2021-2022学年安徽省六安市金安区汇文中学九年级（上）第一次月考数学试卷（Word版 含解析）

2021-2022学年安徽省六安市金安区汇文中学九年级（上）第一次月考数学试卷
一、单选题（每题4分，共计40分）
1．（4分）抛物线y＝2（x﹣1）2+6的顶点坐标是（　　）
A．（2，6） B．（1，6） C．（2，1） D．（﹣1，6）
2．（4分）校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为10cm，那么AP的长度为（　　）cm．
A．﹣1 B．2﹣2 C．5﹣5 D．10﹣10
3．（4分）将抛物线y＝x2﹣4x+8向上平移1个单位长度，再向左平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是（　　）
A．y＝（x+1）2+5 B．y＝（x+1）2+3 C．y＝（x﹣5）2+5 D．y＝（x﹣5）2+3
4．（4分）若点A（﹣5，y1），B（1，y2），C（5，y3）都在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y2
5．（4分）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F，AC与DF相交于点H，如果AB＝5，BH＝1，CH＝2，那么的值等于（　　）
A． B． C． D．
6．（4分）抛物线y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，要使y＞0，则x的取值范围是（　　）
A．﹣4＜x＜1 B．﹣3＜x＜1 C．x＜﹣4或x＞1 D．x＜﹣3或x＞1
7．（4分）关于二次函数y＝2x2+x﹣1，下列说法正确的是（　　）
A．图象与y轴的交点坐标为（0，1）
B．图象的对称轴在y轴的右侧
C．当x＜0时，y的值随x值的增大而减小
D．y的最小值为﹣
8．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，则图中相似三角形共有（　　）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
9．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则反比例函数与一次函数y＝bx﹣c在同一坐标系内的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
10．（4分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线AB运动，同时动点N从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线AD→DC→CB运动，当点N运动到点B时，点M，N同时停止运动．设△AMN的面积为y，运动时间为x（s），则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（每题5分，共计20分）
11．（5分）如图，已知在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，AE＝2CE，AB＝6，BC＝9，那么四边形BDEF的周长是 　 　．
12．（5分）如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴上任意一点，BC∥x轴，分别交y＝﹣（x＜0），y＝（x＞0）的图像于B，C两点，若△ABC的面积是2，则k的值为 　 　．
13．（5分）在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D＝105°，AC＝4cm，AB＝6cm，DE＝3cm，则DF＝　 　时，△ABC与△DEF相似．
14．（5分）在直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），若抛物线y＝x2﹣2x+n﹣1与线段OA有且只有一个公共点，则n的取值范围为　 　．
三、解答题
15．（8分）已知线段a，b，c，且．
（1）求的值．
（2）若线段a+b+c＝45，求a﹣b+c的值．
16．（8分）已知函数y＝y1+y2，y1与x成正比例，y2与x成反比例，且当x＝1时，y＝4；当x＝2时，y＝5．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当x＝4时，求y的值．
17．（8分）如图，已知反比例函数y1＝的图象与一次函数y2＝x+b的图象交于点A（1，4），点B（﹣4，n）．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求△OAB的面积；
（3）直接写出y2＞y1时自变量x的取值范围．
18．（8分）已知：如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，点D是BC边上的一个动点（不与B，C点重合），∠ADE＝45°．求证：△ABD∽△DCE．
19．（10分）如图，点P（x，y1）与Q（x，y2）分别是两个函数图象C1与C2上的任一点．当a≤x≤b时，有﹣1≤y1﹣y2≤1成立，则称这两个函数在a≤x≤b上是“相邻函数”，否则称它们在a≤x≤b上是“非相邻函数”．例如，点P（x，y1）与Q　（x，y2）分别是两个函数y＝3x+1与y＝2x﹣1图象上的任一点，当﹣3≤x≤﹣1时，y1﹣y2＝（3x+1）﹣（2x﹣1）＝x+2，通过构造函数y＝x+2并研究它在﹣3≤x≤﹣1上的性质，得到该函数值的范围是﹣1≤y≤1，所以﹣1≤y1﹣y2≤1成立，因此这两个函数在﹣3≤x≤﹣1上是“相邻函数”．
（1）判断函数y＝3x+1与y＝2x+2在0≤x≤2上是否为“相邻函数”，并说明理由；
（2）若函数y＝x2﹣x与y＝x a在0≤x≤2上是“相邻函数”，求a的取值范围．
20．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）的对称轴为直线x＝1，且抛物线经过点A（﹣1，0），它与x轴的另一交点为B，与y轴的交点为C．
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；
（2）在直线x＝1上求点M，使△AMC的周长最小，并求△AMC的周长．
21．（12分）某社区决定把一块长50m，宽30m的矩形空地建成居民健身广场，设计方案如图，阴影区域为绿化区（四块绿化区为大小、形状都相同的矩形），空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，其宽度不小于14m，不大于26m，设绿化区较长边为xm，活动区的面积为ym2．为了想知道出口宽度的取值范围，小明同学根据出口宽度不小于14m，算出x≤18．
（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；
（2）求活动区的最大面积；
（3）预计活动区造价为50元/m2，绿化区造价为40元/m2，若社区的此项建造投资费用不得超过72000元，求投资费用最少时活动区的出口宽度？
22．（12分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜4），连接DE，当t为何值时，以B、E、D为顶点的三角形与△ABC相似？
23．（14分）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图像与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于C．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）二次函数位于x轴上方的图像上是否存在点P，使得S△BOP＝3S△AOC？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，点D为线段BC上的一个动点，过点D作DE∥y轴，交二次函数的图像于点E，求线段DE长度的最大值．
2021-2022学年安徽省六安市金安区汇文中学九年级（上）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（每题4分，共计40分）
1．（4分）抛物线y＝2（x﹣1）2+6的顶点坐标是（　　）
A．（2，6） B．（1，6） C．（2，1） D．（﹣1，6）
【分析】根据y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），可得答案．
【解答】解：∵抛物线为y＝2（x﹣1）2+6，
∴顶点坐标（1，6）．
故选：B．
2．（4分）校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为10cm，那么AP的长度为（　　）cm．
A．﹣1 B．2﹣2 C．5﹣5 D．10﹣10
【分析】直接利用黄金分割的定义计算出AP的长即可．
【解答】解：∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB），AB＝10cm，
∴AP＝AB＝×10＝5﹣5（cm），
故选：C．
3．（4分）将抛物线y＝x2﹣4x+8向上平移1个单位长度，再向左平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是（　　）
A．y＝（x+1）2+5 B．y＝（x+1）2+3 C．y＝（x﹣5）2+5 D．y＝（x﹣5）2+3
【分析】根据“上加下减，左加右减”的法则解答．
【解答】解：将抛物线y＝x2﹣4x+8＝（x﹣2）2+4向上平移1个单位长度，再向左平移3个单位长度后所得新抛物线的表达式为y＝（x﹣2+3）2+4+1，
即y＝（x+1）2+5．
故选：A．
4．（4分）若点A（﹣5，y1），B（1，y2），C（5，y3）都在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y2
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限及其增减性，再由各点横坐标的值即可得出结论．
【解答】解：∵反比例函数y＝﹣中，k＝﹣5＜0，
∴函数图象的两个分支分别位于二四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大．
∵﹣5＜0，0＜1＜5，
∴点A（﹣5，y1）在第二象限，点B（1，y2），C（5，y3）在第四象限，
∴y2＜y3＜y1．
故选：B．
5．（4分）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F，AC与DF相交于点H，如果AB＝5，BH＝1，CH＝2，那么的值等于（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据平行线分线段成比例，可以解答本题．
【解答】解：∵直线l1∥l2∥l3，
∴＝，
∵AB＝5，BH＝1，CH＝2，
∴BC＝BH+CH＝3，
∴＝，
∴＝．
故选：D．
6．（4分）抛物线y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，要使y＞0，则x的取值范围是（　　）
A．﹣4＜x＜1 B．﹣3＜x＜1 C．x＜﹣4或x＞1 D．x＜﹣3或x＞1
【分析】根据抛物线的对称性可知，图象与x轴的另一个交点是﹣3，y＞0反映到图象上是指x轴上方的部分，对应的x值即为x的取值范围．
【解答】解：∵抛物线与x轴的一个交点是（1，0），对称轴是直线x＝﹣1，
根据抛物线的对称性可知，抛物线与x轴的另一交点是（﹣3，0），
又图象开口向下，
∴当﹣3＜x＜1时，y＞0．
故选：B．
7．（4分）关于二次函数y＝2x2+x﹣1，下列说法正确的是（　　）
A．图象与y轴的交点坐标为（0，1）
B．图象的对称轴在y轴的右侧
C．当x＜0时，y的值随x值的增大而减小
D．y的最小值为﹣
【分析】根据二次函数的性质和二次函数的最值即可求解．
【解答】解：A．图象与y轴的交点坐标为（0，﹣1），故A选项不符合题意；
B．图象的对称轴是直线x＝在y轴的左侧，故B选项不符合题意；
C．当x时，y的值随x值的增大而减小，当x时，y的值随x值的增大而增大，故C选项不符合题意；
D．∵y＝2x2+x﹣1＝2（x+）2﹣，
∴当x＝﹣时，y取最小值，y的最小值为﹣，故D选项符合题意；
故选：D．
8．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，则图中相似三角形共有（　　）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【分析】利用直角三角形的性质和相似三角形的判定方法，可得结论．
【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ADC＝∠BAC，
又∵∠B＝∠B，
∴△BAD∽△BCA，
∵∠ADC＝∠BAC，∠C＝∠C，
∴△CAD∽△CBA，
∴△BAD∽△ACD，
∴共有3对，
故选：C．
9．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则反比例函数与一次函数y＝bx﹣c在同一坐标系内的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据二次函数的图象找出a、b、c的正负，再结合反比例函数、一次函数系数与图象的关系即可得出结论．
【解答】解：观察二次函数图象可知：
开口向上，a＞0；对称轴大于0，﹣＞0，b＜0；二次函数图象与y轴交点在y轴的正半轴，c＞0．
∵反比例函数中k＝﹣a＜0，
∴反比例函数图象在第二、四象限内；
∵一次函数y＝bx﹣c中，b＜0，﹣c＜0，
∴一次函数图象经过第二、三、四象限．
故选：C．
10．（4分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线AB运动，同时动点N从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线AD→DC→CB运动，当点N运动到点B时，点M，N同时停止运动．设△AMN的面积为y，运动时间为x（s），则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据点N的运动情况，分点N在AD，DC，CB上三种情况讨论，分别写出每种情况y和x之间的函数关系式，即可确定图象．
【解答】解：当点N在AD上时，即0＜x＜2
∵AM＝x，AN＝2x，
∴，
此时二次项系数大于0，
∴该部分函数图象开口向上，
当点N在DC上时，即2≤x＜4，
此时底边AM＝x，高AD＝4，
∴y＝＝2x，
∴该部分图象为直线段，
当点N在CB上时，即4≤x＜6时，
此时底边AM＝x，高BN＝12﹣2x，
∴y＝，
∵﹣1＜0，
∴该部分函数图象开口向下，
故选：B．
二、填空题（每题5分，共计20分）
11．（5分）如图，已知在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，AE＝2CE，AB＝6，BC＝9，那么四边形BDEF的周长是 　16　．
【分析】由平行线分线段成比例得出比例式，然后证明四边形BDEF是平行四边形，得出对应边相等，即可得出结果．
【解答】解：∵AE＝2CE，
∴，
∵EF∥AB
∴，
∵BC＝9，
∴BF＝6，
∵DE∥BC
∴，
∵AB＝6，
∴BD＝2；
∵EF∥AB，DE∥BC
∴四边形BDEF是平行四边形，
∴BD＝EF＝2，DE＝BF＝6，
∴四边形BDEF的周长2（2+6）＝16，
故答案为：16．
12．（5分）如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴上任意一点，BC∥x轴，分别交y＝﹣（x＜0），y＝（x＞0）的图像于B，C两点，若△ABC的面积是2，则k的值为 　3　．
【分析】连接OC、OB，如图，由于BC∥x轴，根据三角形面积公式得到S△ACB＝S△OCB，再利用反比例函数系数k的几何意义得到 |﹣1|+ |k|＝2，然后解关于k的绝对值方程可得到满足条件的k的值．
【解答】解：连接OC、OB，如图，
∵BC∥x轴，
∴S△ACB＝S△OCB，
而S△OCB＝ |﹣1|+ |k|，
∴ |﹣1|+ |k|＝2，
而k＞0，
∴k＝3．
故答案为：3．
13．（5分）在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D＝105°，AC＝4cm，AB＝6cm，DE＝3cm，则DF＝　2cm或4.5cm　时，△ABC与△DEF相似．
【分析】由于两相似三角形的对应边不能确定，故应分△ABC∽△DEF与△ABC∽△DFE两种情况进行讨论．
【解答】解：∵∠A＝∠D，AB＝6cm，AC＝4cm，DE＝3cm，
∴当△ABC∽△DEF时，＝，即＝，
解得：DF＝2；
当△ABC∽△DFE时，＝，
即＝，
解得：DF＝4.5．
综上所述，当DF＝2cm或4.5cm时，△ABC和△DEF相似．
故答案为：2cm或4.5cm．
14．（5分）在直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），若抛物线y＝x2﹣2x+n﹣1与线段OA有且只有一个公共点，则n的取值范围为　﹣2≤n＜1或n＝2　．
【分析】根据题意可以将函数解析式化为顶点式，由抛物线y＝x2﹣2x+n﹣1与线段OA有且只有一个公共点，可以得到顶点的纵坐标为0或当x＝0时y＜0且当x＝3时，y不小于0，从而可以求得x的取值范围．
【解答】解：∵点A的坐标为（3，0），抛物线y＝x2﹣2x+n﹣1＝（x﹣1）2+n﹣2与线段OA有且只有一个公共点，
∴n﹣2＝0或，
解得，﹣2≤n＜1或n＝2，
故答案为：﹣2≤n＜1或n＝2．
三、解答题
15．（8分）已知线段a，b，c，且．
（1）求的值．
（2）若线段a+b+c＝45，求a﹣b+c的值．
【分析】（1）根据比例的性质得出，即可得出的值；
（2）首先设，则a＝4k，b＝5k，c＝6k，利用a+b+c＝45求出k的值即可得出答案．
【解答】解：，
∴，
∴；
（ 2 ） 设，则a＝4k，b＝5k，c＝6k，
∵a+b+c＝45，
∴4k+5k+6k＝45，
∴k＝3，
∴a＝12，b＝15，c＝18，
∴a﹣b+c＝12﹣15+18＝15．
16．（8分）已知函数y＝y1+y2，y1与x成正比例，y2与x成反比例，且当x＝1时，y＝4；当x＝2时，y＝5．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当x＝4时，求y的值．
【分析】首先根据正比例与反比例函数的定义分别设出函数解析式，用待定系数法求出y与x的函数关系式，然后再代入求值．
【解答】解：设y1＝k1x，y2＝，则y＝k1x+；
将x＝1，y＝4；x＝2，y＝5分别代入得：，
解得：k1＝2，k2＝2；
则y与x的函数关系式：y＝2x+；
（2）把x＝4代入y＝2x+，
得：y＝2×4+＝8．
17．（8分）如图，已知反比例函数y1＝的图象与一次函数y2＝x+b的图象交于点A（1，4），点B（﹣4，n）．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求△OAB的面积；
（3）直接写出y2＞y1时自变量x的取值范围．
【分析】（1）把点A坐标代入反比例函数求出m的值，也就求出了反比例函数解析式，再把点B的坐标代入反比例函数解析式求出n的值，得到点B的坐标，然后利用待定系数法即可求出一次函数解析式；
（2）先求出直线与x轴的交点坐标，从而x轴把△AOB分成两个三角形，结合点A、B的纵坐标分别求出两个三角形的面积，相加即可；
（3）根据函数的图象求得即可．
【解答】解：（1）点A（1，4）在反比例函数y1＝的图象上，
∴k＝1×4＝4，
∴反比例函数的表达式为y1＝，
∵点B（﹣4，n）也在反比例函数y1＝的图象上，
∴n＝＝﹣1，
即B（﹣4，﹣1），
把点A（1，4），点B（﹣4，﹣1）代入一次函数y2＝kx+b中，，解得，
∴一次函数的表达式为y2＝x+3；
故反比例函数解析式为y1＝，一次函数得到解析式为y2＝x+3；
（2）设直线与x轴的交点为C，
在y2＝x+3中，当y＝0时，得x＝﹣3，
∴直线y2＝x+3与x轴的交点为C（﹣3，0），
∵线段OC将△AOB分成△AOC和△BOC，
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×3×4+×3×1＝7.5；
（3）从图象看，当﹣4＜x＜0或x＞1时，y2＞y1．
18．（8分）已知：如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，点D是BC边上的一个动点（不与B，C点重合），∠ADE＝45°．求证：△ABD∽△DCE．
【分析】先判断△ABC为等腰直角三角形得到∠B＝∠C＝45°，再利用三角形内角和得到∠1+∠2＝135°，利用平角定义得到∠2++∠3＝135°，则∠1＝∠3，于是可根据有两组角对应相等的两个三角形相似得到结论．
【解答】证明：∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠B＝∠C＝45°，
∴∠1+∠2＝180°﹣∠B＝135°，
∵∠ADE＝45°，
∴∠2+∠3＝135°，
∴∠1＝∠3，
∵∠B＝∠C，
∴△ABD∽△DCE．
19．（10分）如图，点P（x，y1）与Q（x，y2）分别是两个函数图象C1与C2上的任一点．当a≤x≤b时，有﹣1≤y1﹣y2≤1成立，则称这两个函数在a≤x≤b上是“相邻函数”，否则称它们在a≤x≤b上是“非相邻函数”．例如，点P（x，y1）与Q　（x，y2）分别是两个函数y＝3x+1与y＝2x﹣1图象上的任一点，当﹣3≤x≤﹣1时，y1﹣y2＝（3x+1）﹣（2x﹣1）＝x+2，通过构造函数y＝x+2并研究它在﹣3≤x≤﹣1上的性质，得到该函数值的范围是﹣1≤y≤1，所以﹣1≤y1﹣y2≤1成立，因此这两个函数在﹣3≤x≤﹣1上是“相邻函数”．
（1）判断函数y＝3x+1与y＝2x+2在0≤x≤2上是否为“相邻函数”，并说明理由；
（2）若函数y＝x2﹣x与y＝x a在0≤x≤2上是“相邻函数”，求a的取值范围．
【分析】（1）通过构建函数y＝x﹣1，根据一次函数的性质可得出该函数在0≤x≤2上单调递增，分别代入x＝0、x＝2即可得出y的取值范围，由此即可得出结论；
（2）由函数y＝x2﹣x与y＝x a在0≤x≤2上是“相邻函数”，构造函数y＝x2﹣（a+1）x，根据抛物线的位置不同，令其最大值≤1、最小值≥﹣1，解关于a的不等式组即可得出结论．
【解答】解：（1）函数y＝3x+1与y＝2x+2在0≤x≤2上是“相邻函数”，理由如下：
点P（x，y1）与Q　（x，y2）分别是两个函数y＝3x+1与y＝2x+2图象上的任一点，
当0≤x≤2时，y1﹣y2＝（3x+1）﹣（2x+2）＝x﹣1，
通过构造函数y＝x﹣1并研究它在0≤x≤2上的性质，得到该函数值的范围是﹣1≤y≤1，
所以﹣1≤y1﹣y2≤1成立，
因此这两个函数在0≤x≤2上是“相邻函数”．
（2）∵函数y＝x2﹣x与y＝x a在0≤x≤2上是“相邻函数”，
∴构造函数y＝x2﹣（a+1）x，在0≤x≤2上﹣1≤y≤1．
根据抛物线y＝x2﹣（a+1）x对称轴的位置不同，来考虑：
①当≤0，即a≤﹣1时（图1），
，解得：a≥，
∴此时无解；
②当0＜≤1，即﹣1＜a≤1时（图2），
，解得：≤a≤1，
∴≤a≤1；
③当1＜≤2，即1＜a≤3时（图3），
，解得：﹣3≤a≤1，
∴此时无解；
④当2＜，即a＞3时（图4），
，解得：a≤，
∴此时无解．
综上可知：若函数y＝x2﹣x与y＝x a在0≤x≤2上是“相邻函数”，则a的取值范围为≤a≤1．
20．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）的对称轴为直线x＝1，且抛物线经过点A（﹣1，0），它与x轴的另一交点为B，与y轴的交点为C．
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；
（2）在直线x＝1上求点M，使△AMC的周长最小，并求△AMC的周长．
【分析】（1）由抛物线的对称轴求出B（3，0），将A，B两点的坐标代入抛物线的解析式可得出关于a，b的方程组，解方程组可得出答案．
（2）直线BC与对称轴直线x＝1的交点即为所求使△PAC的周长最小的点M的坐标．
【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），
∴点A关于直线x＝1的对称点是点B（3，0），
∴，
解得，
∴抛物线所对应的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3与y轴的交点为C．
∴C（0，﹣3）
连接BC，交对称轴于点M，则此时△AMC周长最小，
设直线BC的关系式为：y＝mx+n，
把B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝mx+n得，
，
解得．
∴直线BC的关系式为y＝x﹣3，
当x＝1时，y＝1﹣3＝﹣2，
∴M点坐标为（1，﹣2）；
∵BC＝＝＝3，AC＝＝，
∴△AMC的周长＝3+；
21．（12分）某社区决定把一块长50m，宽30m的矩形空地建成居民健身广场，设计方案如图，阴影区域为绿化区（四块绿化区为大小、形状都相同的矩形），空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，其宽度不小于14m，不大于26m，设绿化区较长边为xm，活动区的面积为ym2．为了想知道出口宽度的取值范围，小明同学根据出口宽度不小于14m，算出x≤18．
（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；
（2）求活动区的最大面积；
（3）预计活动区造价为50元/m2，绿化区造价为40元/m2，若社区的此项建造投资费用不得超过72000元，求投资费用最少时活动区的出口宽度？
【分析】（1）根据“活动区的面积＝矩形空地面积﹣阴影区域面积”列出函数解析式便可，图形可得结论；
（2）根据题意可得y与x的关系式；
（3）根据二次函数的增减性及解一元二次方程可得结论；
【解答】解：（1）根据题意，绿化区的宽为：[30﹣（50﹣2x）]÷2＝x﹣10
∴y＝50×30﹣4x（x﹣10）＝﹣4x2+40x+1500，
∵4个出口宽度相同，其宽度不小于14m，不大于26m，
∴12≤x≤18，
∴y＝﹣4x2+40x+1500（12≤x≤18）；
（2）y＝﹣4x2+40x+1500＝﹣4（x﹣5）2+1600，
∵a＝﹣4＜0，抛物线的开口向下，当12≤x≤18时，y随x的增大而减小，
∴当x＝12时，y最大＝1404，
答：活动区的最大面积为1404m2．
（3）设投资费用为w元，
由题意得，w＝50（﹣4x2+40x+1500）+40×4x（x﹣10）＝﹣40（x﹣5）2+76000，
∴当w＝72000时，解得：x1＝﹣5（不符合题意舍去），x2＝15，
∵a＝﹣40＜0，
∴当x≥15时，w≤72000，
又∵12≤x≤18，
∴15≤x≤18，
∴当x＝18时，投资费用最少，此时出口宽度为50﹣2x＝50﹣2×18＝14（m），
答：投资最少时活动区的出口宽度为14m．
22．（12分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜4），连接DE，当t为何值时，以B、E、D为顶点的三角形与△ABC相似？
【分析】求出AB＝2BC＝4cm，分两种情况：①当∠EDB＝∠ACB＝90°时，DE∥AC，△EBD∽△ABC，得出AE＝BE＝AB＝2cm，即可得出t＝2s；②当∠DEB＝∠ACB＝90°时，证出△DBE∽△ABC，得出∠BDE＝∠A＝30°，因此BE＝BD＝cm，得出AE＝3.5cm，t＝3.5s；即可得出结果．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠A＝30°，
∴AB＝2BC＝4cm，
分两种情况：
①当∠EDB＝∠ACB＝90°时，
DE∥AC，△EBD∽△ABC，
∵D为BC的中点，
∴BD＝CD＝BC＝1cm，E为AB的中点，AE＝BE＝AB＝2cm，
∴t＝2s；
②当∠DEB＝∠ACB＝90°时，
∵∠B＝∠B，
∴△DBE∽△ABC，
∴∠BDE＝∠A＝30°，
∴BE＝BD＝cm，
∴AE＝3.5cm，
∴t＝3.5s；
综上所述：当以B、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，t的值为2或3.5；
23．（14分）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图像与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于C．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）二次函数位于x轴上方的图像上是否存在点P，使得S△BOP＝3S△AOC？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，点D为线段BC上的一个动点，过点D作DE∥y轴，交二次函数的图像于点E，求线段DE长度的最大值．
【分析】（1）将点A和点B的坐标代入函数解析式得到关于b和c的方程组，然后求得b和c的大小，最后得到解析式；
（2）先求出点C的坐标，结合点A求得△AOC的面积，然后通过△BOP和△AOC的面积关系求得△BOP的高，也就是点P的纵坐标，最后求出点P的坐标；
（3）先由点B和点C求出直线BC的解析式，然后设点D的坐标，从而得到点E的坐标，再表示出线段DE的长度，最后结合函数的性质求得DE的最大长度．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c得，
，解得：，
∴二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）当x＝0时，y＝3，
∴C（0，3），
∴OC＝3，
∵A（﹣1，0），B（3，0），
∴OA＝1，OB＝3，
∴S△AOC＝OA OC＝×3×1＝，
∵S△BOP＝OB |yP|＝×3×|yP|，S△BOP＝3S△AOC，
∴×3×|yP|＝3×，
∴|yP|＝3，
∵点P在x轴上方，
∴yP＝3，
∴﹣x2+2x+3＝3，
解得：x＝0（舍）或x＝2，
∴点P的坐标为（2，3）．
（3）设直线BC的解析式为y＝kx+b，则
，解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
设点D（x，﹣x+3），则E（x，﹣x2+2x+3），
∵点D在线段BC上，
∴点E在点D的上方，
∴DE＝﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣）2+，
∴当x＝时，DE最大值＝．