新郑市2021-2022学年高一(上)阶段性检测
高一数学答案与解析
1．【答案】C
【命题意图】本题考查集合间的基本运算.
【解析】任取 t T，则 t 4n 1 2 2n 1，其中n Z ，所以 t S，故T S，所以S T T ；任
取 t W ，则 t 8n 1 2 4n 1，所以 t T，所以W T ，所以 (SIT )UW = TUW = T ，故选 C．
2．【答案】D
【命题意图】本题考查不等式的性质.
1 1
【解析】对于 A，令 a=2，b = -1，则 ，故 A 错误；
a b
对于 B,令 a=1，b = -2，则 a2 b2 ，故 B 错误；
1 1
对于 C，令 a=1，b 1，则 a 0 b ，故 C 错误；
a b
a b
对于 D，因为c2 2 2 0 ，所以 2 2 ，故 D 正确.故选 D.c 2 c 2
3．【答案】A
【命题意图】本题考查充分条件与必要条件.
【解析】因为 x(x 3) 0，所以 x 0 或 x 3，记 A {x | x 0或x 3}，要找其充分不必要条件即
需找集合 A的真子集，只有 A 满足题意.故选 A.
4．【答案】C
【命题意图】本题考查特称命题、一元二次不等式恒成立问题.
【解析】由题意可知：命题 “ x [0，2] ，使得 x2 mx 2m 4 0 ”为真命题，即 x [0，2] ，
x2m 4 (x 2)恒成立，即m 2，故选 C.
x 2
5．【答案】B
【命题意图】本题考查函数的奇偶性.
2
【解析】由题意可得 f (x) 1 x ，
1 x2
1 (2x 1)2 4x2 4x
对于 A， f 2x 1 ，不是偶函数；
1 (2x 1)2 4x2 4x 2
2
f (2x) 1 1 4x 1 8x
2
对于 B， 2 ，是偶函数；1 4x 1 4x2
2 2
对于 C， f 2x 1 1 (2x 1) 4x 4x 2 2 ，不是偶函数；1 (2x 1) 4x 4x 2
1 (x 1)2 x2 2x 2x2 4x 2
对于 D， f (x 1) 1 2 1 2 1 2 ，不是偶函数．故选 B.1 (x 1) x 2x 2 x 2x 2
6．【答案】D
【命题意图】本题考查充分条件与必要条件、基本不等式、一元二次不等式恒成立问题.
【解析】
对于 A：命题“ x0 R ， x
2
0 1 3x0 ”的否定是“ x R ， x2 1 3x ”，故 A 不正确；
1 1 1
对于 B：当 a 1时， 1，充分性成立；当 1时,可得 a 1或 a 0，必要性不成立，所以“ a 1”是“ 1 ”
a a a
的充分不必要条件，故选项 B 不正确；
k 0
对于 C：当 k 0时， 1 0恒成立，所以 k 0符合题意；当 k 0时，由题意可得 解得：
k
2 4k 0
高一数学参考答案 第 1 页 共 7 页
4 k 0，综上所述： 4 k 0，故选项 C 不正确；
2
对于 D：若 a 0，b 0，3ab 1 a b 2 ab，即3 ab 2 ab 1 0 ，解得： ab 1，
所以 ab 1，当且仅当 a b 1时等号成立，故选项 D 正确.故选 D.
7．【答案】B
【命题意图】本题考查一元二次不等式的解法.
【解析】
解不等式 x2 2x 3 0，得 x 3或 x 1；
k
解方程 2x2 (k 2)x k 0 ，得 x1 = -1， x2 .2
k
（1）当 k 2，即 1
k
时，不等式 2x2 (k 2)x k 0 的解为： 1 x
2 2
x2 2x 3 0 k
此时不等式组 2x2
的解集为
(k 2)x k 0
3, 或 ，
2
k
若不等式组的解集中仅有一个整数，则4 5，即 10 k 8；
2
k 1 k（2）当 k 2，即 时，不等式 2x2 (k 2)x k 0 的解为： x 1
2 2
x2 2x 3 0 k
此时不等式组 2 的解集为 , 1 ，
2x (k 2)x k 0
2
k
若不等式组的解集中仅有一个整数，则 3 2 ，即 4 k 6；
2
综上，可知 k的取值范围为 10, 8 U 4,6 .故选 B.
8．【答案】A
【命题意图】本题考查利用函数的单调性解不等式.
【解析】
易知，函数 f x 在[0, ) 上单调递增，∴ t 1 0 t 1，
又∵ f x t 2 f x f (2x) ，且函数为偶函数，∴ | x t | | 2x |，两边平方化简，则3x2 2xt t 2 0在
g 0 00, t 1 1 3 恒成立，令 g x 3x2 2xt t 2，则 t
g t 1 0
.
2 2
3
综上：t的最大值为 .故选 A.
2
9．【答案】A
【命题意图】本题考查函数的概念及基本性质.
【解析】因为 f x 1 是奇函数，所以 f x 1 f x 1 ①；
因为 f x 2 是偶函数，所以 f x 2 f x 2 ②．
令 x 1，由①得： f 0 f 2 2k b ，由②得： f 3 f 1 k b，
因为 f 0 f 3 8，所以 2k b k b 8 k 8，
令 x 0 ，由①得： f 1 f 1 f 1 0 b 8，所以 f x 8x 8．
f 11 f 7 2 f 7 2 f 3 从定义入手． ，
2 2 2 2
f 3 5 f 1
5 7
2 2
f 1 f
2 2
f 7 3 3 1 2
f 2 f 2 f ，
2 2 2
f 1 f 1 1
f 1 1 f 3
( 8
3
8) 4
2 2 2 2 2
高一数学参考答案 第 2 页 共 7 页
f 11 f 1 所以 4．故选 A.
2 2
10．【答案】B
【命题意图】本题考查基本不等式的应用.
1
【解析】对于 A， y 4x ，并没有给出 x 0，不可使用基本不等式求其最值，故 A 不符合题意；
x
x2B 2x 5 (x 1)
2 4 4 4
对于 ，因为 y (x 1) 2 (x 1) 4，
x 1 x 1 x 1 x 1
(x 1) 4当且仅当 ，即 x 1时取等号，故 B 正确；
x 1
y 2x 1 1 [ (2x 3) 1对于 C，因为 ] 2 2 2 0 ，
2x 3 (2x 3)
当且仅当 (2x 3)
1
，即 x 1时取等号，所以其最小值为 0，故 C 错误；
(2x 3)
2 4 2 4 2 4
对于 D， y = x +5 + 2 x +5 = 4，当且仅当 x +5 = 即此时无解，
x2 +5 x2 +5 x2 +5
这表明最小值 4 取不到，故 D 错误．
故选 B．
11．【答案】C
【命题意图】本题考查幂函数的图像及性质.
【解析】当 0时，幂函数 y x 始终经过点 0,0 和 1,1 ；当 0时，例如：y x 1在 0,0 处没有定义，
f x
x x R 1 f x2 A x x x
3 x 3
故 错 误 ； 任 意 的 ， ， 要 证 f 1 2 ， 即 1 2 (
x1 x2 )31 2 ， 即2 2 2 2
x1 x
2
2 (x1 x2) 0，当 x1 x2 0时，不满足上式，故 B 不正确；函数 f (x) x 图像经过点(9,3)，所以3 9 ，
1 4 4 所以 ，则其解析式为 y x，故 C 正确；因为函数 f x x 3 ，其中 0，所以函数2 f x x
3 是
偶函数且在 0, 上单调递减，故 D 不正确.故选 C.
12．【答案】C
【命题意图】本题考查新定义函数的性质.
【解析】
作出函数 f (x) 的图象；
对于 A 项，由图可知：函数 f (x)无最大值，最小值为 0，故 A 错误；
1
对于 B 项， f (- )
1 1 1
= - -[- ] = - - (-1) 2= ， f (
1) 1 [1 1 1= - ] = - 0 = ，所以 f
1
f (
1)，故 B 不正确；
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
1 1
对于 C 项，方程 f (x) 0 的解为 x k (k Z )，故 C 正确．
2021 2021
对于 D 项，在每一个区间[k,k 1) (k Z) 上，函数 f (x) 都是增函数，但是在定义域上不是单调递增，故 D
错误.故选 C.
13．【答案】｛ x x 2或 x ≤ -1，且 x ≠ 3｝
高一数学参考答案 第 3 页 共 7 页
【命题意图】本题考查函数的定义域的求法.
【解析】由题意知：已知函数的定义域满足：
(x +1)(x - 2) ≥ 0 且 x ≠ 3，且 x≠2，所以 x＞2 或 x ≤ -1，且 x ≠ 3，
故所求函数的定义域为｛ x x 2或 x ≤ -1，且 x ≠ 3｝.
14．【答案】2.
【命题意图】本题考查分段函数的图象及其性质.
【解析】由题意可画出函数min{ f (x), g(x)}的图象如下图所示：
由图可知：其最大值为 2.
1 2
15．【答案】[ , ]
4 3
【命题意图】本题考查利用函数的奇偶性和单调性求解不等式.
【解析】
由题知， f ( x) x 3 bx 2 x f (x) x 3 bx 2 x ，所以2bx2 0恒成立，即b 0 .
又因为奇函数的定义域关于原点对称，所以1 3a (a 1) 0，解得 a 1，
因此 f (x) x3 x， x [ 2, 2]，易知函数 f (x) 单增，
故 f (3x b) f (x a) 0等价于 f (3x b) f (x a) f [ (x a)]
3x (x 1)
即 2 3x 2
1 2
，解得 x [ , ] .
4 3
2 x 1 2
16．【答案】 0 a 1
【命题意图】本题考查分段函数的单调性.
【解析】由函数单调性定义可得函数 f (x) 在 R上单调递增，则根据分段函数单调性的判断方法有：
a 1 0
1 a 1 ，解得0 a 1 .
a 1 2a 1 2(a 1) 3
17．【答案】（1） AU B {x | 1 x 6}， AICRB {x | 1 x 1}；（2）答案见解析.
【命题意图】本题考查集合间的基本运算、充分条件与必要条件.
【解析】（1）当a 1时，集合 A {x | a 2 x a 2} {x | 1 x 3},B {x |1 x 6}，.......（2 分）
所以 AU B {x | 1 x 6}，CRB {x | x 1或x 6}，.....................................................................（4 分）
所以 AICRB {x | 1 x 1} ...............................................................................................................（6 分）
（2）若选择① AU B B，则 A B，...............................................................................................（6 分）
因为 A {x | a 2 x a 2} ，所以 A ，....................................................................................（7 分）
a 2 1
所以 ，解得3 a 4，
a 2 6
所以实数 a的取值范围是 3,4 ........................................................................................................... （10 分）
若选择②，“ x A“是“ x B ”的充分不必要条件，则 A B，...................................................... （6 分）
因为 A {x | a 2 x a 2}，所以 A ，......................................................................................（7 分）
高一数学参考答案 第 4 页 共 7 页
a 2 1
所以 a ，解得
3 a 4，
2 6
所以实数 a的取值范围是 3,4 ........................................................................................................... （10 分）
若选择③， A CRB ，.................................................................................................................. （6 分）
因为 A {x | a 2 x a 2}，所以 A ，......................................................................................（7 分）
a 2 1
又CRB {x | x 1或x 6}，所以 ，解得3 a 4，
a 2 6
所以实数 a的取值范围是 3,4 ......................................................................................................... （10 分）
18．【答案】（1） f (x) x4或f (x) x6 ；（2） ( , 3) (
1
, ) ．
5
【命题意图】本题考查幂函数的概念及其性质.
【解析】
2
（1） f (x)是幂函数，则3m2 2m 1 1，即m 0或m ，.......................................................（2 分）
3
又 f (x) 是偶函数，所以3k k 2 4 是偶数，......................................................................................（3 分）
f (x) 在 (0, )上单调递增，则3k k 2 4 0 ， 1 k 4，.......................................................... （4 分）
所以 k 0、1、2 或 3．
所以 f (x) x4 或 f (x) x6 ；................................................................................................................（6 分）
（2）由（1）偶函数 f (x) 在 0, 上递增，
f 3x 2 f 1 2x f | 3x 2 | f |1 2x | ，........................................................................（8 分）
即 | 3x 2 | |1 2x |
1
，所以 x 或 x 3．
5
x 1所以 的范围是 ( , 3) ( , ) ．................................................................................................（12 分）
5
19．【答案】（1） f (x) 的最大值 f x 5max 和最小值 f x
5 2
m in ；（2） a ．4 3
【命题意图】本题考查二次函数在区间上的单调性.
【解析】
2
（1）当 a 1时， f x x2 5x 5 x
5 5 ， x 0,3 ，
2 4
x 5又因为二次函数开口向上，且对称轴为 ，..............................................................................（2 分）
2
所以当 x
5
时， f x 5 m in ；当 x 0时， f x 5max .............................................................（4 分）2 4
（2）解法一：
0 2 3a 2 4当 3 ，即 a 时， f 0 5， f 3 8 9a，
2 3 3
f x f 3 8 9a 14 a 2 max ................................................................................................（6 分）3
2 3a
当 0
2
，即 a 时， f x f 3 8 9a 14 a 2 max （舍）；..................................（8 分）2 3 3
2 3a 4
当 3，即 a 时， f x f 0 5 14max ，此时不符合题意...........................................（10 分）2 3
2
综上所述：a ................................................................................................................................（12 分）
3
解法二：
f x x2 2 3a x 5 ， x 0,3 2 3a，对称轴为 x ，............................................（6 分）
2
当 x 2 3a 3 1 ,即 a 时， f x f 3 8 9a 14 a 2 .......................................（8分）2 2 3 max 3
高一数学参考答案 第 5 页 共 7 页
2 3a 3 1
当 x ,即 a 时， f x f 0 5 14，此时不符合题意...............................（10 分）2 2 3 max
2
综上所述：a ................................................................................................................................（12分）
3
5
20．【答案】（1） a 1,b 2；（2） 1, . 2
【命题意图】本题考查一元二次不等式的解法、基本不等式的应用.
【解析】
（1）因为关于 x的不等式 ax2 5x (b 4) 0 的解集为 x x 2或 x 3 ，
所以 2 和 3 是方程 ax2 5x (b 4) 0 的两个实数根且 a 0，
2 3
5
a a 1
所以 b ，解得 b 2，.......................................................................................................（4 分） 2 3 4
a
a 1
经检验 b 2满足条件，所以
a 1,b 2；.......................................................................................（6 分）
a 1 1 2
（2）由（1）知 b ，于是有
1，
2 x y z
( 1 2) 1 2(x y) 2z故 x y 2z [(x y) 2z] 4 5 4 9x y z z x ， y
x y 3
当且仅当 时，等号成立，................................................................................................... （9 分）
z 3
(x y 2z) 2k2依题意有 min 3k 4，即9 2k 2 3k 4，...........................................................（11 分）
得 2k 2
5
3k 5 0，解得 1 k ，
2
k
5
所以 的取值范围为 1, ．.............................................................................................................（12 分） 2
1
x
2 20x 150,0 x 60, x N
L x 2
21．【答案】（1） ；（2）90 万件；1050 万元
2850 81000 10x , x 60, x N
x
【命题意图】本题考查函数的应用问题举例.
【解析】
（1）当 0 x 60， x N 时，
L x = 400 10000x 1- x2 - 380x 1-150 = - x2 + 20x-150.................................................................（2 分）
10000 2 2
当 x 60 ， x N 时，
L x 400 10000x 410x 81000 3000 150 2850 81000 10x .......................................（4 分）
10000 x x
1
x
2 20x 150,0 x 60, x N
L x 2
∴ 81000 .................................................................................（6 分） 2850 10x
, x 60, x N x
1
（2）当 0 x 60， x N 时， L x x 20
2 50，
2
∴当 x 20时， L x 取得最大值 L 20 50（万元）.................................................................... （8 分）
x 81000当 x 60 ， N 时， L x 2850 10x 2850 2 10 90 1050
x
高一数学参考答案 第 6 页 共 7 页
当且仅当10x
81000
，即 x 90 时等号成立.
x
即 x 90 时， L x 取得最大值1050万元.
综上，所以即生产量为 90 万件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大为1050万元.
.................................................................................................................................................................（12 分）
5 5
22．【答案】（1） a 4,b 0；（2） f x 在 2,2 上递增，证明详见解析；（3） k 或 k .
32 4
【命题意图】本题考查函数的基本性质的综合应用.
【解析】
x b b
（1）依题意函数 f x 2 是定义在[ 2， 2 ]上的奇函数，所以 f 0 0，所以 b 0 （1 分）x a a
f 1 1 1 a 4，....................................................................................................................（2 分）
a 1 5
x
所以 f x 2 ，经检验，该函数为奇函数................................................................................ （3 分）x 4
（2） f x 在[ 2， 2 ]上递增，证明如下：任取 -2 x1 < x2 2，
x x x x 2 4 x x 21 2 2 1 4f x1 f x2 1 2
x 2
2
1 4 x2 4 x 21 4 x 22 4
x 2 21x2 4x1 x2x1 4x2 x1x2 x 2 x1 4 x2 x1 x1x2 4 x 2 x1
x 21 4 x 22 4 x 21 4 x 22 4 x 2 ，1 4 x 22 4
其中 x1x2 4 0, x2 x1 0，所以 f x1 f x2 0 f x1 f x2 ，
故 f x 在 2,2 上递增.........................................................................................................................（7 分）
（3）由于对任意的 x1 2，2 ，总存在 x2 -1，2 ，使得 f x1 g x2 成立，
所以 f x 的值域为 g x 的值域的子集............................................................................................. （8 分）
f x [ 1 1而由（2）知： , ]，
4 4
当 k 0 时， g x 在 -1，2 上递增， g x [1 k,8k 1]，
1 k
1
4 5
所以 ，即 k ；...............................................................................................................（10 分）
1 8k 1 4
4
当 k 0时， g x 在 -1，2 上递减， g x [8k 1,1 k]，
8k 1
1
4 5
所以 ，即 k .
1 1 k 32
4
k 5 k 5综上所述， 或 ................................................................................................................（12 分）
32 4
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