2018-2019学年山东省潍坊市高密市九年级（上）期中数学试卷（Word版 含解析）

2018-2019学年山东省潍坊市高密市九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来。每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记0分）
1．（3分）将一元二次方程x2﹣6x﹣5＝0化成（x+a）2＝c的形式，则c的值为（　　）
A．﹣4 B．4 C．﹣14 D．14
2．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边，则有（　　）
A．b＝a tanA B．b＝c sinA C．a＝c cosB D．c＝a sinA
3．（3分）在一张由复印机复印出来的纸上，一个多边形图案的一条边由原来的1cm变成2cm，那么这次复印出来的多边形图案面积是原来的（　　）
A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍
4．（3分）方程3x2﹣（x﹣1）＝0的二次项系数、一次项系数及常数项分别是（　　）
A．3，，0 B．3，，0 C．3，，﹣1 D．3，，
5．（3分）在△ABC中，若|cosA﹣|+（1﹣tanB）2＝0，则∠C的度数是（　　）
A．45° B．60° C．75° D．105°
6．（3分）如图所示，直线l1∥l2∥l3，下列比例式中错误的是（　　）
A． B． C． D．
7．（3分）一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或结论错误的是（　　）
A．斜坡AB的坡角是10° B．斜坡AB的坡度是tan10°
C．AC＝1.2tan10°米 D．AB＝米
8．（3分）如图，△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，下列条件中，不能判定△ABC∽△AED的是（　　）
A．∠AED＝∠B B．∠ADE＝∠C C． D．
9．（3分）如图，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端30米的B处，测得树顶A的仰角∠ABO为α，则树OA的高度为（　　）
A．米 B．30sinα米 C．30tanα米 D．30cosα米
10．（3分）若关于x的不等式x﹣＜1的解集为x＜1，则关于x的一元二次方程x2+ax+1＝0根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
11．（3分）已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4＝0的两实数根，则（m+2）（n+2）的最小值是（　　）
A．7 B．11 C．12 D．16
12．（3分）如图所示，矩形ABCD中，AB＝9，BC＝6，若矩形AEFG与矩形ABCD位似，位似比为，则C、F之间的距离为（　　）
A． B．2 C．3 D．12
二、填空题（每题3分，共24分）
13．（3分）计算：﹣tan45°＝　 　．
14．（3分）已知m是关于x的一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的一个根，则代数式m2﹣m＝　 　．
15．（3分）如图，△ABC∽△DEF，∠A＝90°，AB＝9，AC＝DE＝6，则DF＝　 　．
16．（3分）如果等腰三角形的底角为30°，底边长为6cm，那么这个三角形的面积为 　 　cm2．
17．（3分）如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为　 　．
18．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，M是边BC的中点，DE⊥AM，垂足为E，则DE＝　 　．
19．（3分）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE＝0.4m，EF＝0.2cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，则树的高度为 　 　m．
20．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝16cm，AD为BC边上的高．动点P从点A出发，沿A→D方向以cm/s的速度向点D运动．设△ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，运动时间为t秒（0＜t＜8），则t＝　 　秒时，S1＝2S2．
三、解答题（本大题共计60分）
21．（8分）如图，在△ABC中，AB＞AC，边AB上取一点D，边AC上取一点E，使AD＝AE，直线DE和BC的延长线交于点P．求证：BP：CP＝BD：CE．
22．（9分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2＝0．
（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；
（2）若方程两实数根分别为x1、x2，且满足x12+x22＝31+|x1x2|，求实数m的值．
23．（9分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，D为AC上一点，且tan∠DBA＝，求AD的长度．
24．（10分）列方程解应用题：
某玩具厂生产一种玩具，按照控制固定成本降价促销的原则，使生产的玩具能够及时售出，据市场调查：每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若销售单价每降低1元，每天可多售出2个．已知每个玩具的固定成本为360元，问这种玩具的销售单价为多少元时，厂家每天可获利润20000元？
25．（11分）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线EF交CB的延长线于点F，交AD于点E，交AC于点M．
（1）△ACF与△BAF相似吗？请说明理由；
（2）如果AF＝6，BD＝2，AC＝4，求DC和AM的长．
26．（13分）如图，港口B位于港口O正西方向120海里处，小岛C位于港口O北偏西60°的方向．一艘科学考察船从港口O出发，沿北偏西30°的OA方向以20海里/小时的速度驶离港口O．同时一艘快艇从港口B出发，沿北偏东30°的方向以60海里/小时的速度驶向小岛C，在小岛C用1小时装补给物资后，立即按原来的速度给考察船送去．
（1）快艇从港口B到小岛C需要多少时间？
（2）快艇从小岛C出发后最少需要多少时间才能和考察船相遇？
2018-2019学年山东省潍坊市高密市九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来。每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记0分）
1．（3分）将一元二次方程x2﹣6x﹣5＝0化成（x+a）2＝c的形式，则c的值为（　　）
A．﹣4 B．4 C．﹣14 D．14
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．
【解答】解：∵x2﹣6x﹣5＝0，
∴x2﹣6x＝5，
则x2﹣6x+9＝5+9，即（x﹣3）2＝14，
∴c＝14，
故选：D．
2．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边，则有（　　）
A．b＝a tanA B．b＝c sinA C．a＝c cosB D．c＝a sinA
【分析】根据锐角三角函数的定义判断．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边，
tanA＝，则a＝b tanA，A错误；
sinA＝，则a＝c sinA，B错误；
cosB＝，则a＝c cosB，C正确；
sinA＝，则a＝c sinA，D错误；
故选：C．
3．（3分）在一张由复印机复印出来的纸上，一个多边形图案的一条边由原来的1cm变成2cm，那么这次复印出来的多边形图案面积是原来的（　　）
A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍
【分析】复印前后的多边形按照比例放大与缩小，因此它们是相似多边形，本题按照相似多边形的性质求解．
【解答】解：由题意可知，相似多边形的边长之比＝相似比＝1：2，所以面积之比＝（1：2）2＝1：4．
故选：D．
4．（3分）方程3x2﹣（x﹣1）＝0的二次项系数、一次项系数及常数项分别是（　　）
A．3，，0 B．3，，0 C．3，，﹣1 D．3，，
【分析】先化成一元二次方程的一般形式，再找出二次项系数、一次项系数、常数项即可．
【解答】解：∵3x2﹣（x﹣1）＝0，
∴3x2﹣x+＝0，
∴方程3x2﹣（x﹣1）＝0的二次项系数、一次项系数及常数项分别是3，﹣，，
故选：D．
5．（3分）在△ABC中，若|cosA﹣|+（1﹣tanB）2＝0，则∠C的度数是（　　）
A．45° B．60° C．75° D．105°
【分析】根据非负数的性质可得出cosA及tanB的值，继而可得出A和B的度数，根据三角形的内角和定理可得出∠C的度数．
【解答】解：由题意，得 cosA＝，tanB＝1，
∴∠A＝60°，∠B＝45°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣60°﹣45°＝75°．
故选：C．
6．（3分）如图所示，直线l1∥l2∥l3，下列比例式中错误的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】由平行线分线段成比例的性质，分别对选项进行判断即可．
【解答】解：A．∵l1∥l2∥l3，
∴＝，
故A不符合题意；
B..∵l1∥l2∥l3，
∴＝，
故A不符合题意；
C．∵l1∥l2∥l3，
∴＝，
故C符合题意；
D．∵l1∥l2∥l3，
∴＝，
故D不符合题意；
故选：C．
7．（3分）一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或结论错误的是（　　）
A．斜坡AB的坡角是10° B．斜坡AB的坡度是tan10°
C．AC＝1.2tan10°米 D．AB＝米
【分析】先根据坡度，坡角判断出A，B，再用锐角三角函数判断出C，D即可．
【解答】解：根据坡角的定义得，斜坡AB的坡角是10°，此结论正确；即：A正确，
根据坡度的定义得，斜坡AB的坡度是tan10°，此结论正确；即：B正确，
在Rt△ABC中，∠BAC＝10°，BC＝1.2，
∴tan∠BAC＝＝，
∴AC＝米，此结论错误，即：C错误；
在Rt△ABC中，∠BAC＝10°，BC＝1.2，
∴sin∠BAC＝＝，
∴AB＝米，此结论正确，即：D正确．
故选：C．
8．（3分）如图，△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，下列条件中，不能判定△ABC∽△AED的是（　　）
A．∠AED＝∠B B．∠ADE＝∠C C． D．
【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判断即可．
【解答】解：A、∠B＝∠AED，∠A＝∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故A选项不符合题意；
B、∠ADE＝∠C，∠A＝∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故B选项不符合题意；
C、＝且夹角∠A＝∠A，则能判定△ADE∽△ACB，故C选项不符合题意；
D、＝，不能确定△ADE∽△ACB，故D选项符合题意．
故选：D．
9．（3分）如图，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端30米的B处，测得树顶A的仰角∠ABO为α，则树OA的高度为（　　）
A．米 B．30sinα米 C．30tanα米 D．30cosα米
【分析】根据题意，在Rt△ABO中，BO＝30米，∠ABO为α，利用三角函数求解．
【解答】解：在Rt△ABO中，
∵BO＝30米，∠ABO为α，
∴AO＝BOtanα＝30tanα（米）．
故选：C．
10．（3分）若关于x的不等式x﹣＜1的解集为x＜1，则关于x的一元二次方程x2+ax+1＝0根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
【分析】先解不等式，再利用不等式的解集得到1+＝1，则a＝0，然后计算判别式的值，最后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【解答】解：解不等式x﹣＜1得x＜1+，
而不等式x﹣＜1的解集为x＜1，
所以1+＝1，解得a＝0，
又因为Δ＝a2﹣4＝﹣4，
所以关于x的一元二次方程x2+ax+1＝0没有实数根．
故选：C．
11．（3分）已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4＝0的两实数根，则（m+2）（n+2）的最小值是（　　）
A．7 B．11 C．12 D．16
【分析】由根与系数的关系可得出m+n＝2t、mn＝t2﹣2t+4，将其代入（m+2）（n+2）＝mn+2（m+n）+4中可得出（m+2）（n+2）＝（t+1）2+7，由方程有两个实数根结合根的判别式可求出t的取值范围，再根据二次函数的性质即可得出（m+2）（n+2）的最小值．
【解答】解：∵m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4＝0的两实数根，
∴m+n＝2t，mn＝t2﹣2t+4，
∴（m+2）（n+2）＝mn+2（m+n）+4＝t2+2t+8＝（t+1）2+7．
∵方程有两个实数根，
∴Δ＝（﹣2t）2﹣4（t2﹣2t+4）＝8t﹣16≥0，
∴t≥2，
∴（t+1）2+7≥（2+1）2+7＝16．
故选：D．
12．（3分）如图所示，矩形ABCD中，AB＝9，BC＝6，若矩形AEFG与矩形ABCD位似，位似比为，则C、F之间的距离为（　　）
A． B．2 C．3 D．12
【分析】连接AF、FC，根据位似变换的性质得到A、F、C在同一条直线上，根据勾股定理求出AC，根据位似比计算即可．
【解答】解：连接AF、FC，
∵矩形AEFG与矩形ABCD位似，
∴A、F、C在同一条直线上，EF∥BC，
∵AB＝9，BC＝6，
∴AC＝＝3，
∵矩形AEFG与矩形ABCD位似，位似比为，
∴CF＝AC＝，
故选：A．
二、填空题（每题3分，共24分）
13．（3分）计算：﹣tan45°＝　0　．
【分析】根据45°的三角函数值代入计算即可．
【解答】解：原式＝﹣1
＝1﹣1
＝0，
故答案为：0．
14．（3分）已知m是关于x的一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的一个根，则代数式m2﹣m＝　2　．
【分析】将x＝m代入原方程即可求m2+m的值．
【解答】解：将x＝m代入方程x2﹣x﹣2＝0，
得m2﹣m﹣2＝0，
即m2﹣m＝2，
故答案为：2．
15．（3分）如图，△ABC∽△DEF，∠A＝90°，AB＝9，AC＝DE＝6，则DF＝　4　．
【分析】利用相似三角形的对应边的比相等列式计算即可．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，
∴AB：DE＝AC：DF，
∵AB＝9，AC＝DE＝6，
∴9：6＝6：DF，
解得：x＝4，
故答案为：4．
16．（3分）如果等腰三角形的底角为30°，底边长为6cm，那么这个三角形的面积为 　　cm2．
【分析】作底边上的高．运用等腰三角形的性质及三角函数定义分别求三角形的高和底边长，代入公式计算求解．
【解答】解：如图，△ABC，AB＝AC，∠B＝∠C＝30°，BC＝cm，作底边BC上的高AD．
∴BD＝CD＝cm，
∴AD＝cm，
∴S△ABC＝BC AD＝．
故答案为．
17．（3分）如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为　　．
【分析】连接CE，求出CE⊥AB，根据勾股定理求出CA，在Rt△AEC中，根据锐角三角函数定义求出即可．
【解答】解：
连接CE，
∵根据图形可知DC＝1，AD＝3，AC＝＝，
BE＝CE＝＝，∠EBC＝∠ECB＝45°，
∴CE⊥AB，
∴sinA＝＝＝，
故答案为：．
18．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，M是边BC的中点，DE⊥AM，垂足为E，则DE＝　　．
【分析】先根据矩形的性质得到AD＝BC＝6，∠B＝90°，AD∥BC，再利用勾股定理计算出AM＝5，然后证明△ADE∽△MAB，从而利用相似比计算出DE的长．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC＝6，∠B＝90°，AD∥BC，
∴∠DAM＝∠AMB，
∵M是边BC的中点，
∴BM＝BC＝3，
在Rt△ABM中，AM＝＝＝5，
∵DE⊥AM，
∴∠AED＝90°，
∵∠DAE＝∠AMB，∠AED＝∠B，
∴△ADE∽△MAB，
∴＝，即＝，
∴DE＝．
故答案为．
19．（3分）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE＝0.4m，EF＝0.2cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，则树的高度为 　5.5　m．
【分析】利用Rt△DEF和Rt△BCD相似求得BC的长后加上边DF到地面的高度CA，即可求得树高AB．
【解答】解：∵∠DEF＝∠DCB＝90°，∠D＝∠D，
∴△DEF∽△DCB
∴＝，
∵DE＝0.4m，EF＝0.2m，CD＝8m，
∴＝，
∴CB＝4（m），
∴AB＝AC+BC＝1.5+4＝5.5（m）．
答：树高为5.5m，
故答案为：5.5．
20．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝16cm，AD为BC边上的高．动点P从点A出发，沿A→D方向以cm/s的速度向点D运动．设△ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，运动时间为t秒（0＜t＜8），则t＝　6　秒时，S1＝2S2．
【分析】利用三角形的面积公式以及矩形的面积公式，表示出S1和S2，然后根据S1＝2S2，即可列方程求解．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝16cm，AD为BC边上的高，
∴AD＝BD＝CD＝8cm，
又∵AP＝t，
则S1＝AP BD＝×8×t＝8t，PD＝8﹣t，
∵PE∥BC，
∴△APE∽△ADC，
∴，
∴PE＝AP＝t，
∴S2＝PD PE＝（8﹣t） t，
∵S1＝2S2，
∴8t＝2（8﹣t） t，
解得：t＝6．
故答案是：6．
三、解答题（本大题共计60分）
21．（8分）如图，在△ABC中，AB＞AC，边AB上取一点D，边AC上取一点E，使AD＝AE，直线DE和BC的延长线交于点P．求证：BP：CP＝BD：CE．
【分析】如图，过点B作BF∥AC交PD延长线于点F．则△PCE∽△PBF，所以该相似三角形的对应边成比例，即＝．根据平行线的性质，等腰三角形的性质以及对顶角的定义得
BF＝BD．则＝，故BP：CP＝BD：CE．
【解答】证明：如图，过点B作BF∥AC交PD延长线于点F．则△PCE∽△PBF，
∴＝．
∵BF∥AC，
∴∠1＝∠2．
又∵AD＝AE，
∴∠2＝∠4，
∠1＝∠3＝∠4，
∴BF＝BD．
∴＝，
∴BP：CP＝BD：CE．
22．（9分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2＝0．
（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；
（2）若方程两实数根分别为x1、x2，且满足x12+x22＝31+|x1x2|，求实数m的值．
【分析】（1）利用判别式的意义得到（2m+3）2﹣4（m2+2）≥0，然后解不等式即可；
（2）根据题意x1+x2＝2m+3，x1x2＝m2+2，由条件得x12+x22＝31+x1x2，再利用完全平方公式得（x1+x2）2﹣3x1x2﹣31＝0，所以2m+3）2﹣3（m2+2）﹣31＝0，然后解关于m的方程，最后利用m的范围确定满足条件的m的值．
【解答】解：（1）根据题意得（2m+3）2﹣4（m2+2）≥0，
解得m≥﹣；
（2）根据题意x1+x2＝2m+3，x1x2＝m2+2，
因为x1x2＝m2+2＞0，
所以x12+x22＝31+x1x2，
即（x1+x2）2﹣3x1x2﹣31＝0，
所以（2m+3）2﹣3（m2+2）﹣31＝0，
整理得m2+12m﹣28＝0，解得m1＝﹣14，m2＝2，
而m≥﹣；
所以m＝2．
23．（9分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，D为AC上一点，且tan∠DBA＝，求AD的长度．
【分析】过点D作DH⊥AB于点H，根据等腰直角三角形的性质，勾股定理以及锐角三角形函数的定义即可求出答案．
【解答】解：过点D作DH⊥AB于点H，
∵等腰三角形ABC，∠C＝90°，
∴∠A＝45°，
∴AH＝DH，
设AH＝x，
∴DH＝x，
∵tan∠DBA＝，
∴BH＝5x，
∴AB＝6x，
∵AC＝6，
∴由勾股定理可知：AB＝6，
∴x＝，
∴AH＝DH＝，
∴由勾股定理可知：AD＝2．
24．（10分）列方程解应用题：
某玩具厂生产一种玩具，按照控制固定成本降价促销的原则，使生产的玩具能够及时售出，据市场调查：每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若销售单价每降低1元，每天可多售出2个．已知每个玩具的固定成本为360元，问这种玩具的销售单价为多少元时，厂家每天可获利润20000元？
【分析】根据单件利润×销售量＝总利润，列方程求解即可．
【解答】解：设销售单价为x元，
由题意，得：（x﹣360）[160+2（480﹣x）]＝20000，
整理，得：x2﹣920x+211600＝0，
解得：x1＝x2＝460，
答：这种玩具的销售单价为460元时，厂家每天可获利润20000元．
25．（11分）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线EF交CB的延长线于点F，交AD于点E，交AC于点M．
（1）△ACF与△BAF相似吗？请说明理由；
（2）如果AF＝6，BD＝2，AC＝4，求DC和AM的长．
【分析】（1）首先证明∠DAF＝∠ADF，结合平分线的性质以及角角之间的数量关系得到∠BAF＝∠C，再根据∠AFB＝∠AFC即可判定△ACF与△BAF相似；
（2）连接DM，首先求出BF的长度，利用△ACF与△BAF相似，得到，结合题干数据求出CF的长度，进而求出CD的长度，由∠DAM＝∠ADM，∠BAD＝∠CAD，得到∠BAD＝∠ADM，进而得到DM∥BA，即，结合线段之间的数量关系即求出AM的长．
【解答】解：（1）△ACF∽△BAF．
∵EF垂直平分AD，
∴AF＝DF，
∴∠DAF＝∠ADF．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵∠DAF＝∠BAF+∠BAD，∠ADF＝∠C+∠CAD，
∴∠BAF＝∠C．
又∵∠AFB＝∠AFC，
∴△ACF∽△BAF．
（2）连接DM．
∵EF垂直平分AD，
∴DM＝AM，DF＝AF＝6．
∵BD＝2．
∴BF＝6﹣2＝4．
由（1）知，△ACF∽△BAF，
∴．
∴AF2＝BF CF，即36＝4CF．解得CF＝9．
∴CD＝CF﹣FD＝9﹣6＝3．
∵∠DAM＝∠ADM，∠BAD＝∠CAD，
∴∠BAD＝∠ADM．
∴DM∥BA．
∴．
∴．
∵BC＝DC+BD＝3+2＝5．
即．
∴AM＝．
26．（13分）如图，港口B位于港口O正西方向120海里处，小岛C位于港口O北偏西60°的方向．一艘科学考察船从港口O出发，沿北偏西30°的OA方向以20海里/小时的速度驶离港口O．同时一艘快艇从港口B出发，沿北偏东30°的方向以60海里/小时的速度驶向小岛C，在小岛C用1小时装补给物资后，立即按原来的速度给考察船送去．
（1）快艇从港口B到小岛C需要多少时间？
（2）快艇从小岛C出发后最少需要多少时间才能和考察船相遇？
【分析】（1）要求B到C的时间，已知其速度，则只要求得BC的路程，再利用路程公式即可求得所需的时间．
（2）过C作CH⊥OA，垂足为H．设快艇从C岛出发后最少要经过x小时才能和考察船在OA上的D处相遇，则CD＝60x，OD＝20（x+2）．根据直角三角形的性质可解得x的值，从而求得快艇从小岛C出发后和考察船相遇的最短的时间．
【解答】解：（1）由题意可知：∠CBO＝60°，∠COB＝30度．
∴∠BCO＝90度．
在Rt△BCO中，
∵OB＝120，
∴BC＝60，OC＝60．
∴快艇从港口B到小岛C的时间为：60÷60＝1（小时）．
（2）设快艇从C岛出发后最少要经过x小时才能和考察船在
OA上的D处相遇，则CD＝60x．
过点D作DE⊥CO于点E，
∵考察船与快艇是同时出发，
∵快艇从港口B到小岛C的时间是1小时，在小岛C用1小时装补给物资，
∴考察船从O到D行驶了（x+2）小时，
∴OD＝20（x+2）．
过C作CH⊥OA，垂足为H，
在△OHC中，
∵∠COH＝30°，OB＝120，
∴CO＝60，
∴CH＝30，OH＝90．
∴DH＝OH﹣OD＝90﹣20（x+2）＝50﹣20x．
在Rt△CHD中，CH2+DH2＝CD2，
∴+（50﹣20x）2＝（60x）2．
整理得：8x2+5x﹣13＝0．
解得：x1＝1，x2＝﹣．
∵x＞0，
∴x＝1．
答：快艇从小岛C出发后最少需要1小时才能和考察船相遇．