鲁教版（五四制）2021-2022学年九年级数学上册3.6二次函数的应用 同步能力达标测评 （word版含解析））
文档属性
| 名称 | 鲁教版（五四制）2021-2022学年九年级数学上册3.6二次函数的应用 同步能力达标测评 （word版含解析）） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 436.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-10-20 06:49:42 | ||
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文档简介
2021-2022学年鲁教版九年级数学上册《3.6二次函数的应用》同步能力达标测评（附答案）
一．选择题（共12小题，满分48分）
1．如图，李大爷用24米长的篱笆靠墙围成一个长方形（ABCD）菜园，若菜园靠墙的一边（AD）长为x（米），那么菜园的面积y（平方米）与x的关系式为（ ）
A． B．y＝x（12﹣x） C． D．y＝x（24﹣x）
2．某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为40米的篱笆围成，已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，围成的苗圃面积为y平方米，则y关于x的函数关系式为（ ）
A．y＝x（40﹣x） B．y＝x（18﹣x）
C．y＝x（40﹣2x） D．y＝2x（40﹣2x）
3．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，BC＝2，沿对角线AC剪开（如图①）；固定△ADC，把△ABC沿AD方向平移（如图②），当两个三角形重叠部分的面积最大时，移动的距离AA′等于（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．0.8或1.2
4．某商品的进价为每件60元，现在的售价为每件80元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件．则每星期售出商品的利润y（单位：元）与每件涨价x（单位：元）之间的函数关系式是（ ）
A．y＝200﹣10x B．y＝（200﹣10x）（80﹣60﹣x）
C．y＝（200+10x）（80﹣60﹣x） D．y＝（200﹣10x）（80﹣60+x）
5．某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠足够长的墙体，中间用一道围栏隔开，并在如图所示的两处各留1m宽的门，所有围栏的总长（不含门）为22m，若要使得建成的饲养室面积最大，则利用墙体的长度为（ ）
A．13 B．12 C．8 D．6
6．如图，某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，为节约资源，现要按图中所示的方法从这些边角料上截取矩形（阴影部分）片备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x、y应分别为（ ）
A．x＝10，y＝14 B．x＝14，y＝10 C．x＝12，y＝15 D．x＝15，y＝12
7．如图，△ABC是直角三角形，∠A＝90°，AB＝8cm，AC＝6cm，点P从点A出发，沿AB方向以2cm/s的速度向点B运动；同时点Q从点A出发，沿AC方向以1cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达终点，则另一个动点也停止运动，则三角形APQ的最大面积是（ ）
A．8cm2 B．16cm2 C．24cm2 D．32cm2
8．一人一盔安全守规，一人一带平安常在！某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为（ ）元．
A．60 B．65 C．70 D．75
9．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，若第二个月的增长率是x，第三个月的增长率是第二个月的两倍，那么y与x的函数关系是（ ）
A．y＝a（1+x）（1+2x） B．y＝a（1+x）2
C．y＝2a（1+x）2 D．y＝2x2+a
10．在某种病毒的传播过程中，每轮传染平均1人会传染x个人，若最初2个人感染该病毒，经过两轮传染，共有y人感染，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝2（1+x）2 B．y＝（2+x）2 C．y＝2+2x2 D．y＝（1+2x）2
11．抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0），交y轴的负半轴于C，顶点为D．下列结论：①2a+b＝0；②2c＜3b；③当m≠1时，a+b＜am2+bm；④当△ABD是等腰直角三角形时，则a＝；⑤当△ABC是等腰三角形时，a的值有3个．其中正确的有（ ）个．
A．5 B．4 C．3 D．2
12．如图，隧道的截面由抛物线和长方形OABC构成，长方形的长OA是12m，宽OC是4m．按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用y＝﹣x2+bx+c表示．在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m．那么两排灯的水平距离最小是（ ）
A．2m B．4m C．4 m D．4m
二．填空题（共5小题，满分30分）
13．如图，△ABC是一块锐角三角形材料，边BC＝6cm，高AD＝4cm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，要使矩形EGFH的面积最大，EG的长应为 cm．
14．如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上，C点在斜边上，设矩形的一边AB＝xm，矩形的面积为ym2，则y的最大值为 ．
15．如图，为了美化校园环境，某中学准备在一块空地（长方形ABCD，AB＝10m，BC＝20m）上进行绿化，中间的一块（图中四边形EFGH）上种花，其他的四块（图中的四个直角三角形）上铺设草坪，并要求AE＝AH＝CF＝CG，当四边形EFGH（中间种花的一块）面积最大时，AE＝ ．
16．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是8m，宽是2m，建立如图所示的平面直角坐标系后抛物线可以用y＝﹣x2+4表示，一辆货运卡车高4米，宽2米，它 （填“能”或“不能”）通过该隧道．
17．如图，有一座抛物线形拱桥，当水位线在AB位置时，拱顶离水面2m，水面宽为4m．当水面下降1m后，水面宽为 m．
三．解答题（共5小题，满分42分）
18．某工厂生产A，B两种型号的环保产品，A产品每件利润200元，B产品每件利润500元，该工厂按计划每天生产两种产品共50件，其中A产品的总利润比B产品少4000元．
（1）求该厂每天生产A产品和B产品各多少件．
（2）据市场调查，B产品的需求量较大，该厂决定在日总产量不变的前提下增加B产品的生产，但B产品相比原计划每多生产一件，每件利润便降低10元．设该厂实际生产B产品的数量比原计划多x件，每天生产A，B产品获得的总利润为w．
①若实际生产B产品的数量不少于A产品数量的1.2倍，求总利润w的最大值．
②若每生产一件环保产品，政府给予a元（a为整数）的补贴，在此前提下，经核算，存在5种不同的生产方案使得该厂每日利润不少于17200元，试求a的值．
19．绿水青山就是金山银山．某乡镇充分利用本地资源，组织生产一种成本为每盒60元的土特产品，为了解市场情况，准备先试销一段时间．试销期间规定销售单价不低于成本价，且获利不得高于40%，经试销发现，销售量y（万盒）与销售单价x（元）之间的函数图象如图所示．
（1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当售价为多少元时，销售利润最大，最大利润为多少万元？
（3）该镇决定每销售一盒土特产品，就抽出a（a＞0）元钱作为该镇中小学贫困家庭优秀学生奖学金，若除去捐款后，所获得的最大利润为756万元，求a的值．
20．为促进经济发展，方便居民出行．某施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道．抛物线的最高点P离路面OM的距离为6m，宽度OM为12m．
（1）按如图所示的平面直角坐标系，求表示该抛物线的函数表达式；
（2）一货运汽车装载某大型设备后高为4m，宽为3.5m．如果该隧道内设双向行车道（正中间是一条宽1m的隔离带），那么这辆货车能否安全通过？
（3）施工队计划在隧道口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使A，D点在抛物线上．B，C点在地面OM线上（如图2所示）．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根支杆AB，AD，DC的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算一下．
21．某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管OA喷出，OA长为1.5米．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点B到O的距离为3米．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度y（米）与水平距离x（米）之间近似满足函数关系y＝ax2+x+c（a≠0）．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）求水流喷出的最大高度．
22．已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC于点M，当最大时，求点P的坐标及的最大值；
（3）在（2）的条件下，过点P作x轴的垂线l，在l上是否存在点D，使△BCD是直角三角形，若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一．选择题（共12小题，满分48分）
1．解：∵AD的边长为x米，而菜园ABCD是矩形菜园，
∴AB＝米，
∵菜园的面积＝AD×AB＝x ，
∴y＝．
故选：C．
2．解：设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，则苗圃园与墙平行的一边长为（40﹣2x）米．
依题意可得：y＝x（40﹣2x）．
故选：C．
3．解：如图，设A′B交AC于点E，
tan∠DAC＝＝，
设AA′＝x，A′D＝2﹣x，
∵AD＝2，DC＝3，
∴＝，
∴A′E＝x，
∵两个三角形重叠部分的面积是S＝A′E×A′D＝x（2﹣x）＝﹣（x﹣1）2+，
当x＝1时，阴影部分的面积最大，
AA′＝1，
故选：A．
4．解：∵每涨价1元，每星期要少卖出10件，每件涨价x元，
∴销售每件的利润为（80﹣60+x）元，每星期的销售量为（200﹣10x），
∴每星期售出商品的利润y＝（200﹣10x）（80﹣60+x）．
故选：D．
5．解：设垂直于墙体的围栏长为x，
则平行于墙体的围栏长为：22﹣（3x﹣1）＝23﹣3x．
∵饲养室长和宽各留了一处1m的门，
∴饲养室的长为23﹣3x+1＝24﹣3x．
∴饲养室的面积可表示为：S＝x（24﹣3x）＝﹣3x2+24x．
∴当时，
饲养室的面积最大．
∴利用墙体的长度为：24﹣3x＝12．
故选：B．
6．解：以直角梯形的下底直角边端点为原点，两直角边方向为x，y轴建立直角坐标系，过点D作DE⊥x轴于点E，
∵NH∥DE，
∴△CNH∽△CDE，
∴＝，
∵CH＝24﹣y，CE＝24﹣8，DE＝OA＝20，NH＝x，
∴，得x＝ （24﹣y），
∴矩形面积S＝xy＝﹣（y﹣12）2+180，
∴当y＝12时，S有最大值，此时x＝15．
故选：D．
7．解：根据题意
沿AB方向以2cm/s的速度向点B运动；同时点Q从点A出发，沿AC方向以1cm/s的速度向点C运动，
∴AP＝2t，AQ＝t，
S△APQ＝t2，
∵0＜t≤4，
∴三角形APQ的最大面积是16．
故选：B．
8．解：每顶头盔降价x元，利润为w元，
由题意可得，w＝（80﹣x﹣50）（200+20x）＝﹣20（x﹣10）2+8000，
∴当x＝10时，w取得最大值，此时80﹣x＝70，
即该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为70元，
故选：C．
9．解：设第二个月的增长率是x，则第三个月的增长率是2x，
依题意得：第三个月投放单车a（1+x）（1+2x）辆，
则y＝a（1+x）（1+2x）．
故选：A．
10．解：根据题意可得，y与x的函数关系式为：y＝2+2x+（2+2x）x＝2（1+x）2．
故选：A．
11．解：①∵二次函数与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0）．
∴二次函数的对称轴为直线x＝＝1，即﹣＝1，
∴2a+b＝0．
故①正确；
②∵二次函数y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0）．
∴a﹣b+c＝0，9a+3b+c＝0．
又∵b＝﹣2a．
∴3b＝﹣6a，a﹣（﹣2a）+c＝0．
∴3b＝﹣6a，2c＝﹣6a．
∴2c＝3b．
故②错误；
③∵抛物线开口向上，对称轴是直线x＝1．
∴x＝1时，二次函数有最小值．
∴m≠1时，a+b+c＜am2+bm+c．
即a+b＜am2+bm．
故③正确；
④∵AD＝BD，AB＝4，△ABD是等腰直角三角形．
∴AD2+BD2＝42．
解得，AD2＝8．
设点D坐标为（1，y）．
则[1﹣（﹣1）]2+y2＝AD2．
解得y＝±2．
∵点D在x轴下方．
∴点D为（1，﹣2）．
∵二次函数的顶点D为（1，﹣2），过点A（﹣1，0）．
设二次函数解析式为y＝a（x﹣1）2﹣2．
∴0＝a（﹣1﹣1）2﹣2．
解得a＝．
故④正确；
⑤由图象可得，AC≠BC．
故△ABC是等腰三角形时，a的值有2个．（故⑤错误）
故①③④正确，②⑤错误．
故选：C．
12．解：根据题意，得
OA＝12m，OC＝4m．
所以抛物线的顶点横坐标为6，
即﹣＝＝6，
∴b＝2，
∵C（0，4），
∴c＝4，
所以抛物线解析式为：
y＝﹣x2+2x+4
＝﹣（x﹣6）2+10
当y＝8时，
8＝﹣（x﹣6）2+10，
解得x1＝6+2，x2＝6﹣2．
则x1﹣x2＝4．
所以两排灯的水平距离最小是4（m）．
故选：D．
二．填空题（共5小题，满分30分）
13．解：设EG＝xcm，由题意得△AEF∽△ABC，
∴＝，
∴，
解得EF＝．
∴S矩形EFHG＝EG EF＝x．
即S＝﹣x2+6x．
∴当x＝＝2时，矩形EGHF的面积最大．
14．解：由题意可得：DC∥AF，
则△EDC∽△EAF，
故＝，
则＝，
解得：AD＝，
故S＝AD AB＝ x＝﹣x2+30x，
＝﹣（x﹣20）2+300，
即y的最大值为300m2．
故答案为：300m2．
15．解：存在．设AE＝AH＝CG＝CF＝xm，
则BE＝DG＝（10﹣x）m，BF＝DH＝（20﹣x）m，
∴四边形EFGH的面积：
S＝10×20﹣2×x x﹣2×（10﹣x）（20﹣x），
S＝﹣2（x﹣7.5）2+112.5，
∵﹣2＜0
∴x＝7.5时，S有最大值．
故答案为：7.5米
16．解：当x＝1时，y＝﹣x2+4＝﹣+4＝，
+2＝＞4，
∴它能通过隧道，
故答案为：能．
17．解：由题意得：B（2，﹣2），
设抛物线解析式为y＝ax2，
将B（2，﹣2）代入y＝ax2，
解得：a＝﹣，
∴y＝﹣x2，
设D（x，﹣3），
把D（x，﹣3）代入y＝﹣x2得：x＝，
∴水面宽CD为2m，
故答案为：2．
三．解答题（共5小题，满分42分）
18．解：（1）设每天生产A产品x件，则每天生产B产品（50﹣x）件，
由题意得：500（50﹣x）﹣200x＝4000，
解得x＝30，
50﹣30＝20（件），
答：每天生产A产品30件，生产B产品20件；
（2）①由题意得，20+x≥1.2（30﹣x），
解得x≥，
w＝（500﹣10x）（20+x）+200（30﹣x）＝﹣10x2+100x+16000，
∴对称轴为x＝﹣＝5，在对称轴的右侧，w随x的增大而减小，
∴当x＝8时，w最大值为16160元；
②由题意得，w＝﹣10x2+100x+16000+50a，
∵对称轴为x＝5，
∴当x＝3，4，5，6，7时，利润不少于17200元，
即当x＝2时，w＝16000+160+50a＜17200①，
当x＝3时，w＝16000+210+50a≥17200②，
综合①和②，解得19.8≤a≤20.8，
∵a为整数，
∴a＝20．
19．解：（1）由题意得：
，
解得：，
∴y＝﹣x+120，
∵成本为每盒60元的土特产，销售单价不低于成本单价，且获利不得高于40%，
∴60≤x≤84，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+120（60≤x≤84）；
（2）设销售利润为w（万元），
w＝（x﹣60）（﹣x+120）＝﹣x2+180x﹣7200＝﹣（x﹣90）2+900，
∵抛物线开口向下，
∴当x＜90时，w随x的增大而增大，
而60≤x≤84，
∴当x＝84时，w＝（84﹣60）×（120﹣84）＝864．
答：当销售价定为每盒84元时，利润最大，最大利润是864元；
（3）∵每销售一盒土特产品，就抽出a（a＞0）元钱作为该镇中小学贫困家庭优秀学生奖学金，
∴w＝（x﹣60﹣a）（﹣x+120）＝﹣x2+（180+a）x﹣120（60+a），
对称轴为直线x＝90+a＞84，
∴x＝84时，所获得的最大利润为756万元，
∴（84﹣60﹣a）（﹣84+120）＝756，
解得：a＝3，
即a的值为3．
20．解：（1）根据题意，顶点P的坐标为（6，6），
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣6）2+6，
把点O（0，0）代入得：36a+6＝0，
解得：，
即所求抛物线的解析式为：（0≤x≤12）；
（2）根据题意，当x＝6﹣0.5﹣3.5＝2时（或者当x＝6+0.5+3.5＝10）时，
，
∴这辆货车不能安全通过；
（3）设A点的坐标为，
则OB＝m，，
根据抛物线的对称性可得CM＝OB＝m，
∴BC＝12﹣2m，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝12﹣2m，，
∴三根支杆AB，AD，DC的长度之和：＝，
∴当m＝3，即OB＝3米时，三根支杆AB，AD，DC的长度之和的最大值为15．
21．解：（1）由题意可得，抛物线经过点（0，1.5）和（3，0），
把上述两个点坐标代入二次函数表达式得：，
解得：，
则函数表达式为：y＝﹣x2+x+；
（2）
a＝﹣＜0，故函数有最大值，
∴当x＝1时，y取得最大值，此时y＝2，
答：水流喷出的最大高度为2米．
22．解：（1）将点A（﹣2，0）、B（6，0）、C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c，
得，
解得，
∴y＝x2﹣x﹣3；
（2）如图1，过点A作AE⊥x轴交直线BC于点E，过P作PF⊥x轴交直线BC于点F，
∴PF∥AE，
∴＝，
设直线BC的解析式为y＝kx+d，
∴，
∴，
∴y＝x﹣3，
设P（t，t2﹣t﹣3），则F（t，t﹣3），
∴PF＝t﹣3﹣t2+t+3＝﹣t2+t，
∵A（﹣2，0），
∴E（﹣2，﹣4），
∴AE＝4，
∴＝＝＝﹣t2+t＝﹣（t﹣3）2+，
∴当t＝3时，有最大值，
∴P（3，﹣）；
（3）∵P（3，﹣），D点在l上，
如图2，当∠CBD＝90°时，
过点B作GH⊥x轴，过点D作DG⊥y轴，DG与GH交于点G，过点C作CH⊥y轴，CH与GH交于点H，
∴∠DBG+∠GDB＝90°，∠DBG+∠CBH＝90°，
∴∠GDB＝∠CBH，
∴△DBG∽△BCH，
∴＝，即＝，
∴BG＝6，
∴D（3，6）；
如图3，当∠BCD＝90°时，
过点D作DK⊥y轴交于点K，
∵∠KCD+∠OCB＝90°，∠KCD+∠CDK＝90°，
∴∠CDK＝∠OCB，
∴△OBC∽△KCD，
∴＝，即＝，
∴KC＝6，
∴D（3，﹣9）；
如图4，当∠BDC＝90°时，
线段BC的中点T（3，﹣），BC＝3，
设D（3，m），
∵DT＝BC，
∴|m+|＝，
∴m＝﹣或m＝﹣﹣，
∴D（3，﹣）或D（3，﹣﹣）；
综上所述：△BCD是直角三角形时，D点坐标为（3，6）或（3，﹣9）或（3，﹣﹣）或（3，﹣）．
一．选择题（共12小题，满分48分）
1．如图，李大爷用24米长的篱笆靠墙围成一个长方形（ABCD）菜园，若菜园靠墙的一边（AD）长为x（米），那么菜园的面积y（平方米）与x的关系式为（ ）
A． B．y＝x（12﹣x） C． D．y＝x（24﹣x）
2．某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为40米的篱笆围成，已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，围成的苗圃面积为y平方米，则y关于x的函数关系式为（ ）
A．y＝x（40﹣x） B．y＝x（18﹣x）
C．y＝x（40﹣2x） D．y＝2x（40﹣2x）
3．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，BC＝2，沿对角线AC剪开（如图①）；固定△ADC，把△ABC沿AD方向平移（如图②），当两个三角形重叠部分的面积最大时，移动的距离AA′等于（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．0.8或1.2
4．某商品的进价为每件60元，现在的售价为每件80元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件．则每星期售出商品的利润y（单位：元）与每件涨价x（单位：元）之间的函数关系式是（ ）
A．y＝200﹣10x B．y＝（200﹣10x）（80﹣60﹣x）
C．y＝（200+10x）（80﹣60﹣x） D．y＝（200﹣10x）（80﹣60+x）
5．某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠足够长的墙体，中间用一道围栏隔开，并在如图所示的两处各留1m宽的门，所有围栏的总长（不含门）为22m，若要使得建成的饲养室面积最大，则利用墙体的长度为（ ）
A．13 B．12 C．8 D．6
6．如图，某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，为节约资源，现要按图中所示的方法从这些边角料上截取矩形（阴影部分）片备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x、y应分别为（ ）
A．x＝10，y＝14 B．x＝14，y＝10 C．x＝12，y＝15 D．x＝15，y＝12
7．如图，△ABC是直角三角形，∠A＝90°，AB＝8cm，AC＝6cm，点P从点A出发，沿AB方向以2cm/s的速度向点B运动；同时点Q从点A出发，沿AC方向以1cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达终点，则另一个动点也停止运动，则三角形APQ的最大面积是（ ）
A．8cm2 B．16cm2 C．24cm2 D．32cm2
8．一人一盔安全守规，一人一带平安常在！某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为（ ）元．
A．60 B．65 C．70 D．75
9．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，若第二个月的增长率是x，第三个月的增长率是第二个月的两倍，那么y与x的函数关系是（ ）
A．y＝a（1+x）（1+2x） B．y＝a（1+x）2
C．y＝2a（1+x）2 D．y＝2x2+a
10．在某种病毒的传播过程中，每轮传染平均1人会传染x个人，若最初2个人感染该病毒，经过两轮传染，共有y人感染，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝2（1+x）2 B．y＝（2+x）2 C．y＝2+2x2 D．y＝（1+2x）2
11．抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0），交y轴的负半轴于C，顶点为D．下列结论：①2a+b＝0；②2c＜3b；③当m≠1时，a+b＜am2+bm；④当△ABD是等腰直角三角形时，则a＝；⑤当△ABC是等腰三角形时，a的值有3个．其中正确的有（ ）个．
A．5 B．4 C．3 D．2
12．如图，隧道的截面由抛物线和长方形OABC构成，长方形的长OA是12m，宽OC是4m．按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用y＝﹣x2+bx+c表示．在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m．那么两排灯的水平距离最小是（ ）
A．2m B．4m C．4 m D．4m
二．填空题（共5小题，满分30分）
13．如图，△ABC是一块锐角三角形材料，边BC＝6cm，高AD＝4cm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，要使矩形EGFH的面积最大，EG的长应为 cm．
14．如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上，C点在斜边上，设矩形的一边AB＝xm，矩形的面积为ym2，则y的最大值为 ．
15．如图，为了美化校园环境，某中学准备在一块空地（长方形ABCD，AB＝10m，BC＝20m）上进行绿化，中间的一块（图中四边形EFGH）上种花，其他的四块（图中的四个直角三角形）上铺设草坪，并要求AE＝AH＝CF＝CG，当四边形EFGH（中间种花的一块）面积最大时，AE＝ ．
16．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是8m，宽是2m，建立如图所示的平面直角坐标系后抛物线可以用y＝﹣x2+4表示，一辆货运卡车高4米，宽2米，它 （填“能”或“不能”）通过该隧道．
17．如图，有一座抛物线形拱桥，当水位线在AB位置时，拱顶离水面2m，水面宽为4m．当水面下降1m后，水面宽为 m．
三．解答题（共5小题，满分42分）
18．某工厂生产A，B两种型号的环保产品，A产品每件利润200元，B产品每件利润500元，该工厂按计划每天生产两种产品共50件，其中A产品的总利润比B产品少4000元．
（1）求该厂每天生产A产品和B产品各多少件．
（2）据市场调查，B产品的需求量较大，该厂决定在日总产量不变的前提下增加B产品的生产，但B产品相比原计划每多生产一件，每件利润便降低10元．设该厂实际生产B产品的数量比原计划多x件，每天生产A，B产品获得的总利润为w．
①若实际生产B产品的数量不少于A产品数量的1.2倍，求总利润w的最大值．
②若每生产一件环保产品，政府给予a元（a为整数）的补贴，在此前提下，经核算，存在5种不同的生产方案使得该厂每日利润不少于17200元，试求a的值．
19．绿水青山就是金山银山．某乡镇充分利用本地资源，组织生产一种成本为每盒60元的土特产品，为了解市场情况，准备先试销一段时间．试销期间规定销售单价不低于成本价，且获利不得高于40%，经试销发现，销售量y（万盒）与销售单价x（元）之间的函数图象如图所示．
（1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当售价为多少元时，销售利润最大，最大利润为多少万元？
（3）该镇决定每销售一盒土特产品，就抽出a（a＞0）元钱作为该镇中小学贫困家庭优秀学生奖学金，若除去捐款后，所获得的最大利润为756万元，求a的值．
20．为促进经济发展，方便居民出行．某施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道．抛物线的最高点P离路面OM的距离为6m，宽度OM为12m．
（1）按如图所示的平面直角坐标系，求表示该抛物线的函数表达式；
（2）一货运汽车装载某大型设备后高为4m，宽为3.5m．如果该隧道内设双向行车道（正中间是一条宽1m的隔离带），那么这辆货车能否安全通过？
（3）施工队计划在隧道口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使A，D点在抛物线上．B，C点在地面OM线上（如图2所示）．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根支杆AB，AD，DC的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算一下．
21．某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管OA喷出，OA长为1.5米．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点B到O的距离为3米．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度y（米）与水平距离x（米）之间近似满足函数关系y＝ax2+x+c（a≠0）．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）求水流喷出的最大高度．
22．已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC于点M，当最大时，求点P的坐标及的最大值；
（3）在（2）的条件下，过点P作x轴的垂线l，在l上是否存在点D，使△BCD是直角三角形，若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一．选择题（共12小题，满分48分）
1．解：∵AD的边长为x米，而菜园ABCD是矩形菜园，
∴AB＝米，
∵菜园的面积＝AD×AB＝x ，
∴y＝．
故选：C．
2．解：设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，则苗圃园与墙平行的一边长为（40﹣2x）米．
依题意可得：y＝x（40﹣2x）．
故选：C．
3．解：如图，设A′B交AC于点E，
tan∠DAC＝＝，
设AA′＝x，A′D＝2﹣x，
∵AD＝2，DC＝3，
∴＝，
∴A′E＝x，
∵两个三角形重叠部分的面积是S＝A′E×A′D＝x（2﹣x）＝﹣（x﹣1）2+，
当x＝1时，阴影部分的面积最大，
AA′＝1，
故选：A．
4．解：∵每涨价1元，每星期要少卖出10件，每件涨价x元，
∴销售每件的利润为（80﹣60+x）元，每星期的销售量为（200﹣10x），
∴每星期售出商品的利润y＝（200﹣10x）（80﹣60+x）．
故选：D．
5．解：设垂直于墙体的围栏长为x，
则平行于墙体的围栏长为：22﹣（3x﹣1）＝23﹣3x．
∵饲养室长和宽各留了一处1m的门，
∴饲养室的长为23﹣3x+1＝24﹣3x．
∴饲养室的面积可表示为：S＝x（24﹣3x）＝﹣3x2+24x．
∴当时，
饲养室的面积最大．
∴利用墙体的长度为：24﹣3x＝12．
故选：B．
6．解：以直角梯形的下底直角边端点为原点，两直角边方向为x，y轴建立直角坐标系，过点D作DE⊥x轴于点E，
∵NH∥DE，
∴△CNH∽△CDE，
∴＝，
∵CH＝24﹣y，CE＝24﹣8，DE＝OA＝20，NH＝x，
∴，得x＝ （24﹣y），
∴矩形面积S＝xy＝﹣（y﹣12）2+180，
∴当y＝12时，S有最大值，此时x＝15．
故选：D．
7．解：根据题意
沿AB方向以2cm/s的速度向点B运动；同时点Q从点A出发，沿AC方向以1cm/s的速度向点C运动，
∴AP＝2t，AQ＝t，
S△APQ＝t2，
∵0＜t≤4，
∴三角形APQ的最大面积是16．
故选：B．
8．解：每顶头盔降价x元，利润为w元，
由题意可得，w＝（80﹣x﹣50）（200+20x）＝﹣20（x﹣10）2+8000，
∴当x＝10时，w取得最大值，此时80﹣x＝70，
即该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为70元，
故选：C．
9．解：设第二个月的增长率是x，则第三个月的增长率是2x，
依题意得：第三个月投放单车a（1+x）（1+2x）辆，
则y＝a（1+x）（1+2x）．
故选：A．
10．解：根据题意可得，y与x的函数关系式为：y＝2+2x+（2+2x）x＝2（1+x）2．
故选：A．
11．解：①∵二次函数与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0）．
∴二次函数的对称轴为直线x＝＝1，即﹣＝1，
∴2a+b＝0．
故①正确；
②∵二次函数y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0）．
∴a﹣b+c＝0，9a+3b+c＝0．
又∵b＝﹣2a．
∴3b＝﹣6a，a﹣（﹣2a）+c＝0．
∴3b＝﹣6a，2c＝﹣6a．
∴2c＝3b．
故②错误；
③∵抛物线开口向上，对称轴是直线x＝1．
∴x＝1时，二次函数有最小值．
∴m≠1时，a+b+c＜am2+bm+c．
即a+b＜am2+bm．
故③正确；
④∵AD＝BD，AB＝4，△ABD是等腰直角三角形．
∴AD2+BD2＝42．
解得，AD2＝8．
设点D坐标为（1，y）．
则[1﹣（﹣1）]2+y2＝AD2．
解得y＝±2．
∵点D在x轴下方．
∴点D为（1，﹣2）．
∵二次函数的顶点D为（1，﹣2），过点A（﹣1，0）．
设二次函数解析式为y＝a（x﹣1）2﹣2．
∴0＝a（﹣1﹣1）2﹣2．
解得a＝．
故④正确；
⑤由图象可得，AC≠BC．
故△ABC是等腰三角形时，a的值有2个．（故⑤错误）
故①③④正确，②⑤错误．
故选：C．
12．解：根据题意，得
OA＝12m，OC＝4m．
所以抛物线的顶点横坐标为6，
即﹣＝＝6，
∴b＝2，
∵C（0，4），
∴c＝4，
所以抛物线解析式为：
y＝﹣x2+2x+4
＝﹣（x﹣6）2+10
当y＝8时，
8＝﹣（x﹣6）2+10，
解得x1＝6+2，x2＝6﹣2．
则x1﹣x2＝4．
所以两排灯的水平距离最小是4（m）．
故选：D．
二．填空题（共5小题，满分30分）
13．解：设EG＝xcm，由题意得△AEF∽△ABC，
∴＝，
∴，
解得EF＝．
∴S矩形EFHG＝EG EF＝x．
即S＝﹣x2+6x．
∴当x＝＝2时，矩形EGHF的面积最大．
14．解：由题意可得：DC∥AF，
则△EDC∽△EAF，
故＝，
则＝，
解得：AD＝，
故S＝AD AB＝ x＝﹣x2+30x，
＝﹣（x﹣20）2+300，
即y的最大值为300m2．
故答案为：300m2．
15．解：存在．设AE＝AH＝CG＝CF＝xm，
则BE＝DG＝（10﹣x）m，BF＝DH＝（20﹣x）m，
∴四边形EFGH的面积：
S＝10×20﹣2×x x﹣2×（10﹣x）（20﹣x），
S＝﹣2（x﹣7.5）2+112.5，
∵﹣2＜0
∴x＝7.5时，S有最大值．
故答案为：7.5米
16．解：当x＝1时，y＝﹣x2+4＝﹣+4＝，
+2＝＞4，
∴它能通过隧道，
故答案为：能．
17．解：由题意得：B（2，﹣2），
设抛物线解析式为y＝ax2，
将B（2，﹣2）代入y＝ax2，
解得：a＝﹣，
∴y＝﹣x2，
设D（x，﹣3），
把D（x，﹣3）代入y＝﹣x2得：x＝，
∴水面宽CD为2m，
故答案为：2．
三．解答题（共5小题，满分42分）
18．解：（1）设每天生产A产品x件，则每天生产B产品（50﹣x）件，
由题意得：500（50﹣x）﹣200x＝4000，
解得x＝30，
50﹣30＝20（件），
答：每天生产A产品30件，生产B产品20件；
（2）①由题意得，20+x≥1.2（30﹣x），
解得x≥，
w＝（500﹣10x）（20+x）+200（30﹣x）＝﹣10x2+100x+16000，
∴对称轴为x＝﹣＝5，在对称轴的右侧，w随x的增大而减小，
∴当x＝8时，w最大值为16160元；
②由题意得，w＝﹣10x2+100x+16000+50a，
∵对称轴为x＝5，
∴当x＝3，4，5，6，7时，利润不少于17200元，
即当x＝2时，w＝16000+160+50a＜17200①，
当x＝3时，w＝16000+210+50a≥17200②，
综合①和②，解得19.8≤a≤20.8，
∵a为整数，
∴a＝20．
19．解：（1）由题意得：
，
解得：，
∴y＝﹣x+120，
∵成本为每盒60元的土特产，销售单价不低于成本单价，且获利不得高于40%，
∴60≤x≤84，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+120（60≤x≤84）；
（2）设销售利润为w（万元），
w＝（x﹣60）（﹣x+120）＝﹣x2+180x﹣7200＝﹣（x﹣90）2+900，
∵抛物线开口向下，
∴当x＜90时，w随x的增大而增大，
而60≤x≤84，
∴当x＝84时，w＝（84﹣60）×（120﹣84）＝864．
答：当销售价定为每盒84元时，利润最大，最大利润是864元；
（3）∵每销售一盒土特产品，就抽出a（a＞0）元钱作为该镇中小学贫困家庭优秀学生奖学金，
∴w＝（x﹣60﹣a）（﹣x+120）＝﹣x2+（180+a）x﹣120（60+a），
对称轴为直线x＝90+a＞84，
∴x＝84时，所获得的最大利润为756万元，
∴（84﹣60﹣a）（﹣84+120）＝756，
解得：a＝3，
即a的值为3．
20．解：（1）根据题意，顶点P的坐标为（6，6），
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣6）2+6，
把点O（0，0）代入得：36a+6＝0，
解得：，
即所求抛物线的解析式为：（0≤x≤12）；
（2）根据题意，当x＝6﹣0.5﹣3.5＝2时（或者当x＝6+0.5+3.5＝10）时，
，
∴这辆货车不能安全通过；
（3）设A点的坐标为，
则OB＝m，，
根据抛物线的对称性可得CM＝OB＝m，
∴BC＝12﹣2m，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝12﹣2m，，
∴三根支杆AB，AD，DC的长度之和：＝，
∴当m＝3，即OB＝3米时，三根支杆AB，AD，DC的长度之和的最大值为15．
21．解：（1）由题意可得，抛物线经过点（0，1.5）和（3，0），
把上述两个点坐标代入二次函数表达式得：，
解得：，
则函数表达式为：y＝﹣x2+x+；
（2）
a＝﹣＜0，故函数有最大值，
∴当x＝1时，y取得最大值，此时y＝2，
答：水流喷出的最大高度为2米．
22．解：（1）将点A（﹣2，0）、B（6，0）、C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c，
得，
解得，
∴y＝x2﹣x﹣3；
（2）如图1，过点A作AE⊥x轴交直线BC于点E，过P作PF⊥x轴交直线BC于点F，
∴PF∥AE，
∴＝，
设直线BC的解析式为y＝kx+d，
∴，
∴，
∴y＝x﹣3，
设P（t，t2﹣t﹣3），则F（t，t﹣3），
∴PF＝t﹣3﹣t2+t+3＝﹣t2+t，
∵A（﹣2，0），
∴E（﹣2，﹣4），
∴AE＝4，
∴＝＝＝﹣t2+t＝﹣（t﹣3）2+，
∴当t＝3时，有最大值，
∴P（3，﹣）；
（3）∵P（3，﹣），D点在l上，
如图2，当∠CBD＝90°时，
过点B作GH⊥x轴，过点D作DG⊥y轴，DG与GH交于点G，过点C作CH⊥y轴，CH与GH交于点H，
∴∠DBG+∠GDB＝90°，∠DBG+∠CBH＝90°，
∴∠GDB＝∠CBH，
∴△DBG∽△BCH，
∴＝，即＝，
∴BG＝6，
∴D（3，6）；
如图3，当∠BCD＝90°时，
过点D作DK⊥y轴交于点K，
∵∠KCD+∠OCB＝90°，∠KCD+∠CDK＝90°，
∴∠CDK＝∠OCB，
∴△OBC∽△KCD，
∴＝，即＝，
∴KC＝6，
∴D（3，﹣9）；
如图4，当∠BDC＝90°时，
线段BC的中点T（3，﹣），BC＝3，
设D（3，m），
∵DT＝BC，
∴|m+|＝，
∴m＝﹣或m＝﹣﹣，
∴D（3，﹣）或D（3，﹣﹣）；
综上所述：△BCD是直角三角形时，D点坐标为（3，6）或（3，﹣9）或（3，﹣﹣）或（3，﹣）．