2021-2022学年数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.1.1直线的倾斜角与斜率课件（共19张）

(共19张PPT)
直线的倾斜角与斜率
十六、十七世纪，为了描述现实世界的运动变化现象，如行星的运动、平面抛体的运动等，需要对它们的运动轨迹进行精确的代数刻画，运动变化进入了数学，变量观念成为数学中的重要理念.在众多数学家工作的基础上，法国的数学家笛卡尔、费马及其大成，创立了坐标系，用坐标刻画运动变化，这是解析几何的创始.
一、 新课引入
几何的基本元素
几何问题
点和代数的基本对象
数（有序数对或有序数组）
代数问题
几何图形的性质
代数方法
坐标系
引导语：
解析几何的基本内涵和方法是：通过坐标系，把几何的基本元素—点和代数的基本对象—数（有序数对或有序数组）对应起来，在此基础上建立曲线（点的轨迹）的方程，从而把几何问题转化为代数问题，再通过代数方法研究几何图形的性质.
问题1：回顾之前的学习，我们通过坐标系主要研究过哪些类型的图形？所用的研究方法是什么？
建立曲线（点的轨迹）的方程
问题2：直线是最简单的几何图形之一，确定一条直线的几何要素是什么？
二、确定直线位置的几何要素
追问：对于平面直角坐标系中的一条直线(如图所示)，如何利用坐标系中确定它的位置？
A
B
O
P
x
y
l1
l2
l3
图2.1-2
问题3：
在平面直角坐标系中，经过一点可以作无数条直线 它们组成一个直线束（如图2.1-2）这些直线的区别是什么？
二、确定直线位置的几何要素
在平面直角坐标系中，我们规定水平直线的方向向右，其他直线向上的方向为这条直线的方向．因此，这些直线的区别是它们的方向不同．如何表示这些直线的方向？
O
P
x
y
l1
l2
l3
图2.1-2
因此，
我们可以利用这样的角来表示这些直线的方向.
问题4：在平面直角坐标系中直线l经过点P (2,0),直线l向上的方向与x轴成角，那么直线l的方向是否确定？
x
y
P (2,0)
l
l
O
二、确定直线位置的几何要素
我们看到，这些直线相对于x轴的倾斜程度
不同，也就是它们与x轴所成的角不同.
三、直线的倾斜角：定量刻画直线的方向
y
o
x
l
问题5：你认为直线的倾斜角在
什么范围内变化？
x
y
o
l
①直线l与x轴平行或重合时(如图2) ，
l1
图2
y
x
P
l2
图1
l3
l4
图3
②如图3，
直线l2的倾斜角为，
直线l3与x轴垂直，
直线l4的倾斜角为，
倾斜角变化范围是
直线l1与x轴重合，倾斜角为
我们规定它的倾斜角为
之间所成的角
我们以x轴为基准，
叫做直线的倾斜角.
x轴正向
与直线l向上的方向
它的倾斜角为，
l
直线l与x轴相交时（如图1），
在平面直角坐标系中每一条直线
方向相同的 直线，其倾斜程度相同，倾斜角相
等；
方向不同的直线，其倾斜程度
不同，倾斜角不相等.
确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素可以是：
x
y
O
都有一个确定的倾斜角，
因此，我们可以用倾斜角表示平面直角坐标系中一条直线的倾斜程度，也就表示了直线的方向.
直线上的一个定点以及它的倾斜角
三、直线的倾斜角：定量刻画直线的方向
四、用倾斜角的正切值进一步量化直线的倾斜程度
问题6：设点 是直线l上的两点.由两点确定一条直线可知，直线l由 .因此，直线l的倾斜角一定与 两点的坐标有内在联系.到底具有怎样的联系呢？
下面我们进一步研究研究刻画直线倾斜程度的方法.
y
O
x
,
如图，
且直线l的倾斜角为
由正切函数的定义可知
设是一个任意角，它的终边上任一点P的坐标为（ ） （ 0） ，利用三角函数的定义有
（ 0）
y
O
x
平移向量到
则点的坐标为（，1）
P
（，1）
且直线也是.
由正切函数的定义，有
如图，
四、用倾斜角的正切值进一步量化直线的倾斜程度
当向量的方向向上时
（ ， ）
平移向量到
则点的坐标为（ ， ）
且直线也是.
由正切函数的定义，有
四、用倾斜角的正切值进一步量化直线的倾斜程度
当向量的方向向上时
（ ， ）
平移向量到
则点的坐标为（ ， ）
且直线也是.
由正切函数的定义，有
=
四、用倾斜角的正切值进一步量化直线的倾斜程度
问题7：直线与轴平行或重合时，式子= 还成立吗？为什么？
和的坐标满足
当直线与轴平行或重合，
倾斜角= ，
= 0，
由图可知，
，
= 0
直线与轴平行或重合时，式子= 仍成立
=
四、用倾斜角的正切值进一步量化直线的倾斜程度
综上可知，直线上两点 的坐标有如下关系：
=
注意公式成立的前提
我们把一条直线的正切值叫做这条直线的
斜率(slope).
斜率常用小写字母，即
k =
四、用倾斜角的正切值进一步量化直线的倾斜程度
问题8：当直线的倾斜角是或时直线的斜率是多少？当直线倾斜角变化时，直线的斜率如何变化的？
k =
上的图象
1.当直线的倾斜角时，
斜率k = = 0，
2.当直线的倾斜角时，
直线与轴平行或重合；
斜率k 不存在，
此时直线存在，与轴平行或重合；
k =
y
O
x
时，
斜率k >0，
且k值随倾斜角的增大而增大；
时，
斜率k 0，
且k值随倾斜角的增大而增大；
四、用倾斜角的正切值进一步量化直线的倾斜程度
反之，当直线与轴平行或重合时，
直线的倾斜角，斜率k = = 0 ；
反之，当直线与轴平行
或重合时，直线的倾斜角时，其斜率不存在 ；
反之，当直线的斜率k >0时，
直线的倾斜角为锐角；
反之，当直线的斜率k <0时，
直线的倾斜角为钝角.
五、用直线的任意两点的坐标表示倾斜角的正切值：斜率
k = ①
如果直线经过两点
=
由公式①，
可得如下的斜率公式：
k =
注意公式成立的前提
我们发现，在平面直角坐标系中，倾斜角
和斜率分别从形和数两个角度刻画了直线对于的倾斜程度.
如果直线经过两点 则直线的斜率
=
五、用直线的任意两点的坐标表示倾斜角的正切值：斜率
问题9：（1）已知直线上的两点 运用上述公式计算直线时，与两点的顺序有关吗？
（2）当直线平行于，或与重合时，上述公式还适用吗？为什么？
（1）计算直线
,
因此与两点的顺序无关.
（2）,
直线上的任意两点的横坐标都相等
，
为0，分式无意义,
此时倾斜角为，
因此，斜率公式的适用范围不包含倾斜角的情况，凡在研究直线的斜率问题时，一定要注意斜率存在与不存在两种情况.
斜率公式中的值与 两点在该直线上的位置无关，
即在直线上任取两个不同的点 ，其斜率均不变.
直线的斜率不存在，此时公式不适用
六、建立直线的方向向量与斜率的关系
问题10：
直线，其中 ，你能发现直线的方向向量与斜率之间的关系吗？
我们知道，直线上的向量以及与它平行的向量都是直线的方向向量，
直线的方向向量
当直线与轴不垂直时，
此时向量 也是直线的方向向量,
且它的坐标为 ,
即
=，
其中是直线的斜率.
因此，
若直线的斜率为
它的一个方向向量的坐标为
则
七、例题演练，巩固应用所学知识
图2.1-6
解：
八、课堂小结、布置作业
课堂小结：
了解思想
探究问题
定义倾斜角
形成斜率的概念
反思探究、巩固应用
坐标法对图形的定量化研究
以形的角度刻画直线相对于轴的倾斜程度
以数（坐标）的角度刻画直线相对于轴的倾斜程度
数形结合思想
布置作业：见附件
类比思想
数形结合思想
分类讨论