安徽省涡阳县育萃高级中学2021-2022学年高二上学期第一次月考数学试题（Word版含答案）

数学试题
一、单选题（本大题共12小题，每题5分，共60.0分）
1. 抛物线的焦点坐标为
A. B. C. D.
2. 已知向量，，且与互相垂直，则k的值是
A. 1 B. C. D.
3. 已知椭圆方程为的一个焦点是，那么
A. B. C. 1 D.
4. 已知点，，则以线段AB为直径的圆的方程为
A. B.
C. D.
5. 记为等差数列的前n项和．若，，则的公差为
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
6. 已知圆与圆，若圆与圆有且仅有一个公共点，则实数a等于
A. 14 B. 34 C. 14或45 D. 34或14
7. 若异面直线，的方向向量分别是，，则异面直线与的夹角的余弦值等于
A. B. C. D.
8. 南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列．对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”．现有高阶等差数列，其前7项分别为1，5，11，21，37，61，95，则该数列的第8项为
A. 99 B. 131 C. 139 D. 141
9. 已知椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是
A. B. C. D.
10. 如图，在长方体中，，，E、F分别是AB、BC的中点，则直线与平面所成的角的正弦值大小是
A. B. C. D.
11. 已知直线：与直线：相交于点P，线段AB是圆C：的一条动弦，且，则的最大值为
A. B. C. D.
12. 已知双曲线的左 右顶点分别是A，B，右焦点为F，点P在过F且垂直于x轴的直线l上，当的外接圆面积达到最小时，点P恰好在双曲线上，则该双曲线的渐近线方程为
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20.0分）
13. 已知数列，，则数列最小项是第__________项．
14. 在空间直角坐标系中，已知点，，，，且A，B，C，D四点共面，则______________.
15. 直线l过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为__________.
16. 已知不过原点的动直线l交抛物线C：于A，B两点，O为坐标原点，且，若的面积最小值是32，则直线l过定点__________.
3、 解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.（本题满分10分）已知两条直线：和：，求满足下列条件的a、b的值．
，且过点；
，且坐标原点到这两条直线的距离相等．
18.（本题满分12分）记为等差数列的前n项和，已知，
求的通项公式；
求，并求的最小值．
19.（本题满分12分）已知直线l：与圆C：交于A，B两点．
求最小时直线l的方程，并求此时的值；
求过点的圆C的切线方程．
20.（本题满分12分）已知点在椭圆C：上，椭圆的左焦点为
求椭圆C的方程；
直线l与椭圆C相交于A、B两点，若为坐标原点，求证：O到直线l的距离为定值，并求出该定值．
21.（本题满分12分）在如图所示的多面体ABCDEF中，四边形ABCD为正方形，四边形DEFB为等腰梯形，且平面平面ABCD，，G，H分别为EC，FB的中点．
求证：平面ABCD；
若，求平面DEFB与平面FBC所成的角的余弦值．
22.（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆，圆，点，M，N为圆O上的不同于点P的两点.
（1）已知M坐标为(5,0)，若直线截圆C所得的弦长为，求圆C的方程；
（2）若直线MN过(0,4)，求面积的最大值；
（3）若直线，与圆C都相切，求证：当变化时，直线MN的斜率为定值.
答案
1.【答案】D
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】C
10.【答案】B
11.【答案】D
12.【答案】C
13.【答案】5
14. 解：，，
，B，C，D四点共面，
，，共面，
，由知A，B，C三点不共线，
存在x，R，使，
即，
，解得，所以
【解析】本题考查空间向量共线与共面定理及空间向量的坐标运算，属于基础题.
由A，B，C三点共线得出得出关系式求出即可；
利用空间向量共面定理得出，即可求解.【答案】
15.【答案】
【解答】
解：，，
因为直线过点，且与以，为端点的线段AB有公共点，
所以，
故答案为
16.【答案】
【解答】
解：设直线l与抛物线交于A，B两点，，
因为，则，
所以，
所以，
可得，
得到，
又令代入抛物线中，
可得方程，
由韦达定理得，
，
即，解得，
则直线l：，
所以直线过定点，
故答案为

17.【答案】解：，
，①，
又过点，
②，
由①，②解得：，
的斜率存在，，直线的斜率存在，
，
即③，
又坐标原点到这两条直线的距离相等，，
、在y轴上的截距互为相反数．
即，④
由③④联立解得或
【解析】，可得，再由过点，联立解得：，
根据题意，即再根据点到这直线的距离公式求解.
18.【答案】解：设等差数列的公差为d，
为等差数列的前n项和，，，
，
解得，
的通项公式为；
，，
当或时，的最小值为
【解析】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，考查了推理能力与计算能力.
由题意，可得关于和d的方程组，求出和d，则可得的通项公式；
由得，从而根据二次函数的性质可得的最小值．
19.【答案】解：直线l的方程可化为，
由解得，故直线l经过定点
判断出点在圆C的内部，所以当直线时，弦长取得最小值，
因为圆C：，所以圆心，半径，
，则直线l：，
所以直线l的方程为，
此时
由题意知，点不在圆上，
①当所求切线的斜率存在时，设切线方程为，即，
由圆心到切线的距离等于半径，得，解得，
所以所求切线的方程为
②当所求切线的斜率不存在时，切线方程为，满足题意.
综上，所求切线的方程为或
【解析】本题考查直线与圆的位置关系，考查弦长的计算，考查分类讨论的数学思想，属于基础题．
直线l经过定点，判断出点在圆C的内部，所以当直线时，弦长取得最小值；
分类讨论，利用点到直线的距离公式，即可得出结论．
20.【答案】解：根据题意可得，
解得，，
所以椭圆C的方程为
证明：设直线l的方程为，，，
联立，
得，
所以，，
因为
，
所以，即
所以点O到直线l的距离
【解析】由椭圆C过点P，且左焦点为F，列方程组，解得a，b，即可得出答案．
设直线l的方程为，，，联立直线l与椭圆的方程，结合韦达定理可得，，由数量积，得，再计算点O到直线l的距离d，即可得出答案．
本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
21.【答案】解：证明：如图取FC中点M，连接GM，HM，
则，
又，
，
平面ABCD，平面ABCD，
平面ABCD，
，平面ABCD，平面ABCD，
平面ABCD，
又，GM，平面GHM，
平面平面ABD，
又平面GHM，
平面
平面平面ABCD，平面平面，，
平面DEFB，
设AC，BD的交点为O，则，
以O为原点，OA，OB所在直线分别为x轴，y轴，过O点且垂直于平面AOB的直线为z轴，设z轴交EF于，
，
，
即可得，，，，
，，
设平面FBC的法向量为，
则，即，令，解得，，
故平面FBC的法向量为，
平面DEFB的一个法向量为，
，
平面DEFB与平面FBC所成的角为锐角，
平面DEFB与平面FBC所成的角的余弦值为
【解析】根据已知条件，先去求证平面ABCD，平面ABCD，又由于又，GM，平面GHM，可得平面平面ABD，平面GHM，即可求证．
平面平面ABCD，平面平面，，可得平面DEFB，设AC，BD的交点为O，则，以O为原点，OA，OB所在直线分别为x轴，y轴，过O点且垂直于平面AOB的直线为z轴，设z轴交EF于，分别求出两个平面的法向量，并结合向量的夹角公式，即可求解．
本题考查了面面平行的证明，以及二面角的求法，掌握建系的思想是解题的关键，属于难题．
22.
（1）；（2）；（3）证明见解析.
【分析】
(1)求出直线的方程，利用圆的弦长公式可求出圆的半径，即可得出答案.
(2) 直线的方程为,可得点到直线的距离，由即可求解.
（3）过点与圆相切的切线斜率存在，设为，设直线，的斜率分别为，，由与圆相切得，可得，的关系，将与圆联立解得的坐标，即可得出答案.
【详解】（1）因为，，所以，
所以直线的方程为，
所以点到直线的距离为.
因为直线截圆所得的弦长为，
所以，
所以圆的方程为.
（2）由题知直线的斜率存在，
故可设直线的方程为即，
所以点到直线的距离，
在圆中由垂径定理得.
所以.
令，
则
当，则时，面积的最大值为.
（3）因为，所以过点与圆相切的切线斜率存在，
设为，
即与圆相切得，
化简得 （1）
设直线，的斜率分别为，，
则，是方程（1）的两个根，所以，
将与圆联立解得
，同理，
所以
所以当变化时，直线的斜率为定值.