2.2基本不等式求最值练习题——2021-2022学年高一数学上学期人教A版（2019）必修第一册（含答案）

利用均值不等式求最值练习题
1．（2020春 嘉兴期末）已知a＞1，b＞0，且a+2b＝4，则ab的最大值为　 　；的最小值为　 　．
2．（2020春 宁波期末）已知x＞0，y＞0，且x+2y＝1，则的最小值为　 　；的最大值为　 　．
3．（2020 浙江模拟）设正数a，b满足，，则+的最大值是　 　．
4．（2020春 锡山区校级期中）已知实数x，y满足：xy﹣y＝1，且0＜x＜1．则的取值范围是　 　．
5．（2020 西湖区校级模拟）已知实数x，y满足2x＞y＞0，且，则x+y的最小值为　　．
6．（2020 徐州模拟）已知x，y∈R，且x＞1，若（x﹣1）（y﹣2）＝1，则xy+6x+y+6的最小值为　 　．
7．（2020 江苏模拟）已知正实数a，b满足a+2b＝2，则（a+）（b+）的最小值为　 　．
8．（2020 河东区校级模拟）已知实数若x、y满足x＞y≥0，则的最小值是　 　．
9．（2020 徐汇区校级模拟）已知x、y都是正数，则的最小值为　 　．
10．（2020春 台州期中）若实数a，b∈R且b≠0，则的最小值为　 　．
11．（2016秋 盐都区校级期中）已知x，y为正实数，则+的最小值为　 　．
12．（2015 南京三模）已知x，y为正实数，则+的最大值为　 　．
13．（2020 鹿城区校级模拟）已知a＞0，b＞﹣1，且a+b＝1，则最小值为　 　．
14．（2020 滨海新区模拟）设b＞0，a﹣b2＝1，则+的最小值为　 　．
15．（2020春 武侯区校级期中）已知正数x，y满足x+y＝2，若恒成立，则实数a的取值范围是　 　．
16．（2020 浙江模拟）若2a+3b＝12（a b≥0），则的最小值为　1　；最大值为　　．
17．（2020春 丽水期中）已知实数x，y，z满足x2+y2+z2＝1，则xy﹣3yz的取值范围为　 ．
18．（2019秋 浦东新区校级期末）设a、b、c是三个正实数，且，则的最大值为　 　．
19．（2020 德阳模拟）已知x，y为正实数，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．3
20．（2019秋 山东月考）已知x，y为正实数，且满足x2+4y2+xy＝5，则x+2y的最大值是（　　）
A． B．2 C． D．2
利用均值不等式求最值练习题解析版
1．（2020春 嘉兴期末）已知a＞1，b＞0，且a+2b＝4，则ab的最大值为　2　；的最小值为　3　．
解：因为a＞1，b＞0，且a+2b＝4，则ab＝（a 2b）＝2，
当且仅当a＝2b＝2即a＝2，b＝1时取等号，
＝（+）（a﹣1+2b）×＝（5++）＝3，
当且仅当且a+2b＝4即a＝2，b＝1时取等号．故答案为：2，3
2．（2020春 宁波期末）已知x＞0，y＞0，且x+2y＝1，则的最小值为　3　；的最大值为　　．
解：∵x＞0，y＞0，且x+2y＝1，则＝（）（x+2y）＝3+，
当且仅当且x+2y＝1即y＝，x＝1+时取等号，
＝＝，故答案为：3+2，
3．（2020 浙江模拟）设正数a，b满足，，则+的最大值是　18　．
解：因为16＝（a+3b）+（）≥2＝2
所以+≤18，当且仅当a+3b＝＝8时取等号．故答案为：18．
4．（2020春 锡山区校级期中）已知实数x，y满足：xy﹣y＝1，且0＜x＜1．则的取值范围是　（1，+∞）　．
解：由xy﹣y＝1可知，x＝，所以＝＝1+（）（﹣1﹣y+y﹣2）（﹣）
＝1+（﹣）（1+1+），
由0＜x＜1，可得y＜﹣1，所以令t＝＜﹣1，所以＜﹣2，所以1+（﹣）（1+1+）＞1，
即的取值范围为（1，+∞），故答案为：（1，+∞）．
5．（2020 西湖区校级模拟）已知实数x，y满足2x＞y＞0，且，则x+y的最小值为　　．
解：设x+y＝m（2x﹣y）+n（x+2y），可得，解得；所以x+y＝＝[]（）＝≥，当且仅当x＝，y＝时等号成立；故答案为：．
6．（2020 徐州模拟）已知x，y∈R，且x＞1，若（x﹣1）（y﹣2）＝1，则xy+6x+y+6的最小值为　25　．
解：∵x＞1，（x﹣1）（y﹣2）＝1，∴y＞2．则xy+6x+y+6＝（x﹣1）（y﹣2）+8（x﹣1）+2（y﹣2）+16
≥2+17＝25，当且仅当8（x﹣1）＝2（y﹣2），x＝，y＝4．
∴xy+6x+y+6的最小值为25．故答案为：25．
7．（2020 江苏模拟）已知正实数a，b满足a+2b＝2，则（a+）（b+）的最小值为　　．
解：∵正实数a，b满足a+2b＝2，∴2＝a+2b≥2，可得，
则（a+）（b+）＝＝，
令ab＝t，t∈（0，]．即有ab+，又函数f（t）＝t+﹣4在（0，）单调递减，
∴f（t）．故答案为：．
8．（2020 河东区校级模拟）已知实数若x、y满足x＞y≥0，则的最小值是　5　．
解：∵+＝+，设t＝，（0≤t＜1），
则原式＝+＝2++﹣1＝1+（+）[（1+t）+（1﹣t）]＝1+1+++1≥3+2＝5，∵＞0，∴当且仅当＝，即t＝0时，+有最小值5，即的最小值是5，故答案为：5．
9．（2020 徐汇区校级模拟）已知x、y都是正数，则的最小值为　　．
解：令x+y＝t，那么＝＝
当且仅当3x＝y＝时取等号；所以的最小值为．
10．（2020春 台州期中）若实数a，b∈R且b≠0，则的最小值为　2　．
解：因为表示点A（a，a）与点B（b，﹣）距离的平方，
点A（a，a）在直线y＝x上，点B（b，﹣）在曲线y＝﹣上，
因此的最小值等价于直线y＝x与曲线y＝﹣之间的距离的平方的最小值，
设与直线y＝x平行的直线与曲线y＝﹣相切于点P（x0，y0），
y′＝，所以＝1，解得x0＝1或x0＝﹣1，所以P（1，﹣1）或（1，﹣1）
所以点P到直线y＝x的距离d＝＝，所以的最小值为＝2．
故答案为：2．
11．（2016秋 盐都区校级期中）已知x，y为正实数，则+的最小值为　　．
解：∵x、y为正实数，则+＝+，
令＝t＞0，∴+＝+t＝+﹣≥﹣＝，
当且仅当t＝时取等号．∴+的最小值为．
12．（2015 南京三模）已知x，y为正实数，则+的最大值为　　．
解：∵x，y为正实数，∴+＝+，令＝t＞0，则+＝+，
令f（t）＝+＝1+＝1+≤1+＝，
（当且仅当t＝，即t＝2时，等号成立）；故答案为：．
13．（2020 鹿城区校级模拟）已知a＞0，b＞﹣1，且a+b＝1，则最小值为　　．
解：已知a＞0，b＞﹣1，且a+b＝1，∴b＝1﹣a＞﹣1，∴2﹣a＞0．
则＝a++＝+．
令f（a）＝+＝ [a+（2﹣a）] （+）＝ （3+++1）
＝ （4++3 ）≥（4+2）＝＝2+，
即 ≥2+，当且仅当 ＝3 时，取等号，故 最小值为2+，
故答案为：2+．
14．（2020 滨海新区模拟）设b＞0，a﹣b2＝1，则+的最小值为　1　．
解：设b＞0，a﹣b2＝1，则a＝1+b2，所以a2＝（1+b2）2
所以，则＝＝，
由于b＞0，所以，（当且仅当b＝1时，等号成立）
当b＝1时，，故，所以+的最小值为2×．
15．（2020春 武侯区校级期中）已知正数x，y满足x+y＝2，若恒成立，则实数a的取值范围是　（﹣　．
解：已知正数x，y满足x+y＝2，所以（x+1）+（y+2）＝5，所以
则：＝，
＝，
＝+，
＝，
＝（）（）﹣1，
＝
＝，
要使恒成立，只需满足即可，故．故答案为：（﹣．
16．（2020 浙江模拟）若2a+3b＝12（a b≥0），则的最小值为　1　；最大值为　　．
解：若2a+3b＝12（a b≥0），则a≥0，b≥0，有基本不等式12＝2a+3b≥2，（当且仅当a＝3，b＝2时“＝”成立），得0≤ab≤6，又由（2a+3b）2＝122，得4a2+9b2＝144﹣12ab，
令y＝，
则y＝＝＝，
令t＝18﹣ab，则，12≤18﹣ab≤18，
y＝，（12≤t≤18），则y′＝，令y′＝0，得t＝12或t＝﹣12（舍去），
∴当t∈[12，12）时，y′＞0，当t∈（12，18]，y′＜0
∴函数y＝，在区间当[12，12）上单调递增，在区间当（12，18]上单调递减，
∴当t＝12时，y有最大值，最大值是：，
又因为，当t＝12时，y＝1，当t＝18时，y＝，∵1＜，所以，y的最小值为：1
故答案为：1；．
17．（2020春 丽水期中）已知实数x，y，z满足x2+y2+z2＝1，则xy﹣3yz的取值范围为　[﹣，]　．
【分析】可得10x2+9y2+（y2+10z2）＝10，结合10x2+9y2+（y2+10z2）．及柯西不等式（10x2+9y2）（y2+10z2）≥（，即可求解．
解：由x2+y2+z2＝1得10x2+9y2+（y2+10z2）＝10．
∵10x2+9y2+（y2+10z2）．
又由柯西不等式得（10x2+9y2）（y2+10z2）≥（
∴10≥2|xy﹣3yz|．∴﹣≤xy﹣3yz，故答案为：[﹣，]
18．（2019秋 浦东新区校级期末）设a、b、c是三个正实数，且，则的最大值为　3　．
【分析】由题意可求出c的表达式，根据c＞0，把原式转化为关于的解析式，
设＝x，构造函数，利用基本不等式求出函数的最小值，从而求出答案．
解：∵a+b+2c＝，∴a2+ab+2ac＝bc，∴c＝，∵c＞0，∴b﹣2a＞0，
解法一：设b﹣2a＝t，则t＞0，b＝t+2a；
∴＝＝≤＝＝3，
当且仅当t＝a时成立；∴的最大值为3．
解法二：由b﹣2a＞0，得＞2，∴＝＝＝；
设＝x，则x＞2，
所以f（x）＝3x+＝3x++1＝3（x﹣2）++7≥2+7＝6+7＝13，
当且仅当x＝3时取等号，∴≤＝3，即的最大值为3
19．（2020 德阳模拟）已知x，y为正实数，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．3
解：∵x，y为正实数，∴＝+（1+）﹣1≥2﹣1＝4﹣1＝3，
当且仅当即x＝3y时“＝”成立，故选：D．
20．（2019秋 山东月考）已知x，y为正实数，且满足x2+4y2+xy＝5，则x+2y的最大值是（　　）
A． B．2 C． D．2
解：由基本不等式可知，xy＝x 2y，当且仅当x＝2y时取等号
∵x，y为正实数，且满足x2+4y2+xy＝5，
∴（x+2y）2﹣3xy＝5即3xy＝（x+2y）2﹣5×3，（当且仅当y＝，x＝时取等号）
解可得，0＜x+2y，
则x+2y的最大值是2．故选：B．