苏科版八年级数学上册 3.2 勾股定理的逆定理（共31张）

(共31张PPT)
3.2 勾股定理的逆定理
温故知新：
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．
勾股定理:
　 如图，若把直角三角形的两直角边和斜边的长分别记为a、b、c， 　　
则有a2＋b2＝c2. 　
a
b
c
C
A
B
很久很久以前，古埃及人把一根长绳打上等距离的13个结，分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，其直角在第4个结处。
美丽的数学史1：
这个问题意味着：
若围成的三角形的三边长为
3、4、5.满足关系：32+42=52.
则围成的三角形是直角三角形.
如图，在△ABC中，a2＋b2＝c2， △ABC是否为直角三角形？ 　　
b
c
C
A
B
a
证明猜想：
作∠ C1 ＝90 °，
在l1上截取B1C1＝ BC=a ，
在l2上截取A1C1＝ AC=b ，
a
B 1
A1
b
连结A1B1，
(1)画Rt△A1B1C1，使∠ C1 ＝90 °，B1C1=a， A1C1=b，；　
C 1
l1
l2
如图，在△ABC中，a2＋b2＝c2， △ABC是否为直角三角形？ 　　
b
c
C
A
B
a
证明猜想：
a
B 1
A1
b
(1)画Rt△A1B1C1，使∠ C1 ＝90 °，B1C1=a， A1C1=b，；　
(3) △ABC 与△A1B1C1 有怎样的关系？
(2)求A1B1 的长；
C 1
由勾股定理得，在Rt△A1B1C1中，
A1B12＝ B1C12＋A1C12 ＝ a2＋b2 ，
∵a2＋b2＝c2 ，
即AB2 ＝a2＋b2 ，
∴ A1B12＝ AB2 ，
∴ A1B1＝ AB ，
根据“SSS”,
可证△ABC ≌ △A1B1C1.
∴ ∠C ＝ ∠C1 ＝90 ° ，
∴ △ABC为直角三角形．
c
勾股定理逆定理
　 如果三角形的三边长a、b、c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形. 　　
命题成立：
在△ABC中，
∵a2＋b2＝c2 ，
∴△ABC为直角三角形．
这个定理与勾股定理有怎样的关系？
其中∠C=90 °.
b
c
C
A
B
a
3.2　勾股定理的逆定理
概念辨析：
△ABC中， ∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c ，若(c+a)(c-a)=b2 ，则△ABC是 三角形。
直角
解：在△ABC中，
∵(c+a)(c-a)=b2 ，
∴c2-a2=b2
即c2=a2+b2
则△ABC是以∠ C为直角的直角三角形。
　　巴比伦时期美索不达米亚有丰富的粘土资源，学
生们以手掌大小的粘土板为练习本．只要粘土板还潮
湿，就可以擦掉上面原有的计算，开始新的计算，干
了的粘土板被扔掉或是被用做建筑材料，后来人们就
是在这些建筑中发现这些泥板的．
美丽的数学史2：
3.2　勾股定理的逆定理
“普林顿322”泥板
泥板摹真图
泥板上的神秘符号
实际上是一些整数组。
3.2　勾股定理的逆定理
　　表格中的两列数字恰好是直角三角形的斜边和一条直角边的长,运用勾股定理算得还有一列数字是另一条直角边的长 （图中最左边的一列),那么每行的三个数就是一个直角三角形三边的边长．
美丽的数学史2：
3.2　勾股定理的逆定理
概念归纳：
b
c
C
A
B
a
请你填表并探索规律．
a 3 6 9 12 … 3n
b 4 8 12 16 … 4n
c 5 10 15 20 … 5n
满足a2＋b2＝c2的一组正整数，通常称为勾股数。
勾股数有无数多组。
利用勾股数可以构造直角三角形.
1、下列各数组中，不能作为直角三角形的三边长的是（　 ）．
A．9，12，15；　　　B．15，36，39；
C．12，35，37； D．12，18，22．
D
3.2　勾股定理的逆定理
试一试：
C. ∵ 372－ 352
=(37+35)(37 － 35) =72 × 2=144= 122
∴能构成直角三角形
3.2　勾股定理的逆定理
试一试：
2、若△ABC的两边长为8和15，则能使△ ABC为直角三角形的第三边的平方是（　　）
A．161；　　 B．289；　　
C．17；　　 D．161或289．
D
（1）当8和15为两直角边长时，
第三边的平方=82+152=64+225=289;
（2）当8为直角边长，15为斜边长时，
第三边的平方=152 －82=225－64=161.
3、设△ABC的3条边长分别是a、b、c，且
a＝n2－1，b＝2n，c＝n2＋1．问：△ABC是
直角三角形吗？
3.2　勾股定理的逆定理
4、若△ABC的三边a、b、c满足条件
a2＋b2＋c2＋338＝10a＋24b＋26c，试判断△ABC的形状.
试一试：
3.2　勾股定理的逆定理
例题讲解：
例、在△ABC中，AD是中线，AB=17，BC=16，AD=15，求AC的长.
B
C
D
A
17
16
15
8
8
D
17
16
15
8
8
B
C
A
17
3.2　勾股定理的逆定理
挑战自我：
如图，正方形ABCD的边长为4，F是CD的中点，
E是BC上一点，且CE= BC.
求证： ∠ AFE = 90 °.
A
B
C
D
E
F
4
2
2
1
3
4
AE2=25
　1、通过本节课的学习，你知道一个三角形的三边在数量上满足怎样的关系时，这个三角形才是直角三角形呢？
小结：
3.2　勾股定理的逆定理
2、我们今后的学习中一定要注意数形结合，
以形解数，或以数证形。
如果三角形的三边长a、b、c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形. 　　
3.2　勾股定理的逆定理
1、如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，AD是边BC上的中线，AD=ED=2.求△ABC的面积。
B
C
D
A
E
思考：
2、如图，AD＝4，CD＝3， ∠ADC＝90°，AB＝13，BC＝12，求该图形的面积。
3.2　勾股定理的逆定理
思考：
4
3
13
12
A
B
C
D
5
3.2　勾股定理的逆定理
a 3 5 7 9 11 … 2n+1
b 4 12 24 40 60 … 2n(n＋1)
c 5 13 25 41 61 … 2n(n＋1)＋1
2 ×2
3 × 4
4×6
5 ×8
6×10
3、请你填表并探索规律．
思考：
△ ABC的三条边长分别为a、b、c（单位：cm）．
数学实验室：
活动一、请计算下列各组数中较小两数的平方和与最大数的平方，并比较它们的大小.
活动二、用尺规画出满足三边长的△ ABC.
32＋32＞42 ，
32＋42＝52
32＋42＜62
（1）a=3，b=4，c=3；
（2）a=3，b=4，c=5；
（3）a=3，b=4，c=6；
数学实验室：
3cm
4cm
锐角三角形
32＋32＞42
（1）a=3，b=4，c=3；
4cm
C
A
B1
活动二、用尺规画出满足三边长的△ ABC
3cm
3cm
数学实验室：
3cm
4cm
5cm
直角三角形
32＋42＝52
（2）a=3，b=4，c=5；
4cm
B2
活动二、用尺规画出满足三边长的△ ABC
C
A
3cm
5cm
数学实验室：
3cm
4cm
6cm
钝角三角形
32＋42＜62
（3）a=3，b=4，c=6；
4cm
C
A
B3
活动二、用尺规画出满足三边长的△ ABC
3cm
6cm
　三角形的三边之间满足怎样数量关系时，此三角形是直角三角形？
谢 谢!
温故知新：
1、有一个 角的三角形是直角三角形。
直
2、请回顾推倒火柴盒，验证勾股定理的过程。
a
b
c
a
b
c
∵ ∠C= ∠E=90 °

，
．
∴
温故知新：
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．
3、勾股定理:
　 如图，若把直角三角形的两直角边和斜边的长分别记为a、b、c， 　　
4、勾股定理的逆命题，怎样叙述？
如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
则有a2＋b2＝c2. 　
成立吗？
　 即如果三角形的三边长分别为a、b、c，且a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形. 　　
a
b
c
C
A
B
如图，在△ABC中，a2＋b2＝c2， △ABC是否为直角三角形？ 　　
由勾股定理得，在Rt△A1B1C1中，
A1B12＝ B1C12＋A1C12 ＝ a2＋b2 ，
∵a2＋b2＝c2 ，
即AB2＝ a2＋b2 ，
∴ A1B12＝ AB2 ，
∴ A1B1＝ AB ，
b
c
C
A
B
a
证明猜想：
解： 作∠ C1 ＝90 °，
截取B1C1＝ BC=a ，
取A1C1＝ AC=b ，
a
C 1
B 1
A1
b
连结A1B1，
根据“SSS”,
可证△ABC ≌ △A1B1C1.
∴ ∠C ＝ ∠C1 ＝90 ° ，
∴ △ABC为直角三角形．
(1)画Rt△A1B1C1，使∠ C1 ＝90 °，B1C1=a， A1C1=b，；　
(3) △ABC 与△A1B1C1 有怎样的关系？
(2)求A1B1 的长；
如图，在△ABC中，a2＋b2＝c2， △ABC是否为直角三角形？ 　　
由勾股定理得，在Rt△A1B1C1中，
A1B12＝ BC12＋A1C12 ＝ a2＋b2 ，
证明猜想：
解：延长BC至点C1 ， 使B1C1＝ AC =b ，
过点C1作B1C1 ⊥ BC1于点C1 ，
取B1C1＝ BC=a ，
b
C 1
连结A1B1，
根据“SSS”,
可证△ABC ≌ △A1B1C1.
∴ ∠C ＝ ∠C1 ＝90 ° ，
∴ △ABC为直角三角形．
b
c
a
C
A
B
c
a
∵a2＋b2＝c2 ，
即AB2＝ a2＋b2 ，
∴ A1B12＝ AB2 ，
∴ A1B1＝ AB ，
B 1
(A 1)
谢 谢