第14讲 抛物线方程及几何性质
一、知识导图
二、知识导入
（一）课堂导入
1.生活中的抛物线：
（1）投篮时篮球的运行轨迹是抛物线；
（2）南京秦淮河三山桥的桥拱的形状是抛物线；
（3）卫星天线是根据抛物线的原理制造的.
2.数学中的抛物线：
一元二次函数的图像是一条抛物线.
提出问题：为什么一元二次函数的图像是一条抛物线？类比椭圆、双曲线的几何性质，抛物线又会有怎样的几何性质？
（二）抛物线的定义
1.抛物线的画法
（1）介绍作图规则.
（2）动画展示作图过程.
提出问题：笔尖所对应的点满足的几何关系是什么？
（3）分析作图过程
提出问题：在作图过程中，直尺，三角板，笔尖，点F中，哪些没有动？哪些动了？
提出问题：在作图过程中，绳长，，，，中，哪些量没有变？哪些量变了？
（4）结论
动点满足的几何关系是：动点到定点F的距离等于它到直尺的距离.
2.抛物线的定义
问题1：你能给抛物线下个定义吗？
抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线（不过）的距离相等的点的集合叫作抛物线.
问题2：为什么定点不能在定直线上？若点在直线上，则轨迹为过定点垂直于直线的直线.
3.抛物线的相关概念：
定点：抛物线的焦点.定直线：抛物线的准线.
设，焦点到准线的距离.
抛物线的对称轴与抛物线的交点：抛物线的顶点
（三）抛物线的方程
1.方程推导
（1）建系
请同学们将抛物线画在草稿纸上，自己建立平面直角坐标系.
（2）推导
问题3：以下三种建系方式，你认为哪种建系方式最好？请说明理由.
提示：设，先将抛物线的焦点坐标和准线方程求出来，再来求抛物线的方程.
三种建系方式下的抛物线方程分别为：，，.不难得出，第二种建系方式下的抛物线方程最简洁，因此第二种建系方式最好.
：焦点到准线的距离.
3.思考交流
问题4：你能否分别写出开口向左、向上、向下，顶点在原点，焦点在坐标轴上的抛物线的标准方程？
具体要求：以顶点在原点，焦点在轴正半轴上的抛物线的标准方程为基础，分别写出开口向左、向上、向下，顶点在原点，焦点在坐标轴上的抛物线的标准方程，不要求写过程.学生先独立思考，再小组合作交流.
标准方程
图形
性质 开口方向 向右 向左 向上 向下
范围
对称轴 轴 轴
焦点坐标
准线方程
离心率
焦半径
抛物线的标准方程是指顶点放在坐标原点，焦点放在坐标轴上的抛物线的方程，一共有四种形式.
4.例题分析
例1.求出下列抛物线的焦点坐标和准线方程.
（1）； （2）；
例2.根据下列条件求抛物线的标准方程.
（1）焦点：； （2）准线：.
（四）课堂小结
问题5：这节课你学到了什么？请谈谈你的收获.
1.知识内容：（1）抛物线的定义：
（2）抛物线的标准方程：
①焦点在轴正半轴：；
②焦点在轴负半轴：；
③焦点在轴正半轴：；
④焦点在轴负半轴：.
2.学习方法与过程：类比椭圆的研究方法与过程.
3.学习中用到的数学思想和方法：（1）直接法；（2）待定系数法；（3）类比的思维方法；（4）数形结合思想.
三、知识讲解
知识点1 抛物线的定义
文字形式：平面内到定点的距离等于它到一条定直线的距离的点的轨迹。其中叫焦点，定直线叫准线.
集合形式：（M为动点，为定点，为点M到定直线的距离）.
知识点2 抛物线的方程级几何性质
标准方程
图形
性质 开口方向 向右 向左 向上 向下
范围
对称轴 轴 轴
焦点坐标
准线方程
离心率
焦半径
四、例题解析
例1：过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于( )
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】B
【解析】 抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，
|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.
例2：如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|＝4，则线段AB的长为( )
A.5 B.6 C. D.
【答案】 C
【解析】 如图，设l与x轴交于点M，过点A作AD⊥l交l于点D，由抛物线的定义知，|AD|＝|AF|＝4，由F是AC的中点，知|AD|＝2|MF|＝2p，所以2p＝4，解得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＝x1＋＝x1＋1＝4，所以x1＝3，可得y1＝2，所以A(3，2)，又F(1，0)，所以直线AF的斜率k＝＝，所以直线AF的方程为y＝(x－1)，代入抛物线方程y2＝4x得3x2－10x＋3＝0，所以x1＋x2＝，|AB|＝x1＋x2＋p＝.故选C.
[应用结论]法一 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＝x1＋＝x1＋1＝4，所以x1＝3，又x1x2＝＝1，所以x2＝，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝3＋＋2＝.
法二 因为＋＝，|AF|＝4，所以|BF|＝，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝4＋＝.
例3：设抛物线C：y2＝3x的焦点为F，点A为C上一点，若|FA|＝3，则直线FA的倾斜角为( )
A. B. C.或 D.或
【答案】 C
【解析】 如图，作AH⊥l于H，则|AH|＝|FA|＝3，作FE⊥AH于E，则|AE|＝3－＝，在Rt△AEF中，cos∠EAF＝＝，∴∠EAF＝，即直线FA的倾斜角为，同理点A在x轴下方时，直线FA的倾斜角为.
例4：已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，且l过点(－2，3)，M在抛物线C上，若点N(1，2)，则|MN|＋|MF|的最小值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】 B
【解析】 由题意知＝2，即p＝4.过点N作准线l的垂线，垂足为N′，交抛物线于点M′，则|M′N′|＝|M′F|，则有|MN|＋|MF|＝|MN|＋|MT|≥|M′N′|＋|M′N|＝|NN′|＝1－(－2)＝3.
例5：如图所示，已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l经过点F且与抛物线C相交于A，B两点．
(1)若线段AB的中点在直线y＝2上，求直线l的方程；
(2)若线段|AB|＝20，求直线l的方程．
【答案】 见解析
【解析】(1)由已知，得抛物线的焦点为F(1，0)．因为线段AB的中点在直线y＝2上，
所以直线l的斜率存在，
设直线l的斜率为k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，由
得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，所以2y0k＝4.
又y0＝2，所以k＝1，故直线l的方程是y＝x－1.
(2)设直线l的方程为x＝my＋1，与抛物线方程联立得消去x，得y2－4my－4＝0，
所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，Δ＝16(m2＋1)>0.
|AB|＝|y1－y2|＝·
＝·＝4(m2＋1)．
所以4(m2＋1)＝20，解得m＝±2，
所以直线l的方程是x＝±2y＋1，即x±2y－1＝0.
课堂练习
A级
1.过点F(0，3)且和直线y＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为( )
A．y2＝12x B．y2＝－12x C．x2＝－12y D．x2＝12y
2.设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是( )
A.4 B.6 C.8 D.12
3．已知点F是抛物线y2＝2x的焦点，M，N是该抛物线上的两点，若|MF|＋|NF|＝4，则线段MN的中点的横坐标为( )
A. B.2 C. D.3
B级
4.已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，且|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为( )
A. B．1 C. D.
5.已知抛物线x2＝2y的焦点为F，其上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)满足|AF|－|BF|＝2，则y1＋x－y2－x＝( )
A.4 B.6 C.8 D.10
6.若抛物线y2＝4x的准线为l，P是抛物线上任意一点，则P到准线l的距离与P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值是( )
A.2 B. C. D.3
C级
7.已知正三角形AOB(O为坐标原点)的顶点A，B在抛物线y2＝3x上，则△AOB的边长是________．
8.如图所示，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为( )
A．y2＝x B．y2＝9x
C．y2＝x D．y2＝3x
9.已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝；
(2)＋为定值；
(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
课后作业
A级
1.已知点P(2，y)在抛物线y2＝4x上，则点P到抛物线焦点F的距离为( )
A．2 B．3 C. D.
2.抛物线y＝4x2的焦点到准线的距离为( )
A.2 B.1 C. D.
3.如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为________.
B级
4.动圆过点(1，0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为__________.
5.已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝________.
6.抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，M是抛物线C上的点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36π，则p等于( )
A．2 B．4 C．6 D．8
C级
7.已知直线l是抛物线y2＝2px(p>0)的准线，半径为3的圆过抛物线顶点O和焦点F与l相切，则抛物线的方程为________．
8.已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为C上一点，PQ垂直l于点Q，M，N分别为PQ，PF的中点，MN与x轴相交于点R，若∠NRF＝60°，则|FR|等于( )
A． B．1 C．2 D．4
9．已知曲线G：y＝及点A(1,0)，若曲线G上存在相异两点B，C，其到直线l：x＋1＝0的距离分别为|AB|和|AC|，则|AB|＋|AC|＝________.第14讲 抛物线方程及几何性质
一、知识导图
二、知识导入
（一）课堂导入
1.生活中的抛物线：
（1）投篮时篮球的运行轨迹是抛物线；
（2）南京秦淮河三山桥的桥拱的形状是抛物线；
（3）卫星天线是根据抛物线的原理制造的.
2.数学中的抛物线：
一元二次函数的图像是一条抛物线.
提出问题：为什么一元二次函数的图像是一条抛物线？类比椭圆、双曲线的几何性质，抛物线又会有怎样的几何性质？
（二）抛物线的定义
1.抛物线的画法
（1）介绍作图规则.
（2）动画展示作图过程.
提出问题：笔尖所对应的点满足的几何关系是什么？
（3）分析作图过程
提出问题：在作图过程中，直尺，三角板，笔尖，点F中，哪些没有动？哪些动了？
提出问题：在作图过程中，绳长，，，，中，哪些量没有变？哪些量变了？
（4）结论
动点满足的几何关系是：动点到定点F的距离等于它到直尺的距离.
2.抛物线的定义
问题1：你能给抛物线下个定义吗？
抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线（不过）的距离相等的点的集合叫作抛物线.
问题2：为什么定点不能在定直线上？若点在直线上，则轨迹为过定点垂直于直线的直线.
3.抛物线的相关概念：
定点：抛物线的焦点.定直线：抛物线的准线.
设，焦点到准线的距离.
抛物线的对称轴与抛物线的交点：抛物线的顶点
（三）抛物线的方程
1.方程推导
（1）建系
请同学们将抛物线画在草稿纸上，自己建立平面直角坐标系.
（2）推导
问题3：以下三种建系方式，你认为哪种建系方式最好？请说明理由.
提示：设，先将抛物线的焦点坐标和准线方程求出来，再来求抛物线的方程.
三种建系方式下的抛物线方程分别为：，，.不难得出，第二种建系方式下的抛物线方程最简洁，因此第二种建系方式最好.
：焦点到准线的距离.
3.思考交流
问题4：你能否分别写出开口向左、向上、向下，顶点在原点，焦点在坐标轴上的抛物线的标准方程？
具体要求：以顶点在原点，焦点在轴正半轴上的抛物线的标准方程为基础，分别写出开口向左、向上、向下，顶点在原点，焦点在坐标轴上的抛物线的标准方程，不要求写过程.学生先独立思考，再小组合作交流.
标准方程
图形
性质 开口方向 向右 向左 向上 向下
范围
对称轴 轴 轴
焦点坐标
准线方程
离心率
焦半径
抛物线的标准方程是指顶点放在坐标原点，焦点放在坐标轴上的抛物线的方程，一共有四种形式.
4.例题分析
例1.求出下列抛物线的焦点坐标和准线方程.
（1）； （2）；
例2.根据下列条件求抛物线的标准方程.
（1）焦点：； （2）准线：.
（四）课堂小结
问题5：这节课你学到了什么？请谈谈你的收获.
1.知识内容：（1）抛物线的定义：
（2）抛物线的标准方程：
①焦点在轴正半轴：；
②焦点在轴负半轴：；
③焦点在轴正半轴：；
④焦点在轴负半轴：.
2.学习方法与过程：类比椭圆的研究方法与过程.
3.学习中用到的数学思想和方法：（1）直接法；（2）待定系数法；（3）类比的思维方法；（4）数形结合思想.
三、知识讲解
知识点1 抛物线的定义
文字形式：平面内到定点的距离等于它到一条定直线的距离的点的轨迹。其中叫焦点，定直线叫准线.
集合形式：（M为动点，为定点，为点M到定直线的距离）.
知识点2 抛物线的方程级几何性质
标准方程
图形
性质 开口方向 向右 向左 向上 向下
范围
对称轴 轴 轴
焦点坐标
准线方程
离心率
焦半径
四、例题解析
例1：过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于( )
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】B
【解析】 抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，
|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.
例2：如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|＝4，则线段AB的长为( )
A.5 B.6 C. D.
【答案】 C
【解析】 如图，设l与x轴交于点M，过点A作AD⊥l交l于点D，由抛物线的定义知，|AD|＝|AF|＝4，由F是AC的中点，知|AD|＝2|MF|＝2p，所以2p＝4，解得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＝x1＋＝x1＋1＝4，所以x1＝3，可得y1＝2，所以A(3，2)，又F(1，0)，所以直线AF的斜率k＝＝，所以直线AF的方程为y＝(x－1)，代入抛物线方程y2＝4x得3x2－10x＋3＝0，所以x1＋x2＝，|AB|＝x1＋x2＋p＝.故选C.
[应用结论]法一 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＝x1＋＝x1＋1＝4，所以x1＝3，又x1x2＝＝1，所以x2＝，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝3＋＋2＝.
法二 因为＋＝，|AF|＝4，所以|BF|＝，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝4＋＝.
例3：设抛物线C：y2＝3x的焦点为F，点A为C上一点，若|FA|＝3，则直线FA的倾斜角为( )
A. B. C.或 D.或
【答案】 C
【解析】 如图，作AH⊥l于H，则|AH|＝|FA|＝3，作FE⊥AH于E，则|AE|＝3－＝，在Rt△AEF中，cos∠EAF＝＝，∴∠EAF＝，即直线FA的倾斜角为，同理点A在x轴下方时，直线FA的倾斜角为.
例4：已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，且l过点(－2，3)，M在抛物线C上，若点N(1，2)，则|MN|＋|MF|的最小值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】 B
【解析】 由题意知＝2，即p＝4.过点N作准线l的垂线，垂足为N′，交抛物线于点M′，则|M′N′|＝|M′F|，则有|MN|＋|MF|＝|MN|＋|MT|≥|M′N′|＋|M′N|＝|NN′|＝1－(－2)＝3.
例5：如图所示，已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l经过点F且与抛物线C相交于A，B两点．
(1)若线段AB的中点在直线y＝2上，求直线l的方程；
(2)若线段|AB|＝20，求直线l的方程．
【答案】 见解析
【解析】(1)由已知，得抛物线的焦点为F(1，0)．因为线段AB的中点在直线y＝2上，
所以直线l的斜率存在，
设直线l的斜率为k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，由
得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，所以2y0k＝4.
又y0＝2，所以k＝1，故直线l的方程是y＝x－1.
(2)设直线l的方程为x＝my＋1，与抛物线方程联立得消去x，得y2－4my－4＝0，
所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，Δ＝16(m2＋1)>0.
|AB|＝|y1－y2|＝·
＝·＝4(m2＋1)．
所以4(m2＋1)＝20，解得m＝±2，
所以直线l的方程是x＝±2y＋1，即x±2y－1＝0.
课堂练习
A级
1.过点F(0，3)且和直线y＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为( )
A．y2＝12x B．y2＝－12x C．x2＝－12y D．x2＝12y
【答案】 D
【解析】由抛物线的定义知，过点F(0，3)且和直线y＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹是以点F(0，3)为焦点，直线y＝－3为准线的抛物线，故其方程为x2＝12y.
2.设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是( )
A.4 B.6 C.8 D.12
【答案】 B
【解析】 如图所示，抛物线的准线l的方程为x＝－2，F是抛物线的焦点，过点P作PA⊥y轴，垂足是A，延长PA交直线l于点B，则|AB|＝2.由于点P到y轴的距离为4，则点P到准线l的距离|PB|＝4＋2＝6，所以点P到焦点的距离|PF|＝|PB|＝6.故选B.
3．已知点F是抛物线y2＝2x的焦点，M，N是该抛物线上的两点，若|MF|＋|NF|＝4，则线段MN的中点的横坐标为( )
A. B.2 C. D.3
【答案】A
【解析】∵点F是抛物线y2＝2x的焦点，∴F，准线方程为x＝－，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，∴|MF|＋|NF|＝x1＋＋x2＋＝4，∴x1＋x2＝3，∴线段MN中点的横坐标为.
B级
4.已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，且|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为( )
A. B．1 C. D.
【答案】C
【解析】如图所示，设抛物线的准线为l，AB的中点为M，作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，MM1⊥l于M1，
由抛物线的定义知p＝，|AA1|＋|BB1|＝|AF|＋|BF|＝3，
则点M到y轴的距离为|MM1|－＝(|AA1|＋|BB1|)－＝.故选C.
5.已知抛物线x2＝2y的焦点为F，其上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)满足|AF|－|BF|＝2，则y1＋x－y2－x＝( )
A.4 B.6 C.8 D.10
【答案】 B
【解析】 由抛物线定义知|AF|＝y1＋，|BF|＝y2＋，∴|AF|－|BF|＝y1－y2＝2，又知x＝2y1，x＝2y2，∴x－x＝2(y1－y2)＝4，∴y1＋x－y2－x＝(y1－y2)＋(x－x)＝2＋4＝6.
6.若抛物线y2＝4x的准线为l，P是抛物线上任意一点，则P到准线l的距离与P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值是( )
A.2 B. C. D.3
【答案】 A
【解析】 由抛物线定义可知点P到准线l的距离等于点P到焦点F的距离，由抛物线y2＝4x及直线方程3x＋4y＋7＝0可得直线与抛物线相离，∴点P到准线l的距离与点P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值为点F(1，0)到直线3x＋4y＋7＝0的距离，即＝2.
C级
7.已知正三角形AOB(O为坐标原点)的顶点A，B在抛物线y2＝3x上，则△AOB的边长是________．
【答案】 6
【解析】如图，设△AOB的边长为a，则A，因为点A在抛物线y2＝3x上，
所以a2＝3×a，所以a＝6.
8.如图所示，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为( )
A．y2＝x B．y2＝9x
C．y2＝x D．y2＝3x
【答案】 D
【解析】 分别过点A，B作AA1⊥l，BB1⊥l，且垂足分别为A1，B1，由已知条件|BC|＝2|BF|，得|BC|＝2|BB1|，
所以∠BCB1＝30°.
又|AA1|＝|AF|＝3，
所以|AC|＝2|AA1|＝6，
所以|CF|＝|AC|－|AF|＝6－3＝3，
所以F为线段AC的中点．
故点F到准线的距离为p＝|AA1|＝，
故抛物线的方程为y2＝3x.
9.已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝；
(2)＋为定值；
(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
【答案】 见解析
【解析】证明 (1)由已知得抛物线焦点坐标为.
由题意可设直线方程为x＝my＋，代入y2＝2px，
得y2＝2p，即y2－2pmy－p2＝0.(*)
因为在抛物线内部，
所以直线与抛物线必有两交点．
则y1，y2是方程(*)的两个实数根，
所以y1y2＝－p2.
因为y＝2px1，y＝2px2，所以yy＝4p2x1x2，
所以x1x2＝＝＝.
(2)＋＝＋＝.
因为x1x2＝，x1＋x2＝|AB|－p，代入上式，
得＋＝＝(定值)．
(3)设AB的中点为M(x0，y0)，如图所示，分别过A，B作准线l的垂线，垂足为C，D，过M作准线l的垂线，垂足为N，
则|MN|＝(|AC|＋|BD|)＝(|AF|＋|BF|)＝|AB|.
所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
课后作业
A级
1.已知点P(2，y)在抛物线y2＝4x上，则点P到抛物线焦点F的距离为( )
A．2 B．3 C. D.
【答案】 B
【解析】 因为抛物线y2＝4x的焦点为(1,0)，准线为x＝－1，结合定义点P到抛物线焦点的距离等于它到准线的距离，为3.
2.抛物线y＝4x2的焦点到准线的距离为( )
A.2 B.1 C. D.
【答案】 D
【解析】 由y＝4x2得x2＝y，所以2p＝，p＝，则抛物线的焦点到准线的距离为.
3.如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为________.
【答案】 y2＝3x
【解析】 设A，B在准线上的射影分别为A1，B1，
由于|BC|＝2|BF|＝2|BB1|，则直线的斜率为，
故|AC|＝2|AA1|＝6，从而|BF|＝1，|AB|＝4，
故＝＝，即p＝，从而抛物线的方程为y2＝3x.
B级
4.动圆过点(1，0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为__________.
【答案】 y2＝4x
【解析】 设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1，0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x.
5.已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝________.
【答案】 6
【解析】 如图，不妨设点M位于第一象限内，抛物线C的准线交x轴于点A，过点M作准线的垂线，垂足为点B，交y轴于点P，∴PM∥OF.
由题意知，F(2，0)，|FO|＝|AO|＝2.∵点M为FN的中点，PM∥OF，∴|MP|＝|FO|＝1.
又|BP|＝|AO|＝2，∴|MB|＝|MP|＋|BP|＝3.
由抛物线的定义知|MF|＝|MB|＝3，故|FN|＝2|MF|＝6.
6.抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，M是抛物线C上的点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36π，则p等于( )
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】 D
【解析】∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径．∵圆的面积为36π，∴圆的半径为6.又∵圆心在OF的垂直平分线上，|OF|＝，∴＋＝6，∴p＝8.故选D.
C级
7.已知直线l是抛物线y2＝2px(p>0)的准线，半径为3的圆过抛物线顶点O和焦点F与l相切，则抛物线的方程为________．
【答案】y2＝8x
【解析】 ∵半径为3的圆与抛物线的准线l相切，
∴圆心到准线的距离等于3，
又∵圆心在OF的垂直平分线上，|OF|＝，
∴＋＝3，∴p＝4，故抛物线的方程为y2＝8x.
8.已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为C上一点，PQ垂直l于点Q，M，N分别为PQ，PF的中点，MN与x轴相交于点R，若∠NRF＝60°，则|FR|等于( )
A． B．1 C．2 D．4
【答案】 C
【解析】因为M，N分别是PQ，PF的中点，所以MN∥FQ，且PQ∥x轴。又∠NRF＝60°，所以∠FQP＝60°。由抛物线定义知|PQ|＝|PF|，所以△FQP为正三角形。则FM⊥PQ，所以|QM|＝p＝2，正三角形边长为4。因为|PQ|＝4，|FN|＝|PF|＝2，且△FRN为正三角形，所以|FR|＝2。故选C。
9．已知曲线G：y＝及点A(1,0)，若曲线G上存在相异两点B，C，其到直线l：x＋1＝0的距离分别为|AB|和|AC|，则|AB|＋|AC|＝________.
【答案】 14
【解析】 曲线G：y＝，即为半圆M：(x－8)2＋y2＝49(y≥0)，由题意得B，C为半圆M与抛物线y2＝4x的两个交点，由y2＝4x与(x－8)2＋y2＝49(y≥0)联立方程组得x2－12x＋15＝0，方程必有两不等实根，设B(x1，y1)，C(x2，y2)．
所以|AB|＋|AC|＝x1＋1＋x2＋1＝12＋2＝14.
