×（﹣k）＝4k2+4＞0，
∴0＝﹣2x2+2（k+1）x﹣k有两个不相等的实数根，
∴抛物线y＝﹣2x2+2（k+1）x﹣k（k为常数）与x轴有两个交点，
故答案为：2．
20．解：∵抛物线y＝x2﹣3x﹣2020与x轴的一个交点为（a，0），
∴a2﹣3a﹣2020＝0，
∴a2﹣3a＝2020，
∴a2﹣3a﹣2021＝﹣1，
故答案为﹣1．
21．解：当a﹣1＝0时，即a＝1，函数为y＝﹣2x﹣2，此一次函数与坐标轴共有两个交点；
当a﹣1≠0，此函数为二次函数，
若a﹣3＝0，抛物线解析式为y＝2x2﹣6x，抛物线经过原点且抛物线与x轴有两个交点；
若Δ＝0，抛物线的顶点在x轴上，即△＝（﹣2a）2﹣4（a﹣1）（a﹣3）＝0，解得a＝，抛物线解析式为y＝﹣x2﹣x﹣＝﹣（x+3）2，抛物线的顶点为（﹣3，0），则抛物线与两坐标轴共有两个交点．
综上所述，a的值为1或3或．
故答案为1或3或．
22．解：∵二次函数y＝a x2+bx+c的图象经过点A（﹣8，0），B（4，0）两点，
∴当y＝0时，0＝a x2+bx+c，得x1＝﹣8，x2＝4，
∴一元二次方程a x2+bx+c＝0的解是﹣8或4，
故答案为：﹣8或4．
23．解：（1）m＝0时，函数的图象是一条直线：y＝2x+2，
它与x轴、y轴各有一个交点，与坐标轴只有两个交点；
（2）m≠0时，Δ＝b2﹣4ac＝0，
∴22﹣4m（﹣m+2）＝0，
∴m2﹣2m+1＝0，
解得m＝1；
（3）m≠0时，Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴22﹣4m（﹣m+2）＞0，
∴（m﹣1）2＞0，
此时函数的图象一定经过原点，
∴﹣m+2＝0，
解得m＝2；
综上，可得m的值为0或1或2．
故答案为：0或1或2．
24．解：∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，
∵对称轴x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b+c＝2a﹣2a+c＝c＞0，
∴①正确；
∵抛物线与x轴的另一个交点在x轴的负半轴上，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标大于2小于3，而抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标的横坐标大于﹣1小于0，
∴当x＝﹣1时y＜0，
∴a﹣b+c＜0,
∴②正确；
∵当x＝1时，二次函数有最大值，
∴ax2+bx+c≤a+b+c，
∴ax2+bx≤a+b，
∴③正确；
∵直线y＝﹣x+c与抛物线y＝ax2+bx+c交于C、D，D在x轴下方且0＜x＜3，
∴x＝3时，一次函数值比二次函数值大，
即9a+3b+c＜﹣3+c，
∴9a﹣6a＜﹣3，
∴a＜﹣1，
∴④不正确；
∴①②③正确,
故答案为：①②③．
25．解：∵抛物线与x轴交于A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），
∵抛物线开口向下，
∴当﹣1＜x＜3，y＞0，所以①正确；
∵抛物线与x轴交于A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，
∴a﹣b+c＝0，﹣＝1，
∴b＝﹣2a，c＝﹣3a，
∵抛物线与y轴的交点坐标为（0，c），
而抛物线与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间（不包括这两个点），
∴2＜c＜3，
∴2＜﹣3a＜3，
∴﹣1＜a＜﹣，所以②正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴二次函数的最大值为a+b+c，
∴a+b+c＞mx2+bm+c（m≠1）
∴a+b＞m（am+b）（m≠1），所以③不正确；
∵b＝﹣2a，c＝﹣3a，
∴b2﹣4ac＝4a2﹣4a （﹣3a）＝16a2，所以④正确．
故答案为：①②④．
26．解：∵抛物线y＝ax2﹣3x+1与x轴有交点，
∴a≠0，△≥0，
∴9﹣4a×1≥0，
∴a≤，
故答案为：a≤且a≠0．
27．解：∵抛物线的对称轴为直线x＝，解得m＝4，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+4x，
抛物线的顶点坐标为（2，4），
当x＝1时，y＝﹣x2+4x＝﹣1+4＝3；
当x＝4时，y＝﹣x2+4x＝﹣16+16＝0，
当x＝2时，y＝4，
在1＜x＜4时有公共点时
当直线y＝t与抛物线y＝﹣x2+4x在1＜x＜4时有公共点时，0＜t≤4，
故答案为0＜t≤4．
28．解：抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，4），B（2，4），
即y＝ax2+bx+c＝4时，x＝﹣1或2，
则将上述抛物线向右平移3个单位得到y＝a（x﹣3）2+b（x﹣3）+c，
则y＝4时，即y＝a（x﹣3）2+b（x﹣3）+c＝4，即a（x﹣3）2﹣4＝3b﹣bx﹣c，
则点A、B也向右平移了3个单位，则x＝2或5，
故答案为2或5．
三．解答题（共2小题，满分20分）
29．解：（1）∵二次函数y＝ax2﹣4ax+c的最小值为﹣1，
∴对称轴为直线x＝﹣＝2，顶点（2，﹣1），
∴y＝a（x﹣2）2﹣1，
代入（0，3）．解得a＝1，
∴y＝（x﹣2）2﹣1＝x2﹣4x+3．
（2）y＝x2﹣4x+3＝0，解得x＝1或3，
∴A（1，0），B（3，0），
∴OB＝O'B'＝3，
又∵对称轴为直线x＝﹣＝2，O'，B'均落在此二次函数图象上，
∴O'，B'到对称轴的距离为，
∴m＝2+﹣3＝，n＝﹣1＝．
30．解：（1）y＝mx+3，令x＝0，
∴y＝3，C（0，3），
代入y＝a（x﹣1）2+4，a＝﹣1，
∴y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x +2x+3，
（2）y＝﹣x +2x+3＝0，解得x＝﹣1或3，
∴B（3，0），
由图像可知：a（x﹣1）2+4＞mx+3的范围为0＜x＜3，
（3）联立：﹣x +2x+3＝mx+3
化简得：x +（m﹣2）x＝0，
△＝（m﹣2）2＝0，解得m＝2．