第13讲 双曲线方程及几何性质
一、知识导图
二、知识导入
1、情境引入
类比椭圆的标准方程及几何性质的探究方式
上节回顾：平面上到两个定点的距离之和为一个常数（大于两定点间的距离）的点的轨迹是椭圆.
思考：那么平面上到两个定点的距离之差为一个常数的点的轨迹是什么呢？
设计意图：类比前面章节“椭圆的标准方程与几何意义”的教学过程，引入本节“双曲线的标准方程与几何意义”，有利于降低学习难度，使学生迅速理解双曲线的定义与元素。强调两节知识的联系与区别，引导学生探究本节过程中对比两节.
步步深化
类比椭圆的标准方程，写出双曲线的标准方程，并比较a、b、c的关系：
设计意图：利用已知结论得到双曲线的标准方程及简单几何性质，更利于学生对新知的理解和记忆.
三、知识讲解
知识点1 ：双曲线的定义
平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数（小于）的动点的轨迹叫双曲线. 即.
知识点2 双曲线的标准方程与几何性质
标准方程
图 形
性 质 范 围 或 或
对称性 对称轴：坐标轴对称中心：原点
顶点 ， ，
渐近线
离心率 ，，其中
准线
实虚轴 线段叫做双曲线的实轴，它的长；线段叫做双曲线的虚轴，它的长；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a、b、c的关系
注意：
(1)区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆a，b，c关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.
(2)双曲线的离心率大于1，而椭圆的离心率e∈(0,1)．
(3)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程是y＝±x，－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程是y＝±x.
求双曲线离心率、渐近线问题的一般方法：
(1)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用b2＝c2－a2和e＝转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．
(2)求渐近线时，利用c2＝a2＋b2转化为关于a，b的方程或不等式．双曲线渐近线的斜率与离心率的关系k＝±＝±＝±＝±.
知识点3 等轴双曲线
1.a=b即实轴和虚轴等长，这样的双曲线叫做等轴双曲线，其中，渐近线 .
2.共轭双曲线：以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线.它们互为共轭.互为共轭双曲线的方程为:和.
性质：①它们有相同的渐近线.②它们的四个焦点共圆.③离心率满足.
四、例题解析
例1：已知双曲线x2－＝1上一点P到它的一个焦点的距离等于4，那么点P到另一个焦点的距离等于________.
【答案】 6
【解析】 设双曲线的焦点为F1，F2，|PF1|＝4，则||PF1|－|PF2||＝2，故|PF2|＝6或2，又双曲线上的点到焦点的距离的最小值为c－a＝－1，故|PF2|＝6.
例2：双曲线－y2＝1的焦点坐标是( )
A.(－，0)，(，0) B.(－2，0)，(2，0)
C.(0，－)，(0，) D.(0，－2)，(0，2)
【答案】 B
【解析】 由题可知双曲线的焦点在x轴上，又c2＝a2＋b2＝3＋1＝4，所以c＝2，故焦点坐标为(－2，0)，(2，0).
例3：已知双曲线的一条渐近线平行于直线l：y＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为( )
A. B.
C. D.
【答案】 A
【解析】双曲线的渐近线方程为y＝±x，因为一条渐近线与直线y＝2x＋10平行，所以＝2.又因为双曲线的一个焦点在直线y＝2x＋10上，所以－2c＋10＝0，所以c＝5.
故由c2＝a2＋b2，得25＝a2＋4a2，则a2＝5，b2＝20，从而双曲线方程为.
例4：已知F为双曲线C：x2－my2＝3m(m>0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为( )
A. B．3 C.m D．3m
【答案】 A
【解析】由题意知，双曲线的标准方程为－＝1，其中a2＝3m，b2＝3，故c＝＝.不妨设F为双曲线的右焦点，故F(，0)．其中一条渐近线的方程为y＝x，即x－y＝0，由点到直线的距离公式可得d＝＝，故选A.
例5：已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，N是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是( )
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆
【答案】 B
【解析】 如图，连接ON，由题意可得|ON|＝1，且N为MF1的中点，
又O为F1F2的中点，∴|MF2|＝2.
∵点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，
由垂直平分线的性质可得|PM|＝|PF1|，
∴||PF2|－|PF1||＝||PF2|－|PM||＝|MF2|＝2<|F1F2|，
∴由双曲线的定义可得，点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线．
课堂练习
A级
1.双曲线－＝1(a>0)的一条渐近线方程为y＝x，则a＝________.
2.若双曲线－＝1(a>0)的离心率为，则a＝________.
3.若双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )
A. B．5 C. D．2
B级
4.已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________.
5.已知双曲线－＝1(0
A. B. C. D．2
6.双曲线C的渐近线方程为y＝±x，一个焦点为F(0，－)，点A(，0)，点P为双曲线第一象限内的点，则当点P的位置变化时，△PAF周长的最小值为( )
A.8 B.10 C.4＋3 D.3＋3
C级
7.已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点.P是双曲线在第一象限上的点，直线PO，PF2分别交双曲线C左、右支于M，N.若|PF1|＝2|PF2|，且∠MF2N＝60°，则双曲线C的离心率为________.
8.已知F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P是双曲线上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为，则双曲线的渐近线方程为( )
A.y＝±2x B.y＝±x
C.y＝±x D.y＝±x
9.已知离心率为的双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，M是双曲线C的一条渐近线上的点，且OM⊥MF2，O为坐标原点，若＝16，则双曲线的实轴长是( )
A．32 B．16 C．84 D．4
课后练习
A级
1.设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为( )
A.y＝±x B.y＝±x
C.y＝±x D.y＝±2x
2.已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则点(4，0)到C的渐近线的距离为( )
A. B.2 C. D.2
3.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，过右焦点F作渐近线的垂线，垂足为M.若△FOM的面积为，其中O为坐标原点，则双曲线的方程为( )
A.x2－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
B级
4.过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点F且斜率为1的直线与渐近线有且只有一个交点，则双曲线的离心率为________．
5.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点.设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
6.双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一个焦点为F，过点F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A，且交y轴于B，若A为BF的中点，则双曲线的离心率为( )
A. B. C.2 D.
C级
7.已知双曲线y2－＝1与不过原点O且不平行于坐标轴的直线l相交于M，N两点，线段MN的中点为P，设直线l的斜率为k1，直线OP的斜率为k2，则k1k2＝( )
A． B．－ C．2 D．－2
8.已知左、右焦点分别为F1，F2的双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与直线l：x－2y＝0相互垂直，点P在双曲线C上，且|PF1|－|PF2|＝3，则双曲线C的焦距为________．
9.如图，F1和F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为________．第13讲 双曲线方程及几何性质
一、知识导图
二、知识导入
1、情境引入
类比椭圆的标准方程及几何性质的探究方式
上节回顾：平面上到两个定点的距离之和为一个常数（大于两定点间的距离）的点的轨迹是椭圆.
思考：那么平面上到两个定点的距离之差为一个常数的点的轨迹是什么呢？
设计意图：类比前面章节“椭圆的标准方程与几何意义”的教学过程，引入本节“双曲线的标准方程与几何意义”，有利于降低学习难度，使学生迅速理解双曲线的定义与元素。强调两节知识的联系与区别，引导学生探究本节过程中对比两节.
步步深化
类比椭圆的标准方程，写出双曲线的标准方程，并比较a、b、c的关系：
设计意图：利用已知结论得到双曲线的标准方程及简单几何性质，更利于学生对新知的理解和记忆.
三、知识讲解
知识点1 ：双曲线的定义
平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数（小于）的动点的轨迹叫双曲线. 即.
知识点2 双曲线的标准方程与几何性质
标准方程
图 形
性 质 范 围 或 或
对称性 对称轴：坐标轴对称中心：原点
顶点 ， ，
渐近线
离心率 ，，其中
准线
实虚轴 线段叫做双曲线的实轴，它的长；线段叫做双曲线的虚轴，它的长；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a、b、c的关系
注意：
(1)区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆a，b，c关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.
(2)双曲线的离心率大于1，而椭圆的离心率e∈(0,1)．
(3)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程是y＝±x，－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程是y＝±x.
求双曲线离心率、渐近线问题的一般方法：
(1)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用b2＝c2－a2和e＝转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．
(2)求渐近线时，利用c2＝a2＋b2转化为关于a，b的方程或不等式．双曲线渐近线的斜率与离心率的关系k＝±＝±＝±＝±.
知识点3 等轴双曲线
1.a=b即实轴和虚轴等长，这样的双曲线叫做等轴双曲线，其中，渐近线 .
2.共轭双曲线：以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线.它们互为共轭.互为共轭双曲线的方程为:和.
性质：①它们有相同的渐近线.②它们的四个焦点共圆.③离心率满足.
四、例题解析
例1：已知双曲线x2－＝1上一点P到它的一个焦点的距离等于4，那么点P到另一个焦点的距离等于________.
【答案】 6
【解析】 设双曲线的焦点为F1，F2，|PF1|＝4，则||PF1|－|PF2||＝2，故|PF2|＝6或2，又双曲线上的点到焦点的距离的最小值为c－a＝－1，故|PF2|＝6.
例2：双曲线－y2＝1的焦点坐标是( )
A.(－，0)，(，0) B.(－2，0)，(2，0)
C.(0，－)，(0，) D.(0，－2)，(0，2)
【答案】 B
【解析】 由题可知双曲线的焦点在x轴上，又c2＝a2＋b2＝3＋1＝4，所以c＝2，故焦点坐标为(－2，0)，(2，0).
例3：已知双曲线的一条渐近线平行于直线l：y＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为( )
A. B.
C. D.
【答案】 A
【解析】双曲线的渐近线方程为y＝±x，因为一条渐近线与直线y＝2x＋10平行，所以＝2.又因为双曲线的一个焦点在直线y＝2x＋10上，所以－2c＋10＝0，所以c＝5.
故由c2＝a2＋b2，得25＝a2＋4a2，则a2＝5，b2＝20，从而双曲线方程为.
例4：已知F为双曲线C：x2－my2＝3m(m>0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为( )
A. B．3 C.m D．3m
【答案】 A
【解析】由题意知，双曲线的标准方程为－＝1，其中a2＝3m，b2＝3，故c＝＝.不妨设F为双曲线的右焦点，故F(，0)．其中一条渐近线的方程为y＝x，即x－y＝0，由点到直线的距离公式可得d＝＝，故选A.
例5：已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，N是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是( )
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆
【答案】 B
【解析】 如图，连接ON，由题意可得|ON|＝1，且N为MF1的中点，
又O为F1F2的中点，∴|MF2|＝2.
∵点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，
由垂直平分线的性质可得|PM|＝|PF1|，
∴||PF2|－|PF1||＝||PF2|－|PM||＝|MF2|＝2<|F1F2|，
∴由双曲线的定义可得，点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线．
课堂练习
A级
1.双曲线－＝1(a>0)的一条渐近线方程为y＝x，则a＝________.
【答案】 5
【解析】 由题意可得＝，所以a＝5.
2.若双曲线－＝1(a>0)的离心率为，则a＝________.
【答案】 4
【解析】 由题意可得，＝，即a2＝16，又a>0，所以a＝4.
3.若双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )
A. B．5 C. D．2
【答案】A
【解析】由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为±＝0，即bx±ay＝0，∴2a＝＝b.又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.∴e2＝＝5，∴e＝.
B级
4.已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________.
【答案】 x2－＝1(x≤－1)
【解析】 如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.
根据两圆外切的条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|，
因为|MA|＝|MB|，所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，
即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，
所以点M到两定点C1，C2的距离的差是常数且小于|C1C2|＝6.
又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，其中a＝1，c＝3，则b2＝8.故点M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1).
5.已知双曲线－＝1(0A. B. C. D．2
【答案】D
【解析】 由双曲线方程可知渐近线方程为y＝±x，由两条渐近线夹角为，0可知其中一条渐近线的倾斜角为，∴＝，∴a＝，c＝＝，
∴e＝＝＝2.
6.双曲线C的渐近线方程为y＝±x，一个焦点为F(0，－)，点A(，0)，点P为双曲线第一象限内的点，则当点P的位置变化时，△PAF周长的最小值为( )
A.8 B.10 C.4＋3 D.3＋3
【答案】 B
【解析】 由已知得双曲线方程为－＝1，设双曲线的另一个焦点为F′，则|PF|＝|PF′|＋4，△PAF的周长为|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PF′|＋4＋|PA|＋3，当F′，P，A三点共线时，|PF′|＋|PA|有最小值，为|AF′|＝3，故△PAF的周长的最小值为10.
C级
7.已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点.P是双曲线在第一象限上的点，直线PO，PF2分别交双曲线C左、右支于M，N.若|PF1|＝2|PF2|，且∠MF2N＝60°，则双曲线C的离心率为________.
【答案】
【解析】 由题意，|PF1|＝2|PF2|，由双曲线的定义可得，|PF1|－|PF2|＝2a，可得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，又|F1O|＝|F2O|，|PO|＝|MO|，得四边形PF1MF2为平行四边形，又∠MF2N＝60°，可得∠F1PF2＝60°，在△PF1F2中，由余弦定理可得，4c2＝16a2＋4a2－2·4a·2a·cos 60°，即4c2＝20a2－8a2，c2＝3a2，可得c＝a，
所以e＝＝.
8.已知F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P是双曲线上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为，则双曲线的渐近线方程为( )
A.y＝±2x B.y＝±x
C.y＝±x D.y＝±x
【答案】 D
【解析】 不妨设P为双曲线右支上一点，则|PF1|>|PF2|，由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＋|PF2|＝6a，所以|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.又因为所以∠PF1F2为最小内角，故∠PF1F2＝.
由余弦定理，可得＝，即(a－c)2＝0，所以c＝a，则b＝a，
所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.
9.已知离心率为的双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，M是双曲线C的一条渐近线上的点，且OM⊥MF2，O为坐标原点，若＝16，则双曲线的实轴长是( )
A．32 B．16 C．84 D．4
【答案】B
【解析】 由题意知F2(c,0)，不妨令点M在渐近线y＝x上，由题意可知|F2M|＝＝b，所以|OM|＝＝a.由＝16，可得ab＝16，即ab＝32，又a2＋b2＝c2，＝，所以a＝8，b＝4，c＝4，所以双曲线C的实轴长为16.故选B.
课后练习
A级
1.设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为( )
A.y＝±x B.y＝±x
C.y＝±x D.y＝±2x
【答案】 B
【解析】 因为2b＝2，所以b＝1，因为2c＝2，所以c＝，所以a＝＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.
2.已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则点(4，0)到C的渐近线的距离为( )
A. B.2 C. D.2
【答案】 D
【解析】 法一 由离心率e＝＝，得c＝a，又b2＝c2－a2，得b＝a，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x.由点到直线的距离公式，得点(4，0)到C的渐近线的距离为＝2.
法二 离心率e＝的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是y＝±x，∴点(4，0)到C的渐近线的距离为＝2.
3.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，过右焦点F作渐近线的垂线，垂足为M.若△FOM的面积为，其中O为坐标原点，则双曲线的方程为( )
A.x2－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
【答案】 C
【解析】 由题意可知e＝＝，可得＝，取一条渐近线为y＝x，
可得F到渐近线y＝x的距离d＝＝b，
在Rt△FOM中，由勾股定理可得|OM|＝＝＝a，由题意可得ab＝，
联立解得所以双曲线的方程为－＝1.
B级
4.过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点F且斜率为1的直线与渐近线有且只有一个交点，则双曲线的离心率为________．
【答案】
【解析】 由题意知＝1，∴e＝＝.
5.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点.设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
【答案】 C
【解析】由d1＋d2＝6，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以b＝3.因为双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，所以＝2，所以＝4，所以＝4，解得a2＝3，所以双曲线的方程为－＝1.
6.双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一个焦点为F，过点F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A，且交y轴于B，若A为BF的中点，则双曲线的离心率为( )
A. B. C.2 D.
【答案】 A
【解析】 由题易知双曲线C的一条渐近线与x轴的夹角为，故双曲线C的离心率e＝.
C级
7.已知双曲线y2－＝1与不过原点O且不平行于坐标轴的直线l相交于M，N两点，线段MN的中点为P，设直线l的斜率为k1，直线OP的斜率为k2，则k1k2＝( )
A． B．－ C．2 D．－2
【答案】A
【解析】 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x0，y0)，则y－＝1，y－＝1，两式相减可得(y1－y2)(y1＋y2)＝，所以直线l的斜率k1＝＝＝，又直线OP的斜率k2＝，所以k1k2＝·＝。故选A。
8.已知左、右焦点分别为F1，F2的双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与直线l：x－2y＝0相互垂直，点P在双曲线C上，且|PF1|－|PF2|＝3，则双曲线C的焦距为________．
【答案】3
【解析】双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线为y＝±x，一条渐近线与直线l：x－2y＝0相互垂直，可得＝2，即b＝2a，由双曲线的定义可得2a＝|PF1|－|PF2|＝3，可得a＝，b＝3，即有c＝＝＝，即焦距为2c＝3.
9.如图，F1和F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为________．
【答案】 ＋1
【解析】 设F1F2＝2c，连接AF1，∵△F2AB是等边三角形，且F1F2是⊙O的直径，
∴∠AF2F1＝30°，∠F1AF2＝90°，∴|AF1|＝c，|AF2|＝c，2a＝c－c，e＝＝＝＋1.