3.2.2 双曲线的简单几何性质（第二课时）同步练习--2021-2022学年第一学期人教A版（2019）选择性必修第一册（word版含解析）
文档属性
| 名称 | 3.2.2 双曲线的简单几何性质（第二课时）同步练习--2021-2022学年第一学期人教A版（2019）选择性必修第一册（word版含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 549.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-10-22 10:26:54 | ||
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文档简介
3.2.2双曲线的简单几何性质（第二课时）
一、单选题
1．若点到双曲线的一条渐近线的距离为1，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．已知双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为（为双曲线的半焦距），则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．双曲线的离心率为，的离心率为，则的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．4
4．双曲线的右焦点到直线的距离的最大值为（ ）
A． B．2
C． D．3
5．设，分别是双曲线的左、右焦点，过点，且与轴垂直的直线与双曲线交于，两点，若的面积为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．设双曲线的半焦距为，直线过，两点．已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
7．设双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，是双曲线上一点，且.若的面积为，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
8．已知双曲线的左右焦点为，过的直线交双曲线右支于，若，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知双曲线，则（ ）
A．双曲线的焦距为
B．双曲线的虚轴长是实轴长的倍
C．双曲线与双曲线的渐近线相同
D．双曲线的顶点坐标为
10．对于方程和（且）所表示的双曲线，下列说法正确的是（ ）
A．有相同的顶点 B．有相同的焦点 C．有相同的离心率 D．有相同的渐近线
11．已知是3与12的等比中项，则圆锥曲线的离心率是（ ）
A．2 B． C． D．2或
12．已知双曲线，（ ）
A．
B．若的顶点坐标为，则
C．的焦点坐标为
D．若，则的渐近线方程为
三、填空题
13．点P（l，2）关于的对称点在双曲线上，则双曲线的焦点坐标是________．
14．已知双曲线（，）的右焦点为，右顶点为，虚轴的一个端点为，若点到直线的距离为，则双曲线的离心率为______．
15．已知焦点在x轴上的双曲线的两条渐近线互相垂直，则___
16．若一双曲线与椭圆4x2＋y2＝64有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为________．
四、解答题
17．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点
，点在双曲线上.
（1）求双曲线的方程；
（2）求证：·＝0；
18．根据下列条件，求双曲线的方程
（1）已知双曲线两个焦点分别是，，点在双曲线上．
（2）与双曲线有公共渐近线，且过点
19．设中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点，且，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为．
（1）求这两曲线方程；
（2）若P为这两曲线的一个交点，求的值．
20．已知中心在原点的双曲线C的右顶点为，离心率为．
（1）求双曲线C的标准方程和渐近线方程；
（2）若双曲线C上存在一点P使得（其中为双曲线的两个焦点），求的面积．
参考答案
1．D
【解析】∵渐近线为，即，
∴，∴.∴，∴.故选：D
2．C
【解析】双曲线的一条渐近线为，焦点为，
焦点到渐近线的距离为，所以，
由于，所以.故选：C
3．C
【解析】由题意可得双曲线的离心率，
的离心率为，
所以，
当且仅当时取等号，其最小值为.故选：C
4．C
【解析】由题意，双曲线的
故右焦点为，直线经过定点，
，故到直线的距离的最大值为.
故选：C
5．D
【解析】设，，则，
又，则，即．所以=
又的面积为，所以，即，
故双曲线的离心率为．故选:D．
6．A
【解析】因为直线过，两点．
所以直线的方程为，即，
所以原点到的距离①．
又②，
所以，即，故，解得或．
当时，，与矛盾，所以．故选：A
7．D
【解析】设，.由，的面积为，
可得，∴①
由离心率为，可得，代入①式，可得.故选：D.
8．D
【解析】设因为，且，
所以，
由双曲线的定义得：，，
因为，所以，解得，
所以在中，，即，解得，故选：D
9．BC
【解析】因为，，
所以，，焦距为，所以A错误；
因为，所以B正确；
双曲线与双曲线的渐近线方程均为，所以C正确；
令，得，所以双曲线的顶点坐标为，所以D错误．故选:BC．
10．CD
【解析】对于双曲线，，，；
对于双曲线，，，，
显然，，分别是，，的倍，
所以两双曲线的顶点、焦点坐标均不同，故A、B错误；
，，所以有相同的离心率，故C正确；
，，所以有相同的渐近线，故D正确.
故选：CD
11．AB
【解析】因为是3与12的等比中项，所以，可得，
当时，曲线方程为，可得，，
所以，所以，此时，
当时，曲线方程为，可得，，
所以，所以，此时，
所以圆锥曲线的离心率是或，故选：AB.
12．BD
【解析】A项：因为方程表示双曲线，
所以，解得或，A错误；
B项：因为的顶点坐标为，
所以，解得，B正确；
C项：当时，，
当时，，C错误；
D项：当时，双曲线的标准方程为，
则渐近线方程为，D正确，
故选：BD.
13．和.
【解析】设，因为点P（l，2）关于的对称为点，
所以，解得，即，
将代入得，，解得，
所以双曲线的方程为，半焦距为，
所以双曲线的焦点坐标是和.
14．
【解析】由双曲线（，）得到：右焦点，右顶点为，虚轴的上端点，且.则直线AB：.
由点到直线的距离为得：，
整理化简得：3a=2c.所以离心率.
15．1
【解析】∵双曲线的焦点在x轴上
∴，即.∵双曲线的两条渐近线互相垂直，
∴，即，解得（负值舍去）.
16．
【解析】椭圆4x2＋y2＝64可变形为，
∴a2＝64，c2＝64－16＝48，
∴焦点为，离心率，则双曲线的焦点在y轴上，，
∴，故双曲线的方程为.
17．【解析】（1）∵，
∴双曲线的实轴、虚轴相等.则可设双曲线方程为
∵双曲线过点，∴，即.
∴双曲线方程为..
（2）证明：不妨设F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，
则，.
∴，
∵M点在双曲线上，∴，即，
∴·.
18．【解析】（1）双曲线两个焦点分别是，，
则双曲线的焦点在轴上，，设双曲线方程，
则，又，解得，
所以双曲线方程为.
（2）设共渐近线方程为，且过点
则，即，
所以，即.
19．
【解析】（1）由已知得，设椭圆长、短半轴长分别为、，双曲线实半轴、虚半轴长分别为、，则解得．所以．
故椭圆方程为，双曲线方程为．
（2）不妨设、分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，则，
所以．又，
故．
20．【解析】（1）设双曲线C的方程为
由已知得：，解得，，.
双曲线C的方程为，渐近线方程为：．
（2）不妨设点P在双曲线的右支上，则，
由可知，
在中，，
∴，所以的面积.
一、单选题
1．若点到双曲线的一条渐近线的距离为1，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．已知双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为（为双曲线的半焦距），则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．双曲线的离心率为，的离心率为，则的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．4
4．双曲线的右焦点到直线的距离的最大值为（ ）
A． B．2
C． D．3
5．设，分别是双曲线的左、右焦点，过点，且与轴垂直的直线与双曲线交于，两点，若的面积为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．设双曲线的半焦距为，直线过，两点．已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
7．设双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，是双曲线上一点，且.若的面积为，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
8．已知双曲线的左右焦点为，过的直线交双曲线右支于，若，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知双曲线，则（ ）
A．双曲线的焦距为
B．双曲线的虚轴长是实轴长的倍
C．双曲线与双曲线的渐近线相同
D．双曲线的顶点坐标为
10．对于方程和（且）所表示的双曲线，下列说法正确的是（ ）
A．有相同的顶点 B．有相同的焦点 C．有相同的离心率 D．有相同的渐近线
11．已知是3与12的等比中项，则圆锥曲线的离心率是（ ）
A．2 B． C． D．2或
12．已知双曲线，（ ）
A．
B．若的顶点坐标为，则
C．的焦点坐标为
D．若，则的渐近线方程为
三、填空题
13．点P（l，2）关于的对称点在双曲线上，则双曲线的焦点坐标是________．
14．已知双曲线（，）的右焦点为，右顶点为，虚轴的一个端点为，若点到直线的距离为，则双曲线的离心率为______．
15．已知焦点在x轴上的双曲线的两条渐近线互相垂直，则___
16．若一双曲线与椭圆4x2＋y2＝64有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为________．
四、解答题
17．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点
，点在双曲线上.
（1）求双曲线的方程；
（2）求证：·＝0；
18．根据下列条件，求双曲线的方程
（1）已知双曲线两个焦点分别是，，点在双曲线上．
（2）与双曲线有公共渐近线，且过点
19．设中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点，且，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为．
（1）求这两曲线方程；
（2）若P为这两曲线的一个交点，求的值．
20．已知中心在原点的双曲线C的右顶点为，离心率为．
（1）求双曲线C的标准方程和渐近线方程；
（2）若双曲线C上存在一点P使得（其中为双曲线的两个焦点），求的面积．
参考答案
1．D
【解析】∵渐近线为，即，
∴，∴.∴，∴.故选：D
2．C
【解析】双曲线的一条渐近线为，焦点为，
焦点到渐近线的距离为，所以，
由于，所以.故选：C
3．C
【解析】由题意可得双曲线的离心率，
的离心率为，
所以，
当且仅当时取等号，其最小值为.故选：C
4．C
【解析】由题意，双曲线的
故右焦点为，直线经过定点，
，故到直线的距离的最大值为.
故选：C
5．D
【解析】设，，则，
又，则，即．所以=
又的面积为，所以，即，
故双曲线的离心率为．故选:D．
6．A
【解析】因为直线过，两点．
所以直线的方程为，即，
所以原点到的距离①．
又②，
所以，即，故，解得或．
当时，，与矛盾，所以．故选：A
7．D
【解析】设，.由，的面积为，
可得，∴①
由离心率为，可得，代入①式，可得.故选：D.
8．D
【解析】设因为，且，
所以，
由双曲线的定义得：，，
因为，所以，解得，
所以在中，，即，解得，故选：D
9．BC
【解析】因为，，
所以，，焦距为，所以A错误；
因为，所以B正确；
双曲线与双曲线的渐近线方程均为，所以C正确；
令，得，所以双曲线的顶点坐标为，所以D错误．故选:BC．
10．CD
【解析】对于双曲线，，，；
对于双曲线，，，，
显然，，分别是，，的倍，
所以两双曲线的顶点、焦点坐标均不同，故A、B错误；
，，所以有相同的离心率，故C正确；
，，所以有相同的渐近线，故D正确.
故选：CD
11．AB
【解析】因为是3与12的等比中项，所以，可得，
当时，曲线方程为，可得，，
所以，所以，此时，
当时，曲线方程为，可得，，
所以，所以，此时，
所以圆锥曲线的离心率是或，故选：AB.
12．BD
【解析】A项：因为方程表示双曲线，
所以，解得或，A错误；
B项：因为的顶点坐标为，
所以，解得，B正确；
C项：当时，，
当时，，C错误；
D项：当时，双曲线的标准方程为，
则渐近线方程为，D正确，
故选：BD.
13．和.
【解析】设，因为点P（l，2）关于的对称为点，
所以，解得，即，
将代入得，，解得，
所以双曲线的方程为，半焦距为，
所以双曲线的焦点坐标是和.
14．
【解析】由双曲线（，）得到：右焦点，右顶点为，虚轴的上端点，且.则直线AB：.
由点到直线的距离为得：，
整理化简得：3a=2c.所以离心率.
15．1
【解析】∵双曲线的焦点在x轴上
∴，即.∵双曲线的两条渐近线互相垂直，
∴，即，解得（负值舍去）.
16．
【解析】椭圆4x2＋y2＝64可变形为，
∴a2＝64，c2＝64－16＝48，
∴焦点为，离心率，则双曲线的焦点在y轴上，，
∴，故双曲线的方程为.
17．【解析】（1）∵，
∴双曲线的实轴、虚轴相等.则可设双曲线方程为
∵双曲线过点，∴，即.
∴双曲线方程为..
（2）证明：不妨设F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，
则，.
∴，
∵M点在双曲线上，∴，即，
∴·.
18．【解析】（1）双曲线两个焦点分别是，，
则双曲线的焦点在轴上，，设双曲线方程，
则，又，解得，
所以双曲线方程为.
（2）设共渐近线方程为，且过点
则，即，
所以，即.
19．
【解析】（1）由已知得，设椭圆长、短半轴长分别为、，双曲线实半轴、虚半轴长分别为、，则解得．所以．
故椭圆方程为，双曲线方程为．
（2）不妨设、分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，则，
所以．又，
故．
20．【解析】（1）设双曲线C的方程为
由已知得：，解得，，.
双曲线C的方程为，渐近线方程为：．
（2）不妨设点P在双曲线的右支上，则，
由可知，
在中，，
∴，所以的面积.