4.5.2 用二分法求方程的近似解（教案）-高中数学人教A版（2019）必修第一册

第四章 指数函数与对数函数
4.5.2 用二分法求方程的近似解
教学设计
一、教学目标
1.通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法.
2.能借助计算工具、信息技术用二分法求方程的近似解.
3.通过让学生概括二分法思想和步骤，培养学生的归纳概括能力，培养学生探究问题的能力、严谨的科学态度和创新能力.
二、教学重难点
1.教学重点
用二分法求方程的近似解.
2.教学难点
二分法原理的理解.
三、教学过程
（一）探究一：用二分法探求方程的近似解
（1）函数在区间（2,3）内有零点；
（2）如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值；
（3）通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围；
（4）取区间（2，3）的中点2.5，用计算器算得f（2.5）≈-0.084，因为f（2.5）f（3）<0，所以零点在区间（2.5，3）内；再取区间（2.5，3）的中点2.75，用计算器算得f（2.75）≈0.512，因为 f（2.5）f（2.75）<0，所以零点在区间（2.5，2.75）内.
（5）由于（2，3）（2.5，3）（2.5，2.75），所以零点所在的范围变小了如果重复上述步骤，那么零点所在的范围会越来越小（如下表）.
零点所在区间 中点的值 中点函数近似值
（2,3） 2.5 -0.084
（2.5,3） 2.75 0.512
（2.5,2.75） 2.625 0.215
（2.5,2.625） 2.5625 0.066
（2.5,2.5625） 2.53125 -0.009
（2.53125,2.5625） 2.546875 0.029
（2.53125, 2.546875） 2.5390625 0.010
（2.53125, 2.5390625） 2.53515625 0.001
（6）例如，当精确度为0.01时，由于=0.0078125<0.01，所以，我们可以将 x=2.531 25作为函数f（x）=Inx+2x-6零点的近似值，也即方程lnx+2x-6=0的近似解，
教师引导学生理解求近似解的方法.
探究二：二分法的概念
对于在区间[a,b]上图象连续不断且f（a）f（b）<0的函数y=f（x），通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
给定精确度,用二分法求函数y=f（x）零点x0的近似值的一般步骤如下：
（1）确定零点x0的初始区间[a,b],验证f（a）f（b）<0；
（2）求区间（a，b）的中点c；
（3）计算f（c），并进一步确定零点所在的区间：
①若f（c）=0（此时x0=c），则c就是函数的零点，
②若f（a）f（c）<0（此时x0∈（a，c）），则令b=c，
③若f（c）f（b）<0（此时x0∈（c，b））.则令a=c；
（4）判断是否达到精确度ε：若<ε，则得到零点近似值a（或b）；否则重复步骤（2）~（4）.
（二）课堂练习
1.用二分法求方程在上的根时，取中点，则下一个有根区间为( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：令，因为，，，所以下一个有根区间为.故选D.
2.已知函数在内有1个零点，用二分法求零点的近似值时，若精度为0.01，则至少计算中点函数值( )
A.5次 B.6次 C.7次 D.8次
答案：B
解析：设对区间二等分n次，初始区间长度为1.第1次计算后区间长度为；第2次计算后区间长度为；第3次计算后区间长度为……第5次计算后区间长度为；第6次计算后区间长度为.故至少计算6次.故选B.
3.用二分法求函数在内的唯一零点时，精度为0.001，则结束计算的条件是( )
A. B.
C. D.
答案：B
解析：根据二分法的步骤知当区间长度小于或等于精度的2倍时，便可结束计算，故选B.
4.用二分法求函数的零点可以取的初始区间是( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：因为,故可以取区间作为计算的初始区间，用二分法逐次计算.故选A.
（三）小结作业
小结：
本节课我们主要学习了哪些内容
1.二分法的定义.
2.给定精确度ε,用二分法求函数f（x）零点的近似值的步骤.
四、板书设计
1.对于在区间[a,b]上图象连续不断且f（a）f（b）<0的函数y=f（x）.通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
2.给定精确度,用二分法求函数y=f（x）零点x0的近似值的一般步骤如下：
（1）确定零点x0的初始区间[a,b],验证f（a）f（b）<0；
（2）求区间（a，b）的中点c；
（3）计算f（c），并进一步确定零点所在的区间：
①若f（c）=0（此时x0=c），则c就是函数的零点，
②若f（a）f（c）<0（此时x0∈（a，c）），则令b=c，
③若f（c）f（b）<0（此时x0∈（c，b））.则令a=c；
（4）判断是否达到精确度ε：若<ε，则得到零点近似值a（或b）；否则重复步骤（2）~（4）.