第15讲 圆锥曲线综合复习
一、知识导图
二、知识导入
（一）直线与椭圆位置关系
1.直线与椭圆位置关系：相交（两个公共点），相切（一个公共点），相离（无公共点）
2.直线与椭圆位置关系的判定步骤：通过方程根的个数进行判定，
下面以直线和椭圆：为例
（1）联立直线与椭圆方程：
（2）确定主变量（或）并通过直线方程消去另一变量（或），代入椭圆方程得到关于主变量的一元二次方程：，整理可得：
（3）通过计算判别式的符号判断方程根的个数，从而判定直线与椭圆的位置关系
① 方程有两个不同实根直线与椭圆相交
② 方程有两个相同实根直线与椭圆相切
③ 方程没有实根直线与椭圆相离
3.若直线上的某点位于椭圆内部，则该直线一定与椭圆相交
（二）抛物线方程：，过焦点的直线（斜率存在且），对应倾斜角为，与抛物线交于
联立方程：，整理可得：
（1）
（2）
（3）
三、知识讲解
圆锥曲线问题的解决思路与常用公式：
知识点1 直线与圆锥曲线问题
（1）题目贯穿一至两个核心变量（其余变量均为配角，早晚利用条件消掉），
（2）条件与直线和曲线的交点相关，所以可设，至于坐标是否需要解出，则看题目中的条件，以及坐标的形式是否复杂
（3）通过联立方程消元，可得到关于（或）的二次方程，如果所求的问题与两根的和或乘积有关，则可利用韦达定理进行整体代入，从而不需求出（所谓“设而不求”）
（4）有些题目会涉及到几何条件向解析语言的转换，注重数形几何，注重整体代入。则可简化运算的过程
这几点归纳起来就是“以一个（或两个）核心变量为中心，以交点为两个基本点，坚持韦达定理四个基本公式（，坚持数形结合，坚持整体代入。直至解决解析几何问题“
知识点2 直线方程的形式
直线的方程可设为两种形式：
（1）斜截式：，此直线不能表示竖直线。联立方程如果消去则此形式比较好用，且斜率在直线方程中能够体现，在用斜截式解决问题时要注意检验斜率不存在的直线是否符合条件
（2），此直线不能表示水平线，但可以表示斜率不存在的直线。经常在联立方程后消去时使用，多用于抛物线（消元后的二次方程形式简单）。此直线不能直接体现斜率，当时，斜率
知识点3 弦长公式
（已知直线上的两点距离）设直线，上两点，所以或
弦长公式的适用范围为直线上的任意两点，但如果为直线与曲线的交点（即为曲线上的弦），则（或）可进行变形：，从而可用方程的韦达定理进行整体代入。
知识点4 点差法
这是处理圆锥曲线问题的一种特殊方法，适用于所有圆锥曲线。不妨以椭圆方程为例，设直线与椭圆交于两点，则该两点满足椭圆方程，有：
考虑两个方程左右分别作差，并利用平方差公式进行分解，则可得到两个量之间的联系：
①
②
由等式可知：其中直线的斜率，中点的坐标为，这些要素均在②式中有所体现。所以通过“点差法”可得到关于直线的斜率与中点的联系，从而能够处理涉及到弦与中点问题时。同时由①可得在涉及坐标的平方差问题中也可使用点差法.
四、例题解析
例1：设P是椭圆＋＝1上一点，M，N分别是两圆：(x＋4)2＋y2＝1和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|＋|PN|的最小值、最大值分别为( )
A.9，12 B.8，11
C.8，12 D.10，12
【答案】 C
【解析】如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆定义知|PA|＋|PB|＝2a＝10，连接PA，PB分别与圆相交于两点，此时|PM|＋|PN|最小，最小值为|PA|＋|PB|－2R＝8；连接PA，PB并延长，分别与圆相交于两点，此时|PM|＋|PN|最大，最大值为|PA|＋|PB|＋2R＝12，即最小值和最大值分别为8，12.
例2：已知倾斜角为60°的直线l通过抛物线x2＝4y的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，则弦|AB|＝________.
【答案】 16
【解析】 法一 直线l的方程为y＝x＋1，由得y2－14y＋1＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝14，∴|AB|＝y1＋y2＋p＝14＋2＝16.
法二 如图所示，过F作AD的垂线，垂足为H，则|AF|＝|AD|＝p＋|AF|sin 60°，即|AF|＝＝.
同理，|BF|＝，故|AB|＝|AF|＋|BF|＝16.
例3：直线l与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)交于A，B两点，M是线段AB的中点，若l与OM(O是原点)的斜率的乘积等于1，则此双曲线的离心率为( )
A.3 B.2 C. D.
【答案】 D
【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，把A，B两点坐标分别代入双曲线的方程，得两式相减得－＝0，
又所以＝，所以＝＝kOMkl＝1，所以e2＝1＋＝2，又e>1，所以e＝.
例4：在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋y2＝1，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)是椭圆C上两个动点，直线OP，OQ的斜率分别为k1，k2，若m＝，n＝，m·n＝0.
(1)求证：k1·k2＝－；
(2)试探求△OPQ的面积S是否为定值，并说明理由.
【答案】 见解析
【解析】证明 ∵k1，k2均存在，∴x1x2≠0.又m·n＝0，∴＋y1y2＝0，即＝－y1y2，
∴k1·k2＝＝－.
(2) ①当直线PQ的斜率不存在，即x1＝x2，y1＝－y2时，
由＝－，得－y＝0.又∵点P(x1，y1)在椭圆上，∴＋y＝1，
∴|x1|＝，|y1|＝.∴S△POQ＝|x1||y1－y2|＝1.
②当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y＝kx＋b.
联立得方程组消去y并整理得(4k2＋1)x2＋8kbx＋4b2－4＝0，
其中Δ＝(8kb)2－4(4k2＋1)(4b2－4)＝16(1＋4k2－b2)>0，即b2<1＋4k2.
∴x1＋x2＝，x1x2＝.
∵＋y1y2＝0，∴＋(kx1＋b)(kx2＋b)＝0，得2b2－4k2＝1(满足Δ>0).
∴S△POQ＝|PQ|＝|b|＝2|b|＝1.
综合①②，△POQ的面积S为定值1.
例5：已知直线l过抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点，且垂直于抛物线的对称轴，l与抛物线两交点间的距离为2.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若点P(2，2)，过点(－2，4)的直线m与抛物线C相交于A，B两点，设直线PA与PB的斜率分别为k1和k2.求证：k1k2为定值，并求出此定值.
【答案】 见解析
【解析】 由题意可知，2p＝2，解得p＝1，则抛物线的方程为x2＝2y.
(2)证明 由题易知直线m的斜率存在，设直线m的方程为y－4＝k(x＋2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则k1＝＝，k2＝＝，
k1k2＝＝，
联立抛物线x2＝2y与直线y－4＝k(x＋2)的方程消去y得x2－2kx－4k－8＝0，其中Δ＝4(k2＋4k＋8)>0恒成立，
可得x1＋x2＝2k，x1x2＝－4k－8，则k1k2＝－1.
因此k1k2为定值，且该定值为－1.
五、课堂练习
A级
1.若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p＝( )
A.2 B.3 C.4 D.8
【答案】D
【解析】 由题意知，抛物线的焦点坐标为，
椭圆的焦点坐标为，
所以＝，解得p＝0(舍去)或p＝8.
2.已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，斜率为1的直线与C交于两点A，B，若线段AB的中点为(4，1)，则双曲线C的渐近线方程是( )
A.2x±y＝0 B.x±2y＝0 C.x±y＝0 D.x±y＝0
【答案】 B
【解析】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则－＝1①， －＝1②，
由①－②得＝，结合题意化简得＝1，
即＝，所以双曲线C的渐近线方程为x±2y＝0.
3.抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离为( )
A. B. C.2 D.
【答案】 B
【解析】 设抛物线上一点的坐标为(x，y)，则d＝＝＝，∴x＝时， dmin＝.
B级
4.已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. 10 C. 3 D.
【答案】D
【解析】由题意，双曲线的渐近线方程为，
又因为直线的斜率为，所以与该直线垂直的渐近线方程为，
则，即，故双曲线的离心率.
故选：D.
5.已知椭圆的离心率为，椭圆上一点到两焦点距离之和为12，则椭圆短轴长为
A．8 B．6
C．5 D．4
【答案】A
【解析】椭圆的离心率：，
椭圆上一点到两焦点距离之和为，即，可得：，，
，
则椭圆短轴长为.
6.已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，且l过点(－2，3)，M在抛物线C上，若点N(1，2)，则|MN|＋|MF|的最小值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】 B
【解析】 由题意知＝2，即p＝4.过点N作准线l的垂线，垂足为N′，交抛物线于点M′，则|M′N′|＝|M′F|，则有|MN|＋|MF|＝|MN|＋|MT|≥|M′N′|＋|M′N|＝|NN′|＝1－(－2)＝3.
C级
7.已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F和抛物线上一点M(2，2)的直线l交抛物线于另一点N，则|NF|∶|FM|等于( )
A.1∶2 B.1∶3 C.1∶ D.1∶
【答案】A
【解析】 抛物线y2＝4x的焦点F的坐标为(1，0)，∵直线l过点F和点M(2，2)，∴直线l的方程为y＝2(x－1).由得2x2－5x＋2＝0，解得x＝2或x＝，∴点N的横坐标为.∵抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，∴|NF|＝，|MF|＝3，∴|NF|∶|MF|＝1∶2，故选A.
8.设过抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点P(异于原点O)的直线与抛物线y2＝8px(p>0)交于A，B两点，直线OP与抛物线y2＝8px(p>0)的另一个交点为Q，则＝________.
【答案】 3
【解析】 设直线OP的方程为y＝kx(k≠0)，
联立得解得P，
联立得解得Q，
∴|OP|＝＝，|PQ|＝＝，
∴＝＝3.
9.已知直线l与双曲线－y2＝1相切于点P，l与双曲线的两条渐近线交于M，N两点，则·的值为( )
A.3 B.4 C.5 D.与P的位置有关
【答案】 A
【解析】 依题意，设点P(x0，y0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，其中x－4y＝4，则直线l的方程是－y0y＝1，题中双曲线的两条渐近线方程为y＝±x.
①当y0＝0时，直线l的方程是x＝2或x＝－2.
由得此时·＝(2，－1)·(2，1)＝4－1＝3，同理可得当直线l的方程是x＝－2时，·＝3.
②当y0≠0时，直线l的方程是y＝(x0x－4).
由得(4y－x)x2＋8x0x－16＝0(*)，又x－4y＝4，因此(*)即是x2－2x0x＋4＝0，x1x2＝4，·＝x1x2＋y1y2＝x1x2－x1x2＝x1x2＝3.
综上所述，·＝3.
课后作业
A级
1.直线y＝x＋3与双曲线－＝1(a>0，b>0)的交点个数是( )
A.1 B.2 C.1或2 D.0
【答案】 A
【解析】 由直线y＝x＋3与双曲线－＝1的渐近线y＝x平行，故直线与双曲线的交点个数是1.
2.已知F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，对于左支上任意一点P都有|PF2|2＝8a|PF1|(a为实半轴长)，则此双曲线的离心率e的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．(2,3] C．(1,3] D．(1,2]
【答案】 C
【解析】 由P是双曲线左支上任意一点及双曲线的定义，得|PF2|＝2a＋|PF1|，
所以＝|PF1|＋＋4a＝8a，所以|PF1|＝2a，|PF2|＝4a，
在△PF1F2中，|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|，即2a＋4a≥2c，所以e＝≤3.
又e>1，所以13.椭圆C：＋y2＝1(a>1)的离心率为，F1，F2是C的两个焦点，过F1的直线l与C交于A，B两点，则|AF2|＋|BF2|的最大值为________．
【答案】 7
【解析】 因为椭圆C的离心率为，所以＝，
解得a＝2，由椭圆定义得|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＝8，即|AF2|＋|BF2|＝8－|AB|，
而由焦点弦性质，知当AB⊥x轴时，|AB|取最小值2×＝1，
因此|AF2|＋|BF2|的最大值等于8－1＝7.
B级
4.直线l与抛物线C：y2＝2x交于A，B两点，O为坐标原点，若直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，且满足k1k2＝，则直线l过定点( )
A.(－3，0) B.(0，－3) C.(3，0) D.(0，3)
【答案】 A
【解析】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为k1k2＝，所以·＝.又y＝2x1，y＝2x2，所以y1y2＝6.设直线l：x＝my＋b，代入抛物线C：y2＝2x得y2－2my－2b＝0，所以y1y2＝－2b＝6，得b＝－3，即直线l的方程为x＝my－3，所以直线l过定点为(－3，0).
5.设P是椭圆＋＝1上一点，M，N分别是两圆：(x＋4)2＋y2＝1和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|＋|PN|的最小值、最大值分别为( )
A.9，12 B.8，11
C.8，12 D.10，12
【答案】 C
【解析】 如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆定义知|PA|＋|PB|＝2a＝10，连接PA，PB分别与圆相交于两点，此时|PM|＋|PN|最小，最小值为|PA|＋|PB|－2R＝8；连接PA，PB并延长，分别与圆相交于两点，此时|PM|＋|PN|最大，最大值为|PA|＋|PB|＋2R＝12，即最小值和最大值分别为8，12.
6.已知O为坐标原点，设F1，F2分别是双曲线x2－y2＝1的左、右焦点，P为双曲线左支上任一点，过点F1作∠F1PF2的平分线的垂线，垂足为H，则|OH|＝( )
A.1 B.2 C.4 D.
【答案】 A
【解析】 如图所示，延长F1H交PF2于点Q，由PH为∠F1PF2的平分线及PH⊥F1Q，可知|PF1|＝|PQ|，根据双曲线的定义，得|PF2|－|PF1|＝2，从而|QF2|＝2，在△F1QF2中，易知OH为中位线，故|OH|＝1.
C级
7.已知P为双曲线C：－＝1上的点，点M满足||＝1，且·＝0，则当||取得最小值时点P到双曲线C的渐近线的距离为( )
A. B. C.4 D.5
【答案】 B
【解析】 由·＝0，得OM⊥PM，根据勾股定理，求|MP|的最小值可以转化为求|OP|的最小值，当|OP|取得最小值时，点P的位置为双曲线的顶点(±3，0)，而双曲线的渐近线为4x±3y＝0，∴所求的距离d＝.
8.已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，△ABC的顶点都在抛物线上，且满足＋＋＝0，则＋＋＝________.
【答案】 0
【解析】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，F，由＋＋＝0，得y1＋y2＋y3＝0.因为kAB＝＝，所以kAC＝，kBC＝，所以＋＋＝＋＋＝0.
9.已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，A为椭圆C上一点，AF2⊥F1F2，且|AF2|＝.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A1，A2，过A1，A2分别作x轴的垂线l1，l2，椭圆C的一条切线l：y＝kx＋m与l1，l2分别交于M，N两点，求证：∠MF1N为定值.
【答案】 见解析
【解析】(1)解 由AF2⊥F1F2，|AF2|＝，得＝.
又e＝＝，a2＝b2＋c2，所以a2＝9，b2＝8，
故椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)证明 由题意可知，l1的方程为x＝－3，l2的方程为x＝3.
直线l分别与直线l1，l2的方程联立得M(－3，－3k＋m)，N(3，3k＋m)，
所以＝(－2，－3k＋m)，＝(4，3k＋m)，
所以·＝－8＋m2－9k2.
联立得得(9k2＋8)x2＋18kmx＋9m2－72＝0.
因为直线l与椭圆C相切，
所以Δ＝(18km)2－4(9k2＋8)(9m2－72)＝0，
化简得m2＝9k2＋8.
所以·＝－8＋m2－9k2＝0，
所以⊥，故∠MF1N为定值.第15讲 圆锥曲线综合复习
一、知识导图
二、知识导入
（一）直线与椭圆位置关系
1.直线与椭圆位置关系：相交（两个公共点），相切（一个公共点），相离（无公共点）
2.直线与椭圆位置关系的判定步骤：通过方程根的个数进行判定，
下面以直线和椭圆：为例
（1）联立直线与椭圆方程：
（2）确定主变量（或）并通过直线方程消去另一变量（或），代入椭圆方程得到关于主变量的一元二次方程：，整理可得：
（3）通过计算判别式的符号判断方程根的个数，从而判定直线与椭圆的位置关系
① 方程有两个不同实根直线与椭圆相交
② 方程有两个相同实根直线与椭圆相切
③ 方程没有实根直线与椭圆相离
3.若直线上的某点位于椭圆内部，则该直线一定与椭圆相交
（二）抛物线方程：，过焦点的直线（斜率存在且），对应倾斜角为，与抛物线交于
联立方程：，整理可得：
（1）
（2）
（3）
三、知识讲解
圆锥曲线问题的解决思路与常用公式：
知识点1 直线与圆锥曲线问题
（1）题目贯穿一至两个核心变量（其余变量均为配角，早晚利用条件消掉），
（2）条件与直线和曲线的交点相关，所以可设，至于坐标是否需要解出，则看题目中的条件，以及坐标的形式是否复杂
（3）通过联立方程消元，可得到关于（或）的二次方程，如果所求的问题与两根的和或乘积有关，则可利用韦达定理进行整体代入，从而不需求出（所谓“设而不求”）
（4）有些题目会涉及到几何条件向解析语言的转换，注重数形几何，注重整体代入。则可简化运算的过程
这几点归纳起来就是“以一个（或两个）核心变量为中心，以交点为两个基本点，坚持韦达定理四个基本公式（，坚持数形结合，坚持整体代入。直至解决解析几何问题“
知识点2 直线方程的形式
直线的方程可设为两种形式：
（1）斜截式：，此直线不能表示竖直线。联立方程如果消去则此形式比较好用，且斜率在直线方程中能够体现，在用斜截式解决问题时要注意检验斜率不存在的直线是否符合条件
（2），此直线不能表示水平线，但可以表示斜率不存在的直线。经常在联立方程后消去时使用，多用于抛物线（消元后的二次方程形式简单）。此直线不能直接体现斜率，当时，斜率
知识点3 弦长公式
（已知直线上的两点距离）设直线，上两点，所以或
弦长公式的适用范围为直线上的任意两点，但如果为直线与曲线的交点（即为曲线上的弦），则（或）可进行变形：，从而可用方程的韦达定理进行整体代入。
知识点4 点差法
这是处理圆锥曲线问题的一种特殊方法，适用于所有圆锥曲线。不妨以椭圆方程为例，设直线与椭圆交于两点，则该两点满足椭圆方程，有：
考虑两个方程左右分别作差，并利用平方差公式进行分解，则可得到两个量之间的联系：
①
②
由等式可知：其中直线的斜率，中点的坐标为，这些要素均在②式中有所体现。所以通过“点差法”可得到关于直线的斜率与中点的联系，从而能够处理涉及到弦与中点问题时。同时由①可得在涉及坐标的平方差问题中也可使用点差法.
四、例题解析
例1：设P是椭圆＋＝1上一点，M，N分别是两圆：(x＋4)2＋y2＝1和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|＋|PN|的最小值、最大值分别为( )
A.9，12 B.8，11
C.8，12 D.10，12
【答案】 C
【解析】如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆定义知|PA|＋|PB|＝2a＝10，连接PA，PB分别与圆相交于两点，此时|PM|＋|PN|最小，最小值为|PA|＋|PB|－2R＝8；连接PA，PB并延长，分别与圆相交于两点，此时|PM|＋|PN|最大，最大值为|PA|＋|PB|＋2R＝12，即最小值和最大值分别为8，12.
例2：已知倾斜角为60°的直线l通过抛物线x2＝4y的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，则弦|AB|＝________.
【答案】 16
【解析】 法一 直线l的方程为y＝x＋1，由得y2－14y＋1＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝14，∴|AB|＝y1＋y2＋p＝14＋2＝16.
法二 如图所示，过F作AD的垂线，垂足为H，则|AF|＝|AD|＝p＋|AF|sin 60°，即|AF|＝＝.
同理，|BF|＝，故|AB|＝|AF|＋|BF|＝16.
例3：直线l与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)交于A，B两点，M是线段AB的中点，若l与OM(O是原点)的斜率的乘积等于1，则此双曲线的离心率为( )
A.3 B.2 C. D.
【答案】 D
【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，把A，B两点坐标分别代入双曲线的方程，得两式相减得－＝0，
又所以＝，所以＝＝kOMkl＝1，所以e2＝1＋＝2，又e>1，所以e＝.
例4：在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋y2＝1，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)是椭圆C上两个动点，直线OP，OQ的斜率分别为k1，k2，若m＝，n＝，m·n＝0.
(1)求证：k1·k2＝－；
(2)试探求△OPQ的面积S是否为定值，并说明理由.
【答案】 见解析
【解析】证明 ∵k1，k2均存在，∴x1x2≠0.又m·n＝0，∴＋y1y2＝0，即＝－y1y2，
∴k1·k2＝＝－.
(2) ①当直线PQ的斜率不存在，即x1＝x2，y1＝－y2时，
由＝－，得－y＝0.又∵点P(x1，y1)在椭圆上，∴＋y＝1，
∴|x1|＝，|y1|＝.∴S△POQ＝|x1||y1－y2|＝1.
②当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y＝kx＋b.
联立得方程组消去y并整理得(4k2＋1)x2＋8kbx＋4b2－4＝0，
其中Δ＝(8kb)2－4(4k2＋1)(4b2－4)＝16(1＋4k2－b2)>0，即b2<1＋4k2.
∴x1＋x2＝，x1x2＝.
∵＋y1y2＝0，∴＋(kx1＋b)(kx2＋b)＝0，得2b2－4k2＝1(满足Δ>0).
∴S△POQ＝|PQ|＝|b|＝2|b|＝1.
综合①②，△POQ的面积S为定值1.
例5：已知直线l过抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点，且垂直于抛物线的对称轴，l与抛物线两交点间的距离为2.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若点P(2，2)，过点(－2，4)的直线m与抛物线C相交于A，B两点，设直线PA与PB的斜率分别为k1和k2.求证：k1k2为定值，并求出此定值.
【答案】 见解析
【解析】 由题意可知，2p＝2，解得p＝1，则抛物线的方程为x2＝2y.
(2)证明 由题易知直线m的斜率存在，设直线m的方程为y－4＝k(x＋2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则k1＝＝，k2＝＝，
k1k2＝＝，
联立抛物线x2＝2y与直线y－4＝k(x＋2)的方程消去y得x2－2kx－4k－8＝0，其中Δ＝4(k2＋4k＋8)>0恒成立，
可得x1＋x2＝2k，x1x2＝－4k－8，则k1k2＝－1.
因此k1k2为定值，且该定值为－1.
五、课堂练习
A级
1.若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p＝( )
A.2 B.3 C.4 D.8
2.已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，斜率为1的直线与C交于两点A，B，若线段AB的中点为(4，1)，则双曲线C的渐近线方程是( )
A.2x±y＝0 B.x±2y＝0 C.x±y＝0 D.x±y＝0
3.抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离为( )
A. B. C.2 D.
B级
4.已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. 10 C. 3 D.
5.已知椭圆的离心率为，椭圆上一点到两焦点距离之和为12，则椭圆短轴长为
A．8 B．6
C．5 D．4
6.已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，且l过点(－2，3)，M在抛物线C上，若点N(1，2)，则|MN|＋|MF|的最小值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
C级
7.已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F和抛物线上一点M(2，2)的直线l交抛物线于另一点N，则|NF|∶|FM|等于( )
A.1∶2 B.1∶3 C.1∶ D.1∶
8.设过抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点P(异于原点O)的直线与抛物线y2＝8px(p>0)交于A，B两点，直线OP与抛物线y2＝8px(p>0)的另一个交点为Q，则＝________.
9.已知直线l与双曲线－y2＝1相切于点P，l与双曲线的两条渐近线交于M，N两点，则·的值为( )
A.3 B.4 C.5 D.与P的位置有关
课后作业
A级
1.直线y＝x＋3与双曲线－＝1(a>0，b>0)的交点个数是( )
A.1 B.2 C.1或2 D.0
2.已知F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，对于左支上任意一点P都有|PF2|2＝8a|PF1|(a为实半轴长)，则此双曲线的离心率e的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．(2,3] C．(1,3] D．(1,2]
3.椭圆C：＋y2＝1(a>1)的离心率为，F1，F2是C的两个焦点，过F1的直线l与C交于A，B两点，则|AF2|＋|BF2|的最大值为________．
B级
4.直线l与抛物线C：y2＝2x交于A，B两点，O为坐标原点，若直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，且满足k1k2＝，则直线l过定点( )
A.(－3，0) B.(0，－3) C.(3，0) D.(0，3)
5.设P是椭圆＋＝1上一点，M，N分别是两圆：(x＋4)2＋y2＝1和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|＋|PN|的最小值、最大值分别为( )
A.9，12 B.8，11
C.8，12 D.10，12
6.已知O为坐标原点，设F1，F2分别是双曲线x2－y2＝1的左、右焦点，P为双曲线左支上任一点，过点F1作∠F1PF2的平分线的垂线，垂足为H，则|OH|＝( )
A.1 B.2 C.4 D.
C级
7.已知P为双曲线C：－＝1上的点，点M满足||＝1，且·＝0，则当||取得最小值时点P到双曲线C的渐近线的距离为( )
A. B. C.4 D.5
8.已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，△ABC的顶点都在抛物线上，且满足＋＋＝0，则＋＋＝________.
9.已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，A为椭圆C上一点，AF2⊥F1F2，且|AF2|＝.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A1，A2，过A1，A2分别作x轴的垂线l1，l2，椭圆C的一条切线l：y＝kx＋m与l1，l2分别交于M，N两点，求证：∠MF1N为定值.
