苏科版八年级数学上册 1.3 探索三角形全等的条件（共47张）

(共47张PPT)
探索三角形全等的条件
问题情境：
（1）如图，△ABC≌△DEF,你能得出哪些结论？
（2）小明想判别△ABC与△DEF是否全等，他逐一检查三角形的三条边、三个角是不是都相等．小红提出了质疑：分别检查三条边、三个角这6个元素固然可以，但是不是可以找到一个更好的方法呢？
问题情境：
如图，△ABC与△DEF、 △MNP能完全重合吗？
探索活动：
△ABC与△MNP能完全重合
（3）按下列作法，用直尺和圆规作△ABC，使
∠A＝∠α，AB＝a，AC＝b．
作法：
1．作∠MAN ＝∠α．
2．在射线AM、AN上分别
作线段AB＝a，AC＝b ．
3．连接BC，
△ABC就是所求作的三角形．
图形：
a
b
探索活动：
提炼归纳：
基本事实：
　　两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（简写成
“边角边”或“SAS”） ．
几何语言：
∵在△ABC和△DEF中，
AB＝DE，
∠B＝∠E，
BC＝EF，
∴ △ABC ≌ △DEF（SAS）．
新知应用：
例 如图，AB =AD，∠BAC =∠DAC.
求证：△ABC ≌ △ADC．
证明：在△ABC和△ADC中，
　 AB＝ AD（已知） ，
　　 　∠BAC＝∠DAC （已知），
　 AC＝AC（公共边），
∴ △ABC ≌ △ADC（SAS）．
通过本节课的学习，你有什么体会？
体会小结：
探索三角形全等的条件(2)
（1）如图，AB＝AC，还需补充条件__ __，就可根据“SAS ”证明△ABE≌△ACD.
问题情境：
AD=AE
（2）“三月三，放风筝．”如图是小东同学自己动手制作的风筝，他根据AB＝CB，∠ABD＝∠CBD，不用度量，就知道AD＝CD．请你用所学的知识给予说明．
问题情境：
证明：在△ABD和△CBD中
∴ △ABD≌△CBD（SAS）
∴AD=CD
合作探究：
A
B
D
E
C
1
2
例1　如图，已知：点D、E在BC上，且BD＝CE，AD＝AE，∠1＝∠2，由此你能得出哪两个三角形全等？请给出证明．
△ABE≌△ACD
证明：∵ BD＝CE
∴ BD+DE＝CE+DE
即BE=CD
在△ABE和△ACD中
∴△ABE≌△ACD（SAS）
例2　已知：如图，AB、CD相交于点E，且
E是AB、CD 的中点．
求证：①△AEC ≌△BED ． ②AC∥DB．
合作探究：
证明：①∵ E是AB、CD 的中点
∴AE=BE，CE=DE
在△AEC 和△BED中
∴ △AEC ≌△BED （SAS）
②由①得：△AEC ≌△BED
∴∠C=∠D
∴AC∥DB
例3 已知：如图，点E、F在CD上，且CE=DF，AE ＝BF, AE ∥BF.
求证：△AEC ≌△BFD ．
合作探究：
证明： ∵AE ∥BF ∴∠AEC=∠BFD
在△AEC 和△BFD 中
CE ＝DF
∠AEC=∠BFD
AE ＝BF,.
∴△AEC ≌△BFD （SAS）．
探索三角形全等的条件（3）
2．判断三角形全等至少要有几个条件？
答：至少要有三个条件．
在△ABC与△ DEF中，
AB＝DE（已知），
∠B＝∠E（已知），
BC＝EF（已知），
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
1．上节课你学会了哪种证明三角形全等的方法？
两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（边角边或“SAS”）．
请你和小明一起画：请用圆规和直尺画
△ABC，使AB＝a，∠A＝∠α，∠B＝∠β．
做法：（1）作AB＝a．
（2）在AB的同一侧分别作∠MAB＝∠α ， ∠NBA＝∠β ，AM、BN相交于点C．
（4）△ABC就是所求作的三角形．
β
α
a
（3）分别连接AB、AC．
A
B
1.图中有几对全等三角形？你能找出它们，并说出理由吗？
(1)与(6)全等；
(2)与(4)全等；
(3)与(5)全等.
∴
（已知），
（已证），
（对顶角相等），
证明：∵O是AB的中点（ ），
∴AO＝BO（ 　 ），
∠A＝∠B
≌
已知
中点的定义
△AOC
△BOD
在△AOC与△BOD中，
∠ AOC与∠ BOD
AO＝BO
（ASA）
2.如图,O是AB的中点，∠A=∠B，
△AOC与△BOD全等吗？为什么？
3.已知：如图，在△ABC中，D是BC的中点，点E、F分别在AB、AC上，且DE//AC，DF//AB．
求证：BE＝DF，DE＝CF．
证明：∵ D是BC的中点
∴BD=CD
∵ DE//AC，DF//AB
∴∠B=∠CDF，∠BDE=∠C
∴△BDE≌△DCF（ASA）
∴ BE＝DF，DE＝CF
探索三角形全等的条件（4）
解决下面的问题：
已知：如图，∠ A＝∠D，∠ACB＝∠DBC．
求证：AB＝DC.
证明：∵ ∠ A＝∠D，∠ACB＝∠DBC
∴∠ABC=∠DCB
在△ABC和△DCB中
∴ △ABC≌△DCB（ASA）
∴ AB＝DC
已知：△ABC与△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E， BC＝EF.
求证：△ABC≌△DEF．
证明：∵∠A＝∠D，∠B＝∠E
∴∠C=∠F
在△ABC和△DEF中
∴ △ABC≌△DEF（ASA）
推论：两角及其中一角的对边分别相等的两个三角形全等．简称“角角边”或“AAS”．
在△ABC与△A B C 中，
∠B＝∠B （已知），
∠C＝∠C （已知），
AB＝A B （已知），
∴ △ABC≌ △A B C （AAS）．
观察发现
1 ．如图∠ACB＝∠DFE，BC＝EF，根据“ASA”,
应补充一个直接条件___________，根据“AAS”，那么
补充的条件为____________，才能使△ABC≌△DEF．
　∠A＝∠D
∠B＝∠E
F
2．如图，BE＝CD，∠1＝∠2，则AB＝AC吗？为什么？
AB=AC，因为△ABE≌△ACD
探索三角形全等的条件（5）
三角形全等判定方法1
用符号语言表达为：
在△ABC与△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（SAS）
　　两边及其夹角分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”)。
F
E
D
C
B
A
AC＝DF，
∠C＝∠F，
BC＝EF，
一、回顾与思考
两角及其夹边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”）。
F
E
D
C
B
A
三角形全等判定方法2
在△ABC与△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（ASA）
∠A＝∠D，
AB＝DE，
∠B＝∠E，
用符号语言表达为：
一、回顾与思考
三角形全等判定方法3
　　两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”）.
用符号语言表达为：
在△ABC与△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（AAS）
∠A＝∠D，
∠B＝∠E，
AC＝DF，
一、回顾与思考
如图，已知AD平分∠BAC，要使△ABD≌△ACD，
(1)根据“SAS”需添加条件 　 ；
(2)根据“ASA”需添加条件 　 ；
(3)根据“AAS”需添加条件 。
AB＝AC
∠BDA＝∠CDA
∠B＝∠C
一、回顾与思考
1．如图,∠A＝∠B，∠1＝∠2，EA＝EB，你能证明AC＝BD吗
二、分析与讨论
证明:∵ ∠1＝∠2 （已知），
∴ ∠1＋∠BEC＝∠2＋∠BEC，
∴ ∠AEC＝∠BED，
在△EAC和△EBD中，
∠A＝∠B （已知），
EA＝EB（已知），
∠AEC＝∠BED（已证），
∴△EAC≌△EBD（ASA），
∴AC＝BD
2．如图,点C、F在AD上,且AF＝DC,∠B=∠E,∠A＝∠D，你能证明AB＝DE吗
证明:∵ AF＝DC (已知)，
∴ AF －FC＝DC－FC，
∴ AC＝DF，
在△ABC和△DEF中，
∠B＝∠E(已知)，
∠A＝∠D (已知)，
AC＝DF(已证)，
∴△ABC≌△DEF(AAS)，
∴AB＝DE
二、分析与讨论
1．为了利用“ASA”或 “AAS”定理判定两个三角形全等，有时需要先把已知中的某个条件，转变为判定三角形全等的直接条件。
三、归纳与总结
2．证明两条线段相等或两个角相等可以通过证明它们所在的两个三角形全等而得到。
四、理解与应用
例 已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，EA∥FB，EC∥FD，EA＝FB。求证：AB＝CD。
证明：∵EA∥FB，EC∥FD(已知)
∴ ∠A＝∠FBD，
∠ECA＝∠D，
在△EAC和△FBD中，
∠A＝∠FBD(已证) ，
∠ECA＝∠D(已证) ，
EA＝FB(已知) ，
∴△ EAC ≌△ FBD(AAS) ．
∴AC＝BD ，
即 AB＋BC＝CD＋BC ，
∴AB＝CD
上面的推理过程可以用符号“ ”简明地表述如下：
四、理解与应用
EA∥FB ∠A＝∠FBD
EC∥FD ∠ECA＝∠D △EAC≌△FBD　 △EAC≌△FBD
　　　　　　　　　　　　　　　EA＝FB
AC＝BD AB＋BC＝CD＋BC AB＝CD
七、课堂小结
通过这节课的学习与探索，你有哪些收获？
探索三角形全等的条件（6）
一、问题情境
　　小明家的衣橱上镶有两块全等的三角形玻璃装饰物，其中一块被打碎了，妈妈让小明到玻璃店配一块回来，请你说说小明该怎么办？
A
B
C
用直尺和圆规作△ABC，使AB＝c，AC＝b,BC＝a.
a
b
c
步骤：
1．作线段AB＝c.
2．分别以点A、B为圆心，
b、a的长为半径画弧，
两弧相交于点C .
3．连结AC、BC.
a
b
c
A
B
C
△ABC就是所求作的三角形.
你作的三角形与其他同学作的三角形能完全重合吗？
二、自主探究
　　三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）．
A
B
C
D
E
F
在△ABC和△DEF中，
∴ △ABC ≌△ DEF（SSS）．
AB＝DE，
BC＝EF，
CA＝FD，
二、自主探究
　　如果一个三角形三边的长度确定，那么这个三角形的形状和大小就完全确定．三角形的这个性质叫做三角形的稳定性．
二、自主探究
①
②
③
④
⑤
⑥
1.下列图形中，哪两个三角形全等？
三、知识应用
①与⑥全等；②与④全等.
变式1：若将上题中右边的三角形向左平移（如图），
　　　 若AB＝DF，AC＝DE，BE＝CF.
　　　问：△ABC和△DFE全等吗？
2．如图，C点是线段BF的中点，AB＝DF，
AC＝DC.△ABC和△DFC全等吗？
B
A
C
E
F
D
三、知识应用
全等
全等
变式2：若将上题中的三角形继续向左平移（如图），　　　　
　　　　若AB＝DC，AC＝DB，
　　　　问：△ABC≌△DCB 吗？
B
A
C
E
F
D
三、知识应用
2．如图，C点是线段BF的中点，AB＝DF，
AC＝DC.△ABC和△DFC全等吗？
全等
3.已知：如图, 在△ABC 中，AB＝AC，
求证：∠B＝∠C.
A
C
B
D
在△ABD和△ACD中，
∴ △ABD ≌△ ACD（SSS）．
AB＝AC（已知），
BD＝CD（辅助线作法），
AD＝AD（公共边），
证明：作△ABC 的中线AD．
∴ ∠B＝∠C （全等三角形的对应角相等）．
三、知识应用
1.已知：如图，AB＝CD，AD＝CB，
求证：∠B＝∠D.
A
B
C
D
四、尝试练习
证明：连结AC，
在△ABC 和△CDA中,
AB＝CD(已知),
BC＝DA(已知),
AC＝CA(公共边),
∴ △ABC≌△CDA(SSS)，
∴∠B＝∠D .
五、课堂小结
通过这节课的学习与探索，你有哪些收获？