3.1圆的对称性 同步达标测评 2021-2022学年青岛版九年级数学上册（Word版 含答案）

2021-2022学年青岛版九年级数学上册《3.1圆的对称性》同步达标测评（附答案）
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．下列判断中不正确的是（　　）
A．半圆是弧，但弧不一定是半圆 B．平分弦的直径垂直于弦
C．在平面内，到圆心的距离等于半径的点都在圆上
D．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等
2．如图，在⊙O中，AB，CD是两条弦，OM⊥CD，ON⊥AB，如果AB＝CD，则下列结论不正确的是（　　）
A．∠AON＝∠DOM B．AN＝DM C．OM＝DM D．OM＝ON
3．已知⊙O的直径CD为4，弧AC的度数为80°，点B是弧AC的中点，点P在直径CD上移动，则BP+AP的最小值为（　　）
A．2 B．2 C．2 D．4
4．如图，是半圆，O为AB中点，C、D两点在上，且AD∥OC，连接BC、BD．若＝62°，则的度数为何？（　　）
A．56 B．58 C．60 D．62
5．有下列说法：①等弧的长度相等；②直径是圆中最长的弦；③相等的圆心角对的弧相等；④圆中90°角所对的弦是直径；⑤同圆中等弦所对的圆周角相等．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，在半圆⊙O中，直径AB＝4，点C、D是半圆上两点，且∠BOC＝84°，∠BOD＝36°，P为直径上一点，则PC+PD的最小值为（　　）
A．4 B．2 C．2 D．2
7．点A、C为半径是4的圆周上两点，点B为的中点，以线段BA、BC为邻边作菱形ABCD，顶点D恰在该圆半径的中点上，则该菱形的边长为（　　）
A．或2 B．或2 C．2或2 D．2或2
8．如图，AB是⊙O的直径，＝＝，∠COD＝38°，则∠AEO的度数是（　　）
A．52° B．57° C．66° D．78°
9．如图，矩形ABCD的顶点A，B在圆上，BC，AD分别与该圆相交于点E，F，G是的三等分点（＞），BG交AF于点H，若的度数为30°，则∠GHF等于（　　）
A．40° B．45° C．55° D．80°
10．如图，AB是直径，，∠BOC＝40°，则∠AOE的度数为（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
二．填空题（共6小题，满分30分）
11．如图，把一个圆分成三个扇形，则圆心角∠AOB＝　 　度．
12．如图，AB是⊙O的直径，C、D为半圆的三等分点，CE⊥AB于点E，∠ACE的度数为　 　．
13．如图，⊙O中，已知弧AB＝弧BC，且弧AB：弧AmC＝3：4，则∠AOC＝　 　度．
14．如图，在⊙O中，C是弦AB上一点，AC＝2，CB＝4．连接OC，过点C作DC⊥OC，与⊙O交于点D，DC的长为　 　．
15．如图，已知AB、BC为⊙O的弦，AB＝，BC＝1，∠AOC＝90°，则⊙O半径为　 　．
16．如图，在⊙O中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点P为上任意一点，连接PA，PB，PC，则线段PA，PB，PC之间的数量关系为　 　．
三．解答题（共8小题，满分50分）
17．如图，A，B，C，D在⊙O上，若AC＝BD，求证：BC＝AD．
18．如图，在⊙O中，点C是优弧ACB的中点，D、E分别是OA、OB上的点，且AD＝BE，弦CM、CN分别过点D、E．
（1）求证：CD＝CE．
（2）求证：＝．
19．如图，在 ABCD中，以A为圆心，AB长为半径的圆分别交AD、BC于F、G，交BA的延长线于E，求证：＝．
20．如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E．
（1）若∠A＝25°，求弧DE的度数；
（2）若BC＝2，AC＝6，求BD的长．
21．如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．
（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；
（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE＝4米时，是否要采取紧急措施？
22．某隧道的截面是由如图所示的图形构成，图形下面是长方形ABCD，上面是半圆形，其中AB＝10米，BC＝2.5米，隧道设双向通车道，中间有宽度为2米的隔离墩，一辆满载家具的卡车，宽度为3米，高度为4.9米，请计算说明这辆卡车是否能安全通过这个隧道？
23．某工厂的大门如图所示，其中下部分是矩形，上部分是一个半圆，一辆装满货物的卡车要通过此门．已知卡车高为2.5m，车宽为1.6m，你认为卡车能通过工厂的大门吗？请说明理由．
24．如图所示，以等边三角形ABC的边BC为直径作⊙O交AB于D，交AC于E，判断，，之间的大小关系，并说明理由．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分40分）
1解：A、半圆是弧，但弧不一定是半圆，正确；
B、平分弦的直径垂直于弦，不正确．需要添加条件：此弦非直径；
C、在平面内，到圆心的距离等于半径的点都在圆上，正确；
D、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，正确，
故选：B．
2解：∵AB＝CD，OA＝OD，OB＝OC，
∴△OAB≌△ODC（SSS），
∠AOB＝∠DOC，
∵OM⊥CD，ON⊥AB，
∴OM＝ON，DM＝CM，AN＝NB，
∴AN＝DM，
∵OA＝OD，ON＝OM，
∴Rt△AON≌Rt△DOM（HL），
∴∠AON＝∠DOM，
∴A，B，D正确，
故选：C．
3解：过点B关于CD的对称点B′，连接AB′交CD于点P，延长AO交圆O与点E，连接B′E．
∵点B与点B′关于CD对称，
∴PB＝PB′.．
∴当点B′、P、A在一条直线上时，PB+PA有最小值，最小值为AB′．
∵点B是的中点，
∴＝120°．
∴∠B′EA＝60°．
∴AB′＝2．
故选：C．
4解：
以AB为直径作圆，如图，作直径CM，连接AC，
∵AD∥OC，
∴∠1＝∠2，
∴弧AM＝弧DC＝62°，
∴弧AD的度数是180°﹣62°﹣62°＝56°，
故选：A．
5解：①在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧，等弧的长度相等；故①正确；
②正确；
③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；故③错误；
④圆中，90°圆周角所对的弦是直径；故④错误；
⑤在同圆中，等弦所对的圆周角相等或互补；故⑤错误；
因此正确的结论是①②；
故选：B．
6解：作点D关于AB的对称点DE，连接CE，交AB于点P，
过点O作OF⊥CE，垂足为F，
∵∠BOC＝84°，∠BOD＝36°，
∴∠BOE＝36°，∠COE＝120°，
∴∠C＝30°，
∵AB＝4，
∴OC＝2，
∴OF＝1，CF＝，
∴CE＝2，
∴PC+PD的最小值为2，
故选：B．
7解：过B作直径，连接AC交AO于E，
∵点B为的中点，
∴BD⊥AC，
如图①，
∵点D恰在该圆直径上，D为OB的中点，
∴BD＝×4＝2，
∴OD＝OB﹣BD＝2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DE＝BD＝1，
∴OE＝1+2＝3，
连接OC，
∵CE＝＝＝，
在Rt△DEC中，由勾股定理得：DC＝＝＝2；
如图②，
OD＝2，BD＝4+2＝6，DE＝BD＝3，OE＝3﹣2＝1，
由勾股定理得：CE＝＝＝，
DC＝＝＝2，
故选：C．
8解：∵＝＝，∠COD＝38°，
∴∠BOC＝∠EOD＝∠COD＝38°，
∴∠AOE＝180°﹣∠EOD﹣∠COD﹣∠BOC＝66°．
又∵OA＝OE，
∴∠AEO＝∠OAE，
∴∠AEO＝×（180°﹣66°）＝57°．
故选：B．
9解：连接BF，
∵的度数为30°，
∴的度数为150°，∠AFB＝15°，
∵G是的三等分点，
∴的度数为50°，
∴∠GBF＝25°，
∴∠GHF＝∠GBF+∠AFB＝40°，
故选：A．
10解：∵，∠BOC＝40°，
∴∠BOC＝∠COD＝∠EOD＝40°，
∴∠AOE＝180°﹣∠BOE＝60°．
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分30分）
11解：∠AOB＝360°×20%＝72°，
故答案为：72．
12解：如图，连接OC．
∵AB是直径，＝＝，
∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝60°，
∵OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠A＝60°，
∵CE⊥OA，
∴∠AEC＝90°，
∴∠ACE＝90°﹣60°＝30°．
故答案为30°
13解：∵弧AB＝弧BC，且弧AB：弧AmC＝3：4，
∴弧ABC：弧AmC＝6：4，
∴∠AOC的度数为（360°÷10）×4＝144°．
14解：延长DC交⊙O于点E．
∵OC⊥DE，
∴DC＝CE，
∵AC CB＝DC CE（相交弦定理，可以证明△ADC∽△EBC得到），
∴DC2＝2×4＝8，
∵DC＞0，
∴DC＝2，
故答案为2．
15解：作AH⊥CB交CB的延长线于H，连接AC．
由∠AOC＝90°，可得∠ABC＝135°，
在Rt△AHB中，∵AB＝，∠ABH＝45°，
∴AH＝BH＝1，
在Rt△AHC中，∵CH＝CB+BH＝2，AH＝1，
∴AC＝＝，
∵OA＝OC，∠AOC＝90°，
∴OA＝OC＝，
故答案为．
16解：如图作AE⊥PC于E，AF⊥PB交PB的延长线于F．
∵BC是直径，
∴∠BAC＝∠EPF＝90°，
∵AB＝AC，
∴＝，
∴∠APF＝∠APC，
∵AE⊥PC，AF⊥PF，
∴AE＝AF，
∵∠F＝∠AEC＝90°，
∴Rt△AEC≌Rt△AFB（HL），
∴BF＝CE，
∵∠AFP＝∠AEP＝90°，AP＝AP，AF＝AE，
∴Rt△APF≌Rt△APE（HL），
∴PF＝PE，
∴PB+PC＝PF﹣BF+PE+EC＝2PE，
∵∠APC＝∠ABC＝45°，
∴△APE是等腰直角三角形，
∴PA＝PE，
∴PE＝PA，
∴PB+PC＝PA．
故答案为PB+PC＝PA．
三．解答题（共8小题，满分50分）
17证明：∵AC＝BD，
∴＝．
∴﹣＝﹣．即＝．
∴BC＝AD．
18（1）证明：连接OC．
∵＝，
∴∠COD＝∠COE，
∵OA＝OB，AD＝BE，
∴OD＝OE，∵OC＝OC，
∴△COD≌△COE（SAS），
∴CD＝CE．
（2）分别连接OM，ON，
∵△COD≌△COE，
∴∠CDO＝∠CEO，∠OCD＝∠OCE，
∵OC＝OM＝ON，
∴∠OCM＝∠OMC，∠OCN＝∠ONC，
∴∠OMD＝∠ONE，
∵∠ODC＝∠DMO+∠MOD，∠CEO＝∠CNO+∠EON，
∴∠MOD＝∠NOE，
∴＝．
19证明：连接AG．
∵四边形ABCD是平行四边，
∴AD∥BC，
∴∠EAD＝∠ABC，∠DAG＝∠AGB，
∵AB＝AG，
∴∠ABC＝∠AGB，
∴∠EAD＝∠DAG，
∴＝．
20解：（1）连接CD，
∵∠A＝25°，
∴∠B＝65°，
∵CB＝CD，
∴∠B＝∠CDB＝65°，
∴∠BCD＝50°，
∴∠DCE＝40°
∴的度数为40°；
（2）延长AC交⊙C与点F，
∵∠BCA＝90°，BC＝2，AC＝6，
∴AB＝＝＝2，AE＝6﹣2＝4．
∵AB与AF均是⊙C的割线，
∴AD AB＝AE AF，即2 AD＝4×8，解得AD＝，
∴BD＝AB﹣AD＝2﹣＝．
解法二：作CH⊥AB于H，利用面积法求出CH，再利用勾股定理求出BH，由BD＝2BH即可解决问题．
21解：（1）连接OA，
由题意得：AD＝AB＝30（米），OD＝（r﹣18）
在Rt△ADO中，由勾股定理得：r2＝302+（r﹣18）2，
解得，r＝34（米）；
（2）连接OA′，
∵OE＝OP﹣PE＝30米，
∴在Rt△A′EO中，由勾股定理得：A′E2＝A′O2﹣OE2，即：A′E2＝342﹣302，
解得：A′E＝16（米）．
∴A′B′＝32（米）．
∵A′B′＝32＞30，
∴不需要采取紧急措施．
22解：如图，作OM⊥AB于M，交AB于M，图中KN＝3，作KF⊥CD于H，交⊙O于F，连接OF．
易知四边形OHKN是矩形，四边形ABCD是矩形，OH＝KM＝4，AB＝CD＝10，OF＝OD＝5，
在Rt△OHF中，FH＝＝＝3，
∵HK＝BC＝2.5，
∴FK＝2.5+3＝5.5，
∵5.5＞4.9，
∴这辆卡车能安全通过这个隧道．
23解：能通过，理由如下：
设点O为半圆的圆心，则O为AB的中点，OG为半圆的半径，
如图，∵直径AB＝2（已知），
∴半径OG＝1，OF＝1.6÷2＝0.8，
∴在Rt△OFG中，FG2＝OG2﹣OF2＝12﹣0.82＝0.36；
∴FG＝0.6
∴EG＝0.6+2.3＝2.9＞2.5．
∴能通过．
24解：相等．
如右图所示，连接OD，OE，
∵OB＝OD＝OE＝OC，∠B＝∠C＝60°
∴△BOD与△COE都是等边三角形
∴∠BOD＝∠COE＝60°
∠DOE＝180°﹣∠BOD﹣∠COE＝60°
∴∠DOE＝∠BOD＝∠COE
∴．