椭圆方程及几何性质
一、知识导图
二、知识导入
1.前面已学过曲线的方程与方程的曲线的概念，那么椭圆的标准方程是什么？以及是怎样规定的呢？
2.你知道下面这个问题的方程轨迹方程是什么吗？
已知中，,,为动点，若、边上两中线长的和为定值15.求动点的轨迹方程.
知识讲解
知识点1 椭圆的认识
平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数()，这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.
要点诠释：
（1）若，则动点的轨迹为线段；若，则动点的轨迹无图形.
（2）确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件，一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型.
知识点2 椭圆的标准方程
（1）当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；
（2）当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；
要点诠释：
（1）只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；
（2）在椭圆的两种标准方程中，都有和；
（3）椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，.
知识点3 椭圆的几何性质
椭圆的的简单几何性质
（1）范围：，，
（2）焦点，顶点、，长轴长=，短轴长=，焦距＝，
（3）离心率是且；
椭圆的的简单几何性质
（1）范围：，，
（2）焦点，顶点、，长轴长=，短轴长=，焦距＝，
（3）离心率是
知识点4 椭圆与的区别与联系
标准方程
图形
性质 焦点 ， ，
焦距
范围 ， ，
对称性 关于轴、轴和原点对称
顶点 ， ，
轴 长轴长=，短轴长=
离心率
焦半径 ， ，
要点诠释：
椭圆，的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系都有和，；不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同。
四、例题解析
例1：若F1(3，0)，F2(－3，0)，点P到F1，F2的距离之和为10，则P点的轨迹方程是_________________________________.
【答案】 ＋＝1
【解析】 因为|PF1|＋|PF2|＝10>|F1F2|＝6，所以点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，其中a＝5，c＝3，b＝＝4，故点P的轨迹方程为＋＝1.
例2：如图，△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是________．
【答案】 4
【解析】 ∵a2＝3，∴a＝.
△ABC的周长为|AC|＋|AB|＋|BC|＝|AC|＋|CF2|＋|AB|＋|BF2|＝2a＋2a＝4a＝4.
例3：已知椭圆C：＋＝1的一个焦点为(2，0)，则C的离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】 C
【解析】 不妨设a>0.因为椭圆C的一个焦点为(2，0)，所以焦点在x轴上，且c＝2，所以a2＝4＋4＝8，所以a＝2，所以椭圆C的离心率e＝＝.
例4：已知椭圆，F1，F2是两个焦点，若椭圆上存在一点P，使，求其离心率的取值范围.
【答案】 见解析
【解析】△F1PF2中，已知，|F1F2|=2c，|PF1|+|PF2|=2a，
由余弦定理：4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos120°①
又|PF1|+|PF2|=2a ②
联立① ②得4c2=4a2-|PF1||PF2|，∴
例5：已知椭圆＋＝1以及椭圆内一点P(4,2)，则以P为中点的弦所在直线的斜率为( )
A. B．－ C．2 D．－2
【答案】 B
【解析】 设弦所在直线的斜率为k，弦的端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，
两式相减，得＋＝0，所以＝－，
所以k＝＝－.经检验，k＝－满足题意．故弦所在直线的斜率为－.故选B.
五、课堂练习
A级
1.如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是( )
A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆
2.已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是( )
A.2 B.6 C.4 D.2
3.与圆C1：(x＋3)2＋y2＝1外切，且与圆C2：(x－3)2＋y2＝81内切的动圆圆心P的轨迹方程为________．
B级
4.已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为( )
A. B. C. D.
5.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
6.已知椭圆＋＝1的长轴在x轴上，焦距为4，则m等于( )
A.8 B.7 C.6 D.5
C级
7.已知椭圆＋＝1(08.若直线mx＋ny＝4与⊙O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数是( )
A．至多为1 B．2 C．1 D．0
9.过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )
A. B. C. D.
课后作业
A级
1.若椭圆C：＋＝1(a>b>0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
2.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为12，则C的方程为( )
A.＋y2＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
3.已知圆(x－1)2＋(y－1)2＝2经过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点F和上顶点B，则椭圆C的离心率为( )
A. B. C.2 D.
B级
4.直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是( )
A.(1，＋∞) B.(1，3)∪(3，＋∞)
C.(3，＋∞) D.(0，3)∪(3，＋∞)
5.已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，现以F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M，N，若过F1的直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的离心率为( )
A.－1 B．2－ C. D.
6.已知椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，－2)且a＝2b，则椭圆的标准方程为________.
C级
7.设F1，F2为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，经过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若△F2AB的面积为4的等边三角形，则椭圆C的方程为______________.
8.已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左顶点为M，上顶点为N，右焦点为F，若·＝0，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
9.已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点，若AB的中点为M(1，－1)，则椭圆E的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1椭圆方程及几何性质
一、知识导图
二、知识导入
1.前面已学过曲线的方程与方程的曲线的概念，那么椭圆的标准方程是什么？以及是怎样规定的呢？
2.你知道下面这个问题的方程轨迹方程是什么吗？
已知中，,,为动点，若、边上两中线长的和为定值15.求动点的轨迹方程.
知识讲解
知识点1 椭圆的认识
平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数()，这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.
要点诠释：
（1）若，则动点的轨迹为线段；若，则动点的轨迹无图形.
（2）确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件，一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型.
知识点2 椭圆的标准方程
（1）当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；
（2）当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；
要点诠释：
（1）只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；
（2）在椭圆的两种标准方程中，都有和；
（3）椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，.
知识点3 椭圆的几何性质
椭圆的的简单几何性质
（1）范围：，，
（2）焦点，顶点、，长轴长=，短轴长=，焦距＝，
（3）离心率是且；
椭圆的的简单几何性质
（1）范围：，，
（2）焦点，顶点、，长轴长=，短轴长=，焦距＝，
（3）离心率是
知识点4 椭圆与的区别与联系
标准方程
图形
性质 焦点 ， ，
焦距
范围 ， ，
对称性 关于轴、轴和原点对称
顶点 ， ，
轴 长轴长=，短轴长=
离心率
焦半径 ， ，
要点诠释：
椭圆，的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系都有和，；不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同。
四、例题解析
例1：若F1(3，0)，F2(－3，0)，点P到F1，F2的距离之和为10，则P点的轨迹方程是_________________________________.
【答案】 ＋＝1
【解析】 因为|PF1|＋|PF2|＝10>|F1F2|＝6，所以点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，其中a＝5，c＝3，b＝＝4，故点P的轨迹方程为＋＝1.
例2：如图，△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是________．
【答案】 4
【解析】 ∵a2＝3，∴a＝.
△ABC的周长为|AC|＋|AB|＋|BC|＝|AC|＋|CF2|＋|AB|＋|BF2|＝2a＋2a＝4a＝4.
例3：已知椭圆C：＋＝1的一个焦点为(2，0)，则C的离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】 C
【解析】 不妨设a>0.因为椭圆C的一个焦点为(2，0)，所以焦点在x轴上，且c＝2，所以a2＝4＋4＝8，所以a＝2，所以椭圆C的离心率e＝＝.
例4：已知椭圆，F1，F2是两个焦点，若椭圆上存在一点P，使，求其离心率的取值范围.
【答案】 见解析
【解析】△F1PF2中，已知，|F1F2|=2c，|PF1|+|PF2|=2a，
由余弦定理：4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos120°①
又|PF1|+|PF2|=2a ②
联立① ②得4c2=4a2-|PF1||PF2|，∴
例5：已知椭圆＋＝1以及椭圆内一点P(4,2)，则以P为中点的弦所在直线的斜率为( )
A. B．－ C．2 D．－2
【答案】 B
【解析】 设弦所在直线的斜率为k，弦的端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，
两式相减，得＋＝0，所以＝－，
所以k＝＝－.经检验，k＝－满足题意．故弦所在直线的斜率为－.故选B.
五、课堂练习
A级
1.如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是( )
A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆
【答案】 A
【解析】 连接QA.由已知得|QA|＝|QP|.
所以|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝r.
又因为点A在圆内，所以|OA|＜|OP|，根据椭圆的定义，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆.
2.已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是( )
A.2 B.6 C.4 D.2
【答案】 C
【解析】 由椭圆的方程得a＝.设椭圆的另一个焦点为F，则由椭圆的定义得|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a，所以△ABC的周长为|BA|＋|BC|＋|CA|＝|BA|＋|BF|＋|CF|＋|CA|＝(|BA|＋|BF|)＋(|CF|＋|CA|)＝2a＋2a＝4a＝4.
3.与圆C1：(x＋3)2＋y2＝1外切，且与圆C2：(x－3)2＋y2＝81内切的动圆圆心P的轨迹方程为________．
【答案】 ＋＝1
【解析】 设动圆的半径为r，圆心为P(x，y)，则有|PC1|＝r＋1，|PC2|＝9－r.所以|PC1|＋|PC2|＝10>|C1C2|＝6，即P在以C1(－3,0)，C2(3,0)为焦点，长轴长为10的椭圆上，得点P的轨迹方程为＋＝1.
B级
4.已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】 D
【解析】 如图，作PB⊥x轴于点B.
由题意可设|F1F2|＝|PF2|＝2，则c＝1，
由∠F1F2P＝120°，
可得|PB|＝，|BF2|＝1，
故|AB|＝a＋1＋1＝a＋2，
tan∠PAB＝＝＝，
解得a＝4，所以e＝＝.
5.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
【答案】 D
【解析】由题意可知椭圆焦点在x轴上，
所以设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，
由题意可知c＝1，e＝＝，
可得a＝2，又a2＝b2＋c2，可得b2＝3，
所以椭圆方程为＋＝1.
6.已知椭圆＋＝1的长轴在x轴上，焦距为4，则m等于( )
A.8 B.7 C.6 D.5
【答案】 A
【解析】 因为椭圆＋＝1的长轴在x轴上，所以解得6C级
7.已知椭圆＋＝1(0【答案】
【解析】 由椭圆的方程可知a＝2，
由椭圆的定义可知，|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＝8，
所以|AB|＝8－(|AF2|＋|BF2|)≥3，
当AB垂直于x轴时|AB|有最小值，则＝3.
所以b2＝3，即b＝.
8.若直线mx＋ny＝4与⊙O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数是( )
A．至多为1 B．2 C．1 D．0
【答案】 B
【解析】 由题意知，>2，即<2，
∴点P(m，n)在椭圆＋＝1的内部，
故所求交点个数是2.
9.过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )
A. B. C. D.
【答案】 B
【解析】 由题意知椭圆的右焦点F的坐标为(1,0)，则直线AB的方程为y＝2x－2.
联立解得交点坐标为(0，－2)，，
不妨设A点的纵坐标yA＝－2，B点的纵坐标yB＝，
∴S△OAB＝·|OF|·|yA－yB|＝×1×＝，
故选B.
课后作业
A级
1.若椭圆C：＋＝1(a>b>0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】 C
【解析】 依题意可知，c＝b，
又a＝＝c，
∴椭圆的离心率e＝＝.
2.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为12，则C的方程为( )
A.＋y2＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
【答案】 D
【解析】 由题意可得＝，4a＝12，解得a＝3，c＝2，则b＝＝，所以椭圆C的方程为＋＝1.
3.已知圆(x－1)2＋(y－1)2＝2经过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点F和上顶点B，则椭圆C的离心率为( )
A. B. C.2 D.
【答案】 D
【解析】 由题意得，椭圆的右焦点F为(c，0)，上顶点B为(0，b).因为圆(x－1)2＋(y－1)2＝2经过右焦点F和上顶点B，所以解得b＝c＝2，则a2＝b2＋c2＝8，解得a＝2，所以椭圆C的离心率e＝＝＝.
B级
4.直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是( )
A.(1，＋∞) B.(1，3)∪(3，＋∞)
C.(3，＋∞) D.(0，3)∪(3，＋∞)
【答案】 B
【解析】 由得(m＋3)x2＋4mx＋m＝0.由Δ>0且m≠3及m>0得m>1且m≠3.
5.已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，现以F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M，N，若过F1的直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的离心率为( )
A.－1 B．2－ C. D.
【答案】 A
【解析】 ∵过F1的直线MF1是圆F2的切线，∴∠F1MF2＝90°，|MF2|＝c，∵|F1F2|＝2c，
∴|MF1|＝c，由椭圆定义可得|MF1|＋|MF2|＝c＋c＝2a，∴椭圆的离心率e＝＝－1.
6.已知椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，－2)且a＝2b，则椭圆的标准方程为________.
【答案】 ＋＝1
【解析】 ∵c＝2，a2＝4b2，∴a2－b2＝3b2＝c2＝12，
b2＝4，a2＝16.又焦点在y轴上，∴标准方程为＋＝1.
C级
7.设F1，F2为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，经过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若△F2AB的面积为4的等边三角形，则椭圆C的方程为______________.
【答案】 ＋＝1
【解析】 ∵△F2AB是面积为4的等边三角形，
∴AB⊥x轴，∴A，B两点的横坐标为－c，代入椭圆方程，可求得|F1A|＝|F1B|＝.
又|F1F2|＝2c，∠F1F2A＝30°，∴＝×2c.①
又S△F2AB＝×2c×＝4，②
a2＝b2＋c2，③
由①②③解得a2＝9，b2＝6，c2＝3，∴椭圆C的方程为＋＝1.
8.已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左顶点为M，上顶点为N，右焦点为F，若·＝0，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】 D
【解析】 由题意知，M(－a，0)，N(0，b)，F(c，0)，∴＝(－a，－b)，＝(c，－b).∵·＝0，∴－ac＋b2＝0，即b2＝ac.又b2＝a2－c2，∴a2－c2＝ac.∴e2＋e－1＝0，解得e＝或e＝(舍).∴椭圆的离心率为.
9.已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点，若AB的中点为M(1，－1)，则椭圆E的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
【答案】 D
【解析】 kAB＝＝，kOM＝－1，
由kAB·kOM＝－，得＝，∴a2＝2b2.
∵c＝3，∴a2＝18，b2＝9，椭圆E的方程为＋＝1.
