《3.2确定圆的条件》同步达标测评 2021-2022学年青岛版九年级数学上册（Word版 含答案）

2021-2022学年青岛版九年级数学上册《3.2确定圆的条件》同步达标测评（附答案）
一．填空题（共9小题，满分45分）
1．如图，AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD＝50°，则∠ACB＝　 　°．
2．如图，已知⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝135°，则AB＝　 　．
3．如图，平面直角坐标系中，已知A，B两点的坐标分别为（2，0）（0，2），点P是△AOB外接圆上的一点，且∠BOP＝45°，则点P的坐标为　 　．
4．已知△ABC内接于半径为5厘米的⊙O，若∠A＝60°，边BC的长为　 　厘米．
5．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，∠OBC＝50°，则∠A等于　 　度．
6．已知△ABC的边BC＝2cm，且△ABC内接于半径为2cm的⊙O，则∠A＝　 　度．
7．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D在圆O上，BD＝CD，AB＝10，AC＝6，连接OD交BC于点E，DE＝　 　．
8．如图，⊙O的半径为6，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC．若∠BAC+∠BOC＝180°，则弦BC的长为　 　．
9．如图，△ABC外接圆的圆心坐标是　 　．
二．解答题（共11小题，满分75分）
10．如图，△ABC内接于⊙O且AB＝AC，延长BC至点D，使CD＝CA，连接AD交⊙O于点E，连接BE、CE．
（1）求证：△ABE≌△CDE；
（2）填空：
①当∠ABC的度数为　 　时，四边形AOCE是菱形；
②若AE＝6，EF＝4，DE的长为　 　．
11．如图，△ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为6，∠B＝60°，求AC的长．
12．已知等腰△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠BOC＝100°，求△ABC的顶角和底角的度数．
13．求证：矩形的四个顶点在同一圆上．
14．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝，BC＝8，CD＝6，AD＝5，试判断点A、B、C、D是否在同一个圆上，并证明你的结论．
15．如图1，⊙O的半径为r（r＞0），若点P′在射线OP上，满足OP′ OP＝r2，则称点P′是点P关于⊙O的“美好点”．如图2，⊙O的半径为2，点B在⊙O上，∠BOA＝60°，OA＝4，若点A′、B′分别是点A，B关于⊙O的美好点，求A′B′的长．
16．如图所示，BD，CE是△ABC的高，求证：E，B，C，D四点在同一个圆上．
17．某地出土一个明代残破圆形瓷盘，为复制该瓷盘需确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心（不要求写作法、证明和讨论，但要保留作图痕迹）．
18．定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．
（1）如图，损矩形ABCD，∠ABC＝∠ADC＝90°，则该损矩形的直径是线段 　 　．
（2）①在损矩形ABCD内是否存在点O，使得A、B、C、D四个点都在以O为圆心的同一圆上？如果有，请指出点O的具体位置；
②如图，直接写出符合损矩形ABCD的两个结论（不能再添加任何线段或点）．
19．如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D．已知：AB＝24cm，CD＝8cm．
（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求（1）中所作圆的半径．
20．已知平面直角坐标系中的三个点A（1，﹣1），B（﹣2，5），C（4，﹣6），判断过A、B、C这三个点能否确定一个圆，并说明理由．
参考答案
一．填空题（共9小题，满分45分）
1．解：连接BD，如图，
∵AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∴∠D＝90°﹣∠BAD＝90°﹣50°＝40°，
∴∠ACB＝∠D＝40°．
故答案为40．
2．解：设点D为优弧AB上一点，连接AD、BD、OA、OB，如右图所示，
∵⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝135°，
∴∠ADB＝45°，
∴∠AOB＝90°，
∵OA＝OB＝2，
∴AB＝2，
故答案为：2．
3．解：在Rt△OAB中，AB＝＝4，
∵∠AOB＝90°，
∴AB为△AOB外接圆的直径，设圆心为C点，
过直径PP′⊥AB，连接PA、P′B，作PD⊥x轴于D，P′E⊥y轴于E，如图，
∴∠PCA＝∠BCP＝90°，PA＝P′B＝2，
∴∠BOP＝∠BOP′＝45°，
∴∠POD＝45°，
设P（t，t），则AD＝t﹣2，
在Rt△PAD中，（t﹣2）2+t2＝（2）2，
整理得t2﹣2t﹣2＝0，解得t1＝1+，t2＝1﹣（舍去），则P点坐标为（1+，1+）；
设P′（m，﹣m），则P′E＝OE＝﹣m，BE＝2+m，
在Rt△P′BE中，（2+m）2+m2＝（2）2，
整理得m2+2m+2＝0，解得m1＝﹣+1，m2＝﹣﹣1（舍去），则P′点坐标为（﹣+1，﹣1）；
综上所述，满足条件的P点坐标为（1+，1+）或（﹣+1，﹣1）．
故答案为（1+，1+）或（﹣+1，﹣1）．
4．解：连接OB，OC，过点O作OD⊥BC于点D，
∴BD＝CD＝BC，
∵∠A＝60°，
∴∠BOC＝2∠A＝120°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝＝30°，
∵OB＝6，
∴BD＝OB cos30°＝5×＝，
∴BC＝2BD＝5．
故答案为：5．
5．解：∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝50°，
∴∠BOC＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴∠A＝∠BOC＝40°．
故答案为40．
6．解：连接OB、OC，如图，
∵OB＝OC＝2，BC＝2，
∴OB2+OC2＝BC2，
∴△OBC为等腰直角三角形，∠BOC＝90°，
当点A在BC所对的优弧上，∠A＝∠BOC＝45°，
当点A在BC所对的劣弧上，∠A＝180°﹣45°＝135°，
即∠A的度数为45度或135度．
故答案为：45度或135．
7．解：∵BD＝CD，
∴＝，
∴OD⊥BC，
∴BE＝CE，
而OA＝OB，
∴OE为△ABC的中位线，
∴OE＝AC＝×6＝3，
∴DE＝OD﹣OE＝5﹣3＝2．
故答案为2．
8．解：作OH⊥BC于H，如图，则BH＝CH，
∵∠BAC+∠BOC＝180°，
而∠BAC＝∠BOC，
∴∠BOC+∠BOC＝180°，解得∠BOC＝120°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝30°，
∴OH＝OB＝3，
∴BH＝OH＝3，
∴BC＝2BH＝6．
故答案为：6．
9．解：作线段BC的垂直平分线，作AB的垂直平分线，
两条线相交于点O
所以O的坐标为（4，6）
故答案为：（4，6）
二．解答题（共11小题，满分75分）
10．解：（1）∵AB＝AC，CD＝CA，
∴∠ABC＝∠ACB，AB＝CD，
∵四边形ABCE是圆内接四边形，
∴∠ECD＝∠BAE，∠CED＝∠ABC，
∵∠ABC＝∠ACB＝∠AEB，
∴∠CED＝∠AEB，
∴△ABE≌△CDE（AAS）；
（2）①当∠ABC的度数为60°时，四边形AOCE是菱形；
理由是：连接AO、OC，
∵四边形ABCE是圆内接四边形，
∴∠ABC+∠AEC＝180°，
∵∠ABC＝60，
∴∠AEC＝120°＝∠AOC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝30°，
∵AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∵∠ACB＝∠CAD+∠D，
∵AC＝CD，
∴∠CAD＝∠D＝30°，
∴∠ACE＝180°﹣120°﹣30°＝30°，
∴∠OAE＝∠OCE＝60°，
∴四边形AOCE是平行四边形，
∵OA＝OC，
∴ AOCE是菱形；
②∵△ABE≌△CDE，
∴AE＝CE＝6，BE＝ED，
∴∠ABE＝∠CBE，∠CBE＝∠D，
又∵∠EAC＝∠CBE，
∴∠EAC＝∠D．
又∵∠CED＝∠AEB，
，解得DE＝9．
故答案为：①60°；②9．
11．解：如图，作直径AD，连接CD．
∴∠ACD＝90°．
∵∠B＝60°，
∴∠D＝∠B＝60°．
∵⊙O的半径为6，
∴AD＝12．
在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，
∴CD＝6．
∴AC＝6．
12．解：（1）圆心O在△ABC外部，
在优弧BC上任选一点D，连接BD，CD．
∴∠BDC＝∠BOC＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣∠BDC＝130°；
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝（180°﹣∠BAC）÷2＝25°；
（2）圆心O在△ABC内部．∠BAC＝∠BOC＝50°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝（180°﹣∠BAC）÷2＝65°．
13．已知：矩形ABCD
求证：点A、B、C、D在同一个圆上
证明：连接AC、BD交于点O，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝BO＝CO＝DO，
∴点A、B、C、D在以O为圆心、OA为半径的同一个圆上．
14．解：A、B、C、D在同一个圆上．
证明：连接BD．
在直角△ABD中，BD＝＝＝10，
在△BCD中，∵82+62＝100，即BC2+CD2＝BD2，
∴△BCD是直角三角形．
∴B、C、D在以BD为直径的圆上．
又∵△ABD是直角三角形，则A、B、D在以BD为直径的圆上．
∴点A、B、C、D在以BD为直径的圆上．
15．解：设OA交⊙O于C，连接B′C，如图2，
∵OA′ OA＝22，
而r＝2，OA＝4，
∴OA′＝1，
∵OB′ OB＝22，
∴OB′＝2，即点B和B′重合，
∵∠BOA＝60°，OB＝OC，
∴△OBC为等边三角形，
而点A′为OC的中点，
∴B′A′⊥OC，
在Rt△OA′B′中，sin∠A′OB′＝，
∴A′B′＝．
16．证明：如图所示，取BC的中点F，连接DF，EF．
∵BD，CE是△ABC的高，
∴△BCD和△BCE都是直角三角形．
∴DF，EF分别为Rt△BCD和Rt△BCE斜边上的中线，
∴DF＝EF＝BF＝CF．
∴E，B，C，D四点在以F点为圆心，BC为半径的圆上．
17．解：在圆上取两个弦，根据垂径定理，
垂直平分弦的直线一定过圆心，
所以作出两弦的垂直平分线即可．
18．解：（1）线段AC；
（2）①在损矩形ABCD内存在点O，
使得A、B、C、D四个点都在以O为圆心的同一个圆上，
O是线段AC的中点．
②ABCD是圆内接四边形；
∠ADB＝∠ACB．
19．解：（1）作弦AC的垂直平分线与弦AB的垂直平分线交于O点，以O为圆心OA长为半径作圆O就是此残片所在的圆，如图．
（2）连接OA，设OA＝x，AD＝12cm，OD＝（x﹣8）cm，
则根据勾股定理列方程：
x2＝122+（x﹣8）2，
解得：x＝13．
答：圆的半径为13cm．
20．解：能．理由如下：
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
把A（1，﹣1），B（﹣2，5）代入得，解得，
所以直线AB的解析式为y＝﹣2x+1，
当x＝4时，y＝﹣2x+1＝﹣8+1＝﹣7，
所以点C（4，﹣6）不在直线AB上，
即点A、B、C不共线，
所以过A、B、C这三个点能确定一个圆．