(共32张PPT)
4.4 数学归纳法
人教A版（2019）
选择性必修第二册
新知导入
情景1： 有人看到树上有一只乌鸦，感慨道“天下乌鸦一般黑”这个结论正确吗？
情景2： 《田舍翁之子学书》（明朝刘元卿的《贤弈篇·应谐录》）即财主的儿子学写字. 文中财主的儿子得出“四就是四横、五就是五横……”这个结论是否正确呢？
新知导入
情景3：如果{}是一个等差数列，怎样得到 ？
等差数列{}的首项为，公差为d. 那么
，
……
归纳可得
以上都是不完全归纳法的体现，其结果不一定正确。
如何解决不完全归纳法存在的问题呢？
新知导入
在数列的学习过程中，我们已经用归纳的方法得出了一些结论，例如等差数列的通项公式 等，但并没有给出严格的数学证明.
那么，对于这类与正整数n有关的命题，怎样证明它对每一个正整数n 都成立呢 ？本节我们就来介绍一种重要的证明方法——数学归纳法.
新知讲解
探究
已知数列满足 ，，计算猜想其通项公式，并证明你的猜想.
分析：
计算可得
由此猜想：
如何证明这个猜想呢？
思路1：我们可以从n=5开始一个个往下验证.
一般来说，与正整数n有关的命题，当n比较小时可以逐个验证，但当n较大时，验证起来会很麻烦. 特别是证明n取所有正整数都成立的命题时，逐一验证时不可能的.
因此，我们需要另辟蹊径，寻求一种方法：通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数时命题都成立.
新知讲解
多米诺骨牌游戏
这是一种码放骨牌的游戏. 码放骨牌时，要保证任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌也倒下.
这样，只要推倒第1块骨牌，就可导致第2块骨牌倒下；而第2块骨牌倒下，就可导致第3块骨牌倒下；……. 总之，不论有多少块骨牌，都能全部倒下.
多米诺骨牌游戏
思考1：
在这个游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？
可以看出，使所有骨牌都能倒下的条件有两个：
（1）第一块骨牌倒下；
（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下.
你认为条件（2）的作用是什么？如何用数学语言描述它？
可以看出，条件（2）实际上是给出了一个递推关系：
第k块骨牌倒下 第k+1块骨牌倒下.
思考2：
合作探究
这样，只要第1块骨牌倒下，其他所有的骨牌就能够相继倒下.事实上，无论有多少块骨牌，只要保证（1）（2）成立，那么所有的骨牌一定可以全部倒下.
合作探究
思考3：
你认为证明前面的猜想“数列的通项公式是 ”与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？
分析：
类比条件（2），可知考虑证明一个递推关系：
如果n=k时，猜想成立，即 ，那么当n=k+1时猜想也成立，即
这样，对于猜想“”，由n=1成立，就有n=2成立；由n=2成立，就有n=3成立；……，所以，对于任意正整数n，猜想都成立，即数列的通项公式是 .
递推公式：
由条件容易知道，n=1时猜想成立.这就相当于游戏的条件（1）.
事实上， 如果 那么
即 n=k+1时猜想也成立
合作探究
骨牌原理 猜想的证明步骤
（1）第一块骨牌倒下； （1）n=1时，猜想正确
（2）证明“如果前一块倒下，则后一块也跟着倒下”.这句话是真实的 （2）证明“当n=k时猜想成立，则n=k+1时猜想也成立”是真命题
根据（1）（2），所有的骨牌都能倒下. 根据（1）（2），这个猜想对一切正整数n都成立
通过上面的类比，我们找到了“通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数时命题都成立”的方法，这个方法就叫做数学归纳法.
“骨牌原理”与“猜想的证明步骤”对比分析
合作探究
数学归纳法的定义
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
（1）（归纳奠基）证明当时命题成立；
（2）（归纳递推）以“当时命题成立”为条件，推出“当n=k+1时命题也成立”.
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立，
这种证明方法称为数学归纳法，用框图表示就是：
合作探究
合作探究
思考1：
思考2：
数学归纳法的第一步 的初始值是否一定为1 ？
提示：
不一定. 如证明n变形的内角和为 ，第一个值 .
数学归纳法中的两个步骤之间有什么关系？
记P(n)是一个关于正整数n的命题. 我们可以把用数学归纳法证明的形式改写如下：
条件：（1） 为真；（2）若 P(k)为真，则 P(k+1)也为真.
结论： P(n)为真.
在数学归纳法的两步中，第一步验证（或证明）了当 时结论成立，即命题为真；
第二步是证明一种递推关系，实际上是要证明一个新命题：若 P(k)为真，则 P(k+1)也为真.
只要将这两步交替使用，就有为真，为真…… P(k)真，P(k+1)真……. 从而完成证明.
合作探究
例1. 用数学归纳法证明：如果是一个公差为d的等差数列，那么 ① 对任何 都成立.
分析：
因为等差数列的通项公式涉及全体正整数，所以用数学归纳法证明的第一步应证明n=1时命题成立.第二步要明确证明的目标，即要证明一个新命题：如果n=k时①式是正确的，那么n=k+1时①式也是正确的.
证明：
（1）当n=1时，左边=，右边= , ①式成立.
（2）假设n=k 时，①式成立，即 ，
根据等差数列的定义，有 ,
于是
即当n=k+1时①式也成立.
由（1）（2）可知，①式对任何都成立.
合作探究
例2 用数学归纳法证明：
②
分析：
用数学归纳法证明时，第二步要证明的是一个以“当n=k时，②式成立”为条件，得出“当n=k+1时，②式也成立”的命题，证明必须用上上述条件.
合作探究
例2 用数学归纳法证明：
②
证明：
（1）当n=1时，②式的左边=，
右边=，所以②式成立.
（2）假设当时，②式成立，即
，
在上式两边同时加上，有
即当n=k+1时，②式也成立.
由（1）（2）可知，②式对任何都成立.
合作探究
例3 已知数列满足 ，试猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明.
分析：
先将数列的递推关系 化为 ，通过计算的值，归纳共性并作出猜想，再应用数学归纳法证明猜想.
解：
由 ，可得
由 可得
同理可得
归纳上述结果，猜想
③
合作探究
例3 已知数列满足 ，试猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明.
下面用数学归纳法证明这个猜想.
（1）当n=1时，
③式的左边= ，右边=，猜想成立.
（2）假设当时， ③式成立，即
那么
即当n=k+1时，猜想也成立.
由（1）（2）可知，猜想对任何 都成立.
合作探究
例4 设 x 为正实数，n为大于1的正整数，若数列
1，1+x，，…，，…
的前n项和为，试比较与n的大小，并用数学归纳法证明你的结论.
分析：
该问题中涉及两个字母 x 和n，x 是正实数，n 是大于1的正整数.
一种思路是不求和，而直接通过n取特殊值比较与n的大小关系，并作出猜想；
另一种思路是先由等比数列的求和公式求出，再通过n取特殊值比较与n的大小关系后作出猜想.两种做法都必须用数学归纳法证明得到的猜想.
合作探究
例4 设 x 为正实数，n为大于1的正整数，若数列
1，1+x，，…，，…
的前n项和为，试比较与n的大小，并用数学归纳法证明你的结论.
解法一：
由已知可得
当n=2时， ，
由，可得 ；
当n=3时，，
由，可得 .
由此，我们猜想，当且时，
合作探究
下面用数学归纳法证明这个猜想.
（1）当n=2时，由上述过程知，不等式成立.
（2）假设当 时， 不等式成立，即
由，可得 ，所以
于是
所以，当n=k+1时，不等式也成立
由（1）（2）可知，不等式 对于任何大于1的正整数n都成立.
合作探究
例4 设 x 为正实数，n为大于1的正整数，若数列
1，1+x，，…，，…
的前n项和为，试比较与n的大小，并用数学归纳法证明你的结论.
解法二：
显然，所给数列是等比数列，公比为1+x，于是
当n=2时， ，由，可得 ；
当n=3时， ，由，可得 .
由此，我们猜想，当且时，
合作探究
下面用数学归纳法证明这个猜想.
（1）当n=2时，由上述过程知，不等式成立.
（2）假设当时， 不等式成立，即
,
由，知
所以
又 ，
所以，当n=k+1时，不等式也成立.
由（1）（2）可知，不等式对于任何大于1的正整数n都成立.
课堂练习
1 在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为条时，第一步检验n等于___
3
课堂练习
2 ① 欲证不等式成立，只需证
②用数学归纳法证明,在验证n=1时，左边所得项为
③“凡是自然数都是整数，0是自然数，所以0是整数”
以上三段论推理完全正确的个数是（ ）
A．0 B. 1 C. 2 D. 3
解：
① 因为，故故推理不正确
② 验证n=1时，左边所得项为，故推理正确
③ 命题中大前提是：凡是自然数都是整数，小前提是：0是自然数，结论为：0是整数，其中大前提，小前提，结论都正确，故推理正确
C
课堂练习
3 用数学归纳法证明, 则当n=k+1时，左端应在n=k的基础上加上（ ）
A. 4k+1 B．
C．4(k+1) D．(4k+1)+(4k+2)+(4k+3)+(4k+4)
解：
当 n=k时，左侧=
要证 n=k+1时，
左侧=
可得当 n=k+1时，
左端应在n=k的基础上加上的项为(4k+1)+(4k+2)+(4k+3)+(4k+4)
D
课堂练习
4 已知数列的前n项和为， 且满足.
（1）计算，根据计算结果，猜想的表达式；
（2）用数学归纳法证明你对的猜想.
解：
（1）在 中，
令n=1，，解得，
令n=2，，即 ，解得 ，
令n=3，，即 ， 解得 ，
令n=4，，即，解得 ，
故猜想
课堂练习
4 已知数列的前n项和为， 且满足.
（1）计算，根据计算结果，猜想的表达式；
（2）用数学归纳法证明你对的猜想.
证明：
① 当n=1时，
② 假设n=k时，
那么 n=k+1时，
∵
∴
又∵
∴
即 n=k+1时猜想成立.
课堂总结
1 数学归纳法
2 例题
3 课堂练习
板书设计
1 数学归纳法
2 例题
3 课堂练习
作业布置
课本51页习题4.4
（2、3、4）
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php中小学教育资源及组卷应用平台
4.4数学归纳法教学设计
课题 数学归纳法 单元 第一单元 学科 数学 年级 高二
教材分析 《数学归纳法》是2019人教A版数学选择性必修第二册第四章的内容。本节课的主要内容是数学归纳法的原理及其应用。前面学生已经初步掌握了由有限多个特殊实例得出一般结论的推理方法，即不完全归纳法，在此基础上，进一步学习严谨的科学的论证方法——数学归纳法。 数学归纳法学习是数列知识的深入与拓展，是一种重要的数学方法，可以使学生学会一种研究数学的科学方法。数学归纳法的优点是，通过有限个步骤的推理，证明n取无限多个正整数的情形，这也是无限与有限辩证统一的体现。此外，本节内容也是培养学生严谨的推理能力，训练学生的抽象思维能力、体验数学内在美的好素材。
教学 目标与 核心素养 1数学抽象： 数学归纳法的原理 2逻辑推理： 运用数学归纳法证明数学命题 3数学运算： 数学命题的证明 4数学建模： 运用多米诺骨牌建立数学归纳法概念 5直观想象： 体会类比的数学思想，感受有限思维发展到无限思维的思维历程
重点 数学归纳法的基本思想和本质，掌握它的基本步骤
难点 理解数学归纳法的证题的严密性和有效性
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 情景1：某人看到树上有一只乌鸦，深有感触“天下乌鸦一般黑”这个结论是否正确呢？ 情景2： 《田舍翁之子学书》（明朝刘元卿的《贤弈篇·应谐录》）即财主的儿子学写字. 文中财主的儿子得出“四就是四横、五就是五横……”这个结论是否正确呢？ 情景3：如果{}是一个等差数列，怎样得到 ？ 等差数列{}的首项为，公差为d. 那么 ， , ， ， …… 归纳可得 以上情景都是不完全归纳法的体现，发现其结果不一定正确。 如何解决不完全归纳法存在的问题呢？ 情景引入 设置情景，激发兴趣。复习之前学过的知识，承上启下。
讲授新课 在数列的学习过程中，我们已经用归纳的方法得出了一些结论，例如等差数列的通项公式 等，但并没有给出严格的数学证明. 那么，对于这类与正整数n有关的命题，我们怎样证明它对每一个正整数n都成立呢？本节我们就来介绍一种重要的证明方法——数学归纳法. 探究 已知数列满足 ，，计算猜想其通项公式，并证明你的猜想. 计算可得 再结合 ，由此猜想： . 如何证明这个猜想呢？我们自然会想到从n=5开始一个个往下验证. 一般来说，与正整数n有关的命题，当n比较小时可以逐个验证，但当n较大时，验证起来会很麻烦.特别是证明n取所有正整数都成立的命题时，逐一验证时不可能的.因此，我们需要另辟蹊径，寻求一种方法： 通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数时命题都成立. 我们先从多米诺骨牌游戏说起. 码放骨牌时，要保证任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌倒下.这样，只要推倒第1块骨牌，就可导致第2块骨牌倒下；而第2块骨牌倒下，就可导致第3块骨牌倒下；……. 总之，不论有多少块骨牌，都能全部倒下. 思考 在这个游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？ 可以看出，使所有骨牌都能倒下的条件有两个： （1）第一块骨牌倒下； （2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下. 思考 你认为条件（2）的作用是什么？如何用数学语言描述它？ 可以看出，条件（2）实际上是给出了一个递推关系：第k块骨牌倒下 第k+1块骨牌倒下. 这样，只要第1块骨牌倒下，其他所有的骨牌就能够相继倒下.事实上，无论有多少块骨牌，只要保证（1）（2）成立，那么所有的骨牌一定可以全部倒下. 思考 你认为证明前面的猜想“数列的通项公式是”与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？ 显然，如果能得到一个类似于“第k块骨牌倒下 第k+1块骨牌倒下”的递推关系，那么猜想的正确性也就得到证明了.为此，我们先回顾一下猜想的获得过程： 由 ，利用递推关系，推出； 由 ，利用递推关系，推出； 由 ，利用递推关系，推出； …… 思考 归纳上述过程的共性，你能得出推理的一般结构吗？ 我们发现，上述过程蕴含着一个与多米诺骨牌游戏的条件（2）类似的递推结构： 以 成立为条件，推出 也成立. 它相当于命题： 当n=k时猜想成立，则n=k+1时猜想也成立. 只要能够证明这个命题，我们就可以在 的条件下，由这个命题得到：对任意正整数n， 成立. 事实上，如果n=k时猜想成立，即， 那么 即 当n=k+1时，猜想也成立. 这样，对于猜想“”，由n=1成立，就有n=2成立；由n=2成立，就有n=3成立；……，所以，对于任意正整数n，猜想都成立，即数列的通项公式是 . “骨牌原理”与“猜想的证明步骤”对比分析 骨牌原理猜想的证明步骤（1）第一块骨牌倒下；（1）n=1时，猜想正确（2）证明“如果前一块倒下，则后一块也跟着倒下”.这句话是真实的（2）证明“当n=k时猜想成立，则n=k+1时猜想也成立”是真命题根据（1）（2），所有的骨牌都能倒下.根据（1）（2），这个猜想对一切正整数n都成立
通过上面的类比，我们找到了“通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数时命题都成立.”的方法，这个方法就叫做数学归纳法。 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： （1）（归纳奠基）证明当时命题成立； （2）（归纳递推）以“当时命题成立”为条件，推出“当n=k+1时命题也成立”. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法，用框图表示就是： 思考 数学归纳法的第一步的初始值是否一定为1？ 提示： 不一定.如证明n变形的内角和为，第一个值 . 思考 数学归纳法中的两个步骤之间有什么关系？ 记P(n)是一个关于正整数n的命题.我们可以把用数学归纳法证明的形式改写如下： 条件：（1） 为真；（2）若 P(k)为真，则 P(k+1)也为真. 结论： P(n)为真. 在数学归纳法的两步中，第一步验证（或证明）了当 时结论成立，即命题 为真；第二步是证明一种递推关系，实际上是要证明一个新命题：若 P(k)为真，则 P(k+1)也为真. 只要将这两步交替使用，就有 为真， 为真…… P(k)真，P(k+1)真……. 从而完成证明. 例 1 用数学归纳法证明：如果是一个公差为d的等差数列，那么 ① 对任何 都成立. 分析：因为等差数列的通项公式涉及全体正整数，所以用数学归纳法证明的第一步应证明n=1时命题成立.第二步要明确证明的目标，即要证明一个新命题：如果n=k时①式是正确的，那么n=k+1时①式也是正确的. 证明： （1）当n=1时，左边=，右边= , ①式成立. （2）假设n=k 时，①式成立，即 ， 根据等差数列的定义，有 , 于是 即当n=k+1时①式也成立. 由（1）（2）可知，①式对任何 都成立. 例2 用数学归纳法证明： ② 分析：用数学归纳法证明时，第二步要证明的是一个以“当n=k时，②式成立”为条件，得出“当n=k+1时，②式也成立”的命题，证明必须用上上述条件. 证明：（1）当n=1时，②式的左边=， 右边=，所以②式成立. （2）假设当时，②式成立，即 ， 在上式两边同时加上，有 即当n=k+1时，②式也成立. 由（1）（2）可知，②式对任何 都成立. 例3 已知数列满足 ，试猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明. 分析：先将数列的递推关系 化为 ，通过计算的值，归纳共性并作出猜想，再应用数学归纳法证明猜想. 解：由 ，可得 由 可得 同理可得 归纳上述结果，猜想 ③ 下面用数学归纳法证明这个猜想. （1）当n=1时， ③式的左边= ，右边=，猜想成立. （2）假设当时， ③式成立，即 那么 即当n=k+1时，猜想也成立. 由（1）（2）可知，猜想对任何 都成立. 例4 设x为正实数，n为大于1的正整数，若数列 1，1+x，，…，，… 的前n项和为，试比较与n的大小，并用数学归纳法证明你的结论. 分析：该问题中涉及两个字母x和n，x是正实数，n是大于1的正整数.一种思路是不求和，而直接通过n取特殊值比较与n的大小关系，并作出猜想；另一种思路是先由等比数列的求和公式求出，再通过n取特殊值比较与n的大小关系后作出猜想.两种做法都必须用数学归纳法证明得到的猜想. 解法1：由已知可得 当n=2时， ，由，可得 ； 当n=3时，，由，可得 . 由此，我们猜想， 当 且时， 下面用数学归纳法证明这个猜想. （1）当n=2时，由上述过程知，不等式成立. （2）假设当时， 不等式成立，即 由，可得 ，所以 于是 所以，当n=k+1时，不等式也成立 由（1）（2）可知，不等式对于任何大于1的正整数n都成立. 解法2：显然，所给数列是等比数列，公比为1+x，于是 当n=2时， ，由，可得 ； 当n=3时， ，由，可得 . 由此，我们猜想， 当 且时， 下面用数学归纳法证明这个猜想. （1）当n=2时，由上述过程知，不等式成立. （2）假设当时， 不等式成立，即 , 由 ，知 所以 又 ，所以 所以，当n=k+1时，不等式也成立. 由（1）（2）可知，不等式对于任何大于1的正整数n都成立. 课堂练习 1在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为条时，第一步检验n等于___3 2 ① 欲证不等式成立，只需证 ②用数学归纳法证明,在验证n=1时，左边所得项为 ③“凡是自然数都是整数，0是自然数，所以0是整数” 以上三段论推理完全正确的个数是（ C ） A．0 B. 1 C. 2 D. 3 解：①因为，故故推理不正确 ②验证n=1时，左边所得项为，故推理正确 ③命题中大前提是：凡是自然数都是整数，小前提是：0是自然数，结论为：0是整数，其中大前提，小前提，结论都正确，故推理正确 故选C 3用数学归纳法证明,则当n=k+1时，左端应在n=k的基础上加上（ D ） 4k+1 B． C．4(k+1) D．(4k+1)+(4k+2)+(4k+3)+(4k+4) 解： 当n=k时，左侧= 要证 n=k+1时，左侧= 可得当 n=k+1时，左端应在n=k的基础上加上的项为(4k+1)+(4k+2)+(4k+3)+(4k+4) 故选D 4 已知数列的前n项和为， 且满足. （1）计算，根据计算结果，猜想的表达式； （2）用数学归纳法证明你对的猜想. 解： （1）在 中， 令n=1，，解得， 令n=2，，即， 解得， 令n=3，，即， 解得， 令n=4，，即， 解得， 故猜想 （2）① 当n=1时，， ② 假设n=k时，， 那么 n=k+1时， ∵ ∴ 又∵ ∴ 即 n=k+1时猜想成立. 假设有无限多块多米诺骨牌，我们可以想象前一块推倒后一块的动作将永远进行下去. 这里的k是任意的，所有能使猜想成立的正整数都可以作为k，并且这样的k也是存在的，因为数“1”就是一个例子. 通过等差数列通项公式的获得，引出本课课题。发展学生数学抽象、逻辑推理、 数学建模的核心素养。 类比迁移，即类比多米诺骨牌，通过观察、分析、比较、抽象出数学归纳法的原理。发展学生数学抽象、逻辑推理、数学建模的核心素养。 例题巩固
课堂小结 1数学归纳法 2例题 3课堂练习
板书 1数学归纳法 2例题 3课堂练习
教学反思
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
