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第四章《图形的相似》检测卷
提高卷（三）
第I卷（选择题）
选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．已知（a≠b），则下列等式错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据比例的基本性质和等式基本性质判断即可．
【详解】
解：A．根据比例的基本性质可知当时，，故不符合题意；
B．根据比例的基本性质可知当时，，故符合题意；
C．根据比例的基本性质可知当时，，故不符合题意；
D．根据等式的基本性质可知当时，，故不符合题意；
故选：B
【点睛】
本题主要考查比例的基本性质和等式基本性质，掌握相关性质是解题的关键．
2．图1是装满了液体的高脚杯（数据如图），用去部分液体后，放在水平的桌面上如图2所示，此时液面AB＝（ ）
A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm
【答案】B
【分析】
高脚杯前后的两个三角形相似，根据相似三角形的判定和性质即可得出结果．
【详解】
解：如图：
∵CD∥AB，
∴△CDO∽ABO，
∴ ，
∵OC＝8cm，OA＝4cm，CD＝6cm，
∴ ，
∴AB＝3（cm），
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
3．如图，在平行四边形中，点在边上， ，连接交于点，则的面积与的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
设DE＝3k，EC＝k，则CD＝4k，由四边形ABCD是平行四边形，推出AB＝CD＝4k，DE∥AB，推出△DEF∽△BAF，推出由此即可解决问题．
【详解】
解：设DE＝3k，EC＝k，则CD＝4k，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝4k，DE∥AB，
∴△DEF∽△BAF，
∴，
故选：D．
【点睛】
本题考查相似三角形的性质和判定、平行四边形的性质等知识，解题的关键是灵活运用平行四边形的性质，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
4．如图，在ABC中，点D在AB边上，点E在BC边上，过点D作DGBC，交AC于点G，过点E作EHAB，交AC于点H，DG的延长线与EH的延长线交于点F，则下列式子一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据平行线分线段成比例的性质进行逐一判断即可．
【详解】
解：∵DGBC，
∴，故A选项错误；
∵DGBC，
∴，故B选项错误；
∵EHAB，
∴，故C选项正确；
∵EHAB，
∴，故D选项错误．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查线段的比，解题的关键是熟知平行线分线段成比例的性质．
5．如图，在中，，两点在轴的上方，以点为位似中心，在轴的下方按的相似比作的位似图形．设点的对应点的坐标是，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据位似变换的坐标特点解题．，两点在轴的上方，以点为位似中心，在轴的下方按的相似比作的位似图形，则位似图形对应点的坐标比等于-2．
【详解】
设点的坐标为，
因为点的对应点的坐标是，
根据位似变换的坐标特点得，，
即，，故点的坐标为．
A、B、D选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查位似变换的坐标特点．在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
6．如图，已知，任取一点O，连接，并取它们的中点D，E，F，得，则下列说法正确的有（ ）
①与是位似图形；②与是相似图形；③与的周长比为1：2；④若的面积为4，则的面积为1．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】
由题意根据位似图形的性质，得出①△ABC与△DEF是位似图形进而根据位似图形一定是相似图形得出 ②△ABC与△DEF是相似图形，再根据周长比等于位似比，以及根据面积比等于相似比的平方，即可得出答案．
【详解】
解：根据位似的定义可得，与是位似图形，也就是特殊的相似图形，故①②正确；
∵点D、E、F分别是、、的中点，
∴与的位似比为2∶1，周长比为2∶1，面积比为4∶1，故③错误，
若的面积为4，则的面积为1，故④正确．
故选：C.
【点睛】
本题主要考查位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解决问题的关键．
7．将三角形纸片（）按如图所示的方式折叠，使点C落在边上的点D，折痕为．已知，若以点B、D、F为顶点的三角形与相似，那么的长度是（ ）
A．2 B．或2 C． D．或2
【答案】B
【分析】
分两种情况：若或若，再根据相似三角形的性质解题
【详解】
∵沿折叠后点C和点D重合，
∴，
设，则，
以点B、D、F为顶点的三角形与相似，分两种情况：
①若，则，即，解得；
②若，则，即，解得．
综上，的长为或2，
故选：B．
【点睛】
本题考查相似三角形的性质，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
8．如图，在 ABCD中，E为CD的中点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，则：为（ ）
A．1：5 B．4：25 C．4：31 D．4：35
【答案】A
【分析】
根据平行四边形对边互相平行可得，然后求出和相似，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出两三角形的面积的比为1：4，设，，再根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出，然后表示出的面积，再根据平行四边形的性质可得，然后相比计算即可得解．
【详解】
解：四边形ABCD是平行四边形，
，AB=CD
∵E为CD的中点，
∴DE：CD=1：2
∵AB//DE
∽，
：：：4，EF:AF=1:2
设，则，
：：2，
：：：2，
，
，
是平行四边形ABCD的对角线，
，
，
：：：5．
故选A．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定以及相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键，不容易考虑到的是等高的三角形的面积的比等于底边的比的应用．
9．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D．过点D作DE∥BC交AB于点E，若AE：BE＝3：2，且△ADE的面积为3，则△BCD的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先由DE∥BC证明△ADE∽△ACB，由此得△ADE与△ACB的面积之比为：9：25，再由AE：BE＝3：2得△ADE与△DEB的面积之比为：9：6，故△ADE与△DCB的面积之比为：9：10，即可得到答案．
【详解】
解：∵AE：BE＝3：2，
∴AE：BA＝3：5，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，
∴△ADE与△ACB的面积之比为：9：25，
∵AE：BE＝3：2，
∴△ADE与△DEB的面积之比为：9：6，
∴△ADE与△DCB的面积之比为：9：10，
∵△ADE的面积为3，
∴△BCD的面积为，
故选：D．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
10．如图，在正方形中，点是边的中点，连接、，分别交、于点、，过点作交的延长线于，下列结论正确的有：（ ）
①；②；③若四边形的面积为4，则该正方形的面积为36；④．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】
连接OE、AF，①利用四点共圆证明∠AFP＝∠ABP＝45°即可；②设BE＝EC＝a，求出AE，OA即可解决问题；③利用相似三角形的性质计算求得正方形ABCD的面积为48；④利用相似三角形的性质证明即可．
【详解】
解：如图，连接OE、AF
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四点共圆，
∴，
∴，
∴，故①正确，
设，则由勾股定理可得：，，
∴，即，故②正确，
根据对称性可知，，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，故③错误，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，故④正确，
故选B
【点睛】
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，四点共圆的性质等知识，解题的关键是熟练掌握相关基本性质，并灵活运用所学知识解决问题．
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11．若＝，则＝_________________．
【答案】﹣
【分析】
先根据多项式除以单项式法则进行计算，再求出答案即可．
【详解】
解：∵
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了比例的性质，将分式化简是解题的关键．
12．如图，在中，点、分别在、上，．若，，则的值为__．
【答案】
【分析】
首先根据，得出，即可得出，进而得的值．
【详解】
解：，
，
，
，，
，
则的值为．
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据已知得出△ADE∽△ABC是解题关键．
13．在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20cm，则它的宽约为_______________．
【答案】12.36cm
【分析】
根据黄金分割的定义得到书的宽与长之比为，即它的宽＝20 ，然后进行近似计算即可．
【详解】
解：∵书的宽与长之比为黄金比，长为20cm，
∴它的宽＝20 10（1）≈12.36（cm）．
故答案为：12.36cm．
【点睛】
本题考查了黄金分割的定义：一个点把一条线段分成两条线段，其中较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点，并且较长线段是整个线段的倍．
14．如图，在中，E是的中点，交于点F，若的面积为4，则的面积为_________．
【答案】1
【分析】
根据平行线的性质可得进而可得，根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方即可求得的面积．
【详解】
四边形是平行四边形，
，，
，
E是的中点，
，
，
，
的面积为4，
的面积为1．
故答案为1
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，掌握似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
15．如图，在边长为2个单位长度的正方形ABCD中，E是AB的中点，点P从点D出发沿射线DC以每秒1个单位长度的速度运动，过点P作PF⊥DE于点F，当运动时间为______秒时，以P、F、E为顶点的三角形与△AED相似．
【答案】1或
【分析】
分两种情形：①如图，当△PFE∽△EAD时，②如图，当△EFP∽△EAD时，分别求解即可．
【详解】
解：①如图，当△PFE∽△EAD时，
∴∠ADE=∠FEP，
∴AD∥PE，
∴PE⊥CD，
∴四边形AEPD是矩形，
∵四边形ABCD是正方形，E是AB的中点，
∴t=DP=AE=1；
②如图，当△EFP∽△EAD时，
∴∠ADE=∠FPE，∠AED=∠FEP，
∵DC∥AB，
∴∠AED=∠CDE，
∴∠FEP=∠CDE，
∴PD=PE，
∴PF是DE的垂直平分线，
∴F为DE中点，
DE=，
EF=DF=DE=，
∵，
即，
解得t=DP=，
综上所述，满足条件的t的值为1s或s．
故答案为：1或．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质、正方形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
16．如图，在矩形中，分别是上的点，，有以下结论：①，②，③，④，⑤，其中正确的是_______（把你认为正确的序号都填上）．
【答案】③
【分析】
根据矩形的性质和相似三角形的性质与判定，进行逐一推理证明即可得到答案.
【详解】
解：① 假设
则有
但是根据题目现有条件，无法得到，故①错误；
②假设
则有
但是根据题目现有条件，无法得到，故②错误；
同理可以得到根据现有条件无法证明④，⑤
故④⑤错误；
③∵四边形ABCD是矩形
∴=90°
∴=90°
又∵90°
∴=90°
∴
∴
故③正确；
故答案为：③.
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的性质与判定.
17．如图，在中，点分别在边上，且，与四边形的面积的比为__________．
【答案】
【分析】
先证明，再根据相似三角形的性质，即可得到，进而即可求解．
【详解】
解：∵，
∴
∴
∵∠B=∠B，
∴，
∴
∴与四边形的面积的比=．
故答案是：．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方，是解题的关键．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
18．已知：在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，E在CB的延长线上，且BE＝2BD，连接AE，F是AC的中点，G是AE的中点，连接BG、BF．
（1）如图1，求证：四边形AGBF是平行四边形．
（2）如图2，连接GF、DF，GF与AB相交于点H，若GF＝AB，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有的等边三角形．
【答案】（1）见解析；（2）图2中等边三角形有：△ABC，△AHF，△CDF，△GHB．
【分析】
（1）根据三角形中位线定理结合已知条件可得BG∥AC，BF∥AE，即可证明四边形AGBF是平行四边形；
（2）由已知条件可得△ABC是等边三角形，根据等边三角形的性质与判定，平行线的性质，相似三角形的性质与判定，可得△AHF∽△ABC，△CDF∽△CBA，△GBH∽△FAH．
【详解】
（1）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BC＝2BD，
∵BE＝2BD，
∴BC＝BE，
∵F是AC的中点，G是AE的中点，
∴BG∥AC，BF∥AE，
∴四边形AGBF是平行四边形．
（2）∵F是AC的中点，G是AE的中点，
∴GF∥BC，
∵BG∥AC，
∴四边形BGFC是平行四边形，
∴GF＝BC，
∵GF＝AB，AB＝AC，
∴AB＝AC＝BC，
即△ABC是等边三角形，
∵GF∥BC，DF∥AB，BG∥AC，
∴△AHF∽△ABC，△CDF∽△CBA，△GBH∽△FAH，
∴△AHF，△CDF，△GHB是等边三角形，
综上可得：图2中等边三角形有：△ABC，△AHF，△CDF，△GHB．
【点睛】
本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，平行线的性质，相似三角形的性质与判定，，是解题的关键．
19．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8m，BC=6m，点P由C点出发以2m/s的速度向终点A匀速移动，同时点Q由点B出发以1m/s的速度向终点C匀速移动，当一个点到达终点时另一个点也随之停止移动．
（1）经过几秒△PCQ的面积为△ACB的面积的？
（2）经过几秒，△PCQ与△ACB相似？
【答案】（1）2秒或4秒；（2）秒或秒
【分析】
（1）分别表示出线段PC和线段CQ的长后利用S△PCQ=S△ABC列出方程求解；
（2）设运动时间为ts，△PCQ与△ACB相似，当△PCQ与△ACB相似时，则有或，分别代入可得到关于t的方程，可求得t的值.
【详解】
解：（1）设经过x秒△PCQ的面积为△ACB的面积的，
由题意得：PC=2xm，CQ=（6﹣x）m，
则×2x（6﹣x）=××8×6，
解得：x=2或x=4．
故经过2秒或4秒，△PCQ的面积为△ACB的面积的；
（2）设运动时间为ts，△PCQ与△ACB相似．
当△PCQ与△ACB相似时，则有或，
所以 ，或，
解得t=，或t=．
因此，经过秒或秒，△OCQ与△ACB相似；
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
20．已知如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5.点P从点C出发沿CA以每秒1个单位的速度向点A匀速运动；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，点P、Q同时出发，当点P到达点A时停止运动，点Q也随之停止．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB－BC－CP于点E．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．
（1）当t＝2时，AP＝ ，点Q到AC的距离是 ；
（2）在运动的过程中，求△APQ的面积S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）
（3）在点E运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；
【答案】（1）1，；（2）；（3）能，或
【分析】
（1）先求出，，则，作QF⊥AC于点F，证明△AQF∽△ABC，得到 ，由勾股定理求出BC=4，由此求解即可；
（2）同（1）证明△AQF∽△ABC得到 ，由AQ＝CP＝ t，得到，从而得到，再根据三角形面积公式求解即可；
（3）分当DE∥QB时．DE⊥PQ，PQ⊥QB，四边形QBED是直角梯形和当PQ∥BC时，DE⊥BC，四边形QBED是直角梯形两种情况讨论求解即可．
【详解】
解：（1）∵，
∴，，
∵，
∴，
作QF⊥AC于点F，
∴∠C=∠QFA=90°，
∴
又∵∠A=∠A，
∴△AQF∽△ABC
∴
∴，
故答案为：1，；
（2）如图1，作QF⊥AC于点F
同（1）证明△AQF∽△ABC
∴
又 ∵AQ＝CP＝ t，
∴．
∴
∴
∴
即 ；
（3）能．
①如图2，当DE∥QB时．
∵DE⊥PQ
∴PQ⊥QB，四边形QBED是直角梯形
此时∠AQP＝90°
由△APQ ∽△ABC，
得
∴
解得 ；
②如图3，当PQ∥BC时，DE⊥BC，四边形QBED是直角梯形．
此时∠APQ ＝90°．
由△AQP∽△ABC，
得 ，
即．
解得．
综上，当或 时，四边形QBED能成为直角梯形．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，三角形面积，解题的关键在于能熟练掌握相关知识进行求解．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．如图，矩形ABCD中，点E在BC上，AE⊥ED．
（1）求证：△ABE∽△ECD；
（2）F为AE延长线上一点，满足EF＝AE，连接DF交BC于点G．若AB＝2，BE＝1，求GC的长．
【答案】（1）见解析；（2）．
【分析】
（1）由余角的性质解得，继而证明；
（2）由相似三角形的性质可解得EC=4，由等腰三角形的性质、平行线的性质可证EG=DG，再由勾股定理解题即可．
【详解】
证明：（1）AE⊥ED，矩形ABCD
（2）
．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定与性质，矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
22．如图，是的角平分线，延长至，连结，使．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）1．
【分析】
（1）先根据角平分线和等腰三角形的性质得到∠BAE=∠CDA,再结合∠CED=∠BEA即可证明；
（2）先说明CD=2AB,EC=BC-BE,然后根据的性质列方程解答即可．
【详解】
（1）证明∵是的角平分线
∴∠BAE=∠CAE
∵
∴∠CDA=∠CAE
∴∠BAE=∠CDA
∵∠CED=∠BEA（对顶角相等）
∴；
（2）∵，AC=CD
∴CD=2AB,即
∵
∴EC=BC-BE
∵
∴,即,解得BE=1．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，角平分线和等腰三角形的性质等知识点，根据题意证得是解答本题的关键．
23．如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，连接AC，点O为AC的中点，点E为线段BC上的动点，连接OE，过点O作OF⊥OE，交AB于点F，连接EF．
（1）如图1，当CE＝3时，求OF的长；
（2）如图2，当点E在线段BC上运动过程中，的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出的值；
（3）连接BO，当BO将△OEF分成两部分面积之比为1：2时，求BE的长．
【答案】（1）3；（2）不变，；（3）或
【分析】
（1）根据有三个角是90°的四边形是矩形证明即可；
（2）的值不变．如图2中，过点O作ON⊥BC于N，OM⊥AB于M，则四边形OMBN是矩形，只要证明△ONE∽△OMF，可得 ；
（3）分两种情况讨论，利用相似三角形的性质和三角形的面积公式可求解．
【详解】
证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，BC＝6＝AD，
∵CE＝3，
∴BE＝CE，
∵点O为AC的中点，
∴OE∥AB，
∴∠OEB+∠FBE＝180°，
∴∠OEB＝90°，
∵OE⊥OF，
∴∠EOF＝90°，
∴四边形OEBF是矩形，
∴OF＝BE＝3；
（2）的值不变，
理由如下：如图2，过点O作ON⊥BC于N，OM⊥AB于M，
∴∠ONB＝∠OMB＝90°，
又∵∠ABC＝90°，
∴四边形OMBN是矩形，
∴∠MON＝90°，OM∥BC，ON∥AB，
∴ ， ，
∵点O是AC的中点，
∴OA＝OC＝ AC，
∴ON＝AB＝4，OM＝BC＝3，
∵∠EOF＝∠MON＝90°，
∴∠FOM＝∠EON，
又∵∠ONE＝∠OMF＝90°，
∴△ONE∽△OMF，
∴；
（3）由（2）知 ， ，
如图3，过点O作ON⊥BC于N，OM⊥AB于M，当点E在点N的下方时，S△OGE：S△OGF＝1：2，设点EF与OB的交点为G，
∵S△OGE：S△OGF＝1：2，
∴FG＝2GE，
∴S△BGE：S△BGF＝1：2，
∴S△OBE：S△OBF＝1：2，
∴（×BE×ON）：（×BF×OM）＝1：2，即（×BE×4）：（×BF×3）＝1：2，
∴BE：BF＝3：8，
∵△ONE∽△OMF，
∴＝ ，
∴设FM＝3x，NE＝4x，
∴ ，
∴ ；
∴ ；
当点E在点N上方时，
如图4，过点O作ON⊥BC于N，OM⊥AB于M，当点E在点N上方时， S△OGF： S△OGE＝1：2，设点EF与OB的交点为G，
同理可得BE：BF＝3：2，
∵△ONE∽△OMF，
∴＝ ，，
∴设FM＝3x，NE＝4x，
∴，
∴ ，
∴ ，
综上所述：BE的值为或．
【点睛】
本题是四边形综合题，考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，准学会正确寻找相似三角形是解决问题，属于中考压轴题．
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
24．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，D，E是斜边AB上的两个动点（不与点A，B重合），过E作EF⊥BC于点F，设BD＝m，EF＝n，且m＝12﹣4n，连结DF．
（1）当m＝8时，
①求DE长；
②求△BDF的面积．
（2）是否存在点P，使得以D，E，F，P四点为顶点的四边形是菱形，若存在，请求出n的值，若不存在，请说明理由；
（3）当点B关于直线DF的对称点B'落在直线EF上时，请直接写出n的值．
【答案】（1）①6；②；（2）存在，或；（3）或
【分析】
（1）①当m＝8时，BD＝12-4n＝8，求出n的值，根据含30°角的直角三角形的性质可得BE=2EF，进而求得DE；②过点D作DF⊥BC于F点，易得BF＝，DF=4，然后根据三角形的面积公式进行计算；
（2）当D在点E的左侧，四边形DEFP是菱形时，只有一种情形，此时DE＝EF，由（1）得，DE＝12-6n，据此可得n的值；当点D在点E的右侧时，均可得到△DEF是等边三角形，得到DE=EF，据此求解；
（3）连接DB′，过点D作DG⊥FE交FE的延长线于G，根据轴对称的性质可得∠DFB＝∠DB′＝135°，求出∠FDG的度数，推出DG＝FG，据此可得n的值
【详解】
（1）解：①当m＝8时，BD＝12﹣4n＝8，
∴n＝1，
∵∠EFB＝90°，∠B＝30°，EF＝1，
∴BE＝2EF＝2，
∴DE＝BD﹣EB＝8﹣2＝6．
②如图1中，过点D作DF⊥BC于F点．
∵∠EFB＝90°，∠B＝30°，EF＝1，
∴BE=2EF=2，
∴BF＝= ，
∵∠DFB＝90°，
∴DF＝ BD＝4，
∴S△BDF＝ BF DF＝ × ×4＝2 ．
（2）解：存在．当D在点E的左侧时，
∵∠DEF＝120°，
∴当四边形DEFP是菱形时，只有一种情形如图2中，
此时DE＝EF，由（1）得，DE＝12﹣6n，
∴12﹣6n＝n，
∴n＝ ．
当点D在点E的右侧时，∵∠DEF＝60°，
∴分两种情形，
当四边形DFEP1或四边形DEFP2都是菱形时，如图2中，
均可得到△DEF是等边三角形
∴DE＝EF，
此时DE＝BE﹣BD＝2n﹣（12﹣4n）＝6n﹣12，
∴6n﹣12＝n，
∴n＝ ，
综上所述，满足条件的n的值为或 ．
（3）解：如图4﹣1中，连接DB′，过点D作DG⊥FE交FE的延长线于G，
则DG∥BC，∴∠DGE=∠B=30°，
∴GE=DE，DG==，
∵点B关于直线DF的对称点B'落在直线EF上，
∴∠DFB＝∠DB′＝135°，
∴∠FDG＝45°，
∵DG⊥FG，
∴△DGF是等腰直角三角形，
∴DG＝FG，又DE=12﹣6n，
∴ （12﹣6n）＝ （12﹣6n）+n，
解得：n＝ ．
如图4﹣2中，连接DB′．
∵∠FEB＝60°，∠B＝∠B′＝30°，∠FEB＝∠B′+∠EDB′，
∴∠B′＝∠EDB′＝30°，
∴DE＝EB′，
由轴对称的性质得B′F=BF=n，
∴ n﹣n＝6n﹣12，
解得n＝ ，
综上所述，n的值为 或 ．
【点睛】
本题考查了菱形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质、轴对称性质、解一元一次方程等知识，综合性强，解答的关键是熟练掌握相关知识的联系及运用，学会用分类讨论的思想解决问题．
25．在中，，，在中，，，，连接，，点是的中点，连接．
（1）如图1，当顶点在边上时，线段与线段的数量关系是______，线段与线段的位置关系是 ；
（2）将绕点旋转，转到图2的位置时，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由；
（3）在绕点旋转的过程中，线段的最大值为______；当时，线段的长为______．
【答案】（1），；（2）仍然成立，见解析；（3）或1
【分析】
（1）过点A作，交BC延长线与点G，连接GD并延长交BE于点H，证明∽，得，，再证明CF为的中位线即可证明结论；
（2）与（1）同理可证明结论仍然成立；
（3）延长AF到点K，使，连接BK，通过SAS证明≌，得，在中，利用第三边小于两边之和，得，求出AK最大为4，则AF最大为2即可，当时，由（1）中证明可知，则G，D，E三点共线，分点E在D下方，或点E在点D上方两种情形，分别画图进行计算即可．
【详解】
解：（1）过点A作，交BC延长线与点G，，连接GD并延长交BE于点H，
，，
，
，
，
点C为BG的中点，
，
且，
∽，
，，
，
点C，F分别是BG，BD的中点，
为的中位线，
，，
，
又，
，
，
，
，
故答案为：，，
（2）（1）中结论仍然成立，
过点A作，交BC延长线与点G，，连接GD并延长交BE于点H，设GD交AB于点O，
由（1）同理可证∽，
，，
，
点C，F分别是BG，BD的中点，
为的中位线，
，，
，
又，
，
，
，
，
故答案为：，，
（3）如图，延长AF到点K，使，连接BK，
，，，
≌，
，
在中，
，
，
当时，AF最大为2，
当时，由（2）中证明可知，
，D，E三点共线，如图，当点E在点D下方时，
，，
，
，
，
当点E与G重合时，此时，
，
综上：或，
故答案为：2，1或．
【点睛】
本题是几何变换综合题，考查了含角的直角三角形，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，中位线定理等知识，是作辅助线，构造三角形相似或者全等是解题的关键，综合性较强，难度较大．
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第四章《图形的相似》检测卷
提高卷（三）
第I卷（选择题）
选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．已知（a≠b），则下列等式错误的是（ ）
A． B． C． D．
2．图1是装满了液体的高脚杯（数据如图），用去部分液体后，放在水平的桌面上如图2所示，此时液面AB＝（ ）
A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm
3．如图，在平行四边形中，点在边上， ，连接交于点，则的面积与的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在ABC中，点D在AB边上，点E在BC边上，过点D作DGBC，交AC于点G，过点E作EHAB，交AC于点H，DG的延长线与EH的延长线交于点F，则下列式子一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，，两点在轴的上方，以点为位似中心，在轴的下方按的相似比作的位似图形．设点的对应点的坐标是，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，已知，任取一点O，连接，并取它们的中点D，E，F，得，则下列说法正确的有（ ）
①与是位似图形；②与是相似图形；③与的周长比为1：2；④若的面积为4，则的面积为1．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．将三角形纸片（）按如图所示的方式折叠，使点C落在边上的点D，折痕为．已知，若以点B、D、F为顶点的三角形与相似，那么的长度是（ ）
A．2 B．或2 C． D．或2
8．如图，在 ABCD中，E为CD的中点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，则：为（ ）
A．1：5 B．4：25 C．4：31 D．4：35
9．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D．过点D作DE∥BC交AB于点E，若AE：BE＝3：2，且△ADE的面积为3，则△BCD的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在正方形中，点是边的中点，连接、，分别交、于点、，过点作交的延长线于，下列结论正确的有：（ ）
①；②；③若四边形的面积为4，则该正方形的面积为36；④．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11．若＝，则＝_________________．
12．如图，在中，点、分别在、上，．若，，则的值为__．
13．在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20cm，则它的宽约为_______________．
14．如图，在中，E是的中点，交于点F，若的面积为4，则的面积为_________．
15．如图，在边长为2个单位长度的正方形ABCD中，E是AB的中点，点P从点D出发沿射线DC以每秒1个单位长度的速度运动，过点P作PF⊥DE于点F，当运动时间为______秒时，以P、F、E为顶点的三角形与△AED相似．
16．如图，在矩形中，分别是上的点，，有以下结论：①，②，③，④，⑤，其中正确的是_______（把你认为正确的序号都填上）．
17．如图，在中，点分别在边上，且，与四边形的面积的比为__________．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
18．已知：在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，E在CB的延长线上，且BE＝2BD，连接AE，F是AC的中点，G是AE的中点，连接BG、BF．
（1）如图1，求证：四边形AGBF是平行四边形．
（2）如图2，连接GF、DF，GF与AB相交于点H，若GF＝AB，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有的等边三角形．
19．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8m，BC=6m，点P由C点出发以2m/s的速度向终点A匀速移动，同时点Q由点B出发以1m/s的速度向终点C匀速移动，当一个点到达终点时另一个点也随之停止移动．
（1）经过几秒△PCQ的面积为△ACB的面积的？
（2）经过几秒，△PCQ与△ACB相似？
20．已知如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5.点P从点C出发沿CA以每秒1个单位的速度向点A匀速运动；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，点P、Q同时出发，当点P到达点A时停止运动，点Q也随之停止．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB－BC－CP于点E．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．
（1）当t＝2时，AP＝ ，点Q到AC的距离是 ；
（2）在运动的过程中，求△APQ的面积S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）
（3）在点E运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．如图，矩形ABCD中，点E在BC上，AE⊥ED．
（1）求证：△ABE∽△ECD；
（2）F为AE延长线上一点，满足EF＝AE，连接DF交BC于点G．若AB＝2，BE＝1，求GC的长．
22．如图，是的角平分线，延长至，连结，使．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
23．如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，连接AC，点O为AC的中点，点E为线段BC上的动点，连接OE，过点O作OF⊥OE，交AB于点F，连接EF．
（1）如图1，当CE＝3时，求OF的长；
（2）如图2，当点E在线段BC上运动过程中，的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出的值；
（3）连接BO，当BO将△OEF分成两部分面积之比为1：2时，求BE的长．
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
24．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，D，E是斜边AB上的两个动点（不与点A，B重合），过E作EF⊥BC于点F，设BD＝m，EF＝n，且m＝12﹣4n，连结DF．
（1）当m＝8时，
①求DE长；
②求△BDF的面积．
（2）是否存在点P，使得以D，E，F，P四点为顶点的四边形是菱形，若存在，请求出n的值，若不存在，请说明理由；
（3）当点B关于直线DF的对称点B'落在直线EF上时，请直接写出n的值．
25．在中，，，在中，，，，连接，，点是的中点，连接．
（1）如图1，当顶点在边上时，线段与线段的数量关系是______，线段与线段的位置关系是 ；
（2）将绕点旋转，转到图2的位置时，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由；
（3）在绕点旋转的过程中，线段的最大值为______；当时，线段的长为______．
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