第16讲 空间向量机立体几何
一、知识导图
二、知识导入
今天我们要开始空间向量的学习，说到空间向量，大家首先就会想起上学期所学面向量，两者之间有何共同点与不同点呢？根据名字，两者都为向量，肯定有很多相似之处，如向量是既有大小又有方向的量，而平面与空间的差别，就像一汽水广告所表现出来的，一个纸片人喝了汽水后就变成一个非常饱满的人，从原来的一个平面变成了立体空间结构。
三、知识讲解
知识点1 空间向量的基本概念
空间向量的表示：与平面向量相同，用有向线段表示，如图1-1，向量a的起点为A，终点为B，则向量a也可以记做，其模记为或。
特殊向量
零向量：长度为0的向量叫做零向量，记做0，方向任意；
单位向量：模长为1的向量成为单位向量；
相反向量：与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记做-a。
知识点2 空间向量的运算
1.空间向量的加、减运算
a+b可以由平行四边形法则(如图15-2(1))或三角形法则(如图15-2(2))得到。
b两向量相减可看成两向量相加a+(-b)，加法运算大家都会了，那减法就看成a与b反向量相加。
多个空间向量相加也与平面向量相同，如图15-4中，向量e =a+b+c+d．
2. 空间向量的数量积及运算律
(1)数量积及相关概念
①两向量的夹角
已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.
②两向量的数量积
已知空间两个非零向量a，b则|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，即．
(2)空间向量数量积的运算律
①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；
②交换律：a·b＝b·a；
③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
知识点3 空间向量的坐标运算
设，则
(1)
即；
(3) ；
；
知识点4 空间向量与立体几何的关系
直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为（若只涉及一个平面，则用表示其法向量）并在下面都不考虑线线重合、面面重合及线在面内的情况。
1、平行问题（结合图象，直观感觉）
1）线线平行
2）线面平行
3）面面平行
2、垂直问题（结合图象，直观感觉）
1）线线垂直
2）线面垂直
3)面面垂直
3、夹角问题
1）异面直线所成的角（范围： ）
2）线面角（范围：），
3）二面角（范围：）
4、距离问题
1）点A到点B的距离：
2）点A到线l的距离
在直线上任取点
，
，
3）点A到面的距离
在平面上任取点
4）异面直线间间的距离
在直线上任取点，在直线上任取点
向量与异面直线的方向向量都垂直
5）直线到平面的距离
在直线上任取一点，转化为点A到面的距离
6）平面到平面的距离
在平面上任取一点，转化为点A到面的距离
四、例题解析
例1：如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱,,则直线与直线夹角的余弦值为（） （ ）
A． B． C． D．
【答案】 A
【解析】: 设，则，， 则，故选A
例2：已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是A1B1的中点，求直线AE与平面ABC1D1所成角的正弦值 ．
【答案】
【解析】：如图建立空间直角坐标系，＝（0，1，0），＝（－1，0，1），＝（0，，1）
设平面ABC1D1的法向量为＝（x，y，z）,
由 可解得＝（1，0，1）
设直线AE与平面ABC1D1所成的角为θ，则，
例3：如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC-A1B1C1,CA=CC1=2CB,则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】不妨设CA=CC1=2CB=2,则A(2,0,0),B(0,0,1),B1(0,2,1),C1(0,2,0),
从而cos
故直线BC1与直线AB1夹角的余弦值
例4：如图，四棱锥的侧面是正三角形，，且，，是中点
求证：平面
若平面平面，且，求二面角的余弦值．
【解析】解：证明：取中点，连结，，
，，是中点，
，，四边形是平行四边形，，
，，平面平面，
平面，平面．
解：四棱锥的侧面是正三角形，，
，，是中点平面平面，且，
以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，
则，0，，，4，，，0，，，2，，，1，，
，4，，，1，，
设平面的法向量，，，
则，取，得，，，
平面的法向量，0，，
设二面角的平面角为，
则
二面角的余弦值为．
例5：如图2 4 35，五边形ABSCD中，四边形ABCD为长方形，三角形SBC为边长为2的正三角形，将三角形SBC沿BC折起，使得点S在平面ABCD上的射影恰好在AD上．
图2 4 35
(1)当AB＝时，证明：平面SAB⊥平面SCD；
(2)若AB＝1，求平面SCD与平面SBC所成二面角的余弦值的绝对值．
【解析】 (1)证明：作SO⊥AD，垂足为O(图略)，依题意得SO⊥平面ABCD，∴SO⊥AB，SO⊥CD，
又AB⊥AD，∴AB⊥平面SAD，AB⊥SA，AB⊥SD．
利用勾股定理得SA＝＝＝，同理可得SD＝.
在△SAD中，AD＝2，SA＝SD＝，∴SA⊥SD．
∴SD⊥平面SAB，又SD 平面SCD，
所以平面SAB⊥平面SCD．
(2)连接BO，CO，∵SB＝SC，∴Rt△SOB≌Rt△SOC，BO＝CO，
又四边形ABCD为长方形，∴Rt△AOB≌Rt△DOC，∴OA＝OD．
取BC中点为E，得OE∥AB，连接SE，∴SE＝，
其中OE＝1，OA＝OD＝1，OS＝＝.
由以上证明可知OS，OE，AD互相垂直，
不妨以OA，OE，OS分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．
∵OE＝1，∴OS＝，∴＝(0,1,0)，＝(－1,1，－)，＝(－2,0,0)，
设m＝(x1，y1，z1)是平面SCD的法向量，
则有即令z1＝1得m＝(－，0,1)．
设n＝(x2，y2，z2)是平面SBC的法向量，
则有即令z1＝1得n＝(0，，1)．
则|cos〈m，n〉|＝＝.
所以平面SCD与平面SBC所成二面角的余弦值的绝对值为.
课堂练习
A级
1．设向量，向量，若，则实数的值为（ ）
A．—1 B．1 C．2 D．3
如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，
QA=AB
A.平行 B.垂直
C.相交但不垂直 D.位置关系不确定
3．空间四边形ABCD中，若向量，，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
B级
4．已知A(3,4,5)，B(0,2,1)，O(0,0,0)，若＝，则点C的坐标是( )
A．(－，－，－) B．(，－，－)
C．(－，－，) D．(，，)
5．若a＝（0，1，－1），b＝（1，1，0），且（a＋λb）⊥a，则实数λ的值是（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．－2
6．已知点G是△ABC的重心，O是空间任一点，若＋＋＝λ，则λ的值是________．
C级
7.A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，M为BC中点，则△AMD是( )
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．不确定
8.若正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的体积为，AB＝1，则直线AB1与CD1所成的角为( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
9.如图2 4 37，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点．
(1)证明：平面AMD⊥平面BMC；
图2 4 37
(2)当三棱锥M ABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值．
六、课后作业
A级
1．与向量a＝(1,2,3)，b＝(3,1,2)都垂直的向量为( )
A．(1,7,5) B．(1，－7,5)
C．(－1，－7,5) D．(1，－7，－5)
2．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的一个法向量是( )
A．(1,1，－1) B．(1，－1,1)
C．(－1,1,1) D．(－1，－1，－1)
3．设直线a与b的一个方向向量分别为a＝(1，－，3)，b＝(x,1，－2)，若a⊥b，则x的值为( )
A．－2 B．－
C．－ D.
B级
4．已知向量，，则以，为邻边的平行四边形的面积为( )
A． B． C．4 D．8
5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
6．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是________.
C级
7.在正四棱锥P－ABCD中，高为1，底面边长为2，E为BC中点，则异面直线PE与DB所成的角为________．
8.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为( )
A.a B.a C.a D.a
9.在如图所示的多面体中，四边形ABCD是平行四边形，四边形BDEF是矩形，ED⊥平面ABCD，∠ABD＝，AB＝2AD.
(1)求证：平面BDEF⊥平面ADE；
(2)若ED＝BD，求直线AF与平面AEC所成角的正弦值.第16讲 空间向量机立体几何
一、知识导图
二、知识导入
今天我们要开始空间向量的学习，说到空间向量，大家首先就会想起上学期所学面向量，两者之间有何共同点与不同点呢？根据名字，两者都为向量，肯定有很多相似之处，如向量是既有大小又有方向的量，而平面与空间的差别，就像一汽水广告所表现出来的，一个纸片人喝了汽水后就变成一个非常饱满的人，从原来的一个平面变成了立体空间结构。
三、知识讲解
知识点1 空间向量的基本概念
空间向量的表示：与平面向量相同，用有向线段表示，如图1-1，向量a的起点为A，终点为B，则向量a也可以记做，其模记为或。
特殊向量
零向量：长度为0的向量叫做零向量，记做0，方向任意；
单位向量：模长为1的向量成为单位向量；
相反向量：与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记做-a。
知识点2 空间向量的运算
1.空间向量的加、减运算
a+b可以由平行四边形法则(如图15-2(1))或三角形法则(如图15-2(2))得到。
b两向量相减可看成两向量相加a+(-b)，加法运算大家都会了，那减法就看成a与b反向量相加。
多个空间向量相加也与平面向量相同，如图15-4中，向量e =a+b+c+d．
2. 空间向量的数量积及运算律
(1)数量积及相关概念
①两向量的夹角
已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.
②两向量的数量积
已知空间两个非零向量a，b则|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，即．
(2)空间向量数量积的运算律
①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；
②交换律：a·b＝b·a；
③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
知识点3 空间向量的坐标运算
设，则
(1)
即；
(3) ；
；
知识点4 空间向量与立体几何的关系
直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为（若只涉及一个平面，则用表示其法向量）并在下面都不考虑线线重合、面面重合及线在面内的情况。
1、平行问题（结合图象，直观感觉）
1）线线平行
2）线面平行
3）面面平行
2、垂直问题（结合图象，直观感觉）
1）线线垂直
2）线面垂直
3)面面垂直
3、夹角问题
1）异面直线所成的角（范围： ）
2）线面角（范围：），
3）二面角（范围：）
4、距离问题
1）点A到点B的距离：
2）点A到线l的距离
在直线上任取点
，
，
3）点A到面的距离
在平面上任取点
4）异面直线间间的距离
在直线上任取点，在直线上任取点
向量与异面直线的方向向量都垂直
5）直线到平面的距离
在直线上任取一点，转化为点A到面的距离
6）平面到平面的距离
在平面上任取一点，转化为点A到面的距离
四、例题解析
例1：如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱,,则直线与直线夹角的余弦值为（） （ ）
A． B． C． D．
【答案】 A
【解析】: 设，则，， 则，故选A
例2：已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是A1B1的中点，求直线AE与平面ABC1D1所成角的正弦值 ．
【答案】
【解析】：如图建立空间直角坐标系，＝（0，1，0），＝（－1，0，1），＝（0，，1）
设平面ABC1D1的法向量为＝（x，y，z）,
由 可解得＝（1，0，1）
设直线AE与平面ABC1D1所成的角为θ，则，
例3：如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC-A1B1C1,CA=CC1=2CB,则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】不妨设CA=CC1=2CB=2,则A(2,0,0),B(0,0,1),B1(0,2,1),C1(0,2,0),
从而cos
故直线BC1与直线AB1夹角的余弦值
例4：如图，四棱锥的侧面是正三角形，，且，，是中点
求证：平面
若平面平面，且，求二面角的余弦值．
【解析】解：证明：取中点，连结，，
，，是中点，
，，四边形是平行四边形，，
，，平面平面，
平面，平面．
解：四棱锥的侧面是正三角形，，
，，是中点平面平面，且，
以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，
则，0，，，4，，，0，，，2，，，1，，
，4，，，1，，
设平面的法向量，，，
则，取，得，，，
平面的法向量，0，，
设二面角的平面角为，
则
二面角的余弦值为．
例5：如图2 4 35，五边形ABSCD中，四边形ABCD为长方形，三角形SBC为边长为2的正三角形，将三角形SBC沿BC折起，使得点S在平面ABCD上的射影恰好在AD上．
图2 4 35
(1)当AB＝时，证明：平面SAB⊥平面SCD；
(2)若AB＝1，求平面SCD与平面SBC所成二面角的余弦值的绝对值．
【解析】 (1)证明：作SO⊥AD，垂足为O(图略)，依题意得SO⊥平面ABCD，∴SO⊥AB，SO⊥CD，
又AB⊥AD，∴AB⊥平面SAD，AB⊥SA，AB⊥SD．
利用勾股定理得SA＝＝＝，同理可得SD＝.
在△SAD中，AD＝2，SA＝SD＝，∴SA⊥SD．
∴SD⊥平面SAB，又SD 平面SCD，
所以平面SAB⊥平面SCD．
(2)连接BO，CO，∵SB＝SC，∴Rt△SOB≌Rt△SOC，BO＝CO，
又四边形ABCD为长方形，∴Rt△AOB≌Rt△DOC，∴OA＝OD．
取BC中点为E，得OE∥AB，连接SE，∴SE＝，
其中OE＝1，OA＝OD＝1，OS＝＝.
由以上证明可知OS，OE，AD互相垂直，
不妨以OA，OE，OS分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．
∵OE＝1，∴OS＝，∴＝(0,1,0)，＝(－1,1，－)，＝(－2,0,0)，
设m＝(x1，y1，z1)是平面SCD的法向量，
则有即令z1＝1得m＝(－，0,1)．
设n＝(x2，y2，z2)是平面SBC的法向量，
则有即令z1＝1得n＝(0，，1)．
则|cos〈m，n〉|＝＝.
所以平面SCD与平面SBC所成二面角的余弦值的绝对值为.
五、课堂练习
A级
1．设向量，向量，若，则实数的值为（ ）
A．—1 B．1 C．2 D．3
【答案】 C
【解析】 ，，由向量，可得，故选C.
如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，
QA=AB
A.平行 B.垂直
C.相交但不垂直 D.位置关系不确定
【答案】B
【解析】由已知可得PD⊥DC,PD⊥DA,DC⊥DA,如图,以D为原点,建立空间直角坐标系,
设QA=1,则D(0,0,0),C(0,0,1),Q(1,1,0),P(0,2,0).
故PQ⊥平面DCQ,平面PQC⊥平面DCQ.
3．空间四边形ABCD中，若向量，，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】 B
【解析】
取中点，连接,,,而,故选B.
B级
4．已知A(3,4,5)，B(0,2,1)，O(0,0,0)，若＝，则点C的坐标是( )
A．(－，－，－) B．(，－，－)
C．(－，－，) D．(，，)
【答案】 A
【解析】∵＝(－3，－2，－4)，∴＝(－，－，－)．
设C点坐标为(x，y，z)，则＝(x，y，z)＝＝(－，－，－)．
故选A.
5．若a＝（0，1，－1），b＝（1，1，0），且（a＋λb）⊥a，则实数λ的值是（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．－2
【答案】 D
【解析】
已知点G是△ABC的重心，O是空间任一点，若＋＋＝λ，则λ的值是________．
【答案】 3【解析】如图，G为△ABC重心，E为AB中点，
∴＝(＋)，
＝＝(－)
∴＝＋＝＋(－)＝(＋＋) ∴λ＝3.
C级
7.A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，M为BC中点，则△AMD是( )
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．不确定
【答案】C
【解析】 ∵M为BC中点，∴＝(＋)，∴·＝(＋)·＝·＋·＝0.∴AM⊥AD，△AMD为直角三角形．
8.若正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的体积为，AB＝1，则直线AB1与CD1所成的角为( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】C
【解析】 ∵正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的体积为，AB＝1，∴AA1＝，
以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，
则A(1,0,0)，B1(1,1，)，C(0,1,0)，D1(0,0，)，＝(0,1，)，＝(0，－1，)，
设直线AB1与CD1所成的角为θ，则cos θ＝＝＝，
又0°<θ≤90°，∴θ＝60°，∴直线AB1与CD1所成的角为60°.故选C.
9.如图2 4 37，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点．
(1)证明：平面AMD⊥平面BMC；
图2 4 37
(2)当三棱锥M ABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值．
【解析】 (1)证明：由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD．
因为BC⊥CD，BC 平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM.
因为M为上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM.
又BC∩CM＝C，所以DM⊥平面BMC．
而DM 平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC．
(2)以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz.
当三棱锥M ABC体积最大时，M为的中点．
由题设得D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，M(0,1,1)，
＝(－2,1,1)，＝(0,2,0)，＝(2,0,0)．
设n＝(x，y，z)是平面MAB的法向量，
则即可取n＝(1,0,2)．
是平面MCD的法向量，因此cos〈n，〉＝＝，sin〈n，〉＝.
所以面MAB与面MCD所成二面角的正弦值是.
六、课后作业
A级
1．与向量a＝(1,2,3)，b＝(3,1,2)都垂直的向量为( )
A．(1,7,5) B．(1，－7,5)
C．(－1，－7,5) D．(1，－7，－5)
【答案】C
【解析】利用数量积为零逐一验证可求得．
2．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的一个法向量是( )
A．(1,1，－1) B．(1，－1,1)
C．(－1,1,1) D．(－1，－1，－1)
【答案】D
【解析】＝(－1,1,0)，＝(－1,0,1)．
设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，则有
取x＝－1，则y＝－1，z＝－1.
故平面ABC的一个法向量是(－1，－1，－1)．
3．设直线a与b的一个方向向量分别为a＝(1，－，3)，b＝(x,1，－2)，若a⊥b，则x的值为( )
A．－2 B．－
C．－ D.
【答案】 D
【解析】a·b＝x＋(－)×1＋3×(－2)＝0，x＝.
B级
4．已知向量，，则以，为邻边的平行四边形的面积为( )
A． B． C．4 D．8
【答案】 B
【解析】首先由向量的数量积公式可求与夹角的余弦值，然后根据同角三角函数的关系得，最后利用正弦定理表示平行四边形的面．
5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
【答案】 B
【解析】建系如下图所示，设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，E(1,1，)，
∴＝(1,0,1)， ＝(1,1，)．设平面A1ED的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则n·＝0，且n·＝0，即
令x＝1，得y＝－，z＝－1. ∴n＝(1，－，－1)．
又平面ABCD的一个法向量为＝(0,0,1)，∴cos〈n，〉＝＝－.
∴平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为.
6．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是________.
【答案】垂直
【解析】 以A为原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系(图略)，设正方体的棱长为1，则A(0，0，0)，M，O，N.·＝·＝0，∴ON与AM垂直.
C级
7.在正四棱锥P－ABCD中，高为1，底面边长为2，E为BC中点，则异面直线PE与DB所成的角为________．
【答案】
【解析】建系如图所示，则B(1,1,0)，D(－1，－1,0)，E(0,1,0)，P(0,0,1)，∴＝(2,2,0)，＝(0,1，－1)．
∴cos〈，〉＝＝＝.∴〈，〉＝.
∴PE与DB所成的角为.
8.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为( )
A.a B.a C.a D.a
【答案】D
【解析】 显然A1C⊥平面AB1D1，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则平面AB1D1的一个法向量为n＝(a，－a，a)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，＝(0，－a，0)，则两平面间的距离d＝＝a.
9.在如图所示的多面体中，四边形ABCD是平行四边形，四边形BDEF是矩形，ED⊥平面ABCD，∠ABD＝，AB＝2AD.
(1)求证：平面BDEF⊥平面ADE；
(2)若ED＝BD，求直线AF与平面AEC所成角的正弦值.
【解析】(1)证明 在△ABD中，∠ABD＝，AB＝2AD，
由余弦定理，得BD＝AD，
从而BD2＋AD2＝AB2，故BD⊥AD，
所以△ABD为直角三角形且∠ADB＝.
因为DE⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，所以DE⊥BD.
又AD∩DE＝D，所以BD⊥平面ADE.
因为BD 平面BDEF，所以平面BDEF⊥平面ADE.
(2)解 由(1)可得，在Rt△ABD中，∠BAD＝，BD＝AD，又由ED＝BD，
设AD＝1，则BD＝ED＝.因为DE⊥平面ABCD，BD⊥AD，
所以可以点D为坐标原点，DA，DB，DE所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示.
则A(1，0，0)，C(－1，，0)，E(0，0，)，F(0，，)，
所以＝(－1，0，)，＝(－2，，0).
设平面AEC的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令z＝1，得n＝(，2，1)，为平面AEC的一个法向量.
因为＝(－1，，)，
所以cos 〈n，〉＝＝，
所以直线AF与平面AEC所成角的正弦值为.
